37 - Análise Dimensional - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (37)

Você tem três sacos, cada um deles contendo duas bolas de gude.
O saco A contém duas bolas brancas, O saco B contém duas bolas pretas e o saco C contém uma bola branca e uma preta.

Você escolhe um saco aleatório e tirar uma bolinha.

É branca.

Qual é a probabilidade de que a bola remanescente do mesmo saco também seja branca?

Jogos matemáticos - 37

ALIEN ANGLES

Pratique estimativa de ângulos com este divertido jogo geométrico.
Não é tão simples quanto parece...

ALIEN ANGLES

A História da Matemática - Episódio II - O Gênio do Oriente

*GAUSS

Johann Carl Friedrich Gauss

Data de Nascimento: 30 de abril de 1777 em Brunswick, ducado de Brunswick ( hoje Alemanha)

Data de falecimento: 23 de fevereiro de 1855 em Göttingen, Hanover ( hoje Alemanha)

       Com a idade de sete anos, Carl Friedrich Gauss começou a escola primária, e seu potencial foi notado quase imediatamente. Seu professor, Büttner, e seu assistente, Martin Bartels, ficaram espantados quando Gauss somou os inteiros de 1 a 100 instantaneamente através da identificação de que a soma era 50 pares de números, cada par somando 101 .

        Em 1788 Gauss começou sua educação no Gymnasium com a ajuda de Büttner e Bartels, onde aprendeu alemão e latim. Depois de receber uma bolsa do Duque de Brunswick - Wolfenbüttel, Gauss entrou no Brunswick Collegium Carolinum em 1792. Na academia, Gauss descobriu independentemente a lei de Bode, o teorema binomial e da média aritmético - geométrica, bem como a lei da reciprocidade quadrática e o teorema dos números primos.

Em 1795 Gauss deixou Brunswick para estudar na Universidade de Göttingen. Lá o professor de Gauss foi Kästner, que foi muitas vezes ridicularizado por Gauss . Seu único  amigo conhecido entre os estudantes foi Farkas Bolyai. Eles se conheceram em 1799 e corresponderam-se um com o outro por muitos anos.

Gauss deixou Göttingen em 1798, sem um diploma, mas tendo feito uma de suas mais importantes descobertas - a construção do heptadecágono regular usando apenas régua e compasso Este foi o mais importante avanço neste campo desde o tempo da matemática grega e foi publicado na Seção VII do famoso trabalho de Gauss, Disquisitiones Arithmeticae .

Gauss retornou a Brunswick , onde recebeu um diploma em 1799. Depois que o duque de Brunswick concordou em continuar mantendo o estipêndio de Gauss, ele solicitou que Gauss apresentasse uma dissertação de doutorado na Universidade de Helmstedt . Ele já conhecia Pfaff, que foi escolhido para ser seu conselheiro. A dissertação de Gauss foi uma discussão sobre o teorema fundamental da álgebra .

Com seu salário para apoiá-lo, Gauss não tinha necessidade de encontrar um emprego para dedicar-se à pesquisa. Ele publicou o livro Disquisitiones Arithmeticae no verão de 1801. Havia sete seções, todas, mas a última seção, acima referido, sendo dedicado à teoria dos números.

Em junho de 1801, Zach , um astrônomo que Gauss tinha chegado a conhecer dois ou três anos antes, publicou as posições orbitais de Ceres , um novo "pequeno planeta ", que foi descoberto por G Piazzi , astrônomo italiano em 1 de Janeiro de 1801. Infelizmente, Piazzi só tinha sido capaz de observar 9 graus de sua órbita antes de desaparecer por trás do sol. Zach publicou várias previsões sobre a sua posição , incluindo um de Gauss que diferiam muito dos outros. Quando Ceres foi redescoberto por Zach em 7 de dezembro de 1801 era quase exatamente onde Gauss tinha previsto . Embora ele não revelou seus métodos na época, Gauss usou seu método de aproximação dos mínimos quadrados.

