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Complete cada expressão com o símbolo matemático adequado mas, no menor tempo possível...
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DATA HISTÓRICA : 20/02/2002

Quarta-feira, dia 20 de fevereiro de 2002 foi uma data histórica. Durante um minuto, houve uma conjunção de números que somente ocorre duas vezes por milênio.


Essa conjunção ocorreu exatamente às 20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro do ano 2002, ou seja, 20:02 20/02 2002.


A raridade deve-se ao fato de que os três conjuntos de quatro algarismos são iguais (2002) e simétricos entre si (20:02, 20/02 e 2002).


A última ocasião em que isso ocorreu ( antes de 2002) foi às 11h11 de 11 de novembro do ano 1111, formando a data 11h11 11/11/1111. A próxima vez será somente às 21h12 de 21 de dezembro de 2112 (21h12 21/12/2112). Provavelmente não estaremos aqui para presenciar.


Em 30 de março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30.

O Legado de Pitágoras - 01 - Os Triângulos de Samos

Esta é o primeiro de três vídeos que formam um documentário sobre as contribuições de Pitágoras à Matemática e à Humanidade. Vale a pena conferir.

*LOBACHEVSKY

Nikolai Ivanovich Lobachevsky

Data de Nascimento: 1 de dezembro de 1792 em Nizhny Novgorod ( era Gorky 1932-1990 ), na Rússia
Morreu em: 24 de fevereiro de 1856 , em Kazan , na Rússia

Nikolai Ivanovich Lobachevsky pai Ivan Maksimovich Lobachevsky , trabalhou como balconista em um escritório que estava envolvido em agrimensura , enquanto a mãe de Nikolai Ivanovich foi Praskovia Alexandrovna Lobachevskaya . Nikolai Ivanovich era um dos três filhos nesta família pobre . Quando Nikolai Ivanovich tinha sete anos de idade, seu pai morreu e , em 1800, sua mãe se mudou com seus três filhos para a cidade de Kazan , na Rússia ocidental na beira da Sibéria. Lá, os meninos assistiram Kazan Gymnasium , financiado por bolsas de estudo do governo, com Nikolai Ivanovich entrar na escola em 1802.

Em 1807 Lobachevsky formou na Gymnasium e entrou na Universidade de Kazan como aluno livre . Kazan State University foi fundada em 1804, o resultado de uma das muitas reformas do imperador Alexandre I , e inaugurado no ano seguinte , apenas dois anos antes de Lobachevsky começou sua carreira de graduação. Sua intenção inicial era estudar Medicina , mas mudou-se para estudar em um curso científico amplo , envolvendo matemática e física. Vinberg escreve [ 44] : -

Nos primeiros anos da atmosfera no Departamento foi bastante favorável. Os alunos estavam cheios de entusiasmo. Eles estudaram dia e noite, para compensar a falta de conhecimento. Os professores convidados , principalmente da Alemanha , acabou por ser excelentes professores , o que não era comum. Lobachevsky foi muito bem sucedido em todos os cursos que ele tomou ...

Um dos excelentes professores que tinham sido convidados da Alemanha era Martin Bartels (1769 - 1833) , que tinha sido nomeado como professor de Matemática . Bartels era um professor da escola e amigo de Gauss, e os dois se corresponderam . Vamos voltar mais tarde para discutir idéias de alguns historiadores , por exemplo M Kline , que Gauss pode ter dado dicas Lobachevsky sobre as direções que ele poderia ter em seu trabalho matemático através das cartas trocadas entre Bartels e Gauss . Um professor qualificado, Bartels Lobachevsky logo interessado em matemática. Nós sabemos que Bartels palestras sobre a história da matemática e que ele deu um curso baseado no texto por Montucla . Desde os Elementos de Euclides e sua teoria de linhas paralelas são discutidos em detalhe no livro de Montucla , parece provável que o interesse de Lobachevsky no quinto postulado foi estimulado por estas palestras . Laptev , ver [29] , estabeleceu que Lobachevsky participaram deste curso de história dada pelo Bartels .

Lobachevsky recebeu um mestrado em física e matemática em 1811. Em 1814 ele foi nomeado para lecionar e em 1816 ele se tornou um professor extraordinário . Em 1822 ele foi nomeado como professor titular [1]: -

... no mesmo ano em que ele começou uma carreira administrativa como um membro da comissão formada para supervisionar a construção de novos prédios da universidade .

