02 - Radiciação - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (2)

         Escreva  os números de 1 a 6 nas interseções de modo que a soma dos que ficarem em cada círculo seja igual a 14.

Jogos matemáticos -2

CALCULADORA QUEBRADA

Este jogo é também muito simples, mas, bastante curioso embora tenha poucos níveis.

Vale a pena tentar formar os números indicados apenas com as teclas que sobraram...

Ficou curioso?

É só clicar: CALCULADORA QUEBRADA

Divirta-se...

RELÓGIOS (QUASE) INFALÍVEIS

     "Funciona como um relógio". Você já ouviu essa expressão? É usada para se referir a alguma coisa que funciona direitinho, com regularidade a toda prova.

     O relógio atômico é movido pela radioatividade emitida por uma pedra de césio. Ele mede o tempo em nanossegundos (ou um bilionésimo de segundos!). Mas, mesmo assim, atrasa 1 segundo a cada 3 milhões de anos!!!

     Melhor que ele só o relógio mais preciso do mundo, desenvolvido por uma equipe de cientistas alemães e americanos. Ele usa um átomo de mercúrio como combustível, e conta com a ajuda de um raio laser.

     Esse super relógio divide um segundo em um quatrilhão: os femtossegundos. O mais incrível é que ele só atrasa 1 segundo a cada 3 bilhões de anos!!!

Fonte: CANAL KIDS

DONALD NO PAÍS DA MATEMÁGICA parte 2/3

TALES DE MILETO

Nascido em cerca de 624 A.C. em Mileto, Ásia Menor (atual Turquia)

Falecido em aproximadamente 547 A.C. em Mileto, Ásia Menor (atual Turquia)

          Tales de Mileto era  filho de Examyes e Cleobuline. Seus pais eram, segundo alguns historiadores, de Mileto. Outros porém,  relatam que eram fenícios.
       Segundo J Longrigg, a maioria o considera nascido em Mileto e de família distinta.

       Tales parece ser o primeiro  filósofo grego conhecido, cientista e matemático, embora sua profissão fosse a de um engenheiro. Acredita-se que tenha sido o professor de Anaximandro (611 aC - 545 aC) e foi o primeiro filósofo natural na Escola de Mileto. 
         No entanto, nenhum de seus escritos sobreviveu por isso, é difícil determinar seus pontos de vista ou  ter certeza sobre suas descobertas matemáticas. Na verdade não se sabe se ele escreveu qualquer trabalho afinal e, se escreveu, ele certamente estava perdido ao tempo de Aristóteles, que não teve acesso a nenhum dos escritos de Tales. Por outro lado, há alegações de que ele escreveu um livro sobre a navegação, mas estas são baseadas em pouca evidência. O livro sobre navegação sugere que ele usou a constelação da Ursa Menor, que ele definiu como uma característica importante em suas técnicas de navegação. Mesmo que o livro seja fictício, é bastante provável que Tales, de fato, tenha definido a constelação da Ursa Menor.

Proclus, o último grande filósofo grego, que viveu por volta de 450 dC, escreveu: -

[ Tales ] foi pela primeira vez ao Egito e, de lá, introduzida este estudo [geometria ] na Grécia. Descobriu muitas proposições ele mesmo, e instruiu seus sucessores nos princípios subjacentes a muitos outros, seu método de atacar os problemas tinham maior generalidade, em alguns casos e tinham mais a natureza de simples inspeção e observação em outros casos.

Há uma dificuldade em escrever sobre Tales e outros da mesma época. Embora existam várias referências a Tales que permitem reconstruir um grande número de detalhes, as fontes devem ser tratadas com cuidado, pois era costume da época creditar a homens famosos descobertas que eles não fizeram. Em parte, isso foi o resultado do status de lenda que homens como Tales alcançaram, e em parte era o resultado de cientistas com uma história relativamente pequena de seus assuntos tentando aumentar o status do seus temas dando-lhes um pano de fundo histórico.

Certamente Tales era uma figura de enorme prestígio, sendo o único filósofo antes de Sócrates, a estar entre os Sete Sábios. Plutarco, escrevendo sobre estes Sete Sábios, diz que: - 

[ Tales ] foi aparentemente o único cuja sabedoria foi objeto de especulação, além dos limites da utilidade prática, o resto adquiriu a reputação de sabedoria política.

O comentário de Plutarco não deve ser visto como tendo dito que  Tales não atuou como um político. De fato ele o fez. Ele convenceu os Estados separados da Jônia a formar uma federação com capital em Teos. Ele dissuadiu seus compatriotas de aceitar uma aliança com Creso e, como resultado, salvou a cidade.

