13 - Progressão Aritmética I - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (13)

Tenho 13 pedaços de corrente, cada um com 3 elos.
Há, portanto, um total de 39 elos todos fechados.
Quero juntar todos os pedaços para formar uma única corrente fechada e contínua de 39 elos.
Sei que preciso de 4 minutos para cortar um elo e de 10 minutos para soldá-lo.
Pelas minhas contas preciso de no máximo 140 minutos.
Estou certo? Porquê?

Jogos matemáticos -13

BRAIN RACER

Quer testar seus conhecimentos de adição, subtração, multiplicação ou divisão??
Fique à vontade...Existem diferentes níveis de dificuldade.
É só clicar: BRAIN RACER . Mas, cuidado com o tempo!!!

Capicua

Você sabe o que é um número capicua?

Capicua (palavra de origem catalã: "cap i cua", cabeça e cauda) ou número palíndromo é um número (ou conjunto de números) cujo reverso é ele próprio. Ou seja, um número é capicua quando lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor.

Alguns exemplos numéricos:

• 5 (todo número de n dígitos iguais é capicua).
• 11
• 242
• 20002
• 1455665541
• 324567765423
• 123456789987654321
• 135792468864297531
• 123456789135792468864297531987654321

Capicuas com 3 dígitos

• 101 202 303 404 505 606 707 808 909
• 111 212 313 414 515 616 717 818 919
• 121 222 323 424 525 626 727 828 929
• 131 232 333 434 535 636 737 838 939
• 141 242 343 444 545 646 747 848 949
• 151 252 353 454 555 656 757 858 959
• 161 262 363 464 565 666 767 868 969
• 171 272 373 474 575 676 777 878 979
• 181 282 383 484 585 686 787 888 989
• 191 292 393 494 595 696 797 898 999

Para obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua.

Por exemplo:

Tendo-se 84, invertendo-se obtêm-se 48 84+48=132; 132+231=363.

Tendo-se 3716, invertendo-se obtêm-se 6173. 3716+6173=9889.

Fonte: Wikipedia:  http://pt.wikipedia.org/wiki/Capicua (adaptado) 

O QUE SÃO FRACTAIS ?

Você já ouviu falar de fractais?

Qualquer que seja sua resposta, este é um vídeo que vale a pena conferir...

*Regiomontanus

Johann Müller Regiomontanus

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Data de Nascimento: 06 de junho de 1436 em Unfinden (perto Königsberg), Baixa Franconia (agora no Bayern, Alemanha) 
Morte: 06 de julho de 1476 em Roma, Itália

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Regiomontanus nasceu Johann Müller de Königsberg. Em primeiro lugar, devemos observar que a cidade de Königsberg perto da qual ele nasceu não era o mais famoso na Prússia Oriental. A versão latina de Königsberg (que significa montanha do rei) é Regio Monte ou, como mais tarde se tornou, Regiomontanus. Na verdade, antes de começar a descrever os acontecimentos de sua vida, devemos falar um pouco mais sobre a variedade de nomes, em que ele era conhecido. Ele se matriculou na universidade como Johannes Molitoris de Künigsperg, usando 'Molitoris ", que é uma forma latina de' Müller '. Outras variantes incluído Johannes Germano (Johann o alemão), Johannes Francus (Johannes de Franconia), Johann von Künigsperg (Johann de Königsberg), e os franceses soando Joannes de Monte Regio que Gassendi o chamou quando ele escreveu a sua biografia.

Ele era o filho de um moleiro, e ficou conhecido como um prodígio matemático e astronômico em uma idade muito precoce. Sua formação inicial foi em casa, mas ele entrou na universidade na idade de onze anos, estudando a dialética da Universidade de Leipzig 1447-1450. Em seguida, ele entrou na Universidade de Viena, em 14 abril de 1450, onde se tornou um aluno de Peurbach. O que atraiu Regiomontanus para Viena foi principalmente a antiga Universidade de 85 anos e, especialmente, a sua actividade em astronomia matemática e cosmologia. Ele foi premiado com um bacharelato em janeiro 16, 1452, mas a regulamentação University obrigou a ter mais de 21 anos de idade, antes que ele pudesse ser concedido um mestrado. Isto foi atribuído uma vez ele atingiu a idade exigida em 1457.

Em 11 novembro de 1457 ele foi nomeado para a Faculdade de Letras da Universidade de Viena, onde colaborou com o seu ex-Peurbach professor. De Peurbach ele aprendeu imprecisos os quadros foram Afonsina. Os dois astrônomos fizeram observações de Marte que mostram o planeta para ser 2 ° da sua posição prevista, e eles também observaram um eclipse da lua, que aconteceu uma hora mais tarde do que as tabelas previsto. Cursos Regiomontanus deu em Viena, incluído um em perspectiva, em 1458, um em Euclides, em 1460, e um no de Virgílio Bucolics em 1461. Ele trabalhou em matemática, astronomia e instrumentos construídos como astrolábios. Ele estava particularmente interessado na leitura de manuscritos antigos e fez cópias para seu próprio uso, alguns dos quais ainda sobrevivem.

