20 - Equação da Reta - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (20)

Os 5 piratas

Cinco piratas de diferentes idades tem um tesouro de 100 moedas de ouro.

Em seu navio, eles decidiram repartir as moedas usando o seguinte esquema:

O pirata mais idoso propõe um método para dividir as moedas, e TODOS os piratas (inclusive o mais idoso) votam a favor ou contra o método.
Se 50% ou mais dos piratas votarem a favor, Então as moedas serão repartidas por este método.

Caso contrário, o pirata que fez a proposta será lançado ao mar, e o processo é repetido com os piratas que permanecem.

Como piratas tendem a ser um grupo sanguinário, se um pirata teria o mesmo número de moedas votando a favor ou contra uma proposta, ele vai votar contra para que o pirata que propôs o plano será lançado ao mar.

Partindo do princípio de que todos os cinco piratas são inteligentes, racionais, gananciosos, e não querem morrer, (e são bastante bons em matemática para um pirata) o que vai acontecer?

Jogos matemáticos - 20

Clique nos números cuja multiplicação está sendo pedida... mas, seja rápido. Se o seu tempo acabar...
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O piano e a tábua de logaritmos

Por Luiz Barco

Muitos estudantes de Música sentem verdadeira aversão pela Matemática - ou, pelo menos, pelo que lhes é oferecido na escola como sendo Matemática. Para eles, deve ser uma surpresa saber que o grande filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) disse uma vez: "A Música é um exercício de Aritmética secreto e aquele que a ela se entrega às vezes ignora que maneja números". E é assim: ao acionarmos as teclas - de um piano moderno, por exemplo, estamos, a rigor, teclamos sobre logaritmos.

A música tem ligações muito fortes com a Matemática. Uma delas diz respeito ao efeito produzido sobre nossos ouvidos por um determi-nado som. O efeito depende sobretu-do da altura do som (ou, como pre-ferem os físicos, da sua freqüência, que é o número de vibrações, por segundo, do objeto que produz o som). Assim, fica claro que a cada som corresponde um número e a cada número, conseqüentemente, corresponde um som. Outra daquelas ligações aparece quando ouvimos dois sons simultaneamente. Isso equivale a perceber dois números, ou seja, uma relação. Ouvir o dó e o sol de uma mesma escala equivale a perceber a relação 2/3 (dois para três), que é a relação das freqüências desses dois sons.

Admite-se que um ouvido bem treinado pode distinguir, dentro de uma oitava, até no máximo 54 sons. Mas usar todo esse potencial seria pouco prático. Pense comigo: um piano de oito oitavas teria de possuir 432 teclas. Assim, parece que aquestão inicial, na história da Música, foi o momento em que se escolheram alguns poucos sons, entre esses 54 que são possíveis. Foi uma responsabilidade muito grande, a desses primeiros teóricos que decompuseram a oitava. Talvez nenhuma outra arte tenha dependido de uma única decisão tão importante - e, como sempre, coube aos gregos tomá-Ia. Eles desenvolveram a gama grega musical ao mesmo tempo em que desenvolviam a Matemática.

Já passaram 2.500 anos e a gama diatônica, ou de Pitágoras, continua sendo utilizada. Outras foram desenvolvidas, como por exemplo a dos físicos, ou de Zarlino, e a temperada, imortalizada pelo compositor alemão Johann Sebastian Bach (1685-1750). Elas não são perfeitamente equivalentes, do ponto de vista físico; mas na prática são utilizadas como se fossem. Uma mesma notação serve para todas elas. Tomemos a corda que produz o som fá. Os 2/3 dessa - corda produzem o dó (a quinta de fá, na escala comum), os 2/3 dessa o som sol (a quinta de dó) e assim por diante. De quinta em quinta teremos fá-dó-sol-ré-Iá-mi-si. Continuando o processo teremos os sustenidos e bemóis. Nem todas da mesma oitava, é claro. Reduzidas à oitava inicial, elas aparecerão na ordem conhecida: dó-ré-mi-fá-sol- lá-si.

