05 - Funções - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (5)

     Dua cidades estão ligadas por uma estrada de ferro.
     De hora em hora parte um trem de uma cidade para a outra.
     Os trens andam todos à mesma velocidade e cada viagem de uma cidade à outra dura cinco horas.
     Cada trem se cruza com quantos trens ao longo do caminho?

Jogos matemáticos - 5

PATHWAYS 2

Embora contemple apenas duas operações ( adição e subtração ), trata-se de um jogo muito interessante em vários aspectos.

São quatro níveis de dificuldade, diferentes operações em cada nível e a corrida contra o relógio para uma emoção a mais...

Se achou que vale a pena experimentar... clique: PATHWAYS 2

UNHAS GIGANTES

As unhas não param de crescer. A gente corta as unhas e alguns dias depois tem que cortar de novo, porque elas já estão grandes.


Você sabe quanto as unhas crescem por dia? Elas crescem 0,1 milímetro por dia, a não ser que você seja daquelas pessoas que têm o hábito muito feio de roer as unhas...



Agora vamos fazer umas continhas para deixar sua mãe de cabelo em pé: se você deixasse crescer as unhas durante cinco anos, quanto elas mediriam?



Se você multiplicar 0,1 milímetro por 30 dias, saberá quantos milímetros suas unhas crescem por mês: 3 milímetros.
Um ano tem 12 meses, portanto, cinco anos somam 60 meses. Aí, é só multiplicar 3 milímetros por 60. Resultado: 180 milímetros. Como 10 milímetros equivalem a um centímetro, suas unhas teriam "apenas" 18 centímetros!



Fonte: CANAL KIDS

A História dos números

Vídeo curto porém, muito interessante sobre a História dos números... Confira!

*ZENÃO DE ELÉIA

Zenão de Elea

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Nascido: cerca de 490 aC, em Elea, Lucania (hoje sul da Itália)
Morte: cerca de 425 aC, em Elea, Lucania (hoje sul da Itália)

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Muito pouco se sabe da vida de Zenão de Elea . Sabemos com certeza que ele era um filósofo, e ele disse ter sido o filho de Teleutagoras. A principal fonte de nosso conhecimento de Zeno vem do diálogo Parmênides escritos por Platão.

Zeno foi aluno e amigo do filósofo Parmênides e estudou com ele em Elea. A Escola eleática, uma das principais escolas pré-socráticas da filosofia grega, havia sido fundada por Parmênides em Elea no sul da Itália. Sua filosofia de monismo afirmava que as muitas coisas que parecem existir são apenas uma única realidade eterna, que ele chamou de ser. Seu princípio é que "tudo é um", e que a mudança ou não-ser são impossíveis. Certamente Zeno foi grandemente influenciado pelos argumentos de Parmênides e Platão nos diz que os dois filósofos visitou Atenas juntos em cerca de 450 aC.

Apesar da descrição de Platão sobre a visita de Zenão e Parmênides a Atenas, está longe de ser universalmente aceito que a visita, de fato, ocorrer. No entanto, Platão nos diz que Sócrates, que na época era jovem, reuniu-se Zenão e Parmênides em sua visita a Atenas e discutidos filosofia com eles. Dadas as melhores estimativas das datas de nascimento dos três filósofos, Sócrates seria de cerca de 20, Zeno cerca de 40, e Parmênides cerca de 65 anos de idade na época, por isso a afirmação de Platão é certamente possível.

Zeno já havia escrito uma obra sobre filosofia antes de sua visita a Atenas e Platão relata que o livro de Zeno significava que ele tinha alcançado uma certa fama em Atenas antes de sua visita lá. Infelizmente não trabalho por Zeno sobreviveu, mas há muito pouca evidência para sugerir que ele escreveu mais de um livro. O livro Zeno escreveu antes de sua visita a Atenas foi sua famosa obra, que, segundo Proclus, continha quarenta paradoxos sobre o continuum.Quatro dos paradoxos, que discutiremos em detalhes a seguir, estavam a ter uma profunda influência sobre o desenvolvimento da matemática.

