25 - Probabilidade II - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (25)

6   6   6   6   =   5

6   6   6   6   =   6

6   6   6   6   =   8

6   6   6   6   =   30

6   6   6   6   =   24

6   6   6   6   =   48

6   6   6   6   =   66

6   6   6   6   =   180

Como conseguir essas igualdades colocando entre os 6 sinais aritméticos?

Jogos matemáticos - 25

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Fermat: O grande mistério da margem pequena

Luiz Barco

Numa noite qualquer do longínquo ano de 1637, o advogado francês Pierre de Fermat, matemático amador, lia o livro Arithmetica, escrito pelo grego Diophantus de Alexandria, e encontrou um método simples para determinar números positivos inteiros gue satisfaçam a equação x² + y² = z². Por exemplo, se x é igual a 3, y igual a 4, então z é igual a 5.

Movido por súbita inspiração, Fermat anotou na margem da página que lia: "E impossível dividir um cubo em dois cubos, ou uma biquadrada em duas biquadradas, ou, em geral, qualquer potência em duas potências de igual valor. Descobri uma prova verdadeiramente maravilhosa disso para cujo desenvolvimento, entretanto, esta margem é muito pequena. O que o advogado queria dizer, com essa linguagem algo complicada, é que não há números inteiros que satisfaçam a equação Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ, quando n é inteiro e maior do que 2.

Desde então, matemáticos profissionais e amadores, da mais variada qualificação, vêm tentando sem sucesso descobrir que prova seria essa - ou então mostrar que ela não existe. O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) mostrou a impossibilidade para n igual a 3 ou 4. O alemão de origem francesa Peter Gustav Lejeune Dirichlet provou-a para n igual a 5. Mais tarde outro matemático alemão, Ernst Eduard Kummer (1810-1893), exibiu a Dirichlet o que imaginava fosse uma demonstração perfeita da conjectura de Fermat. Mas Dirichlet apontou-lhe logo um erro que comprometia todo o trabalho. Kummer, é verdade, não Çtesistiu e, embora não chegasse à solução do problema que lhe interessava, acabou, com seu esforço, criando a teoria dos "números ideais", uma fértil e fundamental conquista da Matemática no século XIX.

No começo do século XX foi oferecido, na Alemanha, um prêmio de 100 mil marcos para quem apresentasse uma demonstração correta para a conjectura de Fermat. Uma verdadeira onda de soluções, a maioria bizarras e ingênuas, caiu sobre o comitê de julgamento, entre 1908 e 1911, quando então o prêmio foi revogado. Mas a procura da solução nunca parou. Mais recentemente, o uso de computadores de alta velocidade já provou que ela é verdadeira para n até o valor 150000.

Em fevereiro passado, finalmente, o brilhante matemáticp japonês Y oi chi Miyaoka, da Universidade de Tóquio, apresentou num seminário no Instituto Max Planck, na Alemanha, um trabalho contido em menos de uma dúzia de páginas manuscritas. Ele expôs, em argumentos altamente técnicos, idéias que complementam trabalhos de vários outros matemáticos, russos em particular, ligando campos diferentes como a teoria dos números, a álgebra e a geometria. Não havia ali nenhuma referência direta à conjectura de Fermat, mas os especialistas capacitados a entender o pesado linguajar de Miyaoka enxergaram, no seu trabalho, a derrubada da última cidadela que guarnecia o mistério aparentemente invencível.

Houve grande emoção no mundo matemático, naturalmente demonstrada de forma contida. Revistas especializadas chegaram a noticiar o grande feito e até a imprensa leiga deu repercussão à novidade, Em abril passado, porém, a revista inglesa New Scientist anunciou que Miyaoka, alertado por alguns colegas, entre eles Gerd Feltings, da Universidade de Princeton (como ele especialista em Geometria Diferencial), reconhecia a existência de falhas em seu trabalho.

Isso significa que a conjectura de Fermat continua à espera de demonstração. Talvez tenha sido melhor assim, pois é evidente que as idéias desenvolvidas por Miyaoka e vários dos que o precederam na busca dessa solução transcendem, em muito, a importância da própria conjectura. Eu acredito que assim como está, ainda sem solução, ela continuará sendo terreno fértil de onde brotarão outras idéias, outras teorias que enriquecerão bastante nosso conhecimento da Matemática.

