16 - Progressão Geométrica II - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (16)

           Será que você consegue pelas indicações dadas descobrir o valor de cada figura?

Aposto que sim!

Jogos matemáticos -16

Mais um destes jogos cujo maior "inimigo" é o tempo...
São adições e subtrações (algumas com resultado negativo).
Mesmo assim ( ou por isto mesmo), vale apena tentar!

Clique MATH GAME e mostre o que você sabe fazer!!!

Façam o seu jogo, mas não tenham ilusões

por Luiz Barco

 

 A chance de cair o cinco no lançamento de um dado é de um 1/6. Há uma chance ligeiramente superior a 60% de que o candidato A seja o vencedor na eleição. É muito remota a chance de que a Constituinte restaure a monarquia no Brasil.

São três expressões de julgamento de probabilidade, mas cada uma exemplifica uma modalidade diferente. A primeira é exemplo de uma probabilidade a priori e tem relação com o cálculo matemático das chances. A segunda é um julgamento estatístico. A terceira avalia o grau de confiança na ocorrência de um acontecimento.

Certa vez observei um jovem engenheiro que tentava aumentar suas chances de acerto desdobrando cartões de apostas da Loto e ouvi dele a idéia bizarra de que, marcando 50 dos 100 números disponíveis, teria 50% de possibilidades de formar a quina vitoriosa. Com alguma dificuldade construí ali um pequeno modelo para mostrar àquele apostador quantas quinas estão disponíveis nos cem números do cartão, e quantas eram possíveis nos 50 em que ele apostara. Só assim ele se convenceu de que nem de longe o segundo número é a metade do primeiro.

Para os que se interessam, devo esclarecer que esse modelo seria a combinação, sem repetição, de 50 dezenas tomadas 5 a 5, dividida pela combinação, sem repetição, de cem dezenas tomadas cinco a cinco. O resultado é aproximadamente 0,028, ou seja, quase 3%. Para atingir os 50% com que sonhava, o jovem apostador precisaria cobrir 88 das 100 dezenas disponíveis.

Não quero que esse artigo seja uma crítica moral ao jogo, mas apenas manifestar minha estranheza pelo fato de que as pessoas raramente têm noção dos valores e números envolvidos nessas apostas e de suas chances reais de acerto. Por exemplo: quem marcar um cartão com dez números, o máximo permitido pelo regulamento, estará cobrindo 756 quinas. Parece muito? Pois é quase nada, tendo em vista que a combinação das cem dezenas torna possível a formação de 75.287.520 quinas. Uma possibilidade insignificante de apenas 0,00001 de acertar. Seria o mesmo que, num jogo de cara ou coroa, apostar antecipadamente que vai dar cara dezessete vezes seguidas - e acertar.

A maioria das pessoas concordará que o jogo, praticado com moderação, tem suas virtudes. Difícil é essas pessoas concordarem em definir essa moderação. O medo de praticar o jogo sem moderação sempre foi menor que a indulgência para com os prazeres que ele proporciona. E os grandes laboratórios de pesquisas ou conglomerados financeiros, ou ainda as companhias de seguros, são hoje, em graus diversos, monumentos a uma ciência que parece ter nascido dos copos de jogar dados.

Consta que um jogador do século XVII, Chevalier de Méré, quis uma informação sobre a distribuição das combinações no jogo de dados. Sua curiosidade deu origem a uma troca de correspondência entre dois notáveis matemáticos da época, Blaise Pascal e Pierre Fermat, este então conselheiro da Câmara Municipal de Toulouse, na França - e daí resultou a teoria da probabilidade. Sucederam-se pesquisas de vários outros matemáticos, e foi um deles, Pierre Laplace, também astrônomo, quem observou: "É extraordinário que uma ciência que começou com considerações sobre o jogo tivesse se elevado até os mais importantes assuntos do saber humano".

Hoje em dia os estudantes da probabilidade, na maioria das vezes, são estimulados pela busca de resultados. Como o resultado do cálculo é inexorável, transferem essa inexorabilidade para o fato estudado, deformando-se assim o mais rico sentido maior do estudo da probabilidade. O matemático estima a probabilidade ou pela contagem das possibilidades envolvidas, ou pelo estudo das freqüências com que essas possibilidades já ocorreram. Quando acontece um fato que ele estimou raro, rejubila-se, mas sabe dar o devido valor ao seu acerto. Já o homem comum reforça sua crença na sorte, se o fato lhe é benéfico, ou azar, se ele é maléfico e lhe causa desagrado.

 

( fonte: superinteressante dezembro de 1987) 

O MUNDO DA MATEMÁTICA (1)

Primeiro episódio da série - O Mundo Da Matemática, este vídeo nos traz uma interessante estória envolvendo Análise Combinatória.
Vale a pena conferir!