É relatado que Tales previu um eclipse do Sol em 585 aC. O ciclo de aproximadamente 19 anos para os eclipses da Lua era bem conhecida neste momento, mas o ciclo de eclipses do Sol foi mais difícil de detectar uma vez que os eclipses eram visíveis em diferentes lugares da Terra. A previsão de Tales do eclipse de 585 aC  foi, provavelmente, um palpite baseado no conhecimento de que um eclipse em torno desse tempo era possível. As alegações de que Tales usou o Saros babilônico, um ciclo de comprimento de 18 anos 10 dias e 8 horas, para prever o eclipse foi demonstrado por Neugebauer ser altamente improvável, pois Neugebauer mostra que o uso do Saros foi uma invenção de Halley. Neugebauer escreveu : -

... não existe nenhum ciclo de eclipses solar visível em um determinado lugar: todos os ciclos modernos envolvem a Terra como um todo.Nenhuma teoria da Babilônia para predizer um eclipse solar existia em 600aC, como se pode ver a partir da situação muito insatisfatória 400 anos mais tarde, nem os babilônios nunca desenvolveram qualquer teoria, que levasse a influência da latitude geográfica em consideração.

Depois do eclipse de 28 de Maio de 585 aC Heródoto escreveu: -

... o dia foi de repente transformado em noite. Este evento havia sido anunciado por Tales, o milesiano, que avisando os jônios dele, fixou o ano exato em que ocorreria. Os medos e lídios, quando observaram a mudança, deixaram de lutar, e ficaram igualmente ansioso para ter condições celebrar um acordo de paz.

Longrigg até duvida que Tales previu o eclipse por adivinhação, escrevendo: -

... a explicação mais provável parece ser simplesmente que Tales passou a ser um sábio a respeito do momento em que este fenômeno astronômico marcante ocorreria e foi feita a pressuposição de que, como um sábio, ele deve ter sido capaz de prever.

Há vários relatos de como Tales mediu a altura das pirâmides. Diógenes Laércio escrevendo no século II dC, cita Hieronymus, um aluno de Aristóteles: -

Hieronymus diz que [ Tales ] ainda conseguiu medir as pirâmides pela observação do comprimento de suas sombras no momento em que nossas sombras são iguais à nossa própria altura.

Isto não parece conter nenhum conhecimento geométrico sutil, apenas uma observação empírica de que no instante em que o comprimento da sombra de um objeto coincide com a sua altura, o mesmo será verdade para todos os outros objetos. Uma declaração semelhante é feita por Plínio: -

Tales descobriu a forma de obter a altura das pirâmides e todos os outros objetos semelhantes, ou seja, medindo a sombra do objeto no momento em que um corpo e sua sombra são iguais em comprimento.

Plutarco porém conta a história de uma forma que, se for precisa, significaria que Tales estava se aproximando da idéia de semelhança de triângulos: -

... sem problemas ou o auxílio de qualquer instrumento [ ele ] apenas posicionou uma vara na extremidade da sombra projetada pela pirâmide e, assim, observou dois triângulos pela incidência dos raios solares, ... mostrou que a pirâmide tem para o bastão a mesma proporção que a sombra [ da pirâmide ] tem para com a sombra [ do bastão ]

Claro que Tales poderia ter usado esses métodos geométricos para resolver problemas práticos, tendo se limitado a observar as propriedades e sem apreciação do que significava para provar um teorema geométrico. Isto está de acordo com as opiniões de Russell, que escreve sobre as contribuições de Tales para a matemática: -

Tales diz ter viajado no Egito, e daí ter trazido para os gregos a ciência da geometria. O que os egípcios conheciam da geometria eram principalmente as regras de ouro, e não há razão para acreditar que Tales havia chegado em provas dedutivas, como os gregos descobriram mais tarde.

Por outro lado, BL van der Waerden [16] afirma que Tales apoiou a geometria na lógica e estava bem consciente do conceito de provar um teorema geométrico. No entanto, apesar de haver muitas evidências que sugerem que o Tales fez algumas contribuições fundamentais para a geometria, é fácil de interpretar suas contribuições à luz do nosso próprio conhecimento, assim, acreditando que Tales tinha uma apreciação completa da geometria que ele poderia ter alcançado. Em muitos livros sobre a história da matemática são creditados a Tales cinco teoremas de geometria elementar: -

1. Um círculo é dividido em partes iguais por qualquer diâmetro.
2. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.
3. Os ângulos de interseção entre duas linhas retas são iguais.
4. Dois triângulos são congruentes se tiverem dois ângulos e um lado igual.
5. Um ângulo em um semicírculo é um ângulo reto.