Fonte: Superinteressante, agosto de 1988

Obs.  Em 1994, oito anos depois de o Professor Luiz Barco ter escrito o artigo acima, o Último Teorema de Fermat foi finalmente demonstrado pelo matemático britânico Andrew Wiles.

O MUNDO DA MATEMÁTICA (10)

Todo mundo sabe ( ou pelo menos imagina) o que é um cilindro.
Mas, e o seu volume?
Como se calcula?
Vamos ver?

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat

Nascido em: 17 ago 1601 em Beaumont -de- Lomagne , França

Morreu em: 12 de janeiro de 1665 em Castres, França

O pai de Pierre Fermat era um rico comerciante de couro e segundo cônsul de Beaumont -de- Lomagne . Há alguma controvérsia [14] sobre a data do nascimento de Pierre como dado acima , uma vez que é possível que ele tinha um irmão mais velho ( que também havia sido dado o nome de Pierre ), mas que morreu jovem . Pierre tinha um irmão e duas irmãs e foi quase certamente criada na cidade de seu nascimento . Embora haja poucas evidências a respeito de sua educação escolar deve ter sido no mosteiro franciscano local.

Ele freqüentou a Universidade de Toulouse antes de se mudar para Bordeaux , na segunda metade da década de 1620 . Em Bordeaux ele começou suas primeiras pesquisas matemáticas sérias e em 1629 ele deu uma cópia de sua restauração de loci avião de Apolônio de um dos matemáticos lá. Certamente em Bordeaux , ele estava em contato com Beaugrand e durante este tempo ele produziu importantes trabalhos sobre máximos e mínimos que ele deu ao Étienne d' Espagnet que dividiu claramente os interesses matemáticos com Fermat .

De Bordeaux Fermat foi para Orléans , onde estudou Direito na Universidade . Formou-se em direito civil e ele comprou os cargos de vereador no parlamento , em Toulouse. Então, por 1631 Fermat era um advogado e oficial do governo em Toulouse e por causa do cargo que agora ele se tornou realizou o direito de mudar seu nome de Pierre de Fermat Pierre de Fermat .

Para o restante de sua vida ele viveu em Toulouse , mas , bem como trabalhar lá, ele também trabalhou em sua cidade natal de Beaumont -de- Lomagne e uma cidade vizinha de Castres . Desde sua nomeação, em 14 de maio, 1631 Fermat trabalhou na câmara baixa do parlamento, mas em 16 de janeiro 1638 foi nomeado para uma câmara superior, em seguida, em 1652 , ele foi promovido ao mais alto nível no tribunal criminal. Ainda mais promoções parecem indicar um aumento bastante meteórica através da profissão, mas a promoção foi feito principalmente na antiguidade e a praga atingiu a região na década de 1650 início de significado que muitos dos homens mais velhos morreram. Próprio Fermat foi atingido pela peste e em 1653 a sua morte foi erroneamente relatado, em seguida, corrigiu : -

Eu informei antes da morte de Fermat . Ele está vivo, e não temos mais medo por sua saúde , mesmo que ele tinha contado entre os mortos há pouco tempo .

O relatório a seguir , fez a Colbert a principal figura na França na época, tem um anel de verdade: -

Fermat , um homem de grande erudição, tem contato com homens de aprendizagem em todos os lugares . Mas ele está bastante preocupado, ele não relata casos bem e está confuso.

Claro que Fermat estava preocupado com a matemática . Ele manteve sua amizade com Beaugrand matemática depois que ele mudou-se para Toulouse , mas lá, ele ganhou um novo amigo matemático em Carcavi . Fermat conheceu Carcavi a título profissional uma vez que ambos eram vereadores em Toulouse , mas ambos compartilhavam o amor pela matemática e Fermat contou Carcavi sobre suas descobertas matemáticas.