Tartaglia

Nicolo Tartaglia

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Nascido: 1500 em Bréscia, República de Veneza (hoje Itália)
Falecimento: 13 de dezembro de 1557 em Veneza, República de Veneza (hoje Itália)

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Niccolo Fontana , conhecido como Tartaglia, nasceu em Brescia, em 1499 ou 1500, filho de um honesto e-mail piloto Michele Fontana, que era conhecido como "o Micheletto Rider '.Micheletto seria montar o seu cavalo entre Brescia e outras cidades no bairro fazendo entregas. Embora fosse pobre, Micheletto fez o seu melhor para sua esposa, filha e dois filhos, e Niccolo freqüentou a escola a partir da idade de cerca de quatro anos. A vida poderia ter sido muito diferente para Niccolò tragédia não tinha chegado quando ele tinha seis anos, naquele tempo, seu pai foi assassinado quando fora fazendo entregas. De ser criança em uma família pobre, ele foi subitamente mergulhado na pobreza total.

Niccolo quase foi morto quando era adolescente quando, em 1512, a cidade de origem francesa capturou seu e colocá-lo à espada. O exército francês foi comandado por Gaston de Foix e que tinham sofrido a humilhação às mãos de algumas milícias Brescia determinado. Eles decidiram ensinar aos habitantes locais uma lição e retomou Brescia durante sete dias de combates em que o tempo 46.000 moradores da cidade foram mortos em um ato de vingança. Em meio à matança geral, os doze anos de idade Niccolo refugiou-se na Catedral, com sua mãe e irmã mais nova, mas foi tratado terríveis feridas sabre facial por um soldado francês que corta sua mandíbula e palato. Ele foi deixado para morrer e, mesmo quando sua mãe descobriu que ele ainda estava vivo, ela não podia dar ao luxo de pagar por qualquer ajuda médica. No entanto, os cuidados de sua mãe concurso garantiu que o rapaz sobreviveu, mas mais tarde na vida de Niccolò sempre usava uma barba para camuflar suas cicatrizes deformantes e ele só falava com dificuldade, daí o seu apelido Tartaglia, ou gago.

Tartaglia foi autodidata em matemática, mas, tendo uma capacidade extraordinária, sua mãe foi capaz de encontrar-lhe um patrono. Ludovico Balbisonio levou a Pádua para estudar lá, mas quando ele voltou com o seu patrono de Brescia, ele tornou-se impopular por ter uma opinião exagerada de si mesmo. Ele deixou Brescia, para ganhar a vida ensinando Matemática em Verona, o que ele fez entre 1516 e 1518. Mais tarde, ainda em Verona, ele lecionou em uma escola no Palazzo Mizzanti mas está registrado que, naquela época ele era casado com uma família, mas era muito pobre. Mudou-se para Veneza em 1534. Como um humilde professor de matemática em Veneza, Tartaglia gradualmente adquiriu uma reputação como promissor matemático, participando com sucesso em um grande número de debates.

A primeira pessoa conhecida por ter resolvido algebricamente equações cúbicas foi del Ferro, mas ele disse que ninguém de sua realização. Em seu leito de morte, no entanto, del Ferro passou no segredo de seus pobres), estudante, em vez Fior (. Para os matemáticos da época, havia mais de um tipo de equação cúbica e Fior só havia sido mostrado por del Ferro como resolver um tipo, ou seja, pessoas desconhecidas e cubos iguais aos números "ou (em notação moderna) x ³ + ax = b . Como os números negativos não foram utilizados isto levou a uma série de outros casos, mesmo para as equações sem prazo quadrados. Fior começou a alardear que ele era capaz de resolver cúbicas e um desafio entre ele e Tartaglia foi organizada em 1535. Na verdade, Tartaglia também tinha descoberto a forma de resolver uma equação cúbica tipo de visto que seu amigo Zuanne da Coi tinha fixado dois problemas que o levaram Tartaglia a uma solução geral de um tipo diferente do que Fior poderia resolver, a saber, quadrados e cubos iguais números "ou (em notação moderna) x ³ + ax ² =b . Para a competição entre Tartaglia e Fior, cada homem era para apresentar trinta questões para o outro para resolver. Fior era extremamente confiante de que sua capacidade de resolver cubics seria suficiente para derrotar Tartaglia Tartaglia, mas apresentou uma variedade de diferentes questões, expondo Fior como, na melhor das hipóteses, um matemático medíocre. Fior, por outro lado, ofereceu Tartaglia trinta oportunidades para resolver o "incógnitas e cubos problema, pois ele acreditava que ele seria incapaz de resolver este tipo, como de fato tinha sido o caso quando o concurso foi criado. No entanto, na madrugada de 13 de fevereiro de 1535, a inspiração veio de Tartaglia e descobriu o método para resolver 'quadrados e cubos iguais aos números ". Tartaglia foi então capaz de resolver todos os problemas de trinta Fior em menos de duas horas. Como Fior tinha feito pouco progresso com perguntas de Tartaglia, era óbvio para todos que foi o vencedor. Tartaglia não levou seu prêmio para o vencedor de Fior, no entanto, a honra de ganhar era o suficiente.

