31 - Números Complexos - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (31)

O enigma 1996

Use os números 1, 9, 9 e 6 exatamente nessa ordem para fazer os seguintes números: 28, 32, 35, 38, 72, 73, 76, 77, 100 e 1000

Você pode usar os símbolos matemáticos +, -, ×, /, √, ^ (símbolo expoente) e parênteses.

Exemplo: 63 = 1 × 9 + 9 × 6

Jogos matemáticos - 31

TUG TEAM

Para cada dupla de frações, indique qual a maior, qual a menor ou se são iguais.
Se errar demais perde o cabo-de-guerra!!!
Tente: TUG TEAM

Os 'deuses', humanos como todos nós.

Luiz Barco

Em uma recente reunião na universidade assisti a um jovem e entusiasmado professor apresentar o que chamou "novo" método para resolver (e ensinar) as equações do segundo grau. Alertava, honestamente, que o método não era seu; apenas o encontrara num livro de curiosidades. Pensei tratar-se apenas de uma técnica para despertar a atenção dos ouvintes, mas com o correr da palestra percebi que o jovem professor estava realmente convencido de que encontrara um novo método para enfrentar as velhas e simpáticas equações do segundo grau.
Esperei que algum dos presentes o alertasse de que aquele "novo" método havia sido formulado pelo mais eminente matemático do século XVI, o francês François Viète (1540-1603), mas ninguém o fez. Na verdade, o debate que seguiu a exposição revelou que quase todos os presentes estavam descobrindo o método naquele momento. O fato reforça a minha impressão de que tem sido muito precária a formação média oferecida ao professorado brasileiro. A idéia de que o aumento indiscriminado do número de cursos superiores acabaria resultando na melhoria qualitativa não parece correta.
Não são apenas os conceitos básicos das artes e das ciências que têm sido negligenciados. A própria história das artes e das ciências tem sido sonegada aos nossos educandos. Ao insistir em transmitir aos alunos as idéias formuladas pelos cientistas e fixar-se nos produtos dessas idéias, ainda que de maneira correta, não levamos aos jovens as dificuldades enfrentadas para a sua formulação. E muito menos falamos das inquietações sociais que aqueles homens viveram, e que sem dúvida foram o pano de fundo do desenvolvimento de seu trabalho. Isso gera indiferença, pois rouba à ciência e aos homens que a produzem sua dimensão humana.
Em artigo publicado na revista Mechanical Enginneering de julho de 1987, o professor Henry Petroski, do curso de Engenharia da Duke University, na Carolina do Norte, Estados Unidos, faz um interessante paralelo ente os textos que sua filha lê, no curso de Artes, e os textos oferecidos aos alunos de Engenharia. Enquanto ela é estimulada a ler textos de Aristóteles, por exemplo, os alunos das ciências aplicadas parecem considerar obsoleto todo livro editado há mais de cinco anos. Os estudantes das chamadas artes liberais tomam conhecimento na fonte do que pensaram e escreveram os grandes homens. Para os estudantes de Mecânica - é ainda o professor americano quem diz - predizerem o comportamento dos sistemas que eles projetaram não há fundamento melhor do que os Principia de Isaac Newton, dos quais os textos modernos são, no máximo, notas de rodapé.
Exageros à parte, concordo com ele. Ao ler a versão atualizada dos Principia Mathematica, de Newton, os estudantes entram em contato com os pensamentos de uma grande mente criativa. E se o fizerem dentro do tecido histórico e social em que foram concebidos ganharão em eficiência e prazer. Na educação da tecnologia, em oposição à pesquisa tecnológica, a tensão não é entre os modernistas e os tradicionalistas tanto quanto é entre os acadêmicos e os praticantes nas indústrias. Há um debate saudável entre os que advogam que os estudantes devem ser instruídos nos fundamentos dos métodos que permeiam todas as aplicações tecnológicas e os que preferem treiná-los no estado da arte de uma disciplina particular.
Como o estado da arte evolui com rapidez, privilegiá-lo na formação significa obsolescência. Mas os fundamentos das ciências, como os da Literatura e da Filosofia, são transcendentais. Qualquer que seja a escolha, de todo modo, não basta buscar com ela apenas a eficiência; é preciso também devolver aos jovens a alegria por resolver um problema ou descobrir um princípio. Produzir uma redação clara e criativa, entender um poema ou argumentar com consistência é fazer Matemática melhor que mecanicamente inverter uma matriz ou efetuar a divisão entre dois polinômios. Precisamos convencer nossos jovens de que Galileu, Newton, Einstein ou Viète não foram deuses, mas homens que sentiram alegrias e tristezas. Suas aproximações mais visíveis da divindade estão na dimensão essencialmente humana da ciência que ajudaram a produzir.