Em 1636 Carcavi foi para Paris como bibliotecário real e fez contato com Mersenne e seu grupo . O interesse de Mersenne foi despertado por descrições de Carcavi de descobertas de Fermat sobre corpos em queda , e ele escreveu a Fermat . Fermat respondeu em 26 de abril de 1636 e , além de contar Mersenne sobre erros que ele acreditava que Galileu tinha feito em sua descrição da queda livre, ele também disse a Mersenne sobre seu trabalho em espirais e sua restauração de loci avião de Apolônio . Seu trabalho em espirais foi motivado pela consideração do caminho de corpos em queda livre e ele usou métodos generalizadas do trabalho de Arquimedes sobre espirais para calcular áreas sob as espirais . Além disso Fermat escreveu: -

Eu também encontrei muitos tipos de análises para diversos problemas, numéricos , bem como geométrica , para a solução de que a análise de Viète não poderia ter bastado . Vou compartilhar tudo isso com você sempre que você deseja e fazê-lo sem qualquer ambição , da qual eu sou mais isento e mais distante do que qualquer homem no mundo.

É um pouco irônico que este contato inicial com Fermat ea comunidade científica veio através de seu estudo de queda livre desde que Fermat tinha pouco interesse em aplicações físicas da matemática. Mesmo com os resultados em queda livre, ele estava muito mais interessado em provar teoremas geométricos do que em sua relação com o mundo real. Esta primeira carta que , todavia, conter dois problemas sobre máximos que Fermat pediu a Mersenne passar para os matemáticos de Paris e este era para ser o típico estilo das cartas de Fermat , ele iria desafiar outros a encontrar resultados que ele já tinha obtido .

Roberval e Mersenne que os problemas de Fermat nesta primeira , e subseqüente , cartas eram extremamente difíceis e, geralmente, não solúvel , utilizando técnicas atuais. Pediram-lhe para divulgar seus métodos e Fermat mandou Método para determinar Máximos e Mínimos e Tangentes às linhas curvas , o texto restaurado de loci avião de Apolônio e sua abordagem algébrica à geometria Introdução ao avião e Solid Loci aos matemáticos de Paris.

Sua reputação como um dos maiores matemáticos do mundo veio rapidamente, mas tenta obter seu trabalho publicado falhou principalmente porque Fermat nunca quis colocar o seu trabalho em uma forma polida. No entanto, alguns de seus métodos foram publicados , por exemplo Hérigone adicionado um suplemento contendo métodos de máximos e mínimos de Fermat a sua obra principal Mathematicus Cursus . A correspondência crescente entre Fermat e outros matemáticos não encontrou louvor universal. Frenicle de Bessy ficou irritado com os problemas de Fermat , que para ele eram impossíveis . Ele escreveu com raiva de Fermat , mas apesar de Fermat deu mais detalhes na sua resposta , Frenicle de Bessy sentiu que Fermat estava quase a provocá-lo .

No entanto Fermat logo se envolveu em uma polêmica com a mais importante matemático do que Frenicle de Bessy . Tendo sido enviada uma cópia de Descartes 'La Dioptrique por Beaugrand , Fermat pagou pouco de atenção desde que ele estava no meio de uma correspondência com Roberval e Etienne Pascal sobre métodos de integração e usá-los para encontrar os centros de gravidade . Mersenne pediu-lhe para dar uma opinião sobre La Dioptrique que Fermat fez, descrevendo-o como

tateando nas sombras.

Ele alegou que Descartes não deduziu corretamente sua lei de refração , uma vez que era inerente em suas suposições. Dizer que Descartes não estava satisfeito é um eufemismo. Descartes logo encontrou razão para se sentir ainda mais irritado uma vez que ele via o trabalho de Fermat sobre máximos , mínimos e tangentes de reduzir a importância da sua obra La Géométrie que Descartes era o mais orgulhoso e que ele procurou mostrar que seus Discours de la sozinho méthode poderia dar.

Descartes atacou método de máximos, mínimos e tangentes de Fermat . Roberval e Etienne Pascal envolveram-se no argumento e, eventualmente, o mesmo que fizeram Desargues que Descartes pediu para atuar como um árbitro . Fermat mostrou-se correto e eventualmente Descartes admitiu esta escrito : -

... vendo o último método que você usa para encontrar tangentes às linhas curvas , posso responder a isso de nenhuma outra maneira de dizer que é muito bom e que , se tivesse explicado desta maneira no início, eu não teria contradisse em tudo.

