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A magia dos grandes números

Por Luiz Barco

 

No número 1 da SUPERINTERESSANTE foi publicado um ensaio fotográfico muito curioso, Potências de Dez, uma viagem do desconhecimento muito distante até o conhecimento muito próximo. Um deslocamento da ordem 1010 metros a 10-5 metros. Isto é, do começo ao fim realiza uma divisão por 1015. Este é um número que se escreve com o 1 seguido de quinze zeros: 1 000 000 000 000 000 e se chama de um quatrilhão.

Eu queria chamar a atenção de todos para o fato de que números dessa ordem inimaginável estão bem próximos de nós, às vezes até dentro de nós. O referido ensaio fotográfico, por exemplo, termina com uma bela imagem de uma célula do corpo humano. Vamos então prosseguir nessa viagem observando agora um glóbulo vermelho de sangue, que tem de diâmetro sete micra, ou 0,007 milímetros. Uma gota de sangue, que mede um milímetro cúbico, apresenta, quando observada ao microscópio, cinco milhões de glóbulos vermelhos.

Um adulto possui de cinco a seis litros de sangue, ou seja, de cinco a seis milhões de milímetros cúbicos, que vão dar 25 trilhões de glóbulos vermelhos. Colocados lado a lado, em seus infinitesimais 0,007 milímetros de diâmetro, esses glóbulos vermelhos de uma pessoa formariam uma linha de mais de 160 mil quilômetros, capaz de dar quatro vezes a volta na Terra. Através de sua superfície, esses glóbulos vermelhos absorvem e espalham oxigênio. Por serem tão pequenos, vão a toda parte do corpo humano; e por serem tão numerosos cobrem uma área muito maior do que esse corpo.

Muitas histórias são contadas envolvendo contagem de números de uma seqüência e produzindo grandes números desse porte. Vou lembrar uma delas. Na cidade de Benares, na Índia (lendas dessa espécie sempre passam em misteriosas terras orientais), há um templo no qual o deus Brahma, ao criar o mundo, colocou três estacas de diamantes, fincadas verticalmente no solo. Em uma delas, colocou 64 anéis de ouro, ficando o de maior diâmetro embaixo, e os menores em cima, segundo a ordem de tamanho. Os sacerdotes do templo, trabalhando incessantemente noite e dia, devem passar todos os anéis da primeira haste para a segunda, utilizando a terceira haste como auxiliar, e observando estas regras:

 

1 – mudar um anel de cada vez;

2 – não colocar um maior sobre um menor.

 

Diz a lenda que quando os 64 anéis tiverem trocado de haste, o tempo vai ruir e o mundo se acabar. A lenda pode parecer insensata, pois ao que se saiba o mundo não acabou. Vejamos por quê.

Se a torre tivesse apenas um anel, precisaríamos de uma passagem para trocá-lo de haste; se tivesse dois anéis, precisaríamos de 3 passagens; três anéis exigem sete passagens.

 

Vamos numerar os anéis para facilitar o entendimento:

1 anel 1 passagem ou 21 - 1

2 anéis 3 passagens ou 22 - 1

3 anéis 7 passagens ou 23 - 1

4 anéis 15 passagens ou 24 - 1

 

Quem quiser pode seguir na seqüência. Eu, para ganhar tempo, adianto que os 64 anéis vão exigir 264-1 passagens. Se os sacerdotes fizerem uma passagem por segundo, conseguirão completar 3600 por hora, 86.400 por dia, perto de 32 milhões por ano - e levarão algo em torno de 5,8 bilhões de séculos para completar a tarefa que Brahma lhes passou. Podemos estar tranqüilos que o mundo não acaba tão cedo.

Poucos dos números utilizados atualmente superam 10100, o um seguido de cem zeros, que foi batizado googol por um garoto de 9 anos, sobrinho do matemático americano Edward Kasner. Se o googol parece grande, imagine então o googolplexo, que é o um seguido de googol zeros. São de tirar o fôlego. Mas o googolplexo, o googol, o 264-1 e os cinco têm algo comum e familiar: todos são finitos.

Contar até o googol ou até 10 é parte do mesmo processo. Mas comprar a totalidade dos números naturais é outro problema, pois é preciso compreender que muito grande e infinito são inteiramente diferentes. Pense um número muito, muito, mas muito grande: esteja certo, ele não estará mais perto do infinito do que ou 1. Mas isso é outra história a que voltaremos, brevemente.

(fonte: superinteressante janeiro de 1988)

O MUNDO DA MATEMÁTICA (2)

Segundo episódio da série - O Mundo Da Matemática, este é sobre Estatística.

