29 - Juros Simples e Compostos - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (29)

Fácil como PI

Corte a figura abaixo que representa a letra grega Pi da forma mostrada.

Agora organize as cinco peças de modo a formar um quadrado.

Existe mais de uma maneira de fazer isso?

Jogos matemáticos - 29

BRAINIE

À medida em que os blocos numerados vão cindo, você deve escolhê-los de modo que a soma dos números seja o total indicado ao lado.
Não deixe os blocos se acumularem. Senão...

Vamos lá. Tente: BRAINIE

Você sabe escrever um bilhão?

Luiz Barco

Fazendo compras num supermercado, recentemente, ouvi um jovem pai que repreendia o filho traquinas: "Eu já disse um bilhão de vezes que não é para mexer nas coisas". E possível que, trinta anos antes, o avô daquela criança repreendesse o pai, então criança também, com igual força: "Eu já disse um milhão de vezes..." Ambos exageraram, é claro. Mesmo que admoestasse o filho sessenta vezes por dia, o avô levaria mais de 45 anos para falar um milhão de vezes. E o pai da geração do bilhão, por mais que vivesse, jamais conseguiria fazer justiça à sua expressão irada.
O fato é que milhão, bilhão, trilhão são expressões que entraram para o nosso dia-a-dia. A gente fala, e muitos nem se dão conta do que estão dizendo. Você sabia que 1 bilhão de dólares é muito dinheiro nos Estados Unidos e no Brasil, mas é muito, muito mais na Europa? O dinheiro vale a mesma coisa em toda parte, mas o número é diferente. Aqui e nos Estados Unidos, 1 bilhão é o número 1 seguido de nove zeros; na Europa, é o número 1 seguido de doze zeros. Observe que não se trata de uma diferença no sistema de numeração, mas no nome usado para designar os números.
O milhão, tanto para nós quanto para os europeus, é o resultado da multiplicação de mil por mil. É representado pelo número 1 seguido de seis zeros. Esse milhão, multiplicado por mil, dá um número formado pelo 1 seguido de nove zeros. Nós o chamamos 1 bilhão; os europeus o chamam mil, milhões. Para eles, o bilhão é o 1 seguido de doze zeros, ou seja, o resultado da multiplicação de 1 milhão por 1 milhão. Para nós, esse número é o trilhão.
A forma de determinar, sem ambigüidades, o tamanho real de um número, é simplesmente contar os zeros que se seguem ao 1. Para que isso não seja demorado nem fastidioso, os cientistas escrevem o número como potência de 10. Assim, o 100 é o resultado da multiplicação de 10 por 10, ou seja, 102; o 1 000 é o resultado da multiplicação de 10 por 10 por 10, ou seja, 103; o milhão é a multiplicação de 10 por 10 por 10 por 10 por 10 por 10, ou 106. E assim por diante. Observe que o expoente da potência é o número de zeros que acompanham o 1. Os cientistas escrevem 1013, e sabem exatamente do que estão falando, embora leigos brasileiros chamem esse número 10 trilhões e os leigos europeus 10 bilhões.
Além dessa clareza, a notação exponencial tem outra vantagem: ela é muito prática para fazer multiplicações de números muito grandes. Por exemplo: 1000000000 vezes 10 000 dá um número imenso, 10000000000000. Usando a notação exponencial, podemos escrever: 104 vezes 109 é igual a 1013. Observe que, na multiplicação de duas potências que têm a mesma base, basta repetir a base e somar os exponentes.
O astrônomo americano Carl Sagan escreveu recentemente: "Se em uma galáxia existem em média 1011 estrelas e se existem 1011 galáxias no Universo, então temos 1022 estrelas". Seria muito salutar que a divulgação de notícias envolvendo grandes números fosse feita utilizando-se somente a notação científica. Podemos imaginar quantos enganos a respeito da dívida externa brasileira foram cometidos, conforme as informações procederam da Europa ou dos Estados Unidos. E isso é apenas um exemplo. A História registra muitos outros exemplos interessantes de cálculos feitos com grandes números, que não podem admitir ambigüidades na sua valoração. Vejamos alguns:
O número de palavras impressas desde que Gutenberg imprimiu a sua Bíblia, em 1455, é da ordem 1016. Antigos monumentos maias dão conta de que esse extraordinário povo americano dava ao Universo a idade de 1029 anos.
O matemático grego Arquimedes estimava que seriam necessários 1063 grãos de areia para encher todo o Universo.
O físico inglês Arthur Stanley Eddington calculou, com base na Teoria da Relatividade de Albert Einstein, que o número de elétrons no Universo é da ordem de 1079.