Será que este fim o assunto e aumentar a posição de Fermat ? Nem por isso , desde Descartes tentou prejudicar a reputação de Fermat . Por exemplo, embora ele escreveu a Fermat elogiando o seu trabalho sobre a determinação da tangente a uma ciclóide (que é realmente correto) , Descartes escreveu para Mersenne dizendo que era incorreto e dizendo que Fermat era inadequado como um matemático e um pensador . Descartes era importante e respeitado e, assim, foi capaz de danificar gravemente a reputação de Fermat .

O período 1643-1654 foi um quando Fermat estava fora de contato com seus colegas cientistas em Paris. Há um número de razões para isto. Em primeiro lugar, a pressão de trabalho o impedia de dedicar tanto tempo à matemática . Segundo a Fronda , uma guerra civil na França, ocorreu a partir de 1648 e Toulouse foi o mais afetado . Finalmente, houve a praga de 1651 , que deve ter tido grandes conseqüências tanto sobre a vida em Toulouse e, claro, suas conseqüências quase fatal em si mesmo Fermat . No entanto, foi durante este período que Fermat trabalhou em teoria dos números.

Fermat é mais lembrado por seu trabalho em teoria dos números, em especial para o Último Teorema de Fermat . Este teorema afirma que

xn + yn = zn

não tem soluções inteiros diferentes de zero para x, y e z , quando n > 2. Fermat escreveu , na margem da tradução de Bachet de Arithmetica de Diofanto

Eu descobri uma prova verdadeiramente notável, que esta margem é muito pequena para conter .

Estas notas marginais só se tornou conhecido após o filho Samuel de Fermat publicou uma edição da tradução de Bachet de Arithmetica de Diofanto com notas de seu pai em 1670.

Acredita-se agora que Fermat "prova" estava errado , embora seja impossível ter a certeza absoluta . A verdade da afirmação de Fermat foi provado em Junho de 1993 pelo matemático britânico Andrew Wiles , mas Wiles retirou a reivindicação de ter uma prova , quando problemas surgiram mais tarde , em 1993. Em novembro 1994 Wiles reivindicou novamente ter uma prova correta , que já foi aceito .

Tentativas frustradas de provar o teorema sobre um período de 300 anos levou à descoberta da teoria comutativa do anel e uma riqueza de outras descobertas matemáticas.

A correspondência de Fermat com os matemáticos de Paris reiniciado em 1654 , quando Blaise Pascal , filho de Étienne Pascal , escreveu-lhe para pedir a confirmação sobre suas idéias sobre probabilidade. Blaise Pascal sabia de Fermat através de seu pai , que morreu três anos antes , e estava bem ciente das habilidades matemáticas pendentes de Fermat . Sua curta correspondência estabelecer a teoria da probabilidade e disto eles são agora considerados como fundadores conjuntos do assunto. Fermat no entanto, sentindo o seu isolamento e ainda querendo adotar o velho estilo de matemáticos difíceis , tentou mudar o tópico de probabilidade para a teoria dos números . Pascal não estava interessado, mas Fermat , não percebendo isso, escreveu a Carcavi dizendo : -

Estou muito contente de ter tido opiniões em conformidade com os de M Pascal , pois tenho estima infinita por seu gênio ... vocês dois podem realizar essa publicação , da qual eu concordar com o seu ser os mestres , você pode esclarecer ou complementar o que parece muito conciso e aliviar -me de um fardo que os meus deveres me impedir de assumir .

No entanto Pascal certamente não ia editar o trabalho de Fermat e após este flash de desejo de ter seu trabalho publicado Fermat novamente desistiu da idéia . Ele foi mais longe do que nunca com seus problemas desafio, no entanto : -

Dois problemas matemáticos posou como insolúvel para Francês , Inglês, Holandês e todos os matemáticos da Europa por Monsieur de Fermat , conselheiro do rei no Parlamento de Toulouse.