O princípio da gama dos físicos, ou de Zarlino, é diferente. Dois sons são mais agradáveis ao ouvido quanto mais harmônicos comuns tiverem. Os harmônicos de um som são aqueles sons que correspondem ao seu dobro, triplo, quádruplo etc. Alguns intervalos dessa gama coincidem com os da gama grega, outros estão bem próximos. Elas apresentam doze intervalos, ligeiramente desiguais. Já a gama temperada tem doze intervalos iguais. Nela, a potência doze de cada intervalo é igual a dois. Em outras palavras, o intervalo fundamental é a raiz duodécima de dois e as freqüências das doze notas estão em progressão geométrica. Os chamados graus de tonalidade da escala cromática não são eqüidistantes, nem pelo número de vibrações nem pelo comprimento de onda dos sons, mas representam os logaritmos de base dois dessas grandezas. A gama temperada é, pois, uma concepção matemática muito mais complicada. Bach só pôde usá-la com sucesso porque, já antes dele, o matemático escocês John Napier (1550-1617) havia criado os logaritmos.

Agora, voltando aos estudantes do começo deste artigo: talvez eles pudessem aprender os logaritmos com mais facilidade e prazer se a aula fosse dada no departamento de Música, ao som de um piano bem afinado.

Fonte: Superinteressante, abril de 1988

O MUNDO DA MATEMÁTICA (5)

Neste episódio vemos a belíssima teoria dos fractais...

*Napier

John Napier

Data de Nascimento: 1550 em Merchiston Castle, Edinburgh , Escócia
Morreu em: 04 de abril de 1617 em Edimburgo, Escócia

O pai de John Napier, Archibald Napier, era um homem importante no final do século 16 na Escócia . Sua família possuía a propriedade de Merchiston década de 1430 , quando um de seus antepassados ​​adquiriu a propriedade , tornando-se o primeiro Napare de Merchiston . ( Vamos comentar um pouco sobre as diferentes grafias do nome de Napier . ) A família também possuía propriedades em Lennox e em Menteith e uma residência no Gartness . Archibald Napier casado Janet Bothwell, a irmã do bispo de Orkney , em 1549 , quando ele tinha apenas 15 anos de idade. Seu filho John Napier nasceu no ano seguinte. Archibald Napier foi uma justiça depute e foi nomeado cavaleiro em 1565. Ele foi nomeado Mestre da Casa da Moeda em 1582 .

Antes de continuar , devemos comentar sobre a ortografia de John Napier . O nome de John é mais facilmente tratada como John Napier, e quase todos os outros ao redor de seu tempo , usou a ortografia antiga " Jhone " . Seu sobrenome aparece em uma grande variedade de grafias diferentes . As formas Napeir , Nepair , Nepeir , Neper , Napare , Naper , Naipper são vistos , mas John Napier que mais comumente foram escritos Neper Jhone naquele momento. A única forma de Napier , que temos a certeza de que não foram utilizados durante a vida de Napier foi o presente ortografia moderna " Napier " !

Pouco se sabe sobre os primeiros anos de John Napier . Um dos poucos fragmentos de informação que temos é de uma carta do bispo de Orkney , o tio de John , de Archibald Napier escrito quando John tinha onze anos de idade : -

Peço-vos, senhor, para enviar o seu filho John para a escola , para a França ou Flanders , pois ele não pode aprender bem em casa nem obter lucro neste mundo mais perigoso - de que ele pode ser salvo nele , - para que ele possa buscar honra e lucro, como eu não tenho dúvida de que ele vai ...

Esta é uma tradução dos antigos escoceses que o bispo de Orkney , na verdade, escreveu. Para aqueles interessados ​​na versão original lê-se: -

Peço-vos, Schir , para enviar seu filho Jhone ao schuyllis ; oyer para a França ou Flandaris , pois ele pode Leyr na orientação no hame , nem ficar na proffeitt neste mundo velho perullous maist ...

Napier foi educado na Universidade de St Andrews, entrar na universidade em 1563 , com a idade de 13 anos. A mãe arranjou-lhe para viver em Colégio de St Salvator e arranjos especiais foram feitas para o director da Universidade , John Rutherford, para cuidar dele pessoalmente . O nome de Napier aparece no rolo de matrícula do Colégio de St Salvator para 1563. Pouco depois de Napier matriculou sua mãe morreu. Sabemos que Napier passou algum tempo na Universidade de St Andrews e escreveu -se muitos anos mais tarde que ele estava em St Andrews , que ele começou a se apaixonadamente interessado em teologia.

