30 - Conjuntos Numéricos - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (30)

Você tem uma cesta contendo dez maçãs. Você tem dez amigos, cada um deseja uma maçã . Você dá a cada um de seus amigos uma maçã.

Agora todos os seus amigos têm uma maçã cada um, no entanto, há uma maçã restante na cesta.

Como?

Jogos matemáticos - 30

MANCALA

Versão online de um famoso jogo lógico.
Vale a pena conferir.
Afinal, qual será a melhor estratégia para ganhar?
Descubra em: MANCALA

A alavanca de Arquimedes

Outro dia, ao visitar um amigo, notei que seu filho estava preocupado, estudando as chamadas máquinas simples, entre elas as alavancas. Lembrei-me então de minha esposa, que estivera às voltas com as agruras de trocar um pneu furado e aprendera como não é nada simples, às vezes, o uso de uma máquina simples - a alavanca do macaco do automóvel. Perguntei ao garoto se ele sabia que o conhecimento do uso das alavancas tem sido importante nas mais diversas civilizações. É famosa a história, contada pelo escritor grego Plutarco, de que o genial Arquimedes ao descobrir as leis das alavancas afirmara: "Dêem-me um ponto de apoio e eu levantarei o mundo".
Propus então tentarmos responder à pergunta: teria podido Arquimedes levantar a Terra? E assim o jovem utilizaria seus recém-adquiridos conhecimentos. Foi, na verdade, o escritor russo Yakov Perelman, autor de várias obras de curiosidades científicas, quem fez a provocadora pergunta no seu livro Física recreativa. É claro que Arquimedes usou de uma força de expressão para enaltecer o princípio da alavanca e não para se vangloriar de sua força física. Todas as alavancas seguem o mesmo princípio: com uma força P aplicada no braço maior (b) é possível equilibrar uma força maior, R, que esteja na ponta do braço menor (a), já que o produto P x b é igual ao produto R x a (veja esquema).
A proposta de Arquimedes segue o mesmo princípio. Mas vejamos os valores: sabemos hoje que um corpo com a mesma massa da Terra, se pudesse ser pesado na superfície do nosso planeta, pesaria 6 sextilhões (6 x 1021) de toneladas. Supondo-se que o sábio de Siracusa fosse capaz de levantar diretamente do solo um peso de 60 quilos, ele iria necessitar de uma imensa alavanca (índeformá-vel) cujo braço maior fosse 1023 vezes maior que o menor, ou seja, 100 000 000 000 000 000 000 000 vezes o braço menor.
Apoaindo essa alavanca na Lua, que está a cerca de 400 mil (4 x 105) quilômetros da Terra, Arquimedes teria de ficar na astronômica distância de 4 x 1028 quilômetros, a partir da Lua (4 x 105 x 1023), o que é quase 280 mil vezes mais distante que a galáxia mais remota. Mesmo supondo tudo isso possível, seria interessante notar o deslocamento que Arquimedes teria de dar na extremidade mais longa para que o braço menor levantasse o nosso planeta 1 centímetro apenas: cerca de 1 quintilhão (1018) de quilômetros. Esses cálculos não levam em conta o peso da alavanca. É claro: se é verdade que o sábio fez tal declaração, ela se destinava a realçar seu entusiamo pelo princípio da alavanca, e não para ser tomado ao pé da letra.
Vejamos então o raciocínio de Perelman: "Se supusermos que Arquimedes podia levantar um peso de 60 quilos a 1 metro de altura em 1 segundo - o que é próximo da capacidade de trabalho de um cavalo-vapor -, para ·levantar a Terra· um único centímetro, ele levaria algo por volta de 32 trilhões de anos". Esses simples cálculos mostram os valores reais a que podem chegar algumas declarações, se forem interpretadas literalmente. Mesmo assim, pude notar um brilho nos olhos do jovem estudante ao descobrir que usando um conhecimento que imaginava somente necessário para livrar-se da enfadonha prova poderia sentir o valor estético do descobrir que os gregos já conheciam e que as escolas teimam em ignorar.
Luiz Barco é professor da Escola de Comunicações e Artes da Universidade de São Paulo

Fonte: Superinteressante, janeiro de 1989

Criação dos números (1)

Esta é uma série bem animada que conta a história da criação dos números.
Divirta-se.

