06 - Propriedades das Funções - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (6)

      Em cada uma das igualdades abaixo estão faltando, entre os números 3, sinais de +, -, x, : e ( ) que façam com que a expressão numérica tenha o valor indicado.

3   3   3   3   =   3

3   3   3   3   =   4

3   3   3   3   =   5

3   3   3   3   =   6

3   3   3   3   =   7

3   3   3   3   =   8

3   3   3   3   =   9

3   3   3   3   = 10

              Você consegue colocá-los no lugar?

Jogos matemáticos -6

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Arquimedes e Eratóstenes

Sabendo (ou não) quem foram estes sábios da antiguidade, vale conferir este programa sobre os dois e suas contribuições à Ciência...

*EUCLIDES

Euclides de Alexandria

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Nascido: cerca de 325 aC
Morte: cerca de 265 aC, em Alexandria, Egito

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Euclides de Alexandria é o mais proeminente matemático da antiguidade mais conhecido por seu tratado sobre matemática Os Elementos . A natureza de longa duração de Os Elementos de Euclides deve fazer o principal professor de matemática de todos os tempos.No entanto, pouco se sabe da vida de Euclides, exceto que ele ensinou em Alexandria, no Egito. Proclus, o último grande filósofo grego, que viveu por volta de 450 dC, escreveu (ver [1] ou [9], ou muitas outras fontes): -

Não há muito mais jovem do que esses [ alunos de Platão ] é Euclides, que reuniu os "Elementos", organizando a fim muitos dos teoremas de Eudoxus, aperfeiçoando muitos dos Teeteto de, e também trazendo a demonstração irrefutável as coisas que tinham sido apenas vagamente provado por sua antecessores. Este homem viveu na época do primeiro Ptolomeu, por Arquimedes, que acompanhou de perto no primeiro Ptolomeu faz menção de Euclides, e ainda dizem que Ptolomeu uma vez perguntou-lhe se havia um caminho curto para estudar geometria que os elementos, à qual ele respondeu que não havia nenhuma estrada real para a geometria. Ele é, portanto, mais jovem do que o círculo de Platão, mas mais de Eratóstenes e Arquimedes, pois estes foram contemporâneos, como Eratóstenes diz em algum lugar. Em seu objetivo era um platônico, estando em sintonia com esta filosofia, onde ele fez a final de todo o "Elements" A construção das chamadas figuras platônicas.

Há outras informações sobre Euclides dada por alguns autores mas não está pensado para ser fiável. Dois tipos diferentes de informação extra este existe. O primeiro tipo de informação extra é que, dada por autores árabes, que afirmam que Euclides era o filho de Naucrates e que ele nasceu em Tiro. Acredita-se por historiadores da matemática que isso é totalmente fictícia e foi simplesmente inventada pelos autores.

O segundo tipo de informação é que Euclides nasceu em Megara. Isto é devido a um erro da parte dos autores que primeiro deram essa informação. De fato, houve um Euclides de Megara, que era um filósofo que viveu cerca de 100 anos antes do matemático Euclides de Alexandria. Não é bem a coincidência de que pode parecer que havia dois homens instruídos chamados Euclides. Na verdade, Euclides era um nome muito comum em todo este período e esta é mais uma complicação que torna difícil descobrir informações sobre Euclides de Alexandria desde há referências a vários homens chamados Euclides na literatura deste período.

Voltando à citação de Proclus dadas acima, o primeiro ponto a destacar é que não há nada inconsistente no namoro dado. No entanto, apesar de não saber ao certo o que exatamente referência a Euclides em Arquimedes Proclus trabalho está se referindo, no que chegou até nós, não é apenas uma referência a Euclides e isso ocorre em Sobre a esfera eo cilindro.The óbvio conclusão, portanto, é que tudo está bem com o argumento de Proclus e isso foi assumido até desafiado por Hjelmslev em [48]. Ele argumentou que a referência a Euclides foi adicionado ao livro de Arquimedes, numa fase posterior, e de fato é uma referência bastante surpreendente. Não era a tradição da hora de dar essas referências, além disso, há muitos outros lugares Archimedes onde seria apropriado para se referir a Euclides e não existe essa referência. Apesar das alegações de Hjelmslev que a passagem foi adicionado mais tarde, Bulmer-Thomas escreve em [1]: -

Embora já não é possível contar com esta referência, uma consideração geral das obras de Euclides ... ainda mostra que ele deve ter escrito depois de tais alunos de Platão como Eudoxus e antes de Arquimedes.

Para uma discussão mais aprofundada sobre namoro Euclides, ver, por exemplo [8]. Isso está longe de um fim às discussões sobre o matemático Euclides. A situação é melhor resumido por Itard [11], que dá três hipóteses possíveis.

(I) Euclides era um personagem histórico que escreveu os Elementos e as outras obras atribuídas a ele.

