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Aprender a contar: Pelos dedos, de dez em dez

Luiz Barco

A maioria das pessoas aprendeu a contar ainda muito criança e poucas tiveram oportunidade de refletir sobre esse aprendizado. Ele começa com uma espécie de coordenação entre os dedos e certas palavras; logo passamos a associar certos padrões formados por nossos dedos (ou palitos, ou blocos de madeira, ou contas) com certas palavras. Essas palavras são chamadas números, e nós temos de memorizá-las numa série ordenada. Quando os dedos já não são suficientes, aprendemos um processo retórico que nos faz capazes de aumentar os limites de contagem, sem recorrer a novos padrões.

A essa altura, a contagem transformou-se num jogo de palavras. Quando percebemos que o que foi feito uma vez sempre pode ser repetido, completamos a série numérica com um "e assim por diante". E assim julgamos completada nossa educação sobre contagem, sem ao menos perceber que plantamos na mente a idéia da infinidade. Apesar de dominarmos esse processo desde criança, não há dúvida de que ele se apóia numa idéia matemática bastante complicada.

Essa idéia afirma que qualquer número inteiro positivo só pode ser representado de uma maneira. Tomemos um exemplo: 507.234. Será representado assim: 500.000 mais 7000 mais 200 + 30 + 4, como um polinômio arranjado em potências em potência de 10 (5 x 105 + 7 x 103 + 2 x 102 + 3 x 10 + 4), com os coeficientes (5,7, 2,3 e 4 no exemplo) restritos a inteiros menores que 10.

Tal sistema foi desenvolvido pelos fenícios muitos séculos antes de nossa era. Eles escreviam o número do nosso exemplo mais ou menos assim: 5c 7m 2c 3d 4. O c representa a centena do milhar, o m a unidade do milhar, ou c as centenas simples, o d as dezenas simples. Nos primeiros séculos de nossa era, um hindu anônimo imaginou o zero para marcar a ausência de qualquer quantidade. E nosso número passou a ser descrito desta forma: 5c, 0d ,7m, 2c, 3d e 4. O d depois do zero significa dezena de milhar. E assim acabou nos dispensando de acrescentar as letras aos números, pois, usando o zero para as casas que ficariam vagas, todos eles passaram a ocupar o lugar correto na ordem que pretendemos representar. Nosso sistema posicional de numeração é decimal: cada unidade colocada em certa ordem vale dez vezes a unidade da ordem imediatamente anterior. O sistema decimal e é aceito universalmente, mas outras bases também são usadas eventualmente. O sistema sexagesimal (base de sessenta) persiste na medida do tempo e dos ângulos. Talvez seja uma herança dos babilônios, grandes astrônomos do passado.

A preferência pelo dez não se baseia em algum mérito especial desse número, mas é apenas uma conseqüência do acidente fisiológico que nos dotou de dez dedos. Hoje seria insensato pensar em mudar essa base, mas no passado algumas tentativas foram feitas. No final do século XVIII, o grande naturalista francês Georges – Louys Leclerc, Conde de Buffon (1707-1778), sugeriu o sistema duodecimal (base 12). As vantagens desse sistema decorrem do fato de que a base em doze é mais rica em divisores que a base dez. O o hábito de cotar em dúzias é uma herança da idéia de Buffon.

Outra tentativa foi a de Joseph-Louis de Lagrange(1736-1813), matemático, que sugeriu que a base fosse um número primo (com somente dois divisores, ele mesmo e o um). Escolheu o onze, destacando que nesse sistema de onze símbolos todas as frações seriam irredutíveis.

Há ainda o sistema binário, utilizada na informática. Dele falaremos em outra oportunidade.

Agora vamos lembrar apenas que mesmo pessoas instruídas costumam não se dar conta da importância dessa construção. E nem sabem que há menos de quatro séculos a única bagagem que o homem de cultura média dispunha para calcular eram seus dedos. Para elas vale lembrar a frase do matemático americano Tobias Dantzig: "Enquanto o homem contar por dezenas, seus dedos lembrar-lhe-ão a origem humana dessa fase muito importante da sua vida mental. Assim possa o sistema decimal permanecer como monumento à proposição: o homem é a medida de todas as coisas".

Fonte: Superinteressante, junho de 1988

O MUNDO DA MATEMÁTICA (8)

Que tal explorar ideias relacionadas ao  teorema de Pitágoras e ao montanhismo?

DESCARTES

Nascimento: 31 de março, 1596 em La Haye (hoje Descartes), Touraine, França

Falecimento: 11 de fevereiro de 1650 em Estocolmo, Suécia

René Descartes era um filósofo cuja obra, La Géométrie , inclui a aplicação da álgebra à geometria a partir do qual temos agora a geometria cartesiana.

Descartes foi educado no colégio jesuíta de La Flèche, em Anjou. Ele entrou na faculdade com a idade de oito anos, poucos meses após a abertura do colégio, em janeiro de 1604. Ele estudou ali até 1612, estudando os clássicos, lógica e filosofia aristotélica tradicional. Ele também aprendeu a matemática dos livros de Clavius. Enquanto na escola a sua saúde era frágil e foi-lhe concedida autorização para permanecer na cama até as onze horas da manhã, um hábito que manteve até o ano de sua morte.

