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Jogos matemáticos - 35

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Gire os discos e posicione os números na mesma linha das flores mas, de modo que a soma dos números que você moveu seja igual ao número mostrado na flor.
Acha que consegue?
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PHI

Este vídeo, originalmente em espanhol, traz muitas informações interessantes sobre phi, o chamado número de ouro. Vale a pena conferir.

*Ruffini

Paolo Ruffini

Data de Nascimento: 22 de setembro de 1765 em Valentano , Estados Pontifícios ( agora Itália)
Morreu em: 10 mai 1822 em Modena , ducado de Modena ( agora Itália)

O pai de Paolo Ruffini , Basilio Ruffini , era um médico em Valentano . Como uma criança jovem Paolo era [4]: -

... de um temperamento místico e parecia estar destinado ao sacerdócio ...

A família mudou-se para Reggio , perto de Modena , na região de Emilia -Romagna , norte da Itália , Paolo quando era um adolescente. Ele entrou na Universidade de Modena , em 1783 , onde estudou matemática , medicina, filosofia e literatura . Entre seus professores de matemática em Modena estavam Luigi Fantini , que ensinava geometria Ruffini , e Paolo Cassiani , que lhe ensinou o cálculo.

A família Este governou Modena e , em 1787 , Cassiani foi apontado como um conselheiro para os estados Este. Curso de Cassiani em Modena sobre os fundamentos da análise foi tomado por Ruffini em 1787-1788 , embora ele ainda era um estudante neste momento. Em 09 de junho de 1788 Ruffini se formou em filosofia, medicina e cirurgia. Logo após isso, ele se formou com um grau de matemática.

Ruffini deve ter feito um bom trabalho dos fundamentos do curso de análise que ele assumiu a partir Cassiani para, em 15 de outubro de 1788, foi nomeado professor dos fundamentos da análise. Fantini , que tinha ensinado geometria Ruffini , quando ele era um estudante universitário , encontrou sua visão se deteriorando e , em 1791, ele teve que renunciar ao seu cargo no Modena. Ruffini foi nomeado para ocupar o cargo de Professor de Elementos de Matemática em 1791. No entanto, Ruffini não era apenas um matemático . Ele havia formado em medicina e , também em 1791, foi-lhe concedida uma licença para praticar medicina pelo Tribunal Médica Colegial de Modena.

Esta foi uma época de guerras após a Revolução Francesa. No início de 1795 a França tinha vitórias em todas as frentes . No norte da Itália, o exército francês ameaçou posições austro- sardos , mas seu comandante não conseguiu tomar a iniciativa . Em março de 1796 foi substituído por Napoleão Bonaparte que executou uma campanha brilhante de manobras . Tomando a ofensiva em 12 de abril e assim sucessivamente derrotados e separou o austríaco e os exércitos da Sardenha e , em seguida, marchou em Turim. O rei da Sardenha pediu um armistício e de Nice e Sabóia foram anexadas à França. Bonaparte continuou a guerra contra os austríacos e Milão ocupados, mas foi detido em Mântua . Antes de Mantua caiu para seus exércitos ele assinou armistícios com o duque de Parma e do duque de Modena. As tropas de Napoleão ocuparam Modena e , muito contra a sua vontade , Ruffini encontrou-se no meio da turbulência política .

Napoleão criou a República Cisalpina composto da Lombardia , Emilia , Modena e Bolonha . Apesar de não querer se envolver, Ruffini se viu nomeado um representante para o Conselho Júnior da República Cisalpina . No entanto, ele logo deixou esta posição e , no início de 1798, ele retornou ao seu trabalho científico na Universidade de Modena. Ele foi obrigado a fazer um juramento de fidelidade à República e este Ruffini descobriu que não conseguia fazer por motivos religiosos . Ao não fazer o juramento , ele perdeu sua cátedra e foi impedido de ensino.

Ruffini não parecia muito perturbado pela perda de sua cadeira, na verdade, ele era um homem muito calmo que levou todos os dramáticos acontecimentos ao seu redor , em seu passo . O fato de que ele não poderia ensinar matemática significava que ele tinha mais tempo para praticar a medicina e, portanto, ajudar seus pacientes a quem foi extremamente dedicado . Por outro lado, deu-lhe a oportunidade de trabalhar no que foi um dos mais originais dos projetos , ou seja, para provar que a equação do quinto grau não podem ser resolvidas por radicais .

Para resolver uma equação polinomial por radicais significava encontrar uma fórmula para as suas raízes em termos dos coeficientes de modo a que a fórmula envolve apenas operações de adição , subtracção , multiplicação, divisão e tendo raízes. Equações de segundo grau ( de grau 2) tinha sido conhecido por ser solúvel por radicais da época dos babilônios. A equação cúbica tinha sido resolvida por radicais por del Ferro, Tartaglia e Cardano . Ferrari tinha resolvido o quartic pelos radicais em 1540 e assim por 250 anos se passaram sem que ninguém seja capaz de resolver o quinto grau por radicais apesar das tentativas de muitos matemáticos . Entre aqueles que tinham feito tentativas sérias de entender o problema eram Tschirnhaus , Euler, Bézout , Vandermonde , Waring e Lagrange .