Seus problemas não levar muito interesse , como a maioria dos matemáticos parecia pensar que a teoria dos números não era um tópico importante . O segundo dos dois problemas , ou seja, para encontrar todas as soluções de NX2 + 1 = y2 para N não um quadrado, foi entretanto resolvido por Wallis e Brouncker e desenvolveram frações contínuas em sua solução. Brouncker produzido soluções racionais que levou a argumentos. Frenicle de Bessy foi, talvez, o único matemático na época que estava realmente interessado em teoria dos números , mas ele não tem talentos matemáticos suficientes para permitir -lhe para fazer uma contribuição significativa.

Fermat colocou mais problemas , ou seja, que a soma de dois cubos não pode ser um cubo ( um caso especial do Último Teorema de Fermat que pode indicar que a essa altura Fermat percebeu que a sua prova do resultado geral foi incorreto) , que há exatamente dois inteiro soluções de x2 + 4 = Y3 e que a equação x2 + 2 = Y3 tem apenas uma solução inteiro . Ele colocava problemas diretamente ao Inglês . Todos falharam em ver que Fermat estava esperando seus problemas específicos iria levá-los a descobrir, como ele havia feito , os resultados mais profundo teóricas.

Por essa época um dos alunos de Descartes estava coletando sua correspondência para publicação e ele virou-se para Fermat para obter ajuda com a Fermat - Descartes correspondência. Isso levou Fermat para olhar novamente para os argumentos que ele tinha usado 20 anos antes e ele olhou novamente para suas objeções à óptica de Descartes . Em particular, ele estava infeliz com a descrição de Descartes de refração da luz e ele já se encontra em um princípio que foi , de facto, deu a lei do seno de refração que Snell e Descartes havia proposto . No entanto Fermat já tinha deduzido a partir de uma propriedade fundamental que ele propôs , ou seja, que a luz segue sempre o caminho mais curto possível. Princípio de Fermat , hoje uma das propriedades mais básicas da óptica , não encontrou favor com os matemáticos da época.

Em 1656 Fermat começou uma correspondência com Huygens . Este surgiu de interesse Huygens em probabilidade e da correspondência logo foi manipulada por Fermat sobre tópicos de teoria dos números. Este tópico não Huygens juros, mas Fermat esforçado e em Nova Conta de descobertas na ciência dos números enviados para Huygens através Carcavi em 1659 , ele revelou mais de seus métodos que ele tinha feito aos outros.

Fermat descreveu seu método de descida infinita e deu um exemplo de como ela poderia ser usada para provar que todo primo da forma 4k + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados . Para supor um número da forma 4k + 1 não pode ser escrito como a soma de dois quadrados . Depois, há um número menor de forma 4k + 1, que não pode ser escrita como a soma dos dois quadrados . Continuando o argumento vai levar a uma contradição. O que Fermat não conseguiu explicar nesta carta é a forma como o número menor é construído a partir do maior. Supõe-se que Fermat sabia como fazer este passo, mas mais uma vez a sua incapacidade de divulgar o método feito matemáticos perder o interesse. Não foi até Euler assumiu esses problemas que os passos que faltam foram preenchidos

Fermat é descrito em [ 9],

Reservado e taciturno , ele não gosta de falar sobre si mesmo e estava relutante em revelar muito sobre seu pensamento. ... Seu pensamento , no entanto original ou romance , operado dentro de um leque de possibilidades limitadas por que [ 1600 - 1650 ] tempo e que [ França ] lugar.

Carl B Boyer , escrevendo em [2], diz: -

O reconhecimento da importância do trabalho de Fermat em análise foi tardia , em parte porque ele aderiu ao sistema de símbolos matemáticos elaborados por François Viète , notações que Descartes " Géométrie " tinha prestados em grande parte obsoleto. A desvantagem imposta pelas notações estranhas operado menos severamente em campo favorito de Fermat de estudo, a teoria dos números , mas aqui , infelizmente, ele não encontrou nenhuma correspondente a partilhar o seu entusiasmo.

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

dezembro 1996

ARTE MATEMÁTICA (25)

Nesta imagem temos um padrão que se repete gerando vários desenhos e formas de acordo com o modo como se olha.
Tal como acontece em alguns tipos de peças de cerâmica usadas para recobrir uma superfície.