Em junho 1802 Gauss visitou Olbers que tinham descoberto Pallas em março daquele ano e Gauss investigou sua órbita. Olbers pediu que Gauss ser nomeado diretor do novo observatório proposto em Göttingen , mas nenhuma ação foi tomada . Gauss começou a se corresponder com Bessel , a quem ele não atender , até 1825, e com Sophie Germain.

Gauss casou com Johanna Ostoff em 09 de outubro de 1805 . Apesar de ter uma vida pessoal feliz , pela primeira vez , seu benfeitor , o Duque de Brunswick, foi morto lutando pelo exército prussiano . Em 1807 Gauss esquerda Brunswick para assumir o cargo de diretor do observatório de Göttingen.

Gauss chegou a Göttingen , no final de 1807. Em 1808 seu pai morreu , e um ano mais tarde, a esposa de Gauss Johanna morreu após dar à luz seu segundo filho, que estava para morrer logo depois dela. Gauss foi quebrado e escreveu para Olbers pedindo-lhe para dar-lhe uma casa por algumas semanas ,

para reunir novas forças nos braços de sua amizade - força para uma vida que só é valioso porque ele pertence a meus três filhos pequenos .

Gauss casou-se pela segunda vez no ano seguinte, para Minna a melhor amiga de Johanna , e apesar de terem três filhos , o casamento parecia ser uma de conveniência para Gauss .

O trabalho de Gauss nunca parecia sofrer de sua tragédia pessoal. Ele publicou seu segundo livro, Theoria motus corporum coelestium em sectionibus conicis Solem ambientium , em 1809, um grande tratado de dois volumes sobre o movimento dos corpos celestes. No primeiro volume ele discutiu equações diferenciais , seções cônicas e órbitas elípticas , enquanto que no segundo volume , a parte principal do trabalho , ele mostrou como estimar e , em seguida, para refinar a estimativa da órbita de um planeta. As contribuições de Gauss à astronomia teórica parou depois de 1817, embora tenha continuado a fazer observações até a idade de 70 anos.

Grande parte do tempo de Gauss foi gasto em um novo observatório , concluída em 1816, mas ele ainda encontrou tempo para trabalhar em outros assuntos. Suas publicações durante esse período incluem Disquisitiones generales circa seriem infinitam , um tratamento rigoroso da série e uma introdução da função hipergeométrica , Methodus nova integralium Valores por approximationem inveniendi , um ensaio prático sobre integração aproximada, Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen , uma discussão sobre estatística estimadores , e Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodus nova tractata . O último trabalho foi inspirado por problemas geodésicos e estava principalmente preocupado com a teoria potencial. Na verdade , Gauss encontrou-se cada vez mais interessado em geodésia na década de 1820 .

Gauss foi convidado em 1818 para realizar um levantamento geodésico do estado de Hanover para a ligação com a rede existente dinamarquês . Gauss teve a satisfação de aceitar e assumiu pessoalmente da pesquisa , fazendo medições durante o dia e reduzi-los à noite , usando sua capacidade mental extraordinária para cálculos. Ele escreveu regularmente a Schumacher, Olbers e Bessel , informando sobre o seu progresso e os problemas discutindo .

Por causa da pesquisa, Gauss inventou o heliotrópio que trabalhou refletindo os raios do sol usando um design de espelhos e um pequeno telescópio . No entanto , foram utilizadas linhas de base imprecisas para a pesquisa e uma rede satisfatória de triângulos . Gauss muitas vezes se perguntou se ele teria sido melhor aconselhados a ter exercido alguma outra ocupação , mas ele publicou mais de 70 trabalhos entre 1820 e 1830.

Em 1822 Gauss ganhou o Prêmio Universidade de Copenhague com Theoria attractionis ... juntamente com a idéia de traçar uma superfície sobre outra de modo que os dois são semelhantes em suas partes menores . Este artigo foi publicado em 1825 e levou à publicação depois de muito Untersuchungen über der Gegenstände Höheren Geodäsie ( 1843 e 1846) . O papel Theoria combinationis observationum Erroribus minimis obnoxiae ( 1823) , com o seu suplemento ( 1828), foi dedicado à estatística matemática , em particular para o método dos mínimos quadrados.