Neste ponto Cardan entra na história. Como conferencista público de matemática na Fundação Piatti em Milão, ele estava ciente do problema de resolver equações cúbicas, mas, até o concurso, ele havia tomado Pacioli em sua palavra e assumiu que, como afirmou Pacioli na Suma publicada em 1494, soluções eram impossíveis. Cardano foi muito intrigado quando Zuanne da Coi lhe contou sobre o concurso e ele imediatamente começou a trabalhar tentando descobrir o método de Tartaglia para si, mas não teve sucesso. Alguns anos mais tarde, em 1539, entrou em contato com Tartaglia, através de um intermediário, solicitando que o método poderia ser incluído em um livro que ele estava publicando nesse ano. Tartaglia recusou esta possibilidade, afirmando sua intenção de publicar a sua fórmula de um livro de sua autoria que ele ia escrever em uma data posterior. Cardan, aceitar isso, então pediu para ser indicado o método, prometendo manter em segredo. Tartaglia, no entanto, recusou.

Um Cardan irritado agora escreveu directamente a Tartaglia, expressando sua amargura, desafiando-o para um debate, mas, ao mesmo tempo, insinuando que ele vinha discutindo brilho Tartaglia com o governador de Milão, Alfonso d'Avalos, o marquês del Vasto, que foi um dos poderosos donos de Cardano. Após a recepção desta carta, Tartaglia revisão radical de sua atitude, percebendo que o conhecimento com o governador influentes milanesa pode ser muito gratificante e pode proporcionar uma saída para o trabalho do professor modesto, ele declarou em seguida, e em um negócio lucrativo na corte milanesa. Ele escreveu de volta para Cardan em termos amigáveis, caminhando para uma introdução ao Marchese Signor.Cardan ficou muito satisfeito com nova abordagem Tartaglia, e, convidando-o para sua casa, garantiu Tartaglia que iria marcar uma reunião com Ávalos.

Assim, em março de 1539, Tartaglia deixou Veneza e viajou para o Milan. Para o desânimo de Tartaglia, o governador foi temporariamente ausentes do Milan, mas Cardan atendeu aos seus hóspedes a cada necessidade e logo a conversa se voltou para o problema das equações cúbicas. Tartaglia, depois de muita insistência, concordou em contar Cardan seu método, se Cardan jurar nunca revelar isso e além disso, só nunca anotá-la em código para que a sua morte, ninguém iria descobrir o segredo de seus papéis. Este Cardan prontamente concordou e Tartaglia divulgou sua fórmula na forma de um poema, para ajudar a proteger o segredo, deve cair o papel em mãos erradas. Ansioso agora para sair de casa Cardan, ele obteve de seu anfitrião, uma carta de apresentação para o marquês e saiu para procurá-lo para fora. Em vez disso, porém, ele voltou para Veneza, se perguntando se sua decisão de participar com a sua fórmula foi um erro.

Até o momento ele chegou Veneza, Tartaglia tinha certeza que ele tinha cometido um erro ao confiar Cardan e começou a sentir muita raiva que tinha sido induzido a revelar sua fórmula secreta. Cardano publicou dois livros de matemática no final daquele ano e, logo que pôde obter cópias, Tartaglia verificado para certificar-se de sua fórmula não foi incluído. Embora ele se sentia um pouco mais feliz ao descobrir que a fórmula não foi incluída no texto, quando Cardano escreveu a ele em uma maneira amigável Tartaglia rejeitou sua oferta de amizade continuou e impiedosamente ridicularizados seus livros sobre o mais simples trivialidades.

Com base na fórmula de Tartaglia, Cardano e Ferrari, seu assistente, um progresso notável achado provas de todos os casos da cúbicos e, ainda mais impressionante, resolvendo a equação quártica. Tartaglia não fez nenhum movimento para publicar sua fórmula, apesar do fato de que, até agora, tinha-se tornado bem conhecido que um tal método existiu. Tartaglia provavelmente desejava manter a sua fórmula de reserva para eventuais debates programados.