Lobachevsky tinha experimentado dificuldades durante este período na Universidade de Kazan. Struik escreve em [2] que a administração , liderada pelo curador ML Magnitskii : -

... reflete o espírito dos anos posteriores do czar Alexandre I, que estava desconfiado da ciência e da filosofia moderna, especialmente a do filósofo alemão Immanuel Kant, como produtos do mal da Revolução Francesa e uma ameaça à religião ortodoxa. Os resultados em Kazan durante os anos 1819-1826 foram partidarismo , a deterioração dos padrões acadêmicos , demissões , e partida de alguns dos melhores professores , incluindo ... Bartels ...

Apesar destas dificuldades, muitos trazidos de acordo com Vinberg em [44] por " caráter reto e independente" de Lobachevsky , conseguiu muitas coisas. Bem como a sua investigação matemática vigoroso, que iremos falar mais tarde neste artigo , ele ensinou uma ampla gama de tópicos, incluindo matemática, física e astronomia . Suas palestras [44] : -

... foram detalhadas e claras , para que pudessem ser entendidos mesmo pelos alunos mal preparados .

Lobachevsky comprou equipamentos para o laboratório de física , e ele comprou livros para a biblioteca em São Petersburgo. Ele foi nomeado para cargos importantes dentro da universidade , como o decano do Departamento de Matemática e Física entre 1820 e 1825 e chefe bibliotecário 1825-1835 . Ele também atuou como chefe do Observatório e foi claramente influenciando fortemente a política dentro da Universidade . Contudo [ 30] : -

... os confrontos com o curador [ Magnitskii ] continuou .

Em 1826, o czar Nicolau I tornou-se regente e introduziu um regime mais tolerante. Naquele ano Magnitskii foi demitido como curador da Universidade de Kazan e um novo curador MN Musin - Pushkin foi nomeado . A atmosfera agora mudou consideravelmente e Musin - Pushkin encontrados em Lobachevsky alguém que pudesse trabalhar com ele em trazer mudanças importantes para a universidade . Em 1827 Lobachevsky tornou-se reitor da Universidade de Kazan , cargo que ocupou durante os próximos 19 anos. No ano seguinte, ele fez um discurso ( que foi publicado em 1832 ) sobre os temas mais importantes da educação e isso dá claramente quais eram as idéias em sua filosofia educacional. Laptev escreve em que Lobachevsky [30] : -

... delineou o ideal do desenvolvimento harmonioso da personalidade , enfatizou a importância social da criação e educação , e discutiu o papel das ciências e dever do cientista para o seu país e as pessoas .

A Universidade de Kazan floresceu enquanto Lobachevsky foi reitor , e isso foi em grande parte devido à sua influência . Houve um vigoroso programa de construção nova , com uma biblioteca , um observatório astronômico , as novas instalações médicas e física, química e laboratórios de anatomia que está sendo construído. Ele pressionou fortemente para níveis mais elevados de investigação científica e ele também incentivou a pesquisa nas artes, particularmente o desenvolvimento de um centro de referência para estudos orientais . Houve um aumento acentuado no número de alunos e Lobachevsky investido muito esforço em levantar não só os padrões de educação na universidade, mas também nas escolas locais.

Duas catástrofes naturais atingiu a universidade enquanto era reitor de Kazan [44] : -

... uma epidemia de cólera em 1830 e um grande incêndio em 1842. Devido às medidas firmes e razoável feita pelo Lobachevsky os danos para a Universidade foi reduzida a um mínimo. por sua atividade durante a epidemia de cólera Lobachevsky recebeu uma mensagem de agradecimento do Imperador.

O livro [5] contém alguns relatórios anuais Lobachevsky escreveu o reitor da Universidade de Kazan. Aqueles publicados são apenas uma pequena amostra retirada de centenas de páginas do manuscrito : -

... escrito na íntegra, mão firme [de Lobachevsky ] , com quase um erro , muito menos um cruzamento -out , os relatórios que eram um obstáculo para o trabalho real no caminho de todos os acadêmicos , então como agora .

Apesar dessa pesada carga administrativa , Lobachevsky continuou a ensinar uma variedade de diferentes temas, tais como mecânica , hidrodinâmica , integração , equações diferenciais, cálculo de variações , e física matemática . Ele ainda encontrou tempo para dar palestras sobre a física para o público em geral durante os anos de 1838-1840 , mas a carga de trabalho pesado foi para eventualmente tomar seu pedágio em sua saúde.