*Cardano

Girolamo Cardano

Data de Nascimento: 24 de setembro de 1501 , em Pavia, Ducado de Milão ( agora Itália)
Morreu em: 21 de setembro de 1576 , em Roma ( agora Itália)

O nome de Girolamo Cardano ou Hieronimo é Hieronymus Cardanus em latim.

Girolamo Cardano era o filho ilegítimo de Fazio Cardano e Chiara Micheria . Seu pai era um advogado em Milão, mas sua experiência em matemática era tal que ele foi consultado por Leonardo da Vinci em questões de geometria. Além de seu escritório de advocacia , Fazio palestras sobre geometria, ambos na Universidade de Pavia e, por um período mais longo, no Piatti fundação em Milan . Quando ele estava na casa dos cinquenta , Fazio conheceu Chiara Micheria , que era uma jovem viúva na casa dos trinta , lutando para criar três filhos .

Chiara ficou grávida , mas , antes que ela se deveu a dar à luz, a praga atingiu Milão e ela foi convencido a deixar a cidade para a relativa segurança de próxima Pavia para ficar com os amigos ricos de Fazio . Assim Cardan nasceu em Pavia mas a alegria de sua mãe, foi de curta duração , quando recebeu a notícia de que seus três primeiros filhos morreram de peste em Milão . Chiara vivia além de Fazio , durante muitos anos , mas , mais tarde na vida , eles se casaram .

Cardan na primeira tornou-se assistente de seu pai, mas ele era uma criança doente e Fazio tiveram de obter ajuda de dois sobrinhos quando o trabalho se tornou demais para Cardan . No entanto, Cardan começou a desejar coisas maiores do que um assistente de seu pai. Fazio havia ensinado aos seus matemática filho e Cardan começou a pensar em uma carreira acadêmica. Depois de uma discussão , Fazio Cardano permitiu ir universidade e ele entrou Universidade de Pavia , onde seu pai havia estudado , para ler medicina apesar desejo de seu pai que ele deveria estudar Direito.

Quando a guerra estourou , a universidade foi obrigada a fechar e Cardan mudou-se para a Universidade de Pádua, para completar seus estudos . Logo após este movimento , o seu pai morreu, mas por esta altura Cardan estava no meio de uma campanha para se tornar reitor da universidade . Ele era um aluno brilhante, mas , sem rodeios e muito crítico , Cardan não era bem quisto [4]: -

Isso eu reconheço como único e marcante entre os meus defeitos - o hábito , que insistem em , de preferir a dizer sobre todas as coisas que eu sei que é desagradável aos ouvidos dos meus ouvintes . Estou ciente disso, mas eu mantê-lo deliberadamente, de nenhuma maneira ignorante de quantos inimigos ele faz para mim.

No entanto, sua campanha para reitor foi bem sucedido desde que ele bateu seu rival por um único voto .

Cardan desperdiçou o pequeno legado de seu pai e se virou para o jogo para impulsionar suas finanças . Jogos de cartas, dados e xadrez foram os métodos que ele usou para ganhar a vida. Compreensão do Cardan de probabilidade significava que ele tinha uma vantagem sobre os seus adversários e , em geral, ele ganhou mais do que perdeu . Ele teve que fazer companhia duvidoso para seu jogo . Uma vez, quando ele pensou que estava sendo enganado em cartas, Cardan , que sempre carregava uma faca, cortou o rosto de seu oponente . Jogo tornou-se um vício que era para durar muitos anos e roubar Cardan de um tempo precioso , dinheiro e reputação.

Cardan concluiu seu doutorado em medicina em 1525 e solicitaram a adesão do Colégio de Médicos , em Milão, onde sua mãe ainda vivia . O Colégio não queria admiti-lo para , apesar do respeito que ele tinha ganhado como um estudante excepcional , ele tinha uma reputação como um homem difícil , cuja não-convencional , as opiniões inflexíveis foram agressivamente apresentar com pouco tato ou pensamento para as conseqüências. A descoberta de nascimento ilegítimo de Cardan deu o Colégio uma razão para rejeitar o pedido.

Cardan , a conselho de um amigo , foi para Sacco, uma pequena vila de 15 km de Pádua . Ele montou uma pequena e não muito bem sucedida prática médica. No final de 1531 Cardan casado Lucia , filha de um vizinho Aldobello Bandarini , um capitão da milícia local. Prática de Cardan em Sacco não proporcionar renda suficiente para ele sustentar uma esposa assim, em abril de 1532, ele se mudou para Gallarate , perto de Milão . Ele se candidatou novamente para o Colégio de Médicos em Milão, mas novamente não foi permitido adesão. Incapaz de praticar medicina, Cardano voltou , em 1533 , para jogos de azar para pagar o seu caminho, mas as coisas correram tão mal que ele foi forçado a penhorar jóias de sua esposa e até mesmo alguns de seus móveis . Procurando desesperadamente uma mudança de fortuna, os Cardans mudou-se para Milão, mas aqui eles se saíram ainda pior e eles tiveram que entrar ignominiosamente o asilo.