Fonte: Superinteressante, fevereiro de 1989

Criação dos números (2)

Eis a segunda parte de nossa aventura pela história dos números:

*Euler

Leonhard Euler

Data de Nascimento: 15 abril de 1707 em Basel , Suíça
Morreu : 18 Setembro 1783 em São Petersburgo, Rússia

O pai de Leonhard Euler foi Paul Euler . Paul Euler estudou teologia na Universidade de Basileia e tinha assistido a palestras de Jacob Bernoulli lá. Na verdade, Paul Euler e Johann Bernoulli tinha dois moravam na casa de Jacob Bernoulli , enquanto estudantes em Basel . Paul Euler tornou-se um pastor protestante e se casou com Margaret Brucker , filha de outro ministro protestante. Seu filho Leonhard Euler nasceu em Basel , mas a família se mudou para Riehen quando ele tinha um ano de idade e estava em Riehen, não muito longe de Basileia, que Leonard foi criado . Paul Euler teve , como já mencionado, alguma formação matemática e ele foi capaz de ensinar seu filho matemática elementar , juntamente com outros assuntos.

Leonhard foi enviado para a escola em Basel e, durante esse tempo ele viveu com sua avó por parte de sua mãe. Esta escola foi uma vez pobre, por todas as contas , e Euler não aprendeu matemática em todos da escola. No entanto, seu interesse pela matemática certamente tinha sido provocada pelo ensinamento de seu pai, e ele leu textos de matemática por conta própria e teve algumas aulas particulares . O pai de Euler queria que o filho seguisse para dentro da igreja e mandou-o para a Universidade de Basel para se preparar para o ministério. Ele entrou na Universidade em 1720 , com a idade de 14 , o primeiro a obter uma formação geral antes de ir para estudos mais avançados. Johann Bernoulli logo descobriu um grande potencial de Euler para a matemática em aulas particulares que o próprio Euler modificado. Relato do próprio Euler dada em seus escritos autobiográficos inéditos , veja [ 1], é a seguinte: -

... Logo descobri a oportunidade de ser apresentado a um famoso professor Johann Bernoulli. ... Na verdade, ele estava muito ocupado e por isso recusou-se terminantemente a me dar aulas particulares , mas ele me deu muito mais valiosos conselhos para começar a ler livros de matemática mais difíceis por conta própria e para estudá-los tão diligentemente quanto eu poderia , se me deparei com algum obstáculo ou dificuldade , me foi dada a permissão para visitá-lo livremente , todas as tardes de domingo e ele gentilmente me explicou tudo o que eu não conseguia entender ...

Em 1723, Euler completou seu mestrado em filosofia tendo comparados e contrastados as idéias filosóficas de Descartes e Newton. Ele começou seus estudos de teologia no Outono de 1723, seguindo os desejos do pai , mas , embora ele era para ser um cristão devoto toda a sua vida , ele não conseguiu encontrar o entusiasmo para o estudo da teologia , grego e hebraico que ele encontrou em matemática. Euler obteve o consentimento de seu pai para mudar para a matemática depois de Johann Bernoulli usou sua persuasão. O fato de que o pai de Euler tinha sido um amigo de Johann Bernoulli de em seus dias de graduação , sem dúvida, fez a tarefa de persuasão muito mais fácil.

Euler completou seus estudos na Universidade de Basel em 1726 . Ele tinha estudado muitos trabalhos matemáticos durante seu tempo na Basiléia, e Calinger [24] reconstruiu muitos dos trabalhos que Euler lidos com o conselho de Johann Bernoulli. Eles incluem obras de Varignon , Descartes , Newton, Galileu, Schooten , Jacob Bernoulli , Hermann , Taylor e Wallis . Por 1726 Euler já tinha um papel na impressão, um pequeno artigo sobre as curvas isócronas em um meio resistente . Em 1727 , ele publicou um outro artigo sobre trajetórias recíprocas e apresentou uma entrada para o Grande Prémio da Academia de Paris em 1727 o melhor arranjo de antenas em um navio .