(Ii) Euclides era o líder de uma equipe de matemáticos trabalhando em Alexandria. Todos eles contribuíram para a escrita das obras completas de Euclides ", mesmo continuando a escrever livros sob o nome de Euclides depois de sua morte.

(Iii) Euclides não era um personagem histórico. Das obras completas de Euclides foram escritas por uma equipe de matemáticos em Alexandria que tomaram o nome de Euclides da personagem histórico Euclides de Megara que viveu cerca de 100 anos antes.

Vale a pena observar que Itard, que aceita as alegações de Hjelmslev que a passagem sobre Euclides foi adicionado ao Arquimedes, favorece a segunda das três possibilidades que temos listados acima. Devemos, no entanto, fazer alguns comentários sobre as três possibilidades que, é justo dizer, resumir muito bem todas as possíveis teorias atuais.

Existe alguma evidência forte para aceitar (i). Foi aceito sem questionamentos por todos há mais de 2000 anos, e há pouca evidência de que é inconsistente com esta hipótese. É verdade que existem diferenças de estilo entre alguns dos livros dos Elementos ainda muitos autores variar seu estilo. Mais uma vez o fato de que Euclides, sem dúvida, com base nos elementosde trabalhos anteriores significa que seria bastante notável se nenhum traço do estilo do autor original permaneceu.

Mesmo se aceitarmos (i), então não há dúvida de que Euclides construiu uma escola vigorosa de matemática em Alexandria. Ele, portanto, teria tido alguns alunos capazes que podem ter ajudado na escrita dos livros. No entanto, a hipótese (ii) vai muito mais longe do que isso e gostaria de sugerir que os diferentes livros foram escritos por diferentes matemáticos. Para além das diferenças de estilo acima referidos, há pouca evidência direta disso.

Embora no rosto dela (iii) pode parecer o mais fantasioso dos três sugestões, no entanto, a 20^ª exemplo de Bourbaki século mostra que está longe de ser impossível. Henri Cartan, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chevalley e Alexander Grothendieck escreveu coletivamente sob o nome de Bourbaki e de Bourbaki Eléments de mathématiques contém mais de 30 volumes. É claro que se (iii) foram a hipótese correta, então Apolônio, que estudou com os alunos de Euclides em Alexandria, deve ter sabido não havia nenhuma pessoa "Euclides", mas o fato de que ele escreveu: -

.... Euclides não deu certo sínteses do locus com relação a três e quatro linhas, mas apenas uma parte chance de ele ...

certamente não prova que Euclides era um personagem histórico desde que há muitas referências semelhantes às Bourbaki por matemáticos que sabiam perfeitamente que Bourbaki era fictícia. No entanto, os matemáticos que compunham a equipe Bourbaki são todos bem conhecidos em seu próprio direito e este pode ser o maior argumento contra a hipótese (iii), em que a "equipe de Euclides teria que ter consistido de matemáticos pendentes. Então, quem eram eles?

Vamos assumir neste artigo que a hipótese (i) é verdade, mas, não tendo conhecimento de Euclides, é preciso concentrar-se em suas obras depois de fazer alguns comentários sobre possíveis eventos históricos. Euclides deve ter estudado na Academia de Platão em Atenas ter tomado conhecimento da geometria de Eudoxo e Teeteto de que ele era tão familiar.

Nenhuma das obras de Euclides tem um prefácio, pelo menos não chegou até nós, por isso é altamente improvável que qualquer jamais existiu, por isso não podemos ver nenhum de seu caráter, como nós podemos de alguns outros matemáticos gregos, a partir da natureza de seus prefácios . Pappus escreve (ver, por exemplo [1]) que Euclides era: -

... mais justo e bem disposto para todos os que podiam em qualquer medida para promover matemática, cuidadosos em nada para ofender, e embora um estudioso exata não alardeando a si mesmo.

Alguns afirmam que essas palavras foram adicionados ao Pappus e, certamente, o ponto de passagem (em uma continuação que não citei) é falar duramente (e quase certamente injustamente) de Apolônio. A imagem de Euclides tirada por Pappus é, no entanto, certamente em linha com a evidência de seus textos matemáticos. Outra história contada por Stobaeus [9] é o seguinte: -

... alguém que tinha começado a aprender geometria com Euclides, quando ele tinha aprendido o primeiro teorema, Euclides perguntou "O que eu consigo aprender essas coisas?" Euclides chamou seu escravo e disse: "Dê-lhe threepence desde que ele deve fazer ganhar com o que ele aprende".

Obra mais famosa de Euclides é o seu tratado sobre matemática Os Elementos . O livro era uma compilação de conhecimento que se tornou o centro de ensino de Matemática para 2000 anos. Provavelmente, não houve resultados em Os Elementos foram provadas pela primeira vez por Euclides, mas a organização do material e sua exposição são certamente devido a ele.De fato, há evidências de que Euclides está usando livros anteriores como ele escreve oselementos uma vez que ele apresenta um grande número de definições que não são utilizados como a de um retângulo, um losango e um paralelogramo.