Parece que ninguém antes de Ruffini realmente acreditava que o quinto grau não poderia ser resolvida por radicais . Certamente nenhum matemático publicou tal afirmação e até mesmo Lagrange em suas reflexões famoso artigo sobre a resolução de equações algébricas diz que vai voltar para a questão da solução do quinto grau e, claro , ele ainda esperava para resolvê-lo por radicais . Em 1799 Ruffini publicou um livro sobre a teoria das equações , com sua afirmação de que quintics não poderia ser resolvida por radicais , como o título indica: Teoria geral das equações em que é mostrado que a solução algébrica da equação geral de grau maior do que quatro é impossível. A introdução do livro começa assim: -

A solução de equações algébricas gerais de grau maior que é sempre impossível de quatro . Eis um teorema muito importante, que eu acredito que eu sou capaz de afirmar ( se eu não errar ) : apresentar a prova de que é a principal razão para a publicação deste volume. O imortal Lagrange, com suas reflexões sublimes , forneceu a base da minha prova .

Ruffini usou a teoria do grupo em seu trabalho, mas ele teve que inventar o assunto para si mesmo. Lagrange tinha usado permutações e pode-se argumentar que os grupos aparecem no trabalho de Lagrange , mas desde Lagrange nunca composto permutações é bastante com retrospectiva que agora vemos os primórdios da teoria do grupo em seu trabalho . Ruffini é o primeiro a introduzir a noção da ordem de um elemento, conjugação , a decomposição ciclo de elementos de grupos de permutação e as noções de primitivo e imprimitive . Ele provou alguns teoremas notáveis ​​(não , claro, com a terminologia moderna citado abaixo) : -

A ordem de uma permutação é o mínimo múltiplo comum dos comprimentos na decomposição em ciclos disjuntos .

Um elemento de S5 de ordem 5 é um ciclo de 5 .

Se G < S5 tem ordem divisível por 5, então G tem um elemento de ordem 5.

S5 não tem subgrupos de índice de 3, 4 ou 8.

É um trabalho notável e , exceto por uma lacuna, comprova o teorema de Ruffini reivindicado. A prova é dada em notação moderna em [4] . No entanto, houve uma estranha falta de resposta ao trabalho de Ruffini de matemáticos . Em 1801 Ruffini enviou uma cópia de seu livro de Lagrange . Ele não obteve resposta e por isso ele enviou uma segunda cópia de uma carta [4]: -

Por causa da incerteza que você pode ter recebido meu livro, eu enviar-lhe outro exemplar . Se eu errei em alguma prova , ou se eu disse algo que eu acreditava novo , e que é , na realidade, não é nova, afinal , se eu ter escrito um livro inútil , peço-vos indicá-lo para me sinceramente .

Novamente Ruffini não recebeu resposta e escreveu mais uma vez em 1802 : -

Ninguém tem mais direito ... para receber o livro que eu tomo a liberdade de lhe enviar . ... Ao escrever este livro , eu tinha principalmente em mente para dar uma prova da impossibilidade de resolver equações de grau maior do que quatro.

Alguns matemáticos aceitou a prova de Ruffini , embora seria preciso dizer que Pietro Paoli, o professor Pisa, foi influenciado por motivos patrióticos , quando escreveu em 1799 [4]: -

Li com muito prazer o seu livro ... e recomendo fortemente o teorema mais importante que exclui a possibilidade de resolver equações de grau maior do que quatro. Alegro-me muito com você e com a nossa Itália , que viu uma teoria nascida e aperfeiçoado e que outras nações têm contribuído pouco ...

Para entender essa citação um tem de perceber que Lagrange nasceu em Turim, que fazia parte da Itália na época. Esta reação patriótica à parte, o mundo da matemática parecia quase ignorar grande resultado de Ruffini . Assim como Ruffini reagir ? Ele publicou uma segunda prova em 1803 , que ele esperava que pudesse ser mais facilmente entendido , escrever na introdução: -

Neste livro de memórias , vou tentar provar a mesma proposição [ insolubilidade do quintic ] com , espero, menos raciocínio abstruso e com total rigor .

Pelo menos Ruffini recebeu comentários de Malfatti sobre este papel, mas infelizmente Malfatti não tinha entendido os argumentos de Ruffini e levantou uma objeção falaciosa . Ruffini publicou novas provas em 1808 e 1813. Desta última prova Ayoub escreve em [4]: -

Nada pode ser mais elegante ? Esta prova é, essencialmente, o que mais tarde foi chamado a modificação Wantzel da prova de Abel e foi publicado em 1845. Não é nenhuma surpresa que ele deve assemelhar-se a prova de Ruffini , desde Wantzel diz em seu papel ... "com obras de Abel e Ruffini ... " .