O prêmio de 1727 foi para Bouguer , especialista em matemática relativas aos navios , mas o ensaio de Euler ele ganhou o segundo lugar , que foi um feito muito bem para o jovem licenciado . No entanto, Euler agora tinha de se encontrar um compromisso acadêmico e quando Nicolaus (II) Bernoulli morreu em São Petersburgo, em julho 1726 a criação de uma vaga lá, Euler foi oferecido o cargo que iria envolvê-lo no ensino de aplicações da matemática e da mecânica à fisiologia . Ele aceitou o cargo em novembro 1726 , mas afirmou que ele não queria viajar para a Rússia até a primavera do ano seguinte . Ele tinha duas razões para atrasar . Ele queria tempo para estudar os temas relacionados com o seu novo post, mas também tinha a chance de um posto na Universidade de Basel desde o professor de física havia morrido. Euler escreveu um artigo sobre acústica , que passou a se tornar um clássico, em sua oferta para a seleção para o cargo , mas ele não foi escolhido para ir para a frente para o palco onde muitos foram atraídos para tomar a decisão final sobre quem iria ocupar a cadeira . Quase certamente a sua juventude ( tinha 19 anos na época) estava contra ele . No entanto Calinger [24 ] sugere: -

Esta decisão acabou por beneficiar Euler, porque o obrigou a passar de uma pequena república em um ambiente mais adequado para o seu brilhante trabalho de pesquisa e tecnológica.

Assim que ele sabia que não seria nomeado para a cadeira de física, Euler deixou Basel em 5 de abril 1727. Ele viajou até o Rio Reno por barco , atravessou os estados alemães por vagão post, depois de barco a partir de Lübeck chegar em São Petersburgo em 17 de Maio 1727. Ele se juntou a São Petersburgo, Academia das Ciências de dois anos após ter sido fundada por Catarina I , mulher de Pedro, o Grande . Através dos pedidos de Daniel Bernoulli e de Jakob Hermann, Euler foi nomeado para a divisão matemática - física da Academia , em vez de para o cargo fisiologia ele originalmente tinha sido oferecido . Em St Petersburg Euler tinha muitos colegas que iria fornecer um ambiente excepcional para ele [1]: -

Em nenhum outro lugar poderia ter sido cercado por um tal grupo de eminentes cientistas , incluindo o analista , geômetra Jakob Hermann, um parente , Daniel Bernoulli , com quem Euler estava ligado não só por amizade pessoal, mas também por interesses comuns no campo da matemática aplicada , o versátil estudioso Christian Goldbach , com quem Euler discutidos inúmeros problemas de análise e teoria dos números ; F Maier , trabalhando em trigonometria ; eo astrônomo e geógrafo JN Delisle .

Euler serviu como médico-tenente na marinha russa 1727-1730 . Em São Petersburgo, viveu com Daniel Bernoulli , que, já infeliz na Rússia, havia solicitado que Euler trazê-lo de chá, café, conhaque e outras iguarias da Suíça . Euler tornou-se professor de física na Academia em 1730 e , uma vez que este lhe permitiu tornar-se um membro pleno da Academia , ele foi capaz de dar o seu posto marinha russa .

Daniel Bernoulli titular da cadeira sênior de matemática na Academia , mas quando ele saiu de São Petersburgo para voltar ao Basel em 1733 , foi Euler que foi nomeado para esta cadeira sênior da matemática. A melhoria financeira que veio dessa nomeação permitiram Euler se casar com o que ele fez em 07 de janeiro de 1734 , casando-se Katharina Gsell , filha de um pintor do St Petersburg Gymnasium . Katharina , como Euler, era de uma família suíça. Eles tiveram 13 filhos no total , embora apenas cinco sobreviveram à infância. Euler afirmou que ele fez algumas de suas maiores descobertas matemáticas , segurando um bebê em seus braços com as outras crianças brincando em volta de seus pés.