Em 1450 Jorge de Trebizonda havia traduzido e comentado de Ptolomeu Almagesto. Neste trabalho, ele tinha atacado o comentário escrito por Theon de Alexandria e, ao fazê-lo, ele chateado Cardeal Johannes Bessarion, legado papal para o Sacro Império Romano, que era um grande admirador de Theon. Cardeal Bessarion era um estudioso e orador grego nativo que tinha uma missão a promoção de obras clássicas gregas na Europa. Em 05 de maio de 1460 Bessarion chegou em Viena, com seu irmão Sigismundo, em uma visita diplomática para angariar apoio contra os turcos. Bessarião encorajados Peurbach para produzir um resumo de Ptolomeu Almagesto. Ele tinha dois motivos, sendo um deles o desejo de ter uma versão mais fácil compreensão da obra de Ptolomeu disponíveis, sendo a segunda para dar suporte a Theon de Alexandria contra o ataque de Jorge de Trebizonda. Quando Peurbach estava em seu leito de morte em 1461, ele implorou Regiomontanus para completar o epítome do Almagesto e Regiomontanus com entusiasmo sobre o trabalho realizado. A defesa de Theon contra Jorge de Trebizonda foi outra obra que Regiomontanus provavelmente começou a pensar em torno deste tempo.

Cardeal Bessarion agora tornou-se patrono de Regiomontanus e viajou para a Itália com seu patrão chegar em Roma em 20 de Novembro 1461. Em [31] David King e Gerard Turner descrever um grupo de onze astrolábios. Eles escrevem: -

Um astrolábio no grupo é de particular importância histórica, pois foi apresentado em Roma, em 1462 , com uma inscrição dedicatória, ao Cardeal Bessarion, titular patriarca latino de Constantinopla de 1463 , e um dos estudiosos gregos ilustres que contribuíram para o grande avivamento de letras no século XV. O astrolábio foi apresentado por Johannes Regiomontanus, cujo patrono foi Bessarion. Regiomontanus, o astrônomo europeu mais importante da época, foi encomendada pelo cardeal para preparar um epítome de "Almagesto" de Ptolomeu, também dedicada a ele em 1462.

Os anos 1461-1465 Regiomontanus passou como um membro da família estendida de Bessarião baseada principalmente em Roma. Durante esse tempo, ele era capaz de ler outros importantes manuscritos gregos depois de melhorar o seu conhecimento do idioma com a instrução do Bessarião orador grego nativa. Ele também continuou a trabalhar sobre oepítome do Almagesto, que concluiu em 1462. Bem como o tempo gasto em Roma, ele viajou na Itália com Bessarion passar o verão de 1462 em Viterbo, residência de Verão favorita do Cardeal Bessarion, e, quando Bessarião partiu para a Grécia, no outono do mesmo ano, Regiomontanus acompanhou até Veneza . Ele deixou Roma em 05 de julho de 1463, quando Bessarion foi nomeado legado papal para a República de Veneza. Na primavera de 1464, lecionou na Universidade de Pádua (na República de Veneza) e, enquanto lá ele observou o eclipse total da Lua em 21 de abril 1464. Suas palestras sobre o cientista muçulmano al-Farhani não sobreviveram, mas seu discurso introdutório sobre todas as disciplinas matemáticas mais tarde foi publicado.

Ele visitou Veneza, antes de regressar a Roma, em agosto 1464, após a morte do Papa Pio II. Bessarion teve que retornar neste momento para participar da eleição do sucessor do papa. O astrônomo real para a Hungria foi Martin Bylica de Olkusz e ele também tinha ido a Roma para a eleição do novo papa. Bylica e Regiomontanus se tornaram amigos neste momento. Em junho 19, 1465 Regiomontanus fez uma observação em Viterbo, novamente na residência de verão. Após isto, no entanto, existe uma lacuna de dois anos no nosso conhecimento das suas actividades. Em algum momento, ele viajou para a Hungria, depois de receber um convite do rei Matias I Corvinus que foi enviado por recomendação do arcebispo de Gran, mas foi quase certamente devido à influência de Martin Bylica. Certamente sabemos que por 1467 Regiomontanus foi na Hungria ter aceitado uma nomeação do rei para a Biblioteca Real de Buda. O rei tinha acabado de completar um grande sucesso (a partir de seu ponto de vista!) Campanha contra os turcos e voltou com muitos livros raros. Isso proporcionou uma posição ideal para Regiomontanus, pois permitiu-lhe tanto trabalho com Martin Bylica em astronomia e também para desfrutar de sua paixão por livros antigos.