Os elementos começa com definições e cinco postulados. Os três primeiros postulados são postulados da construção, por exemplo, o primeiro postulado afirma que é possível traçar uma linha reta entre dois pontos quaisquer. Estes postulados também assumem implicitamente a existência de pontos, linhas e círculos e, em seguida, a existência de outros objetos geométricos são deduzidas a partir do fato de que estes existem. Há outras hipóteses em postulados que não são explícitos. Por exemplo, presume-se que há uma linha única juntar quaisquer dois pontos. Da mesma forma postula dois e três, na produção de linhas retas e círculos de desenho, respectivamente, assumem a singularidade dos objetos a possibilidade de cuja construção está sendo postulada.

O quarto e quinto postulados são de natureza diferente. Postulado quatro estados que todos os ângulos retos são iguais. Isto pode parecer "evidente", mas, na verdade, assume que o espaço no homogénea - por isto queremos dizer que o número irá ser independente da posição no espaço em que é colocado. O quinto famoso, ou em paralelo, unidos postulado que um e apenas uma linha pode ser traçada paralela através de um ponto de uma determinada linha. A decisão de Euclides para tornar este um postulado levou a geometria euclidiana. Não foi até o 19 ^º século que este postulado foi abandonada e geometrias não-euclidianas foram estudados.

Há também os axiomas que Euclides chama de "noções comuns". Estes não são propriedades geométricas específicas, mas sim hipóteses gerais que permitem a matemática para continuar como uma ciência dedutiva. Por exemplo: -

O que são iguais à mesma coisa são iguais uns aos outros.

Zenão de Sidon, cerca de 250 anos depois de Euclides escreveu os Elementos , parece ter sido o primeiro a mostrar que as proposições de Euclides não foram deduzidos a partir dos postulados e axiomas sozinho, e Euclides faz outras suposições sutis.

Os Elementos está dividido em 13 livros. Livros 1-6 lidam com geometria plana. Nos livros particulares de um e dois estabelecidas propriedades básicas de triângulos, paralelos, paralelogramos, retângulos e quadrados. Livro três propriedades estudos do círculo enquanto o livro quatro lida com problemas sobre círculos e é pensado em grande parte para definir o trabalho dos seguidores de Pitágoras. Livro cinco expõe o trabalho de Eudoxo na proporção aplicada a magnitudes comensuráveis ​​e incomensuráveis. Heath diz [9]: -

Matemática grega pode ostentar nenhuma descoberta mais fina do que a teoria, o que colocou em uma base sólida tanto da geometria como dependia do uso de proporção.

Livro seis olha para aplicações dos resultados de cinco a geometria plana livro.

Livros sete a nove lidar com a teoria dos números. Em particular, o sétimo livro é uma introdução auto-suficiente para a teoria dos números e contém o algoritmo de Euclides para encontrar o máximo divisor comum de dois números. Livro oito olha para os números em progressão geométrica, mas van der Waerden escreve em [2], que contém: -

... enunciados complicados, repetições desnecessárias, e mesmo falácias lógicas. Aparentemente exposição de Euclides destacou apenas nas partes em que ele tinha excelentes fontes à sua disposição.

Livro dez lida com a teoria dos números irracionais e é principalmente o trabalho de Teeteto.Euclides mudou as provas de diversos teoremas neste livro para se adequarem a nova definição de proporção dada pela Eudoxus.

Livros 11-13 lidam com geometria tridimensional. Em onze livro as definições básicas necessárias para os três livros juntos são dadas. Os teoremas então seguir um padrão bastante semelhante aos análogos bidimensionais dadas anteriormente em livros de um e quatro. Os principais resultados da livro doze são círculos que estão um para o outro como os quadrados dos seus diâmetros e que as esferas são uns aos outros como os cubos dos seus diâmetros. Estes resultados são certamente devido a Eudoxo. Euclides prova que estes teoremas usando o "método da exaustão", como inventado por Eudoxo. Os elementostermina com treze livro que discute as propriedades dos cinco poliedros regulares e proporciona uma prova de que há precisamente cinco. Este livro parece ser amplamente baseado em um tratado anteriormente por Teeteto.

De Euclides Elements é notável pela clareza com que os teoremas são demonstrados e provados. O padrão de rigor se tornou uma meta para os inventores do cálculo dos séculos posteriores. Como Heath escreve em [9]: -

Este livro maravilhoso, com todas as suas imperfeições, que são de fato leve o suficiente quando é tomada na data em que apareceu conta, é e será, sem dúvida, continuar a ser o maior livro de matemática de todos os tempos. ... Mesmo em tempos gregos os matemáticos mais talentosos se ocupado com ele: Heron, Pappus, Porfírio, Proclo e Simplício escreveu comentários, Theon de Alexandria re-editado-lo, alterando o idioma, aqui e ali, a maioria com vista a uma maior clareza e consistência. ..