Vamos examinar as realizações matemáticas de Euler mais adiante neste artigo, mas , nesta fase, vale a pena resumir o trabalho de Euler neste período de sua carreira. Isto é feito em [24 ], como segue : -

... depois de 1730 ele realizou projetos estaduais que lidam com cartografia , educação científica , magnetismo, motores de fogo , máquinas e construção naval . ... O núcleo de seu programa de pesquisa já estava fixado no local : a teoria dos números , análise infinitária incluindo as suas sucursais emergentes , equações diferenciais e cálculo das variações , e mecânica racional . Ele considerava estes três campos como intimamente interligados. Estudos da teoria dos números foram vitais para as bases de cálculo, e funções especiais e equações diferenciais foram essenciais para mecânica racional , que forneciam problemas concretos .

A publicação de muitos artigos eo seu livro Mechanica ( 1736-37 ), que apresentou extensivamente dinâmica Newtoniana na forma de análise matemática , pela primeira vez , começou a Euler a caminho do trabalho principal matemática.

Problemas de saúde de Euler começou em 1735 , quando ele teve uma febre grave e quase perdeu a vida . No entanto , ele manteve essa notícia de seus pais e membros da família Bernoulli volta em Basel até que ele se recuperou . Em seus escritos autobiográficos Euler diz que seus problemas de visão começou em 1738 com overstrain devido ao seu trabalho cartográfico e que em 1740 ele teve [24] : -

... perdeu um olho e de [ o outro ], actualmente podem estar no mesmo perigo.

No entanto, Calinger em [ 24], argumenta que problemas de visão de Euler quase certamente começou mais cedo e que a febre grave de 1735 foi um sintoma da tensão ocular. Ele também argumenta que um retrato de Euler de 1753 sugere que , nesta etapa, a visão de seu olho esquerdo ainda era bom , enquanto que a de seu olho direito era pobre, mas não completamente cego . Calinger sugere que o olho esquerdo de Euler ficou cego depois de uma catarata , em vez de fadiga ocular.

Por volta de 1740 Euler tinha uma reputação muito elevada , tendo ganho o Grande Prémio da Academia de Paris em 1738 e 1740. Em ambas as ocasiões , ele dividiu o primeiro prêmio com os outros. A reputação de Euler foi trazer uma oferta para ir a Berlim , mas na primeira ele preferiu permanecer em São Petersburgo. No entanto turbulência política na Rússia tornou a posição de estrangeiros particularmente difícil e contribuiu para Euler mudar sua mente. Aceitando uma melhor oferta de Euler , a convite de Frederico, o Grande , foi para Berlim, onde a Academia de Ciências foi planejado para substituir o Society of Sciences. Ele saiu de São Petersburgo em 19 de Junho 1741, chegando em Berlim, em 25 de julho. Em uma carta a um amigo Euler escreveu: -

Eu posso fazer o que eu quiser [ em minha pesquisa ] ... O rei me chama seu professor, e eu acho que eu sou o homem mais feliz do mundo .

Mesmo enquanto em Berlim Euler continuou a receber parte do seu salário a partir da Rússia . Por essa remuneração , ele comprou livros e instrumentos para a Academia de São Petersburgo , ele continuou a escrever relatórios científicos para eles, e educou jovens russos .

Maupertuis era o presidente da Academia de Berlim , quando foi fundada em 1744 com Euler como diretor da matemática. Ele substituiu por Maupertuis , na sua ausência e os dois se tornaram grandes amigos. Euler realizou uma quantidade enorme de trabalho para a Academia [1]: -

... ele supervisionou o observatório e os jardins botânicos ; selecionado o pessoal , supervisionou várias questões financeiras , e , em particular, conseguiu a publicação de vários calendários e mapas geográficos, cuja venda era uma fonte de renda para a Academia. O rei também acusado Euler com problemas práticos , tais como o projeto em 1749, de corrigir o nível do Canal Finow ... Naquela época, ele também supervisionou o trabalho em bombas e tubulações do sistema hidráulico em Sans Souci , a residência de verão da realeza.

Este não era o limite das suas funções por qualquer meio. Ele serviu no comitê da Academia de lidar com a biblioteca e de publicações científicas. Ele serviu como um conselheiro do governo sobre loterias estaduais , seguros , anuidades e pensões e artilharia. Além de tudo isso a sua produção científica durante este período foi fenomenal.