Um dos livros antigos que Regiomontanus tinha encontrado em 1462, enquanto ele estava em Veneza, era uma cópia incompleta de Diofanto Arithmetica. Ele escreveu para o matemático Giovanni Bianchini em 11 de fevereiro, 1464 dizendo que se ele poderia encontrar uma cópia completa ele iria traduzir a texto grego. Foi enquanto ele estava em uma viagem a Ferrara que ele conheceu Bianchini, que tinha sido um amigo de Peurbach. Regiomontanus nunca traduzido de Diofanto Arithmetica e nunca encontrei uma versão completa. Na verdade ninguém nunca descobriu uma versão completa, mas esta importante descoberta por Regiomontanus marca o início da Arithmetica tornando-se conhecido na Europa.

Regiomontanus fez importantes contribuições para a trigonometria e astronomia. Nós mencionamos acima o epítome do Almagesto , que foi iniciada por Peurbach mas completado por Regiomontanus. Ele [1]: -

... contribuiu para a atual pesquisa científica ao invés de uma melhor compreensão do passado. Além disso, a "epítome" não era uma mera tradução comprimido ... [ para ] , acrescentou posteriores observações, cálculos revistos, e reflexões críticas - um dos que revelou que a teoria lunar de Ptolomeu necessário o diâmetro aparente da lua, para variar no comprimento muito mais do que ele realmente faz. Esta passagem do "Epitome", que foi impresso em Veneza, atraiu a atenção de Copérnico, então um estudante na Universidade de Bolonha.

No Epitome Regiomontanus, percebendo a necessidade de um relato sistemático de trigonometria para apoiar a astronomia, prometeu escrever um tratado. Na verdade, ele fez isso e seu livro De triangulis omnimodis (1464) é um relato sistemático de métodos de resolução de triângulos. Na introdução, ele escreve: -

Você, que deseja estudar grandes e maravilhosas coisas, que querem saber sobre o movimento das estrelas, deve ler estes teoremas sobre triângulos. ...Porque ninguém pode ignorar a ciência de triângulos e chegar a um conhecimento satisfatório das estrelas. ... Um novo aluno não deve ter medo nem desespero. ... E onde um teorema podem apresentar algum problema, ele pode sempre olhar para os exemplos numéricos para ajuda.

Regiomontanus estruturado o seu trabalho de uma forma semelhante à de Euclides Elements.De triangulis é em cinco livros, o primeiro dos quais dá as definições básicas: quantidade, razão, igualdade, círculos, arcos, cordas ea função seno. Ele, então, dá uma lista dos axiomas que ele vai assumir, seguido por 56 teoremas sobre geometria. Com o Livro II do estudo de trigonometria começa em curso a sério. A lei sinusoidal é indicado (em notação moderno, não é usado por Regiomontano, este é um / sen Um = b / sen B = c / sen C ) e é usado para resolver os triângulos. A fórmula para a área de um triângulo em termos de dois lados e o ângulo incluído, mas não surge em muito da forma que seria de esperar. Livros III, IV e V tratar trigonometria esférica que, naturalmente, é de grande importância em astronomia.

Quando ele estava na Hungria, Regiomontanus computadas duas tábuas de Sines. O primeiro computado em 1467 foi Tabelas de direções que foi baseado em números sexagesimais, enquanto que no ano seguinte, em Buda, ele calculado tabelas de senos para a base decimal.Por 1471 ele estava propondo para ir para Nuremberg, escrevendo em uma carta a um amigo em 4 de julho de 1471: -

Muito recentemente eu fiz observações na cidade de Nuremberg ... para eu tê-lo escolhido como meu lar permanente não só por conta da disponibilidade de instrumentos, particularmente os instrumentos astronômicos em que toda a ciência se baseia, mas também por conta da grande facilidade de todos os tipos de comunicação com os homens aprenderam que vivem em todos os lugares, uma vez que este lugar é considerado como o centro da Europa por causa das viagens dos comerciantes.

Sabemos que Regiomontanus tinha realmente sido fazer observações em Nuremberg para ele observou um eclipse lunar lá em 02 de junho de 1471. Até 29 de novembro, ele havia sido admitida a residir em Nuremberg, onde ele construiu um observatório e uma oficina para a construção de instrumentos. Ele escreveu Scipta dando detalhes de seus instrumentos e estes, incluindo mostradores, quadrantes, Safeâ, astrolábios, astrolábio armilar, torquetum, régua paralaxe e equipe de Jacó são descritos em [53]. Em janeiro 1472 ele fez observações de um cometa, com sua equipe de Jacó, que eram precisas o suficiente para permitir a sua identificação com o cometa Halley 210 anos (e três retornos do cometa período de 70 anos) mais tarde.