Fonte: Superinteressante, dezembro de 1988

O MUNDO DA MATEMÁTICA (14)

Perspectiva é um conceito que aparece em muitas áreas. Na Arte por exemplo.
Mas, e na Matemática?
Vamos ver?

de MOIVRE

Abraham de Moivre

Data de Nascimento: 26 de maio de 1667 em Vitry -le- François , Champagne , França
Morreu em: 27 de novembro de 1754 em Londres, Inglaterra

Abraham de Moivre nasceu em Vitry -le- François , que está a meio caminho entre Paris e Nancy , onde seu pai trabalhou como cirurgião. A família não era certamente bem financeiramente , mas uma renda estável significa que eles não poderiam ser descritas como pobres. Os pais de Moivre eram protestantes , mas ele assistiu pela primeira vez a escola católica dos Irmãos Cristãos em Vitry , que era uma escola tolerante , particularmente assim , dadas as tensões religiosas na França neste momento. Quando tinha onze anos de idade seus pais o enviaram para a Academia Protestante em Sedan , onde passou quatro anos estudando grego sob Du Rondel .

O Edito de Nantes havia garantido a liberdade de culto na França desde 1598 , mas , apesar de ter realizado qualquer extensão do culto protestante na França legalmente impossível , ele foi muito ressentido pelo clero católico romano e pelos parlamentos franceses locais. Apesar do Edital , a Academia Protestante em Sedan foi suprimida em 1682 e de Moivre , forçada a se mover, em seguida, estudou lógica em Saumur até 1684. Embora a matemática não era uma parte do curso que ele estava estudando , de Moivre ler textos de matemática em seu próprio tempo . Em particular, ele leu tratado Huygens sobre jogos de azar De ratiociniis em ludo aleae . A essa altura, os pais de Moivre tinha ido viver em Paris por isso era natural para ele ir para lá. Ele continuou seus estudos no Collège de Harcourt , onde fez cursos de física e pela primeira vez teve formação matemática formal, tendo aulas particulares de Ozanam .

A perseguição religiosa dos protestantes tornou-se muito grave depois de Louis XIV revogou o Édito de Nantes , em 1685 , levando à expulsão dos huguenotes . Neste momento de Moivre foi preso por suas crenças religiosas no convento de St Martin . Não está claro quanto tempo ele se manteve lá, pois biógrafos católicos romanos indicam que logo após isso, ele emigrou para a Inglaterra , enquanto seus biógrafos protestantes dizem que ele foi preso até 27 abril de 1688 , depois que ele viajou para a Inglaterra. Depois de chegar em Londres, ele se tornou um professor particular de matemática , visitando os alunos que ele ensinou e também ensinando nas cafeterias de Londres.

Até o momento ele chegou a Londres de Moivre era um matemático competente com um bom conhecimento de muitos dos textos -padrão. No entanto, depois que ele fez uma visita ao conde de Devonshire, levando com ele uma carta de apresentação , foi mostrado Principia de Newton. Ele percebeu imediatamente que este era um trabalho muito mais profundo do que aqueles que ele havia estudado e decidiu que ele teria que ler e entender esta obra-prima . Ele comprou uma cópia , retira-se as páginas para que ele pudesse levar um pouco com ele em todos os momentos e, como ele viajou de um aluno para o outro , ele lê-los. Embora este não era o ambiente ideal para se estudar o Principia , é uma marca de habilidades de Moivre, que ele logo foi capaz de dominar o trabalho difícil. De Moivre esperavam por uma cadeira de matemática, mas os estrangeiros estavam em desvantagem na Inglaterra, por isso, embora ele agora estava livre de discriminação religiosa , ele ainda sofreu discriminação como um francês na Inglaterra. Nós descrevemos abaixo algumas tentativas para adquirir uma cadeira para ele.