No entanto, o nome de Napier não aparece na lista dos graus sendo concedidos nos anos subseqüentes então ele deve ter deixado St Andrews para estudar na Europa , antes de completar um grau. De outros fatos que também podem estar certos . Napier não adquiriu seu conhecimento de matemática superior em St Andrews nem ele adquirir o seu profundo conhecimento da literatura clássica lá. Ambos devem ter sido adquiridos durante os seus estudos na Europa, mas nenhum registro existe para mostrar onde ele estudou , embora a Universidade de Paris é altamente provável e também é provável que ele passou algum tempo na Itália e na Holanda.

Em 1571 Napier voltou à Escócia para que ele esteve presente no segundo casamento de seu pai , que teve lugar nesse ano. Foi em 1571 que o próprio Napier começou a fazer arranjos para o seu próprio casamento, mas ele estava em quase dois anos antes que ocorreu. Em 1572 a maior parte das propriedades da família Napier foram feitas ao longo de John Napier e um castelo foi planejado para a propriedade em Gartness .

Quando o castelo foi concluído em 1574, Napier e sua esposa passou a residir lá. Napier se dedicou a correr suas propriedades . Esta tarefa ele levou muito a sério e, por ser um grande gênio como um inventor, ele aplicou seus conhecimentos para essas tarefas. Ele se aproximou de agricultura de uma forma científica e ele experimentou com : -

... melhorar e adubação de todos os tipos de terreno campo com sais comuns , em que o mesmo pode trazer mais abundância, tanto de grama e milho de todos os tipos , e muito mais barato do que pela maneira comum de excreção usado até então na Escócia .

A descrição acima é citado em [12] , sem referência à sua origem .

Napier tomou parte nas controvérsias religiosas da época. Ele era um protestante fervoroso e publicado , o que ele considerava sua obra mais importante , o Plaine Descoberta do Apocalipse Whole of St. John ( 1593 ) .

Napier foi um protestante fanático de seus dias como um estudante na St Andrews. Ele escreveu o Plaine Descoberta do Apocalipse inteiro de St. John de acordo com o seu prefácio : -

... para prevenir o perigo aparente de Papistry surgindo dentro desta ilha ...

Na verdade, havia boas razões para que Napier pensei que uma mudança na situação religiosa na Escócia pode ocorrer, pois não teve , durante algum tempo, os rumores de que Felipe da Espanha pode invadir Escócia sido. A Plaine Descoberta do Apocalipse Whole of St. John Napier fez ganhar uma boa reputação , não só na Escócia , mas também no continente após o trabalho foi traduzido para o holandês, francês e alemão. Gibson, em [12 ], no entanto observações : -

... Suponho que há poucos de fato da atual geração que leu, ou mesmo ouviu falar, o livro, independentemente dos seus méritos pode ter sido eles não apelar para a mente moderna ...

Estudo da matemática de Napier era apenas um hobby e em suas obras matemáticas , ele escreve que muitas vezes ele achou difícil encontrar tempo para os cálculos necessários entre trabalhar em teologia. Ele é mais conhecido , no entanto, para a sua invenção dos logaritmos , mas suas outras contribuições matemáticas incluem um mnemônico para fórmulas utilizadas na resolução de triângulos esféricos , duas fórmulas conhecidas como " analogias de Napier " utilizado na resolução de triângulos esféricos e uma invenção chamada " ossos de Napier " utilizado para multiplicar mecanicamente divisão e tendo raízes quadradas e raízes cúbicas . Napier também encontrou expressões exponenciais para funções trigonométricas , e introduziu a notação decimal para frações.

Muito do trabalho de Napier em logaritmos parece ter sido feito enquanto ele estava vivendo em Gartness . A Conta de Estatística (Vol. XVI , página 108) contém o seguinte: -

Junto ao moinho em Gartness são os restos de uma antiga casa em que John Napier de Merchiston , inventor dos logaritmos , residia uma grande parte do seu tempo ( alguns anos ), quando ele estava fazendo seus cálculos . Relata-se que o barulho da cascata , sendo constante, nunca deu-lhe mal-estar, mas que o clack do moinho , que era apenas ocasional, muito perturbado seus pensamentos. Ele era , portanto , quando em estudo profundo , por vezes, sob a necessidade de desejar o moleiro para parar o moinho que o trem de suas idéias não pode ser interrompida.