*CRAMER

Gabriel Cramer

Data de Nascimento: 31 de julho de 1704 em Genebra, Suíça
Morreu em: 04 de janeiro de 1752 em Bagnols -sur- Cèze , França

O pai de Gabriel Cramer foi Jean Isaac Cramer , que era um médico em Genebra, enquanto sua mãe era Anne Mallet . Jean e Anne teve três filhos, que todos iam para o sucesso acadêmico. Além de Gabriel, seus outros dois filhos estavam Jean- Antoine , que seguiu a profissão do pai e Jean , que se tornou um professor de Direito .

Gabriel certamente mudou rapidamente através de sua educação em Genebra, e em 1722, quando ele ainda tinha apenas 18 anos de idade, ele foi premiado com um doutoramento tendo apresentado uma tese sobre a teoria do som. Dois anos mais tarde, ele estava competindo para a cadeira de filosofia na Académie de Clavin , em Genebra.

O concurso para a cadeira estava entre três homens , o mais velho era Amédée de la Rive , enquanto os outros dois eram homens jovens, Giovanni Ludovico Calandrini , que tinha vinte e um anos de idade e Cramer , que era um ano mais novo . Os magistrados que estavam fazendo a nomeação favoreceu o homem mais velho , com mais experiência, mas eles ficaram tão impressionados com brilhantes dois jovens que pensaram um plano inteligente para capacitá-los a adquirir os serviços de todos os três. Claramente eles estavam olhando para o futuro e vendo Cramer e Calandrini dois homens que fariam importantes contribuições futuras para a Academia .

O regime dos magistrados proposta foi dividir a cadeira de filosofia em duas cadeiras, uma cadeira de filosofia e uma cadeira de matemática. De la Rive foi oferecida a cadeira de filosofia, que, afinal, era o que ele tinha pedido , em primeiro lugar , enquanto Cramer e Calandrini foi oferecida a cadeira de matemática na compreensão de que eles compartilharam os deveres e dividiu o salário. Os magistrados colocar uma outra condição para a nomeação também, ou seja, que Cramer e Calandrini cada passar dois ou três anos viajando e enquanto um estava fora do outro assumiria a lista completa de funções e o salário integral. Foi um bom plano para não só atrair com sucesso os três homens para a Academia , mas também Cramer deu a oportunidade de viajar e conhecer os matemáticos por toda a Europa e estava a tirar o máximo proveito deste que ambos se beneficiaram dele e da Academia .

Cramer e Calandrini divididos os cursos de matemática cada um iria ensinar. Cramer ensinou geometria e mecânica , enquanto Calandrini ensinou álgebra e astronomia. Os dois tinham sido emparelhado no arranjo e seus amigos brincando eles Castor e Pollux chamado. Tinha suas personalidades sido diferente o arranjo poderia ter apresentado todos os tipos de dificuldades, mas dadas as suas naturezas as coisas funcionaram muito bem. Cramer disse ter sido [ 1]: -

... amigável, bem-humorado , agradável na voz e aparência, e possuidor de boa memória, bom senso e saúde.

Não devemos dar a impressão de que Cramer apenas montado em um padrão existente de ensino. Ele propôs uma inovação importante , que a Academia aceitou , o que foi que ele ensinou aos seus cursos de francês em vez de latim, a língua tradicional dos estudiosos na época : -

... a fim de que as pessoas que tinham um gosto por estas ciências , mas não Latina poderia lucrar .

Nomeado em 1724, Cramer seguiu as condições de sua nomeação e partiu para dois anos de viagem em 1727 . Ele visitou principais matemáticos em muitas cidades e países diferentes da Europa . Ele se dirigiu imediatamente para o Basel , onde muitos matemáticos que levam estavam trabalhando, passar cinco meses trabalhando com Johann Bernoulli , Euler e também que logo em seguida dirigiu-se para São Petersburgo para ficar com Daniel Bernoulli. Cramer , em seguida, visitou a Inglaterra , onde conheceu Halley, de Moivre , Stirling, e outros matemáticos . Suas discussões com esses matemáticos ea correspondência contínua com eles depois que ele voltou para Genebra teve uma grande influência no trabalho de Cramer .