Cardano e Ferrari viajou para Bolonha, em 1543 e aprendeu della Nave que tinha sido del Ferro, e não Tartaglia, que tinha sido o primeiro a resolver a equação cúbica. Cardan senti que ele tinha jurado apesar de não revelar o método de Tartaglia certamente nada o impediu de publicar a fórmula del Ferro. Em 1545 publicou Cardan Artis magnae sive de regulis liber unus algebraicis, ou Ars Magna como é mais conhecido, que continha soluções para ambas as equações cúbicas e quárticas e todo o trabalho adicional que ele havia completado a fórmula de Tartaglia. Del Ferro e Tartaglia são creditados com suas descobertas, como a Ferrari ea história escrita no texto.

Tartaglia ficou furioso quando descobriu que Cardan violou seu juramento e sua antipatia por Cardan se transformou em um ódio patológico. No ano seguinte Tartaglia publicou um livro,Novos Problemas e invenções que declarou claramente o seu lado da história e sua crença de que Cardan agiu de extrema má-fé. Para a boa medida, acrescentou alguns mal-intencionados insultos pessoais contra Cardan.

Ars Magna de Cardano estava claramente estabelecida como líder matemático do mundo e ele não foi muito danificado pelos ataques venenosos de Tartaglia. A Ferrari, entretanto, escreveu a Tartaglia, repreendendo-o sem piedade e desafiou-o para um debate público.Tartaglia foi extremamente relutantes em litígio com a Ferrari, ainda relativamente desconhecido, um matemático, contra a qual até mesmo uma vitória faria pouco material bom.Um debate com Cardan, por outro lado, realizou um grande apelo para Tartaglia. Não só ele, mas odeio Cardan era uma figura de liderança no médico, e literário mundos matemáticos, e até para entrar num debate com ele, aumentaria consideravelmente a de pé Tartaglia. Para todo o brilho de sua descoberta da solução para o problema equação cúbica, Tartaglia ainda era um professor de matemática relativamente pobres em Veneza.

Então respondeu Tartaglia para a Ferrari, tentando trazer para o debate Cardan. Cardano, no entanto, não tinha a intenção de debater com Tartaglia. Ferrari e Tartaglia escreveu inutilmente uns com os outros cerca de um ano, negociando os insultos mais ofensivos pessoal, mas conseguindo pouco na maneira de resolver o litígio. De repente, em 1548, Tartaglia recebeu uma oferta impressionante de um leitorado em sua cidade natal, Brescia. Para estabelecer claramente as suas credenciais para o cargo, Tartaglia foi convidado a viajar para Milão e participar no concurso com a Ferrari.

Em 10 agosto de 1548 o concurso teve lugar na Igreja do Jardim da Zoccolanti Frati.Tartaglia era muito experiente em tais debates e ele esperava ganhar. No entanto, até o final do primeiro dia, era claro que as coisas não estavam indo seu caminho. Ferrari claramente entendido as equações cúbicas e quárticas mais profundamente, e Tartaglia decidiu que iria deixar o Milan naquela noite, deixando assim a disputa não resolvida. Com Tartaglia partida vergonhosamente, a vitória ficou com a Ferrari.

Tartaglia sofridos em resultado do concurso. Depois de dar suas aulas por um ano em Brescia, ele foi informado de que seu salário não ia ser honrado. Mesmo depois de inúmeras ações judiciais, Tartaglia não poderia receber qualquer pagamento e devolvido, a sério fora do bolso, ao seu trabalho anterior, em Veneza, nutrindo um grande ressentimento do cardan.A derrota em Milão, parece ser responsável pelo pagamento Tartaglia não.

Tartaglia agora é lembrar que o nome da fórmula para resolver o cúbicos foi nomeada a fórmula de Cardano-Tartaglia. No entanto, Tartaglia tenha contribuído para a matemática em uma série de outras maneiras. Logo no início de sua carreira, antes que ele se envolveu com os argumentos sobre a equação cúbica, ele escreveu Nova Scientia (1537) sobre a aplicação da matemática ao fogo de artilharia. Neste trabalho ele descreveu os novos métodos e instrumentos de balística, incluindo as tabelas primeiro disparo. Ele também escreveu um texto de aritmética popular e foi o primeiro tradutor italiano e editor de Euclides, Elementos , em 1543. Em 1546 ele publicou Quesiti et Inventioni diversificada de Nicolo Tartalea acima referidos.

Damos muitas citações a partir deste trabalho de Tartaglia no Artigo V Tartaglia Cardan
onde os eventos descritos acima são contados nas matemáticos próprias palavras.

Tartaglia também publicou edições latinas das obras de Arquimedes. Ele morreu na pobreza em sua casa na Calle del Sturion perto da Ponte Rialto (não o actual, que foi construído cerca de 30 anos depois), em Veneza.