Diógenes Laércio [10] dá mais detalhes da vida de Zeno que são geralmente pensado para ser confiável. Zeno voltou a Elea após a visita a Atenas e Diógenes Laércio afirma que ele encontrou a morte em uma tentativa heróica para remover um tirano da cidade de Elea. As histórias de seus feitos heróicos e tortura nas mãos do tirano pode muito bem ser puras invenções. Diógenes Laércio também escreve sobre cosmologia de Zeno e, novamente, não há provas sobre isso, mas vamos dar alguma indicação abaixo os detalhes.

O livro de Zeno de quarenta paradoxos foi, segundo Platão [8]: -

... um esforço jovem, e ele foi roubado por alguém, de modo que o autor não teve oportunidade de estudar a possibilidade de publicá-lo ou não. Seu objetivo era defender o sistema de Parmênides, atacando as concepções comuns de coisas.

Proclo também descrito o trabalho, e confirma que [1]: -

... Zeno elaborado quarenta paradoxos diferentes seguem a partir do pressuposto da pluralidade e movimento, todos eles aparentemente com base nas dificuldades decorrentes de uma análise do continuum.

Em seus argumentos contra a idéia de que o mundo contém mais de uma coisa, Zeno derivou seus paradoxos do pressuposto de que, se uma magnitude pode ser dividido, então ele pode ser dividido infinitamente muitas vezes. Zeno também assume que uma coisa que não tem qualquer importância não pode existir. Simplício, o último chefe da Academia de Platão em Atenas, preservou muitos fragmentos de autores anteriores, incluindo Parmênides e Zenão.Escrevendo na primeira metade do século VI, explicou o argumento de Zenão por algo sem magnitude não poderia existir [1]: -

Porque, se ele é adicionado para outra coisa, não vai torná-lo maior, e se for subtraído, não vai torná-lo menor. Mas se não faz uma coisa maior quando adicionado a ele nem menor quando subtraído, então parece óbvio que o que foi adicionado ou subtraído não foi nada.

Embora o argumento de Zenão não é totalmente convincente, pelo menos, como Makin escreve [25]: -

O desafio de Zeno ao pluralismo simples é bem-sucedida, em que as forças anti-Parmenideans ir além do senso comum.

Os paradoxos que Zeno deu a respeito de movimento são mais desconcertante. Aristóteles, em sua obra de Física , dá quatro argumentos de Zenão, a dicotomia, o Aquiles, a flecha, e do estádio. Para a dicotomia, Aristóteles descreve o argumento de Zenão (na tradução de Heath [8]): -

Não há, pois, que o movimento que é movido deve chegar a meio do seu curso antes que chegue ao fim.

Em ordem a um segmento de recta que é necessário para atingir o seu ponto médio atravessar. Para fazer isso é preciso chegar a ¹ / _{4 de} ponto, para fazer isso é preciso chegar a¹ / _{8 de} ponto e assim por diante ad infinitum . Assim, o movimento nunca pode começar. O argumento aqui não é respondida pela soma infinita conhecido

¹ / ₂ + ¹ / ₄ + ¹ / ₈ + ... = 1

Por um lado Zeno pode argumentar que a soma ¹ / ₂ + ¹ / ₄ + ¹ / ₈ + ... na verdade nunca chega a 1, mas o mais desconcertante para a mente humana é a tentativa de somar ¹ / ₂ + ¹ / ₄+ ¹ / ₈ + ... para trás. Antes de percorrer uma distância de unidade que deve chegar ao meio, mas antes de chegar ao meio, devemos obter ^um / ₄ do caminho, mas antes de chegarmos ¹ / ₄do caminho que devemos alcançar ^um / ₈ do caminho etc Este argumento nos faz perceber que nunca podemos começar desde que nós estamos tentando construir esta soma infinita do "errado" final. Na verdade, este é um argumento inteligente que ainda enigmas da mente humana hoje.

