07 - Funções do 1º e 2º Graus - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (7)

Dois amigos, um brasileiro e um inglês, escrevem um ao outro com frequencia e se entendem perfeitamente.

A não ser por um detalhe: a data.

É que quando o brasileiro escreve  5 / 10, refere-se a 5 de outubro, mas, quando é o inglês que escreve 5 / 10, ele quer dizer 10 de maio.

Para evitar confusões, os dois resolveram não escrever um ao outro nos dias em que possa haver dúvida.

Assim, eles se correspondem apenas em dias como 25 / 2 que só pode significar 25 de fevereiro.

Desta forma, qual é o máximo de dias que decorre até os amigos poderem escrever-se?  

Jogos matemáticos -7

EQUATOR

Neste jogo você deve escolher e clicar 3 números, mas, eles devem estar em posições adjacentes e o terceiro número deve ser o resultado da soma, subtração, multiplicação ou divisão dos dois primeiros.

Parece difícil?

Só tem um jeito de saber... clique: EQUATOR

APRENDIZADO E SONO

Sono favorece esclarecimento de problemas.

Pesquisadores alemães comprovaram que sono suficiente estimula, além da memória, a inteligência e a criatividade.
Quando dormimos, nosso cérebro continua trabalhando nos problemas que nos ocuparam de dia.
Como muitas vezes acontece, a ciência um dia consegue comprovar o que o bom senso já sabia e que, no caso do sono, acabou virando expressão idiomática em alemão. "Einmal drüber schlafen" (dormir uma noite sobre a questão) recomenda-se, entre outras situações, quando a decisão é difícil ou o problema cabeludo.

Resolver dormindo

O psicólogo Ullrich Wagner comprovou agora, juntamente com seu grupo de pesquisadores da Universidade de Lübeck, que o sono ajuda mesmo a resolver questões difíceis. Para isso ele desenvolveu um teste especial, com tarefas de matemática. Sua experiência está descrita na última edição da revista científica britânica "Nature".
"Efeitos benéficos do sono sobre a memória já foram provados. Mas nós estávamos atrás de uma prova de que ele é capaz de produzir uma mudança qualitativa, um insight", expôs Wagner. A prova de que uma noite bem dormida ajuda nesse momento importante de fazer um conhecimento novo, uma descoberta, foi obtida com a ajuda de 66 estudantes, homens e mulheres, entre 18 e 32 anos, que receberam a tarefa de modificar seqüências de números de acordo com certas regras.

Conscientização após o sono

Os voluntários foram divididos em três grupos. Todos receberam as mesmas tarefas, que deveriam ser executadas em duas fases. Um grupo pôde dormir oito horas entre a primeira e a segunda fase. Os estudantes do segundo grupo tiveram que permanecer acordados a noite toda e fazer a segunda parte da sua "lição" cansados e de olhos vermelhos. Para poder comparar o efeito da exaustão, um terceiro grupo recebeu a primeira parte da tarefa de manhã, e a segunda à noite, também sem ter dormido durante o dia. As séries de números foram feitas de forma a incentivar apenas o aprendizado do procedimento, na primeira fase. Para decifrar totalmente o sistema de números, era preciso um "processo explícito de conscientização", segundo o psicólogo. Isso deveria acontecer, quando muito, na segunda fase. ResultadoO resultado foi que 60% dos estudantes do grupo que dormiu conseguiram resolver os problemas de matemática. O desempenho dos outros dois grupos foi bem inferior, e curiosamente ambos ficaram pouco acima de 20%. Mesmo tendo partido da hipótese de que o sono desempenhava um papel fundamental no insight, Wagner mostrou-se surpreso de que o efeito fosse tão forte. Ao que tudo indica, as pessoas no estado normal de consciência facilmente se vêem em um beco sem saída diante de problemas. "Para adquirir uma certa distância provavelmente é melhor pensar no assunto à noite e depois dormir", diz.Fases do sonoPara o diretor do estudo, Jan Born, do Instituto de Neuroendocrinologia, os resultados confirmam análises bioquímicas do cérebro. Estas indicam que o cérebro reestrutura as lembranças, antes de arquivá-las. Tal processo parece influenciar de forma positiva a criatividade. No entanto, os cientistas ainda não desvendaram como isso acontece exatamente. Segundo Jan Born, a solução de problemas ocorre durante a fase de sono profundo, que costuma durar as primeiras quatro horas de um sono de oito horas. Os resultados também poderiam ajudar a entender os problemas de memória de pessoas de idade, que freqüentemente se queixam de dificuldades para dormir. A lenta diminuição da fase de sono profundo também está relacionada com falhas de memória. Born e sua equipe teriam inventado um teste muito refinado para descobrir em que momento se dá o conhecimento, afirmam os pesquisadores Pierre Maquet e Perrine Ruby, em comentário publicado na revista Nature. O estudo deveria servir de advertência aos empregadores, às escolas e autoridades em geral, já que o sono tem enorme influência no rendimento humano. Os resultados do estudo "fornecem uma boa razão para respeitarmos os nossos períodos de sono", concluem.