Durante os 25 anos passados ​​em Berlim, Euler escreveu cerca de 380 artigos. Ele escreveu livros sobre o cálculo das variações , no cálculo das órbitas planetárias , em artilharia e balística ( estendendo o livro de Robins ), em análise , sobre a construção naval e de navegação ; sobre o movimento da lua ; palestras sobre o cálculo diferencial e um popular publicação Letters científicas para uma princesa da Alemanha ( 3 vols. , 1768-1772 ) .

Em 1759 Maupertuis morreu e Euler assumiu a liderança da Academia de Berlim , embora não seja o título de presidente . O rei estava no comando geral e Euler não era agora em bons termos com Frederick , apesar do bom início de favor. Euler, que tinha discutido com d' Alembert em questões científicas, foi perturbado quando Frederick oferecido d' Alembert a presidência da Academia em 1763. No entanto, d' Alembert se recusou a mover-se para Berlim, mas a interferência contínua de Frederico com o funcionamento da Academia fez Euler decidir que havia chegado a hora de sair.

Em 1766 Euler retornou a São Petersburgo e Frederick ficou muito irritado com a sua partida . Logo após seu retorno à Rússia , Euler se tornou quase completamente cego depois de uma doença . Em 1771 sua casa foi destruída pelo fogo e ele foi capaz de salvar apenas a si mesmo e seus manuscritos matemáticos. A operação de catarata logo após o incêndio , ainda em 1771, restaurou a visão por alguns dias, mas Euler parece ter falhado a tomar os cuidados necessários de si mesmo e ele ficou totalmente cego . Por causa de sua memória notável , ele foi capaz de continuar com o seu trabalho em óptica , álgebra, e movimento lunar. Surpreendentemente após seu retorno a São Petersburgo ( quando Euler era de 59 ), ele produziu quase metade dos seus trabalhos totais , apesar da cegueira total.

Euler de curso não atingir esse nível notável de saída sem ajuda. Ele foi ajudado por seus filhos, Johann Albrecht Euler , que foi nomeado para a cadeira de física na Academia em São Petersburgo em 1766 ( tornando-se seu secretário em 1769 ) e Christoph Euler , que teve uma carreira militar. Euler também foi ajudado por outros dois membros da Academia , WL Krafft e AJ Lexell , eo jovem matemático N Fuss que foi convidado para a Academia da Suíça, em 1772. Fuss , que era neto -de-lei de Euler , tornou-se seu assistente em 1776. Yushkevich escreve em [1]: -

.. Euler ajudar os cientistas não eram meros secretários , ele discutiu o regime geral das obras com eles, e desenvolveu suas idéias , tabelas de cálculo e exemplos às vezes compilados.

Por exemplo Euler créditos Albrecht, Krafft e Lexell por sua ajuda com o seu trabalho na página 775 o movimento da lua , publicado em 1772. Euler Fuss ajudou a preparar mais de 250 artigos para publicação por um período de cerca de sete anos em que atuou como assistente de Euler, incluindo um importante trabalho sobre o seguro , que foi publicado em 1776.


Yushkevich descreve o dia da morte de Euler em [1] : -

Em 18 setembro de 1783 Euler passou a primeira metade do dia, como de costume. Ele deu uma aula de matemática a um de seus netos, fez alguns cálculos com giz em duas placas sobre o movimento de balões , então discutido com Lexell e Fuss o planeta Urano descoberto recentemente . Cerca de cinco horas da tarde, ele sofreu uma hemorragia cerebral e pronunciou apenas "Estou morrendo " , antes que ele perdeu a consciência. Ele morreu por volta das onze horas da noite.

Depois de sua morte , em 1783 a Academia de São Petersburgo continuou a publicar trabalhos inéditos de Euler por quase 50 anos mais.

O trabalho de Euler na matemática é tão grande que um artigo desta natureza não pode deixar de dar uma explicação muito superficial do mesmo. Ele foi o mais prolífico escritor de matemática de todos os tempos . Ele fez grandes limites para a frente no estudo da geometria analítica moderna e trigonometria , onde foi o primeiro a considerar o pecado, cos etc como funções ao invés de cordas como Ptolomeu tinha feito.

Ele fez contribuições decisivas e formativas para a teoria de geometria, cálculo e número. Ele cálculo diferencial de Leibniz eo método integrado de Newton fluxions em análise matemática . Ele introduziu beta e gama e funções, e os fatores de integração para equações diferenciais. Estudou mecânica contínua , teoria lunar com Clairaut , o problema de três corpos , elasticidade , acústica , a teoria ondulatória da luz , hidráulica e música. Ele lançou as bases da mecânica analítica , especialmente na sua Teoria dos Movimentos de Corpos Rígidos ( 1765) .