É uma história fascinante a forma como os elementos que sobreviveu da época de Euclides e isso é bem contada por Fowler em [7]. Ele descreve o primeiro material relativo aoselementos que sobreviveram: -

Nossa primeira vislumbre de material euclidiana será o mais notável por mil anos, seis fragmentária ostraca texto contendo e uma figura ...encontrado na Ilha Elefantina, 1906-1907 e 1907-1908 ... Estes textos estão no início, mas ainda mais do que 100 anos após a morte de Platão (que são datados por motivos palæographic para o terceiro trimestre do século III aC ) , avançado ( eles lidam com os resultados encontrados nos "Elementos" [ livro treze ] ... no pentágono, hexágono, decágono e icosaedro ) , e eles não seguem o texto dos Elementos. ... Então, elas dão evidência de que alguém no século III aC, situada a mais de 500 km ao sul de Alexandria, trabalhar com este material difícil ... isso pode ser uma tentativa de entender a matemática, e não uma cópia servil ...

O próximo fragmento que temos datas 75-125 dC e novamente parece ser notas por alguém tentando entender o material das Elements.

Mais de mil edições de Os Elementos foram publicados desde que foi impresso pela primeira vez em 1482. Heath [9] discute muitas das edições e descreve as prováveis ​​alterações no texto ao longo dos anos.

BL van der Waerden avalia a importância dos Elementos em [2]: -

Quase desde o momento da sua escrita e que durou quase até o presente, os elementos exerceu uma influência contínua e importante sobre os assuntos humanos. Foi a principal fonte de raciocínio geométrico, teoremas e métodos, pelo menos até o advento da geometria não-euclidiana no 19 º século. Costuma-se dizer que, junto com a Bíblia, os "Elementos" pode ser o mais traduzido, publicado e estudado de todos os livros produzidos no mundo ocidental.

Euclides também escreveu os seguintes livros que sobreviveram: Dados (com 94 proposições), que olha para o que as propriedades de figuras pode ser deduzido quando outras propriedades são dadas, as divisões que olha para construções para dividir uma figura em duas partes com áreas de dado Proporção; Optics , que é o primeiro trabalho grego sobre perspectiva e Phaenomena que é uma introdução elementar à astronomia matemática e dá resultados nas vezes estrelas em determinadas posições nasce e se põe. Seguintes livros de Euclides foram todos perdidos: Loci de superfície (dois livros), Porisms (a obra em três livros com, de acordo com Pappus, 171 teoremas e 38 lemas), Cônicas (quatro livros),Livro de falácias e elementos da música. The Livro de Fallacies é descrito por Proclo [1]: -

Uma vez que muitas coisas parecem se conformar com a verdade e seguir a partir de princípios científicos, mas desviar dos princípios e enganar o mais superficial, [ Euclides ] proferiu métodos para a compreensão clara desses assuntos também ... O tratado no qual ele deu esta maquinaria para nós tem o direito Falácias, enumerando em ordem os vários tipos, exercitando nossa inteligência em cada caso, por teoremas de todos os tipos, definindo o verdadeiro lado a lado com o falso, e combinando a refutação do erro com ilustração prática.

Elementos da Música é um trabalho que é atribuído a Euclides por Proclus. Temos dois tratados sobre música que sobreviveram, e ter por alguns autores atribuíram a Euclides, mas é agora que eles não são o trabalho na música referido por Proclo.

Euclides não pode ter sido um matemático de primeira classe, mas a natureza de longa duração de Os Elementos devem fazê-lo o principal professor de matemática da antiguidade, ou talvez de todos os tempos. Como nota pessoal final, deixe-me acrescentar que a minha [EFR] própria introdução à matemática na escola em 1950 era de uma edição de parte de Euclides Elements eo trabalho forneceu uma base lógica para a matemática eo conceito de prova que parecem faltar em matemática escola hoje.

Artigo por: JJ O'Connor e EF Robertson

ARTE MATEMÁTICA (6)

A imagem acima foi criada com elipses de vários tamanhos traçadas ao longo de 7 eixos igualmente distanciados.

MATEMÁGICA? (6)

Observe os seguintes cálculos:

1 x 1 = 1

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321 

1111 x 1111 = 1234321 

11111 x 11111 = 123454321 

111111 x 111111 = 12345654321 

1111111 x 1111111 = 1234567654321 

11111111 x 11111111 = 123456787654321 

111111111 x 111111111 = 12345678987654321 

Não acredita?

Se quiser, pode conferir...

Use uma calculadora.


Para as multiplicações maiores, é claro...