Natureza em Números

Este é um interessante vídeo sobre phi, a razão áurea,  a sequência de Fibonacci e onde surgem na natureza.

*ERATÓSTENES

Eratóstenes de Cirene

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Data de Nascimento: 276 aC, em Cirene, norte da África (agora Shahhat, Líbia)
Morte: 194 aC, em Alexandria, Egito

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Eratóstenes nasceu em Cirene que agora está na Líbia no norte da África. Seus professores incluiu os Lisânias estudioso de Cyrene eo filósofo Ariston de Chios que haviam estudado sob Zenão, o fundador da escola estóica de filosofia. Eratóstenes também estudou com o poeta e estudioso Calímaco, que também haviam nascido em Cyrene. Eratóstenes, então, passou alguns anos estudando em Atenas.

A biblioteca de Alexandria foi planejado por Ptolomeu I Soter eo projeto se tornou realidade sob o seu filho Ptolomeu II Filadelfo. A biblioteca foi baseado em cópias das obras da biblioteca de Aristóteles. Ptolomeu II nomeou um dos Eratóstenes professores Calímaco como o segundo bibliotecário. Quando Ptolomeu III Euergetes sucedeu seu pai em 245 aC, e ele convenceu Eratóstenes para ir para Alexandria como o tutor de seu filho Philopator. Com a morte de Calímaco em cerca de 240 aC, Eratóstenes se tornou o terceiro bibliotecário de Alexandria, na biblioteca em um templo das musas chamaram a Mouseion. A biblioteca é dito que continha centenas de milhares de rolos de papiro e pergaminho.

Apesar de ser um estudioso polivalente líder, Eratóstenes foi considerado aquém do mais alto nível. Heath escreve [4]: ​​-

[ Eratóstenes ] foi, de fato, reconhecido por seus contemporâneos como um homem de grande distinção em todos os ramos do conhecimento, embora em cada assunto que ele apenas ficou aquém do lugar mais alto. Sobre este último terreno, ele foi chamado Beta, e um outro apelido aplicado a ele, Pentathlos, tem a mesma implicação, uma vez que representa um atleta versátil que não foi o primeiro corredor ou wrestler, mas levou o segundo prêmio nestes concursos, bem como os outros.

Certamente este é um apelido cruel para dar a um homem cujas realizações em diversas áreas são lembrados hoje, não só como historicamente importante, mas, notavelmente, em muitos casos, continua a fornecer uma base para os métodos científicos modernos.

Uma das importantes obras de Eratóstenes foi Platonicus que lidava com a matemática que sustentam a filosofia de Platão. Este trabalho foi muito utilizada por Theon de Esmirna quando escreveu Expositio rerum mathematicarum e, embora Platonicus agora está perdido, Theon de Esmirna diz-nos que o trabalho de Eratóstenes estudou as definições básicas de geometria e aritmética, bem como abrangendo temas como música.

Uma fonte surpreendente de informações sobre Eratóstenes é de uma carta forjada. Em seu comentário sobre a Proposição 1 de Arquimedes Sphere e cilindro Livro II, Eutocius reproduz uma carta a fama de ter sido escrito por Eratóstenes a Ptolomeu III Euergetes. A letra descreve a história do problema da duplicação do cubo e, em particular, descreve um dispositivo mecânico inventado por Eratóstenes para encontrar segmentos de linha x e y de modo a que, para um dado segmento de um e b ,

a : x = x : y = y : b .