Cardan teve a sorte de obter antigo posto de professor de Fazio em matemática na Fundação Piatti , em Milão , que lhe deu muito tempo livre e ele usou alguns destes para tratar alguns pacientes , apesar de não ser um membro do College of Physicians. Cardan conseguido alguns curas milagrosas perto e de sua crescente reputação como um médico o levou a ser consultado por membros do Colégio . Seus pacientes agradecidos e seus familiares tornaram-se defensores de coração todo e , desta forma, Cardan foi capaz de construir uma base de apoiadores influentes .

Cardan ainda estava furioso com a sua exclusão continuada do Colégio e , em 1536 , ele precipitadamente publicou um livro atacando não só a capacidade médica do Colégio , mas seu caráter [4]: -

As coisas que dão mais reputação de um médico hoje em dia são as suas maneiras , funcionários , transporte , roupas, esperteza e caginess , todos exibidos em uma espécie de forma artificial e insípida ...

Esta não era a maneira de ganhar a entrada para a faculdade e não surpreendentemente aplicação de Cardan para se juntar em 1537 foi novamente rejeitada. No entanto, dois anos mais tarde , depois de muita pressão dos seus admiradores , o colégio modificou a cláusula de nascimento legítimo e admitiu Cardan . No mesmo ano , os dois primeiros livros de matemática do Cardan foram publicados , o segundo The Practice of Arithmetic e Mensuração simples era um sinal de coisas maiores por vir. Este foi o início da carreira literária prolífica do Cardan escrever sobre uma diversidade de temas medicina , filosofia, astronomia e teologia , além de matemática .

Em 1539 Cardan aproximou Tartaglia , que alcançou a fama em ganhar um concurso na resolução de cúbicas , e tentou levá-lo para divulgar o método . Tartaglia finalmente acordado após a obtenção Cardan a jurar que não iria publicar o método até que Tartaglia tinha se publicou. O relato de Tartaglia do juramento prestado por Cardan foi: -

Eu te juro, por santos Evangelhos de Deus , e como um verdadeiro homem de honra , não só nunca para publicar suas descobertas , se você me ensinar, mas eu também te prometo, e prometo a minha fé como um verdadeiro cristão , a nota los em código , para que depois da minha morte , ninguém será capaz de compreendê-los.

Seguiu-se um período de intenso estudo matemático por Cardan , que trabalhou na resolução de equações cúbicas e quartic por radical ao longo dos próximos seis anos.

Um dos primeiros problemas que Cardan atingidas foi a de que a fórmula às vezes envolvido raízes quadradas de números negativos , embora a resposta era um número "adequado" . Em 04 de agosto de 1539 Cardan escreveu a Tartaglia : -

Enviei para perguntar após a solução para vários problemas para os quais me deram nenhuma resposta , um dos quais diz respeito ao cubo igual a um desconhecido , mais um número. Eu certamente compreendeu essa regra , mas quando o cubo de um terço do coeficiente do desconhecido é maior em valor do que o quadrado da metade do número e, em seguida , ao que parece, não posso fazê-lo caber na equação.

Com efeito Cardan dá precisamente as condições aqui para a fórmula para envolver raízes quadradas de números negativos. Tartaglia por esta altura muito lamentou dizendo Cardan o método e tentou confundi-lo com a sua resposta (embora , na verdade Tartaglia , como Cardan , não teria entendido os números complexos agora entrando em matemática) : -

... e assim eu digo em resposta, que você não domina a verdadeira maneira de resolver este tipo de problemas , e na verdade eu diria que seus métodos são totalmente falsas .

Damos detalhes da disputa com Tartaglia no artigo Tartaglia v Cardan
onde os acontecimentos são narrados nos matemáticos próprias palavras .

Em 1540, Cardan renunciou a seu cargo a matemática na Fundação Piatti , a vaga a ser preenchida por Cardan do assistente Ferrari que tinha brilhantemente resolvido quárticas equações por radicais . De 1540-1542 Cardan abandonou os estudos e não fez nada , mas aposta , jogando xadrez durante todo o dia . Durante os anos 1543-1552 , Cardan palestras sobre medicina nas universidades de Milão e Pavia, como a guerra freqüentemente forçaram o fechamento da universidade em Pavia.