Devemos a Euler a notação f (x) para uma função ( 1734) , e para a base de troncos naturais ( 1727 ) , i para a raiz quadrada de -1 ( 1777 ) , π para pi, Σ para a soma ( 1755 ) , a notação de diferenças finitas Ay e Δ2y e muitos outros.

Vamos examinar um pouco mais detalhadamente alguns dos trabalhos de Euler . Em primeiro lugar o seu trabalho em teoria dos números , parece ter sido estimulada por Goldbach mas provavelmente originalmente surgiu do interesse que os Bernoullis teve nesse tópico. Goldbach perguntou Euler, em 1729 , se ele sabia da conjectura de Fermat que os números 2n + 1 sempre foram primo se n é uma potência de 2. Euler verificado isto para n = 1 , 2, 4, 8 e 16 e , por 1732 , o mais tardar , mostrou que o próximo processo 232 + 1 = 4294967297 é divisível por 641 e , portanto, não é primordial. Euler também estudou outros resultados não provadas de Fermat e assim introduziu a função phi de Euler φ (n), o número de inteiros k com 1 ≤ k ≤ n e k primos entre si ao n . Ele provou mais uma das afirmações de Fermat , ou seja, se a e b são primos entre si , então a2 + b2 não tem divisor da forma 4n - 1 , em 1749 .

Talvez o resultado que levou Euler a maior fama em sua juventude era a sua solução do que se tornou conhecido como o problema da Basiléia. Este era encontrar uma forma fechada para a soma da série infinita ζ (2) = Σ ( 1/n2 ) , um problema que tinha derrotado muitos dos principais matemáticos , incluindo Jacob Bernoulli , Johann Bernoulli e Daniel Bernoulli. O problema também tinha sido estudada sem sucesso por Leibniz , Stirling, de Moivre e outros. Euler mostrou em 1735 que ζ (2) = π2 / 6, mas ele continuou a revelar-se muito mais , ou seja, que ζ (4) = π4/90 , ζ (6) = π6/945 , ζ (8) = π8/9450 , ζ (10 ) = π10/93555 ζ e (12 ) = 691π12/638512875 . Em 1737 mostrou a ligação da função zeta com a série de números primos dando a relação famoso

ζ (s ) = Σ ( 1/ns ) Π = (1 - p -s ) -1

Aqui, a soma é sobre todos os números naturais n , enquanto o produto é mais todos os números primos.

Em 1739 Euler tinha encontrado os coeficientes racionais C em ζ ( 2n ) = Cπ2n em termos de números de Bernoulli .

Outro trabalho feito por Euler em séries infinitas incluiu a introdução de sua famosa constante de Euler, em 1735 , que mostrou ser o limite de

1/1 + 1/ 2 + 1 /3 + ... + 1 / n - logen

como n tende ao infinito. Ele calculada a constante de 16 casas decimais. Euler também estudou série de Fourier e em 1744 ele foi o primeiro a expressar uma função algébrica dessa série, quando ele deu o resultado

π / 2 - x / 2 = x + sin (sin 2x ) / 2 + (sin 3x ) / 3 + ...

em uma carta a Goldbach . Como a maior parte do trabalho de Euler , houve um intervalo de tempo justo antes que os resultados foram publicados , o resultado não foi publicado até 1755.

Euler escreveu a James Stirling em 08 de junho de 1736 dizendo a ele sobre seus resultados na soma recíprocos de poderes , a série harmônica e constante e outros resultados de Euler em série. Em particular, ele escreveu [ 60] : ​​-

Em relação ao somatório de muito lentamente convergindo série, no ano passado eu palestrou para nossa Academia em um método especial de que dei as somas de muito muitas séries suficientemente precisa e com muito pouco esforço .

Ele, então, passa a descrever o que é agora chamado a fórmula de soma de Euler- Maclaurin . Dois anos mais tarde Stirling respondeu dizendo que Euler Maclaurin : -

... vai publicar um livro sobre fluxões . ... ele tem dois teoremas para a soma de séries , por meio de derivados de termos, um dos quais é a auto- mesmo resultado que tu me enviaste .