Até o famoso resultado de Hipócrates era sabido que resolver o problema de encontrar dois proporcionais média entre um número e seu duplo era equivalente a resolver o problema da duplicação do cubo. Embora a carta é uma falsificação, partes dele são retirados própria escrita de Eratóstenes. A carta, que ocupa um lugar importante na história da matemática, é discutido em detalhe em [14]. Um texto árabe original desta carta já foi mantido na biblioteca da Universidade de St. Joseph, em Beirute. No entanto, agora desapareceu e as indicações dadas em [14] vêm de fotografias tiradas da carta antes de seu desaparecimento.

Outros detalhes do que Eratóstenes escreveu em Platonicus são dadas por Theon de Esmirna. Em particular, ele descreveu que a história do problema da duplicação do cubo (ver Heath [4]): -

... quando o deus proclamou ao Delians através do oráculo que, a fim de se livrar de uma praga, eles devem construir uma alterar o dobro do existente, seus artesãos caiu em grande perplexidade em seus esforços para descobrir como um sólido pode ser feita o dobro de um sólido semelhante, pelo que não foi pedir Platão sobre isso, e ele respondeu que o oráculo queria dizer, não que o deus queria um alter de o dobro do tamanho, mas que ele desejava, em colocá-los a tarefa, para envergonhar os Os gregos por sua negligência de matemática e seu desprezo da geometria.

Eratóstenes erigida uma coluna em Alexandria, com um epigrama inscrito que relacionadas com a sua própria solução mecânica para o problema da duplicação do cubo [4]: ​​-

Se, bom amigo, tu mindest obter de qualquer pequeno cubo um cubo o dobro, e devidamente para alterar qualquer figura sólida em outro, isto é, em teu poder, podes encontrar a medida de uma dobra, uma cova, ou a ampla bacia de um poço vazio, por este método, isto é, se tu assim pegar entre dois governantes dois meios, com os seus extremos convergentes.Não te procuram para fazer a difícil tarefa de cilindros de Arquitas, ou cortar o cone nas tríades de Menaechmus, ou a bússola de forma tão curvo de linhas como é descrito pelos Eudoxus temente a Deus. Nay tu pudesses, por estes comprimidos, facilmente encontrar uma infinidade de meios, a partir de uma base pequena. Feliz és tu, Ptolomeu, em que, como um pai igual a seu filho em vigor juvenil, tens-te dado a ele tudo o que é caro para musas e reis, e pode ser no futuro, ó Zeus, deus do céu, assim também receber o cetro em tuas mãos. Assim pode ser, e deixar qualquer um que vê esta oferta dizer "Este é o presente de Eratóstenes de Cirene".

Eratóstenes também trabalhou em números primos. Ele é lembrado por seu crivo de números primos, o "Crivo de Eratóstenes", que, de forma modificada, ainda é uma ferramenta importante na pesquisa da teoria dos números. A peneira aparece na Introdução à aritmética por Nicomedes.

Outro livro escrito por Eratóstenes era On meio e, embora esteja agora perdido, ele é mencionado por Pappus como um dos grandes livros de geometria. No campo da Geodésia, no entanto, Eratóstenes será sempre lembrado por suas medições da Terra.

Eratóstenes feita uma medição surpreendentemente precisas da circunferência da Terra.Detalhes foram dadas em seu tratado sobre a medição da Terra que agora está perdido. No entanto, alguns detalhes destes cálculos aparecem em trabalhos de outros autores como Cleomedes, Theon de Esmirna e Estrabão. Eratóstenes comparou a sombra do meio-dia no solstício de verão entre Siena (hoje Assuã, no Nilo, no Egito) e Alexandria. Assumiu que o sol foi tão longe que os seus raios eram essencialmente paralelos e, em seguida, com um conhecimento da distância entre Siena e Alexandria, deu o comprimento da circunferência da Terra como 250.000 estádios.

É claro que a precisão deste valor é depende do comprimento do estádio e estudiosos têm argumentado sobre isso por um longo tempo. O artigo [11] discute os vários valores estudiosos têm dado para o estádio. É certamente verdade que Eratóstenes obteve um bom resultado, mesmo um resultado notável se levarmos 157,2 metros para o estádio, como alguns deduziram de valores apresentados por Plínio. É menos bom se 166,7 metros foi o valor usado por Eratóstenes como Gulbekian sugere em [11].