O interesse de Regiomontano no movimento da Lua levou a fazer a observação importante que o método de distâncias lunares poderia ser utilizada para determinar a longitude no mar.Era muitos anos, no entanto, antes da posição da Lua pôde ser previsto com precisão suficiente para tornar o método prático e instrumentos construídos para dar a posição lunar com o elevado grau de precisão necessário para o método. Regiomontano descreve como a posição da Lua pode ser usado para determinar a longitude nas efemérides para os anos 1474-1506 qual publicados. Isto foi impresso em sua própria imprensa, que ele montou em Nuremberg.

A primeira impressão de livros Europeia começou em 1454 com a invenção do tipo móvel por Johann Gutenberg. Regiomontanus perceberam o valor potencial da impressão para a produção de várias cópias idênticas de textos científicos, que poderiam ser cuidadosamente editados com diagramas precisos. Em Nuremberg, em 1471-1472, ele montou uma gráfica em sua própria casa, e imprimiu um prospecto anunciando seus planos detalhados para a publicação de muitos textos matemáticos, astronômicos e geográficos cuidadosamente editados. Assim, ele se tornou o primeiro editor deste tipo de literatura científica que incluía antigos, medievais e modernos obras. Sua primeira publicação foi Nova teoria dos planetaspor seu antigo professor Peurbach e no próximo, em 1474, o seu próprio calendáriokalendarium, e seus Efemérides a que nos referimos acima. Estes livros foram reimpressos muitas vezes e tinha grande influência, por exemplo, ambos Cristóvão Colombo e Américo Vespúcio usado de Regiomontanus Efemérides para medir longitudes no Novo Mundo.

Papa Sisto IV Regiomontanus convocado a Roma em 1475 para aconselhar sobre a reforma do calendário e ele deixou Nuremberg algum tempo depois de 28 de julho, quando gravou sua última observação lá. Bernhard Walther, seu aluno rico que financiou sua loja de instrumentos, observatório e de impressão, começou observações do observatório de Regiomontanus em Nuremberg em 2 de agosto. É certo que Regiomontanus tinha deixado Nuremberg até então. Ele morreu em Roma, e alguns relatos dizem que ele foi envenenado por seus inimigos, outros relatos dizem que ele morreu de peste. Este último é muito mais provável, mas vamos olhar brevemente para as duas teorias.

Regiomontanus tinha anunciado que iria publicar um trabalho mostrando a inutilidade de Jorge de Trebizonda de cujo: -

... comentário sobre o "Syntaxis" ele vai mostrar com o máximo de clareza para ser inútil e sua tradução da obra de Ptolomeu não ser isento de falhas.

Isto foi considerado motivo suficiente para o seu assassinato pelos dois filhos de Jorge de Trebizonda e rumores circularam para o efeito. Parece um cenário bastante improvável, no entanto, para outros, criticou Jorge de Trebizonda tão vigorosamente como fizeram Regiomontanus ainda nenhuma tentativa parece ter sido feito em suas vidas. Muito mais provável é que, depois do Tibre transbordou em janeiro 1476 e houve um surto decorrente da peste, Regiomontanus se tornou sua vítima.

Artigo por: JJ O'Connor e EF Robertson

ARTE MATEMÁTICA (13)

Esta imagem foi construída traçando hexágonos um dentro do outro por meio de suas diagonais.
Pode-se observar que as diagonais se cruzam formando hexágonos menores e que o processo pode se repetir indefinidamente...
Na prática, porém os últimos polígonos nem podem ser bem distinguidos...

MATEMÁGICA? (13)

Observe os seguintes cálculos:
 

 

1 X 9 + 2 = 11
12 X 9 + 3 = 111
123 X 9 + 4 = 1111
1234 X 9 + 5 = 11111
12345 X 9 + 6 = 111111
123456 X 9 + 7 = 1111111
1234567 X 9 + 8 = 11111111
12345678 X 9 + 9 = 111111111

 

 

O que foi? Não acredita?

Pode comprovar. Use uma calculadora. Eu espero...

-------

Pronto? Já está de volta?

 

Então agora é com você.

Experimente estes outros cálculos e verifique o resultado...

 

1 X 18 + 4 = 

12 X 18 + 6 = 

123 X 18 + 8 =
1234 X 18 + 10 =
12345 X 18 + 12 =
123456 X 18 + 14 =
1234567 X 18 + 16 =
12345678 X 18 + 18 =

Ou estes: 

 

1 X 27 + 6 =
12 X 27 + 9 =
123 X 27 + 12 =
1234 X 27 + 15 = 

12345 X 27 + 18 =
123456 X 27 + 21 =
1234567 X 27 + 24 =
12345678 X 27 + 27 =

 

 Que tal?

 

Seguindo este padrão você pode fazer o mesmo com os outros múltiplos de 9...