Em 1545 Cardan publicou suas maiores Ars trabalho matemático Magna. Nela, ele deu os métodos de solução da equação cúbica e quártica . Na verdade, ele havia descoberto em 1543 que Tartaglia não foi o primeiro a resolver a equação cúbica por radicais e, portanto, senti que ele poderia publicar , apesar de seu juramento. Ferrari escreveu em abril 1547 : -

Quatro anos atrás, quando Cardano estava indo para Florença, e eu o acompanhei , vimos em Bolonha Hannibal della Nave, um homem inteligente e humana que nos mostrou um livrinho na mão de Scipione del Ferro, o pai -de-lei , escreveu um há muito tempo, em que foi elegantemente e learnedly apresentou essa descoberta .

Trata-se de crédito de Cardan , que , embora não se poderia esperar que ele entendesse números complexos , que faz presente o primeiro cálculo com números complexos em Ars Magna. Resolver uma equação cúbica particular, ele escreve: -

Demitir torturas mentais e multiplicando 5 + √ - 15 por 5 - √ -15 , obtemos 25 - ( -15) . Assim, o produto é 40. .... e até agora não sutileza aritmética ir , de que este , ao extremo, é, como eu já disse, tão sutil que é inútil.

Lúcia morreu em 1546, mas Cardan não parecia muito triste , estar mais interessado na fama que ele tinha conseguido a partir de seus livros , que estavam entre os melhores vendedores do dia. Ele tornou-se reitor da College of Physicians e ganhou a reputação de ser o maior médico do mundo. Cardan recebido muitas ofertas de chefes de Estado na Europa, ansiosos para receber a melhor atenção médica , mas apenas uma vez foi o grande incentivo suficiente para tentá-lo da Itália.

John Hamilton, arcebispo de St. Andrews, sofria de asma há dez anos, mas , gradualmente, a freqüência ea gravidade dos ataques tinha piorado . Os médicos da corte , tanto do rei francês eo imperador alemão fez seu melhor, mas acabou por fracassar eo Arcebispo de St Andrews estava perto da morte . Virou-se em desespero para Cardan , prometendo-lhe uma enorme quantia se ele viesse para a Escócia . Cardan não estava falando , quando ele recebeu o apelo e assim aceitou a oferta, partindo de Milão em 23 de fevereiro 1552.

Cardan estava no auge de sua fama e , como conseqüência , a sua viagem para a Escócia foi marcante em todos os lugares que ele passou comunidades científicas tratavam como uma celebridade e cientista líder do mundo. Ele chegou em Edimburgo, em 29 de junho e viu o Arcebispo imediatamente. Até o momento Cardan deixou no dia 13 de setembro, o arcebispo já estava se recuperando . Cardan aceita mais de duas mil coroas de ouro, mas recusou a oferta de um lugar permanente no tribunal escocês . Dentro de dois anos, o arcebispo deixou Cardan saber que ele tinha feito uma recuperação completa.

Em seu retorno , Cardan foi nomeado professor de medicina na Universidade de Pavia e , com muitos pacientes rico, ele era um homem rico e bem sucedido. Mas, como Cardan estava no auge de sua fama , ele recebeu o que ele chamou de " desgraça coroação" . Filho mais velho de Cardan , Giambatista , tinha qualificado como médico em 1557 , mas ele se casou secretamente com Brandonia di Seroni , uma menina a quem Cardan descrito como [4]: -

, uma mulher sem vergonha inútil.

Cardan continuou a apoiar financeiramente o seu filho eo jovem casal foi morar com os pais de Brandonia . No entanto, o di Seronis estavam apenas interessados ​​no que podiam extorquir Giambatista e seu pai rico, enquanto Brandonia ridicularizado publicamente seu marido por não ser o pai de seus três filhos.

Essas provocações levou Giambatista para envenenar sua esposa e , após sua prisão , ele confessou o crime. Cardan recrutou os melhores advogados, mas no julgamento o juiz decretou que para salvar a vida de seu filho, Cardan deve entrar em acordo com o di Seronis . Eles exigiram uma quantia que Cardan nunca poderia ter encontrado. Giambatista foi torturado na prisão , com a mão esquerda foi cortada e , em 13 de abril de 1560, ele foi executado .