Vários dos documentos referenciados, por exemplo [10], [15] e [16], discutem a precisão do resultado Eratóstenes. O documento [15], é particularmente interessante. Nele Rawlins argumenta convincentemente que a única medida que Eratóstenes fez-se em seus cálculos foi a distância zenital no solstício de verão em Alexandria, e que obteve o valor de 7 ° 12 '. Rawlins argumenta que este é um erro por 16 ', enquanto outros dados que Eratóstenes usados, provenientes de fontes desconhecidas, era consideravelmente mais precisos.

Eratóstenes também mediu a distância do Sol até 804.000.000 estádios ea distância para a Lua como 780.000 estádios. Ele calculado estas distâncias usando dados obtidos durante eclipses lunares. Ptolomeu diz-nos que Eratóstenes mediu a inclinação do eixo da Terra com grande precisão, obtendo o valor de ¹¹ / ₈₃ de 180 °, ou seja, 23 ° 51 '15 ".

O valor de ¹¹ / ₈₃ tem fascinado historiadores da matemática, por exemplo, os trabalhos [9] e [17] são escritas apenas para examinar a origem deste valor. Talvez a visão mais comum é que o valor de ¹¹ / ₈₃ é devida a Ptolomeu e não Eratóstenes. Heath [4] argumenta que Eratóstenes usou 24 ° e que ¹¹ / ₈₃ de 180 ° foi um refinamento devido a Ptolomeu. Taisbak [17] concorda com a atribuição de ¹¹ / ₈₃ a Ptolomeu, embora ele acredita que Eratóstenes usou o valor de ² / ₁₅ de 180 °. Contudo Rawlins [15] acredita que um método contínuo fracção foi utilizada para calcular o valor de ¹¹ / ₈₃ , enquanto Fowler [9] propõe que o método anthyphairesis (ou algoritmo de Euclides) foi usada (ver também a [3]).

Eratóstenes fez muitas outras grandes contribuições para o progresso da ciência. Ele elaborou um calendário que incluía os anos bissextos, e ele lançou as bases de uma cronografia sistemática do mundo, quando ele tentou dar as datas de eventos literários e políticos da época do cerco de Tróia. Ele também disse ter compilado um catálogo de estrelas contendo 675 estrelas.

Eratóstenes fez grandes contribuições para a geografia. Ele desenhou, com bastante precisão, a rota do Nilo até Cartum, mostrando os dois afluentes etíopes. Ele também sugeriu que os lagos eram a fonte do rio. Um estudo do Nilo havia sido feita por muitos estudiosos antes de Eratóstenes e eles tentaram explicar o comportamento bastante estranho do rio, mas Thales mais como eram muito errado em suas explicações. Eratóstenes foi o primeiro a dar o que é, essencialmente, a resposta correta quando ele sugeriu que as fortes chuvas, por vezes, caiu em regiões perto da nascente do rio e que estes explicaria a inundações mais abaixo do rio.Outra contribuição que Eratóstenes fez a geografia foi a sua descrição da região "eudaimon Saudita", agora o Iémen, habitada por quatro raças diferentes. A situação era um pouco mais complicado do que o proposto por Eratóstenes, mas hoje os nomes para as corridas propostas por Eratóstenes, nomeadamente Minaeans, sabeus, Qatabanians e Hadramitas, ainda são usados.

Eratóstenes escritos incluem o poema Hermes , inspirado pela astronomia, bem como obras literárias sobre o teatro e sobre a ética que foi um tema favorito dos gregos. Eratóstenes é dito que ficou cego na velhice e que tem sido afirmado que ele cometeu suicídio por inanição.

Artigo por: JJ O'Connor e EF Robertson

ARTE MATEMÁTICA (7)

A seguinte imagem contém triângulos que foram desenhados uns dentro dos outros com uma rotação mínima do eixo de simetria em relação à figura anterior.

MATEMÁGICA? (7)

Este cálculo é simples mas, interessante mesmo assim.

Pegue uma calculadora.

Escreva sua idade em uma folha de papel. ( Por exemplo 17)

Escreva dois algarismos zero, logo em seguida à sua idade ( Neste exemplo faríamos: 1700)

Diminua o valor obtido pelo dobro da sua idade.

Divida o número encontrado por 14.

Multiplique este último resultado pelo número 1443.

Reconhece o resultado???

Tente com a idade de outra pessoa...