Zeno baseia tanto o paradoxo dicotomia eo ataque no pluralismo simples no fato de que uma vez que uma coisa é divisível, então é infinitamente divisível. Alguém poderia contrariar seus paradoxos, postulando uma teoria atômica em que a matéria era composta de muitos pequenos elementos indivisíveis. No entanto, outros paradoxos dadas por Zenão causam problemas precisamente porque, nestes casos, ele considera que magnitudes aparentemente contínuas são constituídas por elementos indivisíveis. Tal paradoxo é 'The Arrow' e, novamente, dar a descrição de Aristóteles do argumento de Zeno (na tradução de Heath [8]): -

Se, diz Zeno, tudo está em repouso ou em movimento quando ele ocupa um espaço igual a si próprio, enquanto que o objecto é movido no instante, a seta movimento é indiferente.

O argumento se baseia no fato de que, se num instante de tempo indivisíveis na seta movido, em seguida, na verdade, este instante de tempo iria ser divisível (por exemplo, em um menor "instantâneo" de tempo a seta se moveria a metade da distância). Aristóteles argumenta contra o paradoxo ao afirmar: -

... por o tempo não é composta de 'nows' indivisíveis, não é mais do que qualquer outra grandeza.

No entanto, este é considerado por alguns como sendo irrelevante para o argumento de Zeno.Além de negar que "agora" existe como um instante que divide o passado do futuro também parece ir contra a intuição. É claro que se o instante 'agora' não existe, então a seta nunca ocupa qualquer posição particular, e isso não parece certo também. Novamente Zeno apresentou um problema de fundo, que, apesar de séculos de esforços para resolvê-lo, ainda parece não ter uma solução realmente satisfatória. Como Frankel escreve [20]: -

A mente humana, ao tentar dar-se um relato preciso do movimento, vê-se confrontado com dois aspectos do fenômeno. Ambos são inevitáveis, mas, ao mesmo tempo que são mutuamente exclusivos. Ou olhamos para o fluxo contínuo de movimento, então será impossível para nós pensar do objeto em qualquer posição particular. Ou podemos pensar no objeto como ocupar qualquer dos cargos por meio do qual o seu curso está levando isso, e ao reparar nosso pensamento nessa posição particular não podemos deixar de fixar o próprio objeto e colocá-lo em repouso por um breve instante.

Vlastos (ver [32]) aponta que, se usarmos a fórmula matemática padrão para velocidade, temos v = s / t , onde s é a distância percorrida e t é o tempo necessário. Se olharmos para a velocidade em um instante, obtemos v = ⁰ / ₀ , o que não faz sentido. Por isso, é justo dizer que Zeno aqui é apontar uma dificuldade matemática que não seriam abordadas corretamente até que limites e cálculo diferencial foram estudados e colocar em uma posição adequada.

Como pode ser visto a partir da discussão acima, paradoxo de Zeno são importantes no desenvolvimento do conceito de infinitesimais. Na verdade, alguns autores afirmam que Zeno dirigiu seus paradoxos contra aqueles que estavam introduzindo infinitesimais. Anaxágoras e os seguidores de Pitágoras, com o seu desenvolvimento de incomensuráveis, também são considerados por alguns como os alvos dos argumentos de Zenão (ver por exemplo [10]).Certamente parece improvável que a razão dada por Platão, ou seja, para defender a posição filosófica de Parmênides, é toda a explicação de por que Zeno escreveu seu famoso trabalho sobre paradoxos.

O mais famoso dos argumentos de Zenão é, sem dúvida, o de Aquiles. A tradução de Heath partir de Aristóteles Física é: -

... mais lento quando executado nunca será ultrapassado pelo mais rápido, pois o que está a seguir deve primeiro atingir o ponto a partir do qual o que está em fuga iniciada, de modo que o mais lento deve ser necessariamente sempre alguma distância à frente.

A maioria dos autores, começando com Aristóteles, ver este paradoxo ser essencialmente a mesma que a dicotomia. Por exemplo Makin [25] escreve: -

... contanto que a dicotomia pode ser resolvido, o tendão de Aquiles pode ser resolvido. As resoluções serão paralelas.