Em 1692 de Moivre tinha conhecido Halley , que era nessa época secretário da Royal Society , e logo depois que ele conheceu Newton e fez amizade com ele. Seu primeiro papel matemática surgiu a partir de seu estudo de fluxões no Principia e março 1695 Halley comunicado este primeiro método do papel de fluxions para a Royal Society . Em 1697 ele foi eleito membro da Royal Society .

Em 1710 Moivre foi nomeado para a Comissão instituída pela Sociedade Real para revisar as reivindicações rivais de Newton e Leibniz a ser o descobridor do cálculo . Sua nomeação para esta Comissão foi devido à sua amizade com Newton. A Royal Society sabia a resposta que queria ! Também é interessante que Moivre deve ser dada esta posição importante , apesar de achar que é impossível ganhar um posto de professor universitário .

De Moivre foi pioneira no desenvolvimento da geometria analítica e da teoria da probabilidade. Ele publicou A Doutrina de Chance: Um método de cálculo das probabilidades de eventos em jogo em 1718 , embora uma versão latina tinha sido apresentada à Royal Society e publicado na Philosophical Transactions em 1711. Na verdade, foi Francis Robartes , que mais tarde tornou-se o Conde de Radnor , que sugeriu a Moivre que ele apresentar um quadro mais amplo dos princípios da teoria da probabilidade do que aqueles que tinha sido apresentado por Montmort em Essay d'analyse sur les jeux de perigo (1708) . É evidente que este trabalho por Montmort e que por Huygens que Moivre tinha lido enquanto em Saumur, continha os problemas que Moivre atacados em seu trabalho e isso levou Montmort para entrar em uma disputa com Moivre sobre originalidade e prioridade. Ao contrário da disputa Newton- Leibniz que Moivre tinha julgado , o argumento com Montmort parece ter sido resolvida amigavelmente . A definição de independência estatística aparece neste livro junto com muitos problemas com dados e outros jogos .

Na verdade, a Doutrina da chance apareceu em novas edições expandidas em 1718, 1738 e 1756 . Por exemplo, em [5] Dupont olha para o " jeu de rencontre " apresentada pela primeira vez Montmort e generalizada por de Moivre em Problemas XXXIV e XXXV da edição de 1738. XXXIV problema é o seguinte: -

Qualquer número de letras a, b , c, d , e, f , etc , todos eles diferentes, sendo feita promiscuamente como acontece : a determinar a probabilidade de que alguns deles serão encontrados nos seus locais de acordo com a patente eles obter no alfabeto , e que dentre eles deve ao mesmo tempo ser deslocadas.

Problema generaliza Problema XXXIV XXXV , permitindo que cada uma das letras a, b, c, ... de ser repetido um certo número de vezes. Os "jogadores " arruinar "o problema aparece como problema LXV na edição de 1756. Dupont olha para este problema, e a solução da Todhunter , em [6 ] . De fato, em A história da teoria matemática das probabilidades (Londres, 1865) , Todhunter diz que a probabilidade: -

... deve mais a [ Moivre ] do que qualquer outro matemático, com a única exceção de Laplace .

A edição de 1756 da doutrina da Possibilidade continha o que é, provavelmente, a contribuição mais importante da Moivre a esta área , a saber, a aproximação da distribuição binomial pela distribuição normal , no caso de um grande número de ensaios . De Moivre publicado pela primeira vez este resultado em um panfleto Latina de 13 de Novembro 1733 ( ver [4] para uma discussão interessante ) com o objetivo de melhorar a lei de Jacob Bernoulli de grandes números. O trabalho compreende [ 1]: -

... a primeira ocorrência do integral de probabilidade normal . Ele até parece ter percebido , embora ele não revelou o nome , o parâmetro chamado agora o desvio padrão ...