A escola fez Descartes entender o quão pouco sabia, o único assunto que foi satisfatório a seus olhos foi a matemática. Esta idéia se tornou a base para a sua maneira de pensar, e formou a base para todas as suas obras.

Descartes passou algum tempo em Paris, aparentemente isolando-se, quando então estudou na Universidade de Poitiers. Recebeu um diploma de Direito de Poitiers em 1616, em seguida, se alistou na escola militar de Breda. Em 1618 ele começou a estudar matemática no âmbito do cientista holandês Isaac Beeckman, e começou a procurar uma ciência unificada da natureza. Após dois anos na Holanda, viajou pela Europa. Então, em 1619 ingressou no exército bávaro.

A partir de 1620-1628 Descartes viajou pela Europa, gastando o tempo na Boêmia (1620), Hungria (1621), Alemanha, Holanda e França (1622-1623). Ele passou um tempo em 1623 em Paris, onde fez contato com Mersenne, um contato importante que o manteve em contato com o mundo científico por muitos anos. De Paris viajou para a Itália, onde passou algum tempo em Veneza, e depois voltou para a França mais uma vez (1625).

Em 1628 Descartes cansado da viagem contínua e decidiu se estabelecer. Ele deu muita atenção ao escolher um país adequado à sua natureza e escolheu a Holanda. Foi uma boa decisão da qual ele pareceu não se arrepender nos 20 anos seguintes.

Logo após ter se instalado na Holanda, Descartes começou a trabalhar no seu grande primeiro tratado sobre física, Le Monde, ou Traité de la Lumière. Este trabalho estava quase pronto quando a notícia de que Galileu foi condenado à prisão domiciliar o alcançou. Ele, talvez sabiamente, decidiu não arriscar e publicação da obra que foi publicada, apenas em parte, após a sua morte. Ele explicou mais tarde a sua mudança de direção dizendo: -

... a fim de expressar minha opinião mais livremente, sem serem chamados a parecer favorável, ou para refutar as opiniões dos eruditos, decidi deixar todo esse mundo para eles e para falar apenas do que aconteceria em um mundo novo, se Deus o criasse ... e permitir-lhe agir em conformidade com as leis que Ele estabeleceu.

Na Holanda, Descartes tinha um número de amigos científicos, bem como contato contínuo com Mersenne. Sua amizade com Beeckman continuou e ele também teve contato com Mydorge, Hortênsio, Huygens e Frans van Schooten (o velho).

Descartes foi pressionado por seus amigos para publicar suas idéias e, embora ele tenha sido inflexível em não publicar "Le Monde" , ele escreveu um tratado sobre ciência, sob o título Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les ciências . Três apêndices a esse trabalho foram La Dioptrique, Les Météores, e La Géométrie. O tratado foi publicado em Leiden em 1637 e Descartes escreveu para Mersenne dizendo: -

Eu tentei no meu "Dioptrique" e meu "Météores" mostrar que o meu Méthode é melhor que o vulgar, e na minha "Géométrie" ter demonstrado isso.

O trabalho descreve o que Descartes considera que é um meio mais satisfatório de adquirir o conhecimento do que a apresentada pela lógica de Aristóteles. Só a matemática, Descartes sente, é certa, então tudo deve ser baseado na matemática.

La Dioptrique é um trabalho em óptica e, embora Descartes não cite cientistas precedentes para as idéias que ele propõe, na verdade há poucas novidades. Entretanto, sua abordagem com a experiência era uma contribuição importante.

Les Météores é um trabalho sobre meteorologia e é importante ser o primeiro trabalho que tenta colocar o estudo do clima em uma base científica. No entanto, muitos dos créditos de Descartes estão não apenas errados, mas poderiam facilmente ter sido percebidos como erros se ele tivesse feito algumas experiências simples. Por exemplo, Roger Bacon tinha demonstrado o erro do que comumente se acredita que a água que tenha sido fervida congela mais rapidamente.No entanto afirma Descartes: -

... e vemos pela experiência que a água que tem sido mantido em um incêndio durante algum tempo congela mais rapidamente do que de outra forma, a razão é que os seus elementos, que podem ser facilmente dobrados e curvados são expulsos durante o aquecimento, deixando somente aqueles que são rígidos.

Apesar de suas muitas falhas, o tema da meteorologia foi definido em curso após a publicação do Les Météores particularmente através do trabalho de Boyle, Hooke e Halley.

La Géométrie é de longe a mais importante parte deste trabalho. Em [17] Scott resumiu a importância deste trabalho em quatro pontos: -

1. Ele faz o primeiro passo rumo a uma teoria dos invariantes, que na tarde acabou por desrelativizar o sistema de referência e remover arbitrariedades.
   
2. A Álgebra faz possível reconhecer os problemas típicos na geometria e trazer junto os problemas que, em caráter geométrico não parecem estar relacionada a todos.
   