Este foi um golpe do qual nunca se recuperou Cardan . Ele não podia perdoar a si mesmo por não evitar o desastre e os terríveis sofrimentos de seu filho favorito perseguia constantemente. Como o pai de um assassino condenado , Cardan se tornou um homem odiado . Percebendo que ele teve que se mudar , Cardan aplicado por um professor de medicina em Bolonha e foi nomeado para o cargo. Tempo de Cardan em Bolonha estava cheio de controvérsia. Sua reputação , além de sua forma arrogante , garantiu ele criou muitos inimigos. Humilhou professor de medicina companheiro na frente de seus alunos , apontando erros em suas palestras. Depois de alguns anos os colegas de Cardan tentou entrar no Senado para demiti-lo , espalhando rumores de que suas palestras eram praticamente autônoma.

Cardan teve mais problemas com seus filhos. Seu filho restantes Aldo era um jogador e associado com pessoas de caráter duvidoso. Cardan escreve, em sua autobiografia, de seus quatro maiores tristezas de sua vida [4]: -

O primeiro foi o meu casamento , o segundo, a morte amarga do meu filho , o terceiro , a prisão , o quarto , o personagem base do meu filho mais novo.

Em 1569 Aldo jogou fora todas as suas roupas e pertences , além de uma quantia considerável de dinheiro de seu pai. Na tentativa de obter dinheiro Aldo invadiram a casa de seu pai e roubou uma grande quantidade de dinheiro e jóias . Cardan , infelizmente, informou Aldo às autoridades , e Aldo foi banido de Bolonha.

Em 1570 Cardan foi preso sob a acusação de heresia. Ele tinha o horóscopo de Jesus Cristo e escreveu um livro em louvor de Nero, algoz dos mártires . Estes podem ter sido uma tentativa deliberada por parte do Cardan a ganhar notoriedade - ele escreveu um capítulo inteiro de sua autobiografia em que desejam " perpetrar seu nome" - e , assim, ganhar um lugar na história . É estranho que em todos os outros aspectos Cardan deu à igreja seu total apoio. No entanto, a inquisição estava olhando para fazer exemplos de homens proeminentes , cujo compromisso poderia ser questionado e Cardan montado o projeto bem.

Cardan foi tratada com indulgência , talvez porque a opinião pública foi a de que ele tinha sido maltratado e por isso ele só foi preso por alguns meses. Em sua libertação, ele foi proibido de realizar um posto de professor universitário e impedido de continuar a publicação de sua obra.

Em sua liberação Cardan foi para Roma , onde recebeu uma recepção inesperadamente quente. Ele foi concedida a adesão imediata do Colégio de Médicos e do Papa , que agora, aparentemente perdoado Cardan , concedeu-lhe uma pensão. Foi nesse período que sua autobiografia [4] foi escrito, embora não tenha sido publicado. Foi publicado em Paris em 1643 e Amsterdã, em 1654. Traduções italianas foram publicados em Milão ( 1821 e 1922) e Turim (1945). A tradução alemã surgiu em Jena em 1914, e uma tradução francesa em Paris em 1936. A referência [4] é a tradução em Inglês da autobiografia .

Cardan é relatado que previu corretamente a data exata de sua própria morte , mas que tem sido afirmado que ele conseguiu isso por cometer suicídio. Apesar de ser conciliado com Aldo, Cardan escreveu em seu testamento que ele : -

... tinha-se mostrado um jovem desses maus hábitos que eu prefiro ter tudo o que tenho passe para o meu neto por meu filho mais velho .

Cardan adotou seu neto sobre a morte de ambos os pais.

Além de maiores contribuições de Cardan para álgebra ele também fez contribuições importantes para a probabilidade , hidrodinâmica , mecânica e geologia . Seu livro Liber de Ludo Aleae foi publicado em 1663 , mas o livro sobre jogos de azar foi provavelmente concluída em 1563. Cardan torna a primeira incursão já no , até então intocada, reino da teoria da probabilidade . É o primeiro estudo de coisas como rolar os dados , com base na premissa de que existem princípios científicos fundamentais que regem a probabilidade de alcançar o evasivo 'double six' , fora da mera sorte ou acaso.

Cardan é também credied com a invenção do cardan um tipo de junta universal num eixo que permite que ele gire quando fora de alinhamento.

Cardan também publicou duas enciclopédias de ciência natural. Giliozzi [1] diz que: -

... contêm um pouco de tudo , desde a cosmologia até a construção de máquinas, a utilidade das ciências naturais para a má influência dos demônios, das leis da mecânica a criptologia . É uma mina de fatos , reais e imaginários, de notas sobre o estado das ciências , da superstição , tecnologia, alquimia e vários ramos do ocultismo .

A foto acima é da página de título da primeira edição de sua Ars Magna.

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

junho 1998

ARTE MATEMÁTICA (17)

Nesta imagem foram entrelaçados, retângulos e triângulos no interior de um quadrado. Você conseguiria identificar mais formas?