Desde o início dos anos 1800 Gauss teve um interesse na questão da possível existência de uma geometria não-euclidiana . Ele discutiu esse assunto longamente com Farkas Bolyai e em sua correspondência com Gerling e Schumacher. Em uma resenha do livro , em 1816 , ele discutiu provas que deduziram o axioma das paralelas a partir dos outros axiomas euclidianos , sugerindo que ele acreditava na existência de geometria não-euclidiana , embora fosse um tanto vago .

... a vã tentativa de esconder com um tecido insustentável de provas pseudo a diferença que não se pode preencher.

Gauss confidenciou Schumacher, dizendo que ele acreditava que sua reputação sofreria se ele admitiu em público que ele acreditava na existência de tal geometria.

Em 1831, Farkas Bolyai enviou a Gauss o trabalho de seu filho János Bolyai sobre o assunto. Gauss respondeu

elogiá-lo significaria para me elogiar .

Mais uma vez, uma década depois, quando foi informado do trabalho de Lobachevsky sobre o assunto, ele elogiou seu caráter " genuinamente geométrico " , enquanto que em uma carta para Schumacher em 1846 , afirma que ele

tinham as mesmas condenações por 54 anos

o que indica que ele tinha conhecimento da existência de uma geometria não-euclidiana desde que ele tinha 15 anos de idade ( isso parece improvável ) .

Gauss teve um grande interesse em geometria diferencial , e publicou muitos artigos sobre o assunto. Disquisitiones generales circa superficies curva (1828) foi o seu trabalho mais conhecido nesta área. Na verdade, esse papel passou de seus interesses geodésicos , mas continha ideias geométricas como a curvatura de Gauss. O documento também inclui a famosa egregrium Theorema de Gauss :

Se uma área no E3 pode ser desenvolvida ( isto é mapeado isometricamente ) em outra área do E3 , os valores das curvaturas de Gauss são idênticos em pontos correspondentes .

O período 1817-1832 foi um momento particularmente preocupante para Gauss . Ele levou sua mãe doente em 1817 , que permaneceu até sua morte em 1839, enquanto ele estava discutindo com sua esposa e sua família sobre se eles deveriam ir para Berlim. Ele havia sido oferecida uma posição na Universidade de Berlim e Minna e sua família estavam ansiosos para mudar para lá. Gauss , no entanto, nunca gostei de mudança e decidiu ficar em Göttingen. Em 1831, a segunda esposa de Gauss morreu após uma longa doença.

Em 1831 , Wilhelm Weber chegou a Göttingen como presidente o professor de física do enchimento Tobias Mayer. Gauss tinha conhecido Weber desde 1828 e apoiou a sua nomeação . Gauss tinha trabalhado em física antes de 1831, publicação Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik , que continha o princípio da menor restrição , e Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii que discutiu as forças de atração. Estes papéis foram baseados na teoria potencial de Gauss, que se mostrou de grande importância em seu trabalho sobre a física . Mais tarde, ele veio a acreditar na sua teoria do potencial e seu método dos mínimos quadrados , desde ligações vitais entre a ciência ea natureza.

Em 1832 , Gauss e Weber começaram a investigar a teoria de magnetismo terrestre depois de Alexander von Humboldt ter tentado obter ajuda de Gauss para fazer uma rede de pontos de observação magnética ao redor da Terra . Gauss estava entusiasmado com essa perspectiva e, em 1840 , ele havia escrito três documentos importantes sobre o assunto: Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata ( 1832), Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus ( 1839 ) e Allgemeine Lehrsätze em Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des parcelas der Entfernung wirkenden Anziehungs -und Abstossungskräfte ( 1840 ) . Estes papéis todos tratados com as teorias atuais sobre o magnetismo terrestre , incluindo as idéias de Poisson, medida absoluta para a força magnética e uma definição empírica de magnetismo terrestre . Princípio de Dirichlet foi mencionado sem provas.

Allgemeine Theorie ... mostraram que não só pode ser dois pólos no globo e passou a provar um teorema importante , o que causa a determinação da intensidade da componente horizontal da força magnética , juntamente com o ângulo de inclinação. Gauss usou a equação de Laplace para ajudá-lo com seus cálculos, e acabou especificando um local para o pólo sul magnético.