Discussão dos logaritmos de Napier aparece em Mirifici logarithmorum canonis descriptio em 1614 . Dois anos depois, uma tradução em Inglês do texto original em latim de Napier foi publicado , traduzido por Edward Wright. No prefácio do livro Napier explica seu pensamento por trás de sua grande descoberta ( citamos a tradução em Inglês de 1616 do original latino de 1614 ) : -

Vendo que não há nada (à direita alunos bem- amados da Matemática ), que é tão problemático para prática matemática , nem que vos mais molestar e dificultar calculadoras , do que as multiplicações , divisões, quadrados e extrações cúbico de grandes números, que além da despesa tedioso de tempo são , na maior parte, sujeitas a muitos erros escorregadias , comecei a considerar , portanto, na minha mente, o que certo e pronto arte eu poderia remover esses obstáculos. E ter o pensamento de muitas coisas para esse fim , eu achei no comprimento alguns excelentes regras breves para ser tratado de (talvez ) a seguir . Mas entre todos , nada mais rentável do que este que, juntamente com as multiplicações rígidos e tedioso , divisões e extrações de raízes : Porventura também rejeitarei a partir do trabalho em si mesmo as próprias números que devem ser multiplicados , divididos e resolvidos em raízes , e põe outros números em seu lugar , que executam tanto quanto eles podem fazer, apenas pela adição e subtração, divisão por divisão por dois ou três.

Ao contrário dos logaritmos usados ​​hoje , logaritmos de Napier não são realmente para qualquer base , embora em nossa terminologia atual não é razoável (mas talvez um pouco enganador ) para dizer que eles são a base 1 / e . Certamente, eles envolvem uma constante 107 que surgiram a partir da construção de uma forma que vamos agora explicar. Napier não pensar em logaritmos de uma forma algébrica , de fato álgebra não estava suficientemente bem desenvolvido na época de Napier para tornar isso uma abordagem realista . Ao contrário, ele pensava , por analogia, dinâmico . Considere duas linhas AB de comprimento fixo e a'x de comprimento infinito . Os pontos C e C ' começar a mover , simultaneamente, para a direita , a começar em A e A ' , respectivamente, com a mesma velocidade inicial; move C ' com velocidade uniforme e C, com uma velocidade que é igual à distância CB . Napier definido A'C ' (= Y ) como o logaritmo do BC (= X) , que é

y = x Nap.log .

Napier escolheu o AB comprimento a ser 107 , com base no fato de que as melhores tabelas de senos disponíveis para ele foram dadas sete casas decimais e ele pensou que o argumento x como sendo da forma 102.sin X.

O fato de que Nap.log 1 não é igual a 0 é uma grande dificuldade que fazer Nap.logs muito menos conveniente para os cálculos do que os nossos logs. A mudança de logs com log 1 = 0 surgiu em discussões entre Napier e Briggs. Briggs ler texto em latim de 1614 e de Napier , na 10 de marco de 1615 escreveu em uma carta a um amigo : -

Napper , senhor de Markinston , pôs a cabeça e as mãos de um trabalho com suas novas e admiráveis ​​logaritmos . Espero vê-lo neste verão , se agradar a Deus, pois eu nunca vi um livro que me agradou bem ou me fez mais admira .

Na verdade Briggs fez a difícil viagem de Londres a Edimburgo para ver Napier , no verão de 1615 ( ele teria sonhado que agora leva 4 horas de trem , ao invés de pelo menos 4 dias por cavalo e treinador naqueles tempos ) . A descrição do encontro foi dito por John Marr de William Lilly , que escreve o seguinte ( ver [12] ) : -

Sr. Briggs nomeia um certo dia, quando se encontrar em Edimburgo , mas não da mesma, Merchiston estava com medo que ele não viria. Aconteceu um dia como John Marr eo Senhor Napier estavam falando do Sr. Briggs, " Oh John , " diz Merchiston ", o Sr. Briggs não virá agora "; no um instante bate à porta , John Marr apressou-se para baixo e provou ser o Sr. Briggs ao seu grande contentamento. Ele traz o Sr. Briggs na câmara do meu Senhor, onde quase um quarto de hora foi gasto , cada um contemplando outro com admiração , antes de uma palavra foi dita. Finalmente o Sr. Briggs começou, - "Meu Senhor, tenho realizado esta longa jornada com o propósito de ver sua pessoa , e saber por que mecanismo de inteligência ou engenho você chegou a pensar nisso mais excelente ajuda até astronomia , ou seja os logaritmos . ...