Euler respondeu : -

... Eu tenho muito pouco desejo de qualquer coisa para ser prejudicou a fama do célebre Sr. Maclaurin desde que ele provavelmente veio em cima do mesmo teorema para somar séries antes de mim, e, conseqüentemente, merece ser nomeado como seu primeiro descobridor. Para eu achei que o teorema cerca de quatro anos atrás , época em que eu também descreveu sua prova e aplicação em maior detalhe a nossa Academia .

Alguns dos resultados da teoria número de Euler foram mencionadas acima . Resultados mais importantes da teoria dos números por Euler incluiu sua prova de Último Teorema de Fermat para o caso de n = 3 . Talvez mais importante do que o resultado aqui foi o fato de que ele introduziu uma prova envolvendo números da forma a + b √ -3 para inteiros a e b . Embora tenha havido problemas com sua abordagem esta acabou levando a grande obra de Kummer sobre Fermats Último Teorema e para a introdução do conceito de um anel.

Identidade de Euler

Pode-se afirmar que a análise matemática começou com Euler . Em 1748 , em Introductio em analysin infinitorum Euler fez idéias de Johann Bernoulli mais preciso na definição de uma função, e afirmou que a análise matemática foi o estudo de funções. Este trabalho baseia o cálculo com base na teoria de funções elementares , em vez de curvas geométricas , como havia sido feito anteriormente. Também neste trabalho Euler deu a fórmula

eix = cos x + i sen x .

Em Introductio em analysin infinitorum Euler lidou com logaritmos de uma variável tendo apenas valores positivos , embora ele tinha descoberto a fórmula

ln ( -1) = πi

em 1727 . Ele publicou sua teoria cheia de logaritmos de números complexos em 1751 .

Funções analíticas de uma variável complexa foram investigadas por Euler em um número de diferentes contextos , incluindo o estudo de trajetórias ortogonais e cartografia. Ele descobriu as equações de Cauchy -Riemann em 1777 , apesar de d' Alembert havia descobri-los em 1752 enquanto investigava hidrodinâmica .

Em 1755 Euler publicado Institutiones cálculos differentialis , que começa com um estudo sobre o cálculo das diferenças finitas . O trabalho faz uma investigação minuciosa de como a diferenciação se comporta em substituições.

Em Institutiones cálculos Integralis ( 1768-1770 ) Euler fez uma investigação minuciosa de integrais que podem ser expressas em termos de funções elementares. Ele também estudou funções gama , que ele havia introduzido pela primeira vez em 1729 e beta . Legendre chamado dessas integrais Euler de primeira e segunda classe ', respectivamente , enquanto eles tiveram a função beta nomes e função gama por Binet e Gauss , respectivamente. Bem como investigar integrais duplos , Euler considerou equações diferenciais ordinárias e parciais neste trabalho.

O cálculo das variações é outra área em que Euler fez descobertas fundamentais. Sua obra Methodus inveniendi lineas Curvas ... publicado em 1740, começou o estudo adequado do cálculo das variações . Em [ 12], é de notar que este Carathéodory considerado como: -

... uma das mais belas obras já escritas matemáticas .

Problemas em física matemática levou Euler a uma ampla estudo de equações diferenciais . Ele considerou equações lineares com coeficientes constantes , equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes variáveis ​​, soluções de energia da série de equações diferenciais , um método de variação das constantes , fatores integrantes , um método de aproximação de soluções , e muitos outros . Ao considerar as membranas vibratórias , Euler foi levado para a equação de Bessel qual resolvido pela introdução de funções de Bessel .

Euler fez contribuições substanciais para a geometria diferencial , investigar a teoria de superfícies e de curvatura de superfícies. Muitos resultados inéditos de Euler nesta área foram redescobertos por Gauss . Outras investigações geométricas levou a idéias fundamentais na topologia , como a característica de Euler de um poliedro .

Em 1736 Euler publicou Mechanica que proporcionou um grande avanço na mecânica . Como Yushkevich escreve em [1]: -

A característica distintiva das investigações da Euler em mecânica , em comparação com aqueles de seus predecessores é a aplicação sistemática e bem sucedida da análise. Anteriormente, os métodos da mecânica tinha sido principalmente sintética e geométrica , eles exigiram uma abordagem demasiado indivíduo para problemas distintos . Euler foi o primeiro a reconhecer a importância de introduzir métodos de análise uniformes em mecânica , permitindo, assim, os seus problemas a serem resolvidos de uma forma clara e direta.