Qual é a base para essas afirmações? Proclus, escrevendo por volta de 450 dC, é a base para os primeiros quatro desses ítens, no terceiro e quarto casos, citando a obra História da Geometria por Eudemo de Rhodes, que foi discípulo de Aristóteles, como sua fonte. A História da Geometria por Eudemo agora está perdida, mas não há razão para duvidar de Proclus. O teorema da quinta afirmativa acredita-se ser devido a Tales por causa de uma passagem de Diógenes Laércio no livro Vidas dos filósofos eminentes escrito no século II dC: -

Pamfílio diz que Tales, que aprendeu a geometria dos egípcios, foi o primeiro a descrever que um círculo em um triângulo deve ter um ângulo reto, e que ele sacrificou um boi ( por força da descoberta ) . Outros, no entanto, incluindo Apolodoro o calculador, disseram que foi Pitágoras.

Um exame mais profundo das fontes, no entanto, mostra que, mesmo se forem precisas, podemos estar creditando muita coisa a Tales. Por exemplo Proclus usa uma palavra que significa algo próximo a "semelhante" ao invés de "igual"para descrever (ii). É bastante provável que a Tales não tivesse sequer uma forma de medir ângulos, de maneira que " ângulos iguais", não teria sido um conceito que ele teria entendido precisamente. Ele pode ter alegado não mais do que "Os ângulos da base de um triângulo isósceles parecem semelhantes". O teorema (iv) foi atribuído a Tales por Eudemo por razões não completamente convincentes. Proclus escreve: -

[ Eudemo ] diz que o método pelo qual Tales mostrou como encontrar as distâncias dos navios da costa envolve necessariamente o uso desse teorema.

Heath dá três métodos diferentes que Tales poderia ter usado para calcular a distância de um navio no mar. O método que ele acha mais provável que Tales tenha usado seria ter um instrumento composto de duas varas pregado em uma cruz para que eles pudessem ser girados sobre a unha. Um observador, em seguida, iria para o topo de uma torre, posicionando uma vara vertical (usando digamos um fio de prumo) e rodar a segunda vara sobre a unha até que aponte o navio. Em seguida, o observador gira o instrumento, mantendo-o fixo e vertical, até que a vara móvel aponte para um ponto adequado da terra. A distância deste ponto a partir da base da torre é igual à distância até o navio.

Apesar de o teorema (iv) estar subjacente a esta aplicação, teria sido perfeitamente possível que Tales  concebesse tal método sem perceber nada de "triângulos congruentes".

Como um comentário final sobre estes cinco teoremas, existem histórias conflitantes sobre o teorema (iv) como Diógenes Laércio tem consciência. Além disso, mesmo Pamfílio não pode ser tomado como uma autoridade já que viveu no século I dC, muito depois da época de Tales. Outros atribuíram a história sobre o sacrifício de um boi a Pitágoras, ao descobrir o teorema de Pitágoras. Certamente há muita confusão e pouca certeza.

Nosso conhecimento da filosofia de Tales é devido a Aristóteles, que escreveu em sua Metafísica : -

Tales de Mileto ensinou que "todas as coisas são água".

Isto, como Brumbaugh escreve: -

... Pode parecer um início promissor para a ciência e a filosofia como nós os conhecemos hoje, mas, no contexto da mitologia da qual se originou, era revolucionária.

Sambursky escreve: -

Foi Tales quem primeiro idealizou o princípio de explicar a multiplicidade de fenômenos por um pequeno número de hipóteses para as diversas manifestações da matéria.

Tales acreditava que a Terra flutuava sobre a água e todas as coisas se originavam da água. Para ele, a Terra era um disco achatado flutuando sobre um oceano infinito. Também foi alegado que Tales explicou terremotos a partir de sua ideia de que a Terra flutuava sobre a água. Mais uma vez a importância da idéia de Tales é que ele é o primeiro registro de alguém que tentou explicar esses fenômenos de modo racional e não por meios sobrenaturais.

É interessante que sobre Tales há duas histórias contadas sobre sua grande habilidade prática e também sobre ele ser um sonhador extraterrestre. Aristóteles, por exemplo, relata uma história de como Tales usou suas habilidades para deduzir que a colheita de azeitonas na próxima temporada seria muito grande. Ele então comprou todos os lagares de azeite e, em seguida, foi capaz de fazer uma fortuna, quando a safra de azeitona, de fato, chegou. Por outro lado, Platão conta a história de como Tales certa noite estava olhando para o céu enquanto andava e caiu em uma vala. Uma jovem e bonita serva levantou-se e disse-lhe: "Como você espera entender o que está acontecendo lá em cima no céu, se você nem vê o que está a seus pés". Como Brumbaugh diz, talvez esta seja a primeira piada sobre um professor distraído no Ocidente!

Texto adaptado de um artigo de J J O'Connor and E F Robertson

Janeiro 1999

MacTutor História da Matemática