Briggs havia sugerido a Napier em uma carta enviada antes de sua reunião que os logs devem ser ( em nossa terminologia ) para base 10 e Briggs tinha começado a construir tabelas . Napier respondeu que ele tinha a mesma idéia, mas ( [12] ) : -

... ele não poderia , por conta de problemas de saúde e por outras razões ponderosas empreender a construção de novas tabelas.

Em sua reunião de Napier sugeriu Briggs as novas tabelas devem ser construídas com base 10 e com log 1 = 0, e, na verdade Briggs se construir tais tabelas. Na verdade Briggs passou um mês com Napier em sua primeira visita de 1615, fez uma segunda viagem de Londres a Edimburgo para visitar Napier novamente em 1616 e teria feito ainda uma terceira visita , no ano seguinte , mas Napier morreu na primavera antes do verão planejada visitar.

Napier mostrou um meio mecânico de simplificar os cálculos na sua Rabdologiae publicado em 1617. Ele descreve um método de multiplicação usando varetas " numeração " com os números marcados fora sobre eles. A razão para a publicação do trabalho é dada por Napier na dedicação , onde ele diz que muitos de seus amigos, a quem ele havia mostrado as varas de numeração , estava tão satisfeito com eles que eles já estavam se tornando amplamente utilizada , mesmo começando a ser utilizado em países estrangeiros.

Hastes de numeração de Napier eram feitos de marfim, de modo que eles pareciam ossos , o que explica por que eles agora são conhecidos como os ossos de Napier . Para multiplicar números , os ossos foram colocados lado a lado e os produtos adequados lido . Glaisher descrito como usar os ossos de Napier , em um artigo que escreveu para a Encyclopaedia Britannica e esta descrição é citado em [10] . Os ossos de Napier são também descritos em [6 ], [ 16] e [19 ] .

Seria surpreendente se um homem de tão grande intelecto , como Napier não parecer um pouco estranho para os seus contemporâneos e, dada a idade supersticioso em que viveu , histórias estranhas começaram a circular . Muitas tradições sugerem que Napier foi

... em conluio com os poderes das trevas ...

e estes são levados a sério na biografia tendenciosa [7] escrito por Mark Napier, um dos descendentes de John Napier . Mark Napier sugere que John Napier deliberadamente jogado sobre as crenças primitivas de seus servos por dar a volta com um galo que ele tinha coberto de fuligem . Mesmo a conta de Estatística (citado acima) diz: -

[ Napier ] usado com freqüência para sair em sua camisola e boné. Este , com algumas coisas que o vulgar aparecer um pouco estranho , fixo nele o caráter de um bruxo . Antigamente, era acreditado e, atualmente, informou que ele estava em pacto com o diabo , e que o tempo que passou em estudo foi gasto em aprender a arte preto e segurando conversa com o velho Nick .

Napier , no entanto, será lembrado para fazer uma das contribuições mais importantes para o avanço do conhecimento . Foi através do uso de logaritmos que Kepler foi capaz de reduzir as suas observações e fazer sua descoberta , que , em seguida, por sua vez apoiado a teoria da gravitação de Newton. No prefácio à Mirifici logarithmorum canonis descriptio , citado acima, Napier diz que esperava que seus logaritmos vai economizar calculadoras muito tempo e livrá-los dos erros escorregadias de cálculos. Laplace, 200 anos depois, concordou, dizendo que os logaritmos : -

... encurtando os trabalhos , dobrou a vida do astrônomo .


Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

abril 1998

ARTE MATEMÁTICA (20)

Observe esta imagem.
Novamente temos triângulos. E dos mais diversos tamanhos.
Mas não apenas isto.
Estão posicionados de modo a similarem curvas.
E além do mais são semi transparentes. O que faz com que sua sobreposição faça surgir áreas mais claras e outras mais escuras.

Há muito mais o que ver, mas... o resto deixo por sua conta...