Em Mecânica Euler considerado o movimento de um ponto de massa , tanto no vácuo e em meio resistente . Analisou o movimento de um ponto de massa sob uma força central e também considerado o movimento de um ponto de massa sobre uma superfície. Neste último tema ele teve que resolver vários problemas de geometria diferencial e geodésicas .

Mechanica foi seguido por outro trabalho importante em mecânica racional , desta vez o volume de trabalho de Euler dois em ciência naval. É descrito em [ 24], como: -

Proeminente em ambas as Mecânica Teórica e Aplicada , aborda ocupação intensa de Euler com o problema de propulsão de navios . Ela se aplica princípios variacionais para determinar o projeto do navio ideal e primeiro estabeleceu os princípios da hidrostática ... Euler aqui também começa a desenvolver a cinemática ea dinâmica de corpos rígidos , introduzindo , em parte, as equações diferenciais para o seu movimento.

Claro hidrostática tinha sido estudada desde Arquimedes, mas Euler deu uma versão definitiva.

Em 1765 Euler publicou outro trabalho importante em mecânica Theoria motus corporum solidorum em que decompôs o movimento de um sólido em um movimento retilíneo e um movimento de rotação . Ele considerou os ângulos de Euler e estudou os problemas de rotação que foram motivados pelo problema da precessão dos equinócios.

O trabalho de Euler em mecânica dos fluidos também é bastante notável. Ele publicou um grande número de peças de trabalho , através da criação do principal fórmulas para o tema, a equação da continuidade , a equação potencial 1750 velocidade Laplace, e as equações de Euler para o movimento de um fluido incompressível não-viscoso . Em 1752 , ele escreveu: -

No entanto sublime são as pesquisas sobre fluidos que devemos aos Srs. Bernoulli , Clairaut e d' Alembert , eles fluir tão naturalmente do meu duas fórmulas gerais que não se pode admirar suficientemente esse acordo de suas meditações profundas com a simplicidade dos princípios de que tenho desenhado meus duas equações ...

Euler contribuiu para o conhecimento em muitas outras áreas , e em todas elas ele empregou seu conhecimento matemático e habilidade. Ele fez um trabalho importante na astronomia , incluindo [1]: -

... determinação das órbitas dos cometas e planetas por algumas observações , métodos de cálculo da paralaxe do sol , a teoria da refração , a consideração da natureza física dos cometas, .... Seus trabalhos mais notáveis ​​, pelo qual ganhou muitos prêmios da Académie des Sciences de Paris , estão preocupados com a mecânica celeste , que atraiu especialmente os cientistas da época.

Na verdade a teoria lunar de Euler foi usado por Tobias Mayer na construção de suas tabelas da lua. Em 1765 viúva de Mayer recebeu £ 3000 da Grã-Bretanha para a contribuição das tabelas feitas para o problema da determinação da longitude , enquanto Euler recebeu £ 300 a partir do governo britânico para a sua contribuição teórica para o trabalho .

Euler também publicou sobre a teoria da música, em particular, ele publicou Tentamen novae theoriae musicae em 1739 em que ele tentou fazer música : -

... parte da matemática e deduzir de forma ordenada , a partir de princípios corretos , tudo o que pode fazer um encaixe juntos e mistura de tons agradável.

No entanto, de acordo com [ 8], o trabalho foi: -

... para os músicos também avançou em sua matemática e para os matemáticos também musicais.

Cartografia foi outra área que Euler se envolveu em quando ele foi nomeado diretor da seção de geografia da Academia de São Petersburgo em 1735 . Ele teve a tarefa específica de ajudar Delisle preparar um mapa de todo o Império Russo. O Atlas da Rússia foi o resultado desta colaboração e que apareceu em 1745, composto por 20 mapas. Euler, em Berlim, por ocasião da sua publicação , orgulhosamente observou que este trabalho colocou os russos bem à frente dos alemães na arte da cartografia .
Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

setembro 1998

ARTE MATEMÁTICA (31)

O que você acha desta "escada" formada por triângulos e algumas linhas retas??