Da Inglaterra Cramer fez o seu caminho para Leiden , onde conheceu ' sGravesande , então ele mudou-se para Paris , onde teve discussões com Fontenelle , Maupertuis , Buffon , Clairaut , entre outros. Esses dois anos de viagens foram para definir o tom para a carreira de Cramer para ele era altamente considerado por todos os matemáticos que ele conheceu , ele correspondeu com eles ao longo de sua vida, e ele foi a realização de muitas das principais tarefas extremamente valioso como um editor de suas obras.

De volta a Genebra em 1729 , Cramer estava trabalhando em uma entrada para o prêmio estabelecido pela Academia de Paris para 1730, que era " Quelle est La Cause de la figura elliptique des Planetes et de la Mobilité de leurs aphélies ? " A entrada de Cramer foi julgado como o segundo melhor do aqueles recebidos pela Academia , o prêmio a ser ganho por Johann Bernoulli. Em 1734 a " gêmeos " se separaram quando Calandrini foi nomeado para a cadeira de filosofia e Cramer se tornou o único titular da Cátedra de Matemática .

Cramer viveu uma vida muito ocupada , para além do seu ensino e correspondência com muitos matemáticos , ele produziu artigos de interesse considerável , embora estes não sejam de importância dos artigos escritos pela maioria dos grandes matemáticos com quem ele correspondeu . Ele publicou artigos em vários lugares, incluindo as Memórias da Academia de Paris em 1734, e da Academia de Berlim em 1748 , 1750 e 1752. Os artigos cobrem uma vasta gama de assuntos, incluindo o estudo de problemas geométricos , a história da matemática , filosofia e a data da Páscoa . Ele publicou um artigo sobre a aurora boreal na Philosophical Transactions of the Royal Society of London e ele também escreveu um artigo sobre a lei em que ele se candidatou a probabilidade de demonstrar a importância de ter testemunho independente de duas ou três testemunhas , em vez de partir de uma única testemunha.

Seu trabalho não se limitou às áreas acadêmicas para que ele também estava interessado no governo local e atuou como membro do Conselho de Two Hundred em 1734 e do Conselho, de Setenta, em 1749. Seu trabalho sobre esses conselhos envolveu-o usando seu conhecimento matemático e científico amplo , pois ele assumiu tarefas que envolvem artilharia, fortificação , a reconstrução de edifícios , as escavações , e ele agiu como um arquivista . Ele fez uma segunda viagem ao exterior em 1747 , desta vez apenas de visitar Paris , onde ele renovou sua amizade com Fontenelle , bem como reunião d' Alembert .

Há duas áreas de trabalho matemático de Cramer que devemos destacar . Este é o trabalho editorial que ele realizou e também seu maior trabalho matemático Introduction à l' analisar des lignes courbes algébriques publicados em 1750.

Johann Bernoulli morreu em 1748, apenas três anos ou mais antes de Cramer, mas ele arranjou para Cramer para publicar suas Obras Completas antes de sua morte . Isso mostra o quanto o respeito Bernoulli tinha por Cramer que ele insistiu que nenhuma outra edição de suas obras ser publicadas em qualquer outro editor de Cramer . Obras Completas de Johann Bernoulli foi publicado por Cramer em quatro volumes em 1742. Não só Johann Bernoulli organizar Cramer para publicar suas Obras Completas , mas ele também pediu que ele edita as obras de Jacob Bernoulli . Jacob Bernoulli tinha morrido 1705 e Cramer publicou seus trabalhos em dois volumes em 1744. Estes não são completos desde Ars Conjectandi é omitido , mas os volumes que contêm material inédito e os conhecimentos matemáticos necessários para compreendê-los . Em 1745 , juntamente com Johann Castillon , Cramer publicou a correspondência entre Johann Bernoulli e Leibniz . Cramer também editou os cinco volumes de trabalho por Christian Wolff, publicado pela primeira vez entre 1732 e 1741 com uma nova edição que aparece entre 1743 e 1752.