Tal como acontece com a maioria das afirmações sobre paradoxos de Zenão, não há acordo completo sobre qualquer posição particular. Por exemplo Toth [29] contesta a semelhança entre os dois paradoxos, alegando que as observações de Aristóteles deixa muito a desejar, e sugere que os dois argumentos têm estruturas completamente diferentes.

Platão e Aristóteles não apreciar plenamente o significado dos argumentos de Zenão. Como Heath diz [8]: -

Aristóteles chamou de "falácias", sem poder refutá-los.

Russell certamente não subestimar o significado de Zeno quando escreveu em [13]: -

Neste mundo, nada é mais caprichosa caprichosa do que a fama póstuma.Uma das mais notáveis ​​vítimas de falta de juízo a posteridade é o Zeno eleática. Ter inventado quatro argumentos todos imensamente sutil e profunda, a grosseria dos filósofos posteriores pronunciou-lo a ser um mero malabarista engenhoso, e seus argumentos para ser um e todos os sofismas.Depois de dois mil anos de contínua refutação, esses sofismas foram reintegrados, e fez a fundação de um renascimento matemático ....

Aqui Russell está pensando no trabalho de Cantor, Frege e ele mesmo nos infinitos e, particularmente, de Weierstrass no cálculo. Em [2], a relação dos paradoxos para a matemática também é discutida, o autor chega a uma conclusão semelhante à Frankel na citação acima: -

Apesar de terem sido muitas vezes descartado como um absurdo lógico, também foram feitas muitas tentativas de eliminá-los por meio de teoremas matemáticos, tais como a teoria da série convergente ou a teoria dos conjuntos. No final, no entanto, as dificuldades inerentes em seus argumentos sempre voltar com uma vingança, pois a mente humana é construído de tal forma que ele pode olhar para um continuum de duas maneiras que não são perfeitamente conciliáveis.

É difícil dizer com precisão o efeito que os paradoxos de Zenão teve no desenvolvimento da matemática grega. BL van der Waerden (ver [31]) argumenta que as teorias matemáticas que foram desenvolvidas na segunda metade do século V aC sugerem que a obra de Zeno tiveram pouca influência. Heath entanto parece detectar uma maior influência [8]: -

Os matemáticos, no entanto, ... perceber que os argumentos de Zenão foram fatais para infinitesimais, viu que eles só poderiam evitar as dificuldades relacionadas com eles, uma vez por todas banir a idéia do infinito, mesmo potencialmente infinito, completamente de sua ciência, a partir daí, portanto, que não fez uso de magnitudes crescentes ou decrescentes ad infinitum, mas contentou-se com magnitudes finitas que podem ser feitas tão grande ou tão pequeno quanto quisermos.

Nós comentamos acima que Diógenes Laércio em [10] descreve uma cosmologia que ele acredita que é devido à Zeno. De acordo com sua descrição, Zeno propôs um universo composto de vários mundos, composto por "quente" e "frio" seco "e" molhado ", mas não nulo ou vazio do espaço. Porque isso parece não ter nada em comum com seus paradoxos, ele É comum ter a linha que Diógenes Laércio é um erro. No entanto, há algumas evidências de que esse tipo de crença era em torno do século V aC, particularmente associada com a teoria médica, e que poderia facilmente ter sido a versão de Zeno de uma crença de pela Escola eleática.

Artigo por: JJ O'Connor e EF Robertson

ARTE MATEMÁTICA (5)

Veja como as imagens abaixo formadas exclusivamente com linhas retas, dão uma sensação de encurvamento.

Neste decágono...

E neste pentágono...

Afinal, são retas ou curvas?!?

MATEMÁGICA? (5)

Pegue uma calculadora.
Faça os seguintes cálculos observando os resultados:



9 x 9 + 7 =
98 x 9 + 6 =
987 x 9 + 5 =
9876 x 9 + 4 =
98765 x 9 + 3 =
987654 x 9 + 2 =
9876543 x 9 + 1 =
98765432 x 9 + 0 =


O que você acha disso?