De Moivre também investigou estatísticas de mortalidade ea fundação da teoria de anuidades. Um trabalho inovador por Halley tinha sido a produção de tábuas de mortalidade , com base em cinco anos de dados , para a cidade de Breslau , que publicou em 1693. Ele foi um dos primeiros trabalhos a respeito da mortalidade e idade em uma população e foi muito influente na produção de tabelas atuariais em seguros de vida. É quase certo que a amizade de Moivre com Halley levou ao seu interesse em anuidades e publicou Anuidades sobre a vida em 1724 . Edições posteriores apareceu em 1743 , 1750, 1752 e 1756 . Sua contribuição , baseada principalmente em dados de Halley , é importante por causa de sua [1]: -

... derivação de fórmulas para anuidades com base em um direito postulado da mortalidade e das taxas de juros constante em dinheiro. Aqui se encontra o tratamento das anuidades conjuntas em várias vidas, a herança de anuidades , problemas sobre a divisão justa dos custos de um tontine e outros contratos em que idade e juros sobre o capital são relevantes .

Em Miscellanea Analytica ( 1730 ) aparece a fórmula de Stirling (injustamente atribuída a Stirling ) que Moivre usou em 1733 para derivar a curva normal como uma aproximação para a binomial. Na segunda edição do livro em 1738, Moivre dá crédito a Stirling por uma melhoria para a fórmula. De Moivre escreveu: -

Eu desisti de avançar mais até o meu digno e sábio amigo James Stirling , que havia aplicado após me a esse inquérito , [ descobriu que c = √ (2 π ) ] .

De Moivre também é lembrado por sua fórmula de

(cos x + i sen x ) n

que levou trigonometria em análise , e foi importante no início do desenvolvimento da teoria dos números complexos. Afigura-se desta forma em um papel que Moivre publicado em 1722 , mas uma fórmula intimamente relacionada havia aparecido em um trabalho anterior que Moivre publicado em 1707.

Apesar da eminência científica de Moivre, a sua renda principal era como um professor particular de matemática e ele morreu na pobreza. Desesperado para obter uma cadeira em Cambridge , ele implorou Johann Bernoulli para persuadir Leibniz para escrever apoiá-lo . Ele assim o fez em 1710 explicando que Leibniz de Moivre estava vivendo uma vida miserável de pobreza. Na verdade Leibniz conheceu Moivre , quando ele estava em Londres em 1673 e tentou obter uma cátedra de Moivre na Alemanha, mas sem sucesso. Mesmo seus amigos ingleses influentes, como Newton e Halley não poderia ajudá-lo a obter um posto de professor universitário . De Moivre [3]: -

... era amigo íntimo de Newton , que costumava buscá-lo todas as noites , para o discurso filosófico em sua própria casa , a partir da casa de café (provavelmente Slaughter do ), onde passou a maior parte de seu tempo.

Fato de Moivre revisou a tradução latina de Óptica de Newton e dedicou a Doutrina da chance a ele. Newton devolveu o elogio , dizendo a quem o questionou sobre o Principia [1]: -

Ir para o Sr. De Moivre , ele sabe essas coisas melhor do que eu.

Clerke escreve sobre seu personagem em [3]: -

Ele era solteiro , e passou seus anos finais em estudo pacífica. Literatura, antiga e moderna , mobilado sua recriação , ele disse certa vez que preferia ter sido Molière de Newton , e ele sabia que as suas obras e as de Rabelais quase de cor . Ele continuou por toda a vida cristã firme . Depois de visão e audição tinha falhado sucessivamente , ele ainda era capaz de deleite arrebatador na sua eleição como associado estrangeiro da Academia de Ciências de Paris em 27 de Junho 1754.

De Moivre , como Cardan , é famosa por prever o dia de sua própria morte. Ele descobriu que ele estava dormindo 15 minutos a mais cada noite e somando a progressão aritmética, calculou que ele iria morrer no dia em que ele dormiu por 24 horas. Ele estava certo !
Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

junho 2004

ARTE MATEMÁTICA (29)

Preste bastante atenção aos detalhes e observe as mudanças na sequência das imagens...

São apenas elipses sobrepostas que foram tornando-se mais escuras quadro a quadro. Dá pra acreditar?!?