Finalmente, devemos descrever o mais famoso livro Introduction à l' de Cramer analisar des lignes courbes algébraique . É um trabalho que Cramer inspirado no livro de memórias de Newton em curvas cúbicos e ele elogia muito um comentário sobre o livro de memórias de Newton escrito por Stirling. Ele também comenta que se soubesse de Introductio de Euler em analysin infinitorum antes, ele teria feito grande uso dele. Claro que o livro de Euler só foi publicado em 1748 , altura em que muito do livro de Cramer poderia muito bem ter sido escrito . Jones escreve em [1]: -

Que ele fez pouco uso do trabalho de Euler é apoiada pelo fato surpreendente que todo o seu livro Cramer faz essencialmente nenhum uso do cálculo infinitesimal em qualquer Leibniz ou forma de Newton, embora ele lida com temas como tangentes , máximos e mínimos , e curvatura , e cita Maclaurin e Taylor em notas de rodapé. Um conjecturas de que ele nunca aceitaram ou dominado cálculo .

A sugestão de que Cramer nunca dominou o cálculo deve ser considerado duvidoso , dada a alta consideração que ele foi detido em por Johann Bernoulli.

Depois de um capítulo introdutório em que tipos de curvas são definidas e técnicas para desenhar os seus gráficos são discutidos, Cramer passa a um segundo capítulo em que transformações para simplificar as curvas são estudadas . O terceiro capítulo aborda a classificação das curvas e é neste capítulo que " a regra de Cramer " o agora famoso é dado. Depois de dar o número de constantes arbitrárias de uma equação de grau n como n2 / 2 + 3n / 2, deduz que uma equação de grau n pode ser levado a passar através de n pontos . Tomando n = 5 , ele dá um exemplo de encontrar os cinco constantes envolvidas na tomada de uma equação de grau 2 passam por 5 pontos. Isto leva a cinco equações lineares em 5 incógnitas e ele remete o leitor para um apêndice contendo a regra de Cramer para a sua solução . Deve-se ressaltar , é claro, que Cramer certamente não foi o primeiro a dar a esta regra.

A outra parte " conhecida" do trabalho de Cramer é sua descrição do paradoxo de Cramer . Ele afirma um teorema por Maclaurin que diz que uma equação de grau n cruza uma equação de grau m em pontos nm. Tomando n = m = 3 este diz que dois cubics cruzam em 9 pontos , mas o seu próprio n2 / 2 + 3n / 2 com n = 3 fórmula dá 9 para um cúbico é determinado exclusivamente por 9 pontos. Isto, diz Cramer, é um paradoxo , mas a sua tentativa de explicar o paradoxo está incorreto.

Nome de Cramer vezes tem sido ligado a um outro problema, nomeadamente o problema Castillon- Cramer . Este problema, proposto por Cramer para Castillon , perguntou como inscrever um triângulo dentro de um círculo de modo que ele passou por três pontos dados. Castillon resolveu o problema 25 anos depois da morte de Cramer, eo problema passou a várias generalizações sobre polígonos inscrito em uma seção cônica .

Cramer tinha trabalhado arduamente durante um longo período com a escrita de sua Introduction à l' analisar e empreender a grande quantidade de trabalho editorial , além de todas as suas funções normais . Sempre de bom estado de saúde , este excesso de trabalho juntamente com uma queda de seu carro , trazido em um declínio súbito . Ele passou dois meses na cama se recuperando, e seu médico recomendou que ele passar um período de silêncio , no sul da França para recuperar completamente a sua força. Deixando de Genebra, em 21 de dezembro de 1751 , ele começou sua jornada , mas ele morreu duas semanas depois , enquanto ainda na viagem .

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

maio 2000

ARTE MATEMÁTICA (30)

Observe como as linhas traçadas dentro deste hexágono acabaram por formar a sombra de um hexágono estrelado em seu interior...