Ruffini não parar de tentar ter o seu trabalho reconhecido pela comunidade matemática. Quando Delambre escreveu em um relatório sobre o estado da matemática desde 1789 : -

Ruffini propõe a provar que é impossível ... ,

Ruffini respondeu : -

... Não só proposto para provar , mas na realidade se mostrou ... .

A pessoa tem que se sentir desesperadamente triste por Ruffini . Se algum matemático havia escrito para ele mostrando -lhe que havia um erro ou até mesmo uma falha na prova , pelo menos Ruffini teria tido a chance de corrigi-lo. No entanto, parecia que ninguém queria saber o que quintics não podiam ser resolvidas por radicais . Ruffini solicitou ao Instituto em Paris para se pronunciar sobre a correção de sua prova e Lagrange, Legendre e Lacroix foram nomeados para examiná-lo. Mais uma vez eles produziram um relatório que foi altamente insatisfatória , tanto quanto Ruffini estava preocupado : -

... se uma coisa não tem importância , nenhum aviso é levado dela e se Lagrange ", com sua frieza " encontrado pouco digno de atenção.

A Royal Society também foram convidados a pronunciar-se sobre a justeza e Ruffini recebeu uma resposta um pouco mais amável que dizia que apesar de não dar a aprovação de partes específicas de trabalho que foram bastante certeza de que ele provou que foi alegado . A única pessoa que o fez reconhecer a importância e correção foi Cauchy . Isto é ainda mais surpreendente, pois Cauchy foi um dos piores de todos os matemáticos a dar crédito aos outros. Ele escreveu para Ruffini em 1821, menos de um ano antes da morte de Ruffini [1]: -

... seu livro de memórias sobre a resolução geral de equações é um trabalho que sempre me pareceu digno da atenção dos matemáticos e que, na minha opinião , prova completamente a impossibilidade de resolver equações algebricamente de maior do que o quarto grau .

Na verdade Cauchy havia escrito uma grande obra em grupos de permutação entre 1813 e 1815 e em que ele generalizou alguns dos resultados de Ruffini . Ele certamente foi muito influenciado pelas idéias de Ruffini . Essa influência através de Cauchy é talvez a única maneira em que o trabalho de Ruffini era fazer um impacto sobre o desenvolvimento da matemática .

Deixamos a história da carreira de Ruffini volta de 1799 , quando começou suas publicações sobre o quinto grau . Ele deixou a Universidade de Modena para passar 7 anos ensinando matemática aplicada na escola militar em Modena. Ele continuou a exercer a medicina e tendem a pacientes do mais pobre ao mais rico da sociedade. Após a queda de Napoleão, Ruffini tornou-se reitor da Universidade de Modena em 1814. A situação política ainda era extremamente complexa e, apesar de suas habilidades pessoais, o grande respeito que ele foi realizado , e sua reputação de honestidade, seu tempo como reitor deve ter sido muito difícil.

Bem como a reitoria , Ruffini realizou uma cadeira de matemática aplicada , uma cadeira de medicina prática e uma cadeira de medicina clínica na Universidade de Modena. Em 1817 houve uma epidemia de tifo e Ruffini continuou a tratar seus pacientes até que ele contraiu a doença mesmo. Apesar de ter feito uma recuperação parcial , ele nunca recuperou totalmente sua saúde e , em 1819, ele deu a sua cadeira de medicina clínica . Ele não desistiu de seu trabalho científico , no entanto, e em 1820 ele publicou um artigo científico sobre o tifo com base em sua própria experiência com a doença.

Existem outros aspectos do trabalho de Ruffini que devem ser mencionados . Ele escreveu várias obras sobre filosofia , um dos quais argumenta contra algumas das ideias filosóficas de Laplace . Ele também escreveu sobre probabilidade e da aplicação de probabilidade de provas em processos judiciais.

Dadas as informações neste artigo sobre a insolubilidade do quinto grau , é razoável perguntar por que Abel foi creditado com provando o teorema de Ruffini , enquanto não tem . Ayoub sugere que a [ 4]: -

... comunidade matemática não estava pronto para aceitar uma idéia tão revolucionária : a de que um polinômio não poderia ser resolvido em radicais . Então, também , o método de permutações era muito exóticos e , deve ser conceeded , conta precoce de Ruffini não é fácil de seguir . ... entre 1800 e 1820 , digamos, o clima da comunidade matemática ... mudou de uma tentativa de solucionar o quíntica para um provando sua impossibilidade ...


Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

junho 1998

ARTE MATEMÁTICA (35)

Mais uma imagem da série "gradação" iniciada a dois meses, Desta vez há uma defasagem entre os retângulos que provoca um efeito diferente. Gostaram?