3. A Álgebra traz para a geometria os princípios mais naturais de divisão e de hierarquia mais natural do método.
   
4. Não só podem as questões de solvabilidade e possibilidade geométricas ser decidido elegantemente, rapidamente e inteiramente na álgebra paralela, sem ela não pode ser decidida em tudo.
   

Algumas idéias no La Géométrie podem ter vindo de um trabalho anterior de Oresme mas no trabalho de Oresme não há indícios de ligação entre álgebra e geometria. Wallis em Álgebra(1685) argumenta fortemente que as idéias do La Géométrie foram copiadas de Harriot.Wallis escreve: -

... a Praxis foi lido por Descartes, e cada linha de análise de Descartes tem sinal da impressão.

Não parece pouco para justificar a alegação de Wallis, que provavelmente foi feita em parte através de patriotismo, mas também através de seus desejos apenas para dar Harriot mais crédito para seu trabalho. trabalho de Harriot sobre equações, no entanto, pode de fato ter influenciado Descartes que, sempre alegou, de modo claramente falso, que nada em sua obra foi influenciada pelo trabalho de outros.

O Meditações sobre Filosofia Primeira de Descartes, foi publicado em 1641, projetado para o filósofo e teólogo. Ele consiste de seis meditações, das coisas que podemos duvidar, Da Natureza da Mente Humana, De Deus: que Ele existe, de verdade e erro, da essência das coisas materiais, da existência das coisas materiais e do Real distinção entre a mente e o corpo do homem. No entanto, muitos cientistas se opuseram às idéias de Descartes, incluindo Arnauld, Hobbes e Gassendi.

O mais abrangente trabalho de Descartes, Principia Philosophiae , foi publicado em Amsterdã em 1644. Em quatro partes, Os Princípios do Conhecimento Humano, Os Princípios das Coisas Materiais, Do Mundo Visível e A Terra , ele tenta colocar o universo inteiro em uma base matemática, reduzindo o estudo da mecânica.

Este é um importante ponto de vista e estava a apontar o caminho a seguir. Descartes não acredita em ação à distância. Portanto, mesmo assim, não poderia haver vácuo em torno da Terra, ou não havia nenhuma maneira que as forças poderiam ser transferidas. Em muitos aspectos a teoria de Descartes, onde as forças trabalham através do contato, é mais satisfatório do que o efeito misterioso da gravidade agindo a distância.

Contudo, a mecânica Descartes deixa muito a desejar. Ele assume que o universo está repleto de matéria que, devido a algum movimento inicial, já se estabeleceram em um sistema de vórtices que carregam o sol, as estrelas, os planetas e cometas em seus trajetos. Apesar dos problemas com a teoria dos vórtices foi defendida na França por quase cem anos, mesmo depois que Newton mostrou que era impossível como um sistema dinâmico. Como Brewster, um dos biógrafos de Newton do século 19, diz: -

Assim entrincheirada como o sistema cartesiano foi ... não era de admirar que as doutrinas puras e sublimes do Principia foram recebidas com desconfiança ... A mente instruída não poderia facilmente admitir a idéia de que as grandes massas dos planetas foram suspensas no espaço vazio, e mantiveram suas órbitas por uma influência invisível ...

Agradados com a teoria de Descartes, mesmo os adeptos de sua filosofia natural, como o teólogo de Cambridge metafísica de Henry More, encontraram objeções. Certamente More admirava Descartes, escrevendo: -

Eu deveria olhar Des-Cartes como um homem mais verdadeiramente inspirado nos conhecimentos da natureza, do que qualquer outro que se declararam desta forma nestes 1600 anos ...

Porém, entre 1648 e 1649 trocaram um certo número de cartas em que More fez algumas acusações dizendo, Descartes no entanto, em suas respostas não fez concessões às objeções de More, que passou a perguntar: -

Por que não são seus vórtices em forma de colunas ou cilindros, em vez de elipses, desde qualquer ponto do eixo de um vortex é como se fosse um centro do qual a matéria celestial se afasta com o tanto quanto eu posso ver, uma constante dinâmica totalmente ? ... Quem faz com que todos os planetas não girem em um plano ( o plano da eclíptica ) ? ... E a própria Lua, nem no plano do equador da Terra, nem em um plano paralelo a isso?

Em 1644, ano em que seu Meditações foi publicado, Descartes visitou a França. Ele retornou novamente em 1647, quando ele conheceu Pascal e discutiu com ele que o vácuo não poderia existir, e depois novamente em 1648.

Em 1649 a rainha Cristina da Suécia persuadiu Descartes a ir para Estocolmo. No entanto, a rainha queria desenhar tangentes às 05:00 e Descartes rompeu o hábito de sua vida, de levantar-se às 11 horas. Após apenas alguns meses no clima frio do norte, caminhando para o palácio às cinco horas, todas as manhãs, ele morreu de pneumonia.

Texto adaptado de um artigo de J J O'Connor and E F Robertson

MacTutor History of Mathematics