Humboldt tinha inventado um calendário para observações de declinação magnética . No entanto , uma vez que o novo observatório magnético de Gauss (concluído em 1833 - livre de todos os metais magnéticos ) havia sido construído , ele passou a alterar muitos dos procedimentos de Humboldt , Humboldt não agradar muito. No entanto , as mudanças de Gauss obtiveram resultados mais precisos com menos esforço.

Gauss e Weber conseguido muito em seus seis anos juntos. Eles descobriram as leis de Kirchhoff , bem como a construção de um primitivo dispositivo de telégrafo que poderia enviar mensagens a uma distância de 5.000 pés entanto, este foi apenas um passatempo agradável para Gauss . Ele estava mais interessado na tarefa de estabelecer uma rede mundial de pontos de observação magnética. Esta ocupação produziu muitos resultados concretos. O Magnetischer Verein e seu jornal foi fundado , eo atlas de geomagnetismo foi publicado , enquanto o Gauss e Weber próprio jornal em que seus resultados foram publicados correu 1836-1841 .

Em 1837 , Weber foi forçado a deixar Göttingen , quando ele se envolveu em uma disputa política e , a partir deste momento , a actividade de Gauss diminuiu gradualmente . Ele ainda produziu cartas em resposta às descobertas companheiros dos cientistas geralmente observando que ele tinha conhecido os métodos há anos, mas nunca senti a necessidade de publicar. Às vezes, ele parecia extremamente satisfeito com os avanços feitos por outros matemáticos , particularmente a de Eisenstein e de Lobachevsky .

Gauss passou os anos 1845-1851 atualizar fundo da viúva Universidade de Göttingen. Este trabalho deu-lhe experiência prática em questões financeiras , e ele passou a fazer a sua fortuna através de investimentos astutos em títulos emitidos por empresas privadas .

Dois dos últimos alunos de doutoramento de Gauss foram Moritz Cantor e Dedekind . Dedekind escreveu uma excelente descrição de seu supervisor

... Normalmente, ele sentou-se em uma atitude confortável , olhando para baixo, ligeiramente curvado , com as mãos cruzadas sobre sua volta. Falou -se livremente , de forma muito clara , simples e claramente: mas quando ele queria enfatizar um novo ponto de vista ... em seguida, ele levantou a cabeça , virou-se para um daqueles sentada ao lado dele , e olhou para ele com seus belos olhos azuis penetrantes durante o discurso enfático . ... Se ele passou a partir de uma explicação de princípios para o desenvolvimento de fórmulas matemáticas , então ele se levantou, e em uma postura muito ereta imponente , ele escreveu em um quadro negro ao lado dele em sua bela caligrafia peculiar : ele sempre conseguiu, graças a economia e arranjo deliberado na tomada fazer com um pequeno espaço. Para exemplos numéricos , em cuja conclusão cuidado colocou valor especial , ele trouxe consigo os dados necessários em pequenas tiras de papel.

Gauss apresentou sua palestra jubileu de ouro em 1849, 50 anos depois de seu diploma tinha sido concedida pela Universidade Helmstedt . Foi adequadamente uma variação em sua dissertação de 1799. Da comunidade matemática só Jacobi e Dirichlet estavam presentes, mas Gauss recebeu muitas mensagens e homenagens.

A partir de 1850 o trabalho de Gauss foi novamente quase todos de natureza prática , embora ele fez aprovar tese de doutorado de Riemann e ouviram a palestra de estágio. Sua última troca científica conhecida foi com Gerling . Ele discutiu um pêndulo de Foucault modificado em 1854. Ele também foi capaz de participar da abertura da nova ligação ferroviária entre Hannover e Göttingen , mas isto provou ser sua última excursão . Sua saúde se deteriorou lentamente, e Gauss morreu durante o sono no início da manhã de 23 de Fevereiro de 1855.

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

dezembro 1996

ARTE MATEMÁTICA (37)

Observe a figura. Consegue ver os polígonos que aparecem?