Em 1832 se casou com Lady Lobachevsky Varvara Alexejevna Moisieva que veio de uma família rica. Na época de seu casamento sua esposa era uma jovem garota enquanto Lobachevsky foi quarenta anos de idade. O casamento deu-lhes sete filhos e afirma-se em [1] que as crianças : -

... eo custo das melhorias tecnológicas para sua propriedade deixou com pouco dinheiro em sua aposentadoria.

Em [ 44] Vinberg escreve: -

O casal morava em uma casa grande de três andares e recebeu um grande número de visitantes com a hospitalidade de luxo. No entanto Lobachevsky não teve sorte em seu casamento .

Depois de Lobachevsky se aposentou em 1846 ( essencialmente demitido pela Universidade de Kazan ) , sua saúde se deteriorou rapidamente . Matveev , em seu artigo [34] , cita muitos registros sobre a propriedade de Lobachevsky que ele comprou em Slobodka . Há muitas reclamações por biógrafos que: -

Lobachevsky era um gerente impraticável que comprometida a sua situação financeira com a compra do imóvel , enquanto vivia em uma pensão , que ele não tinha tempo para cuidar da propriedade e teve pouco interesse nele , que ele foi deixado em situação de pobreza e ignorado pelas autoridades locais , etc

Mas Matveev mostra que essas alegações são totalmente injustificada . Logo depois ele se aposentou , no entanto, seu filho mais velho favorito morreu e Lobachevsky foi duramente atingida por esta tragédia . A doença que ele sofria de tornou-se cada vez pior e levou à cegueira. Estas e dificuldades financeiras adicionados aos pesados ​​encargos que teve de suportar sobre seus últimos anos. Suas grandes conquistas matemáticas , o que vamos discutir agora , não foram reconhecidos em sua vida e ele morreu sem ter qualquer noção da fama e importância que seu trabalho iria conseguir .

Desde a formulação axiomática de matemáticos de geometria de Euclides estava tentando provar seu quinto postulado como um teorema deduzida a partir das outras quatro axiomas . O quinto postulado afirma que, dado uma linha e um ponto não na linha, uma linha única que pode ser traçada através do ponto paralela à linha dado. Lobachevsky não tentar provar este postulado como um teorema . Em vez disso , ele estudou geometria em que o quinto postulado não necessariamente. Lobachevsky categorizados euclidiana como um caso especial desta geometria mais geral.

Sua principal obra , Geometriya concluído em 1823, não foi publicada em sua forma original até 1909 . Em 11 de fevereiro 1826, na sessão do Departamento de Ciências Físico- Matemáticas da Universidade de Kazan, Lobachevsky solicitou que seu trabalho sobre uma nova geometria foi ouvido e seu papel Um esboço concisa dos fundamentos da geometria foi enviado para árbitros . O texto desse artigo não sobreviveu , mas as idéias foram incorporadas , talvez em uma forma modificada , na primeira publicação de Lobachevsky em geometria hiperbólica . Ele publicou este trabalho em geometria não-euclidiana , a primeira conta do assunto para aparecer na imprensa , em 1829. Foi publicado no Kazan Messenger, mas rejeitada por Ostrogradski quando foi submetido para publicação pelo Petersburgo, Academia das Ciências.

Em 1834 Lobachevsky encontrado um método para a aproximação das raízes de equações algébricas. Este método de solução numérica de equações algébricas , desenvolvidas independentemente por graffe responder a uma pergunta prêmio da Academia de Berlim , é hoje um método particularmente adequado para o uso de computadores para resolver tais problemas . Este método é chamado hoje o método Dandelin - graffe desde Dandelin também investigou de forma independente , mas só na Rússia que o método parece ser nomeado após Lobachevsky , que é o terceiro descobridor independente. Veja [ 24 ] para uma discussão do método e as suas três descubridores .

Em 1837 Lobachevsky publicou seu artigo Géométrie imaginaire e um resumo de sua nova geometria Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parellellinien foi publicado em Berlim, em 1840. Esta última publicação muito impressionado Gauss , mas muito tem sido escrito sobre o papel de Gauss na descoberta da geometria não-euclidiana , que é simplesmente falso . Não é uma coincidência que decorre do fato de que sabemos que o próprio Gauss descobriu a geometria não-euclidiana , mas disse muito poucas pessoas , apenas seus amigos mais próximos. Dois de seus amigos estavam Farkas Bolyai , pai de János Bolyai ( um descobridor independente da geometria não-euclidiana ) e Bartels , que era professora de Lobachevsky . Esta coincidência gerou especulações de que tanto Lobachevsky e Bolyai foram levados a suas descobertas por Gauss . M Kline apresentou esta teoria , mas tem sido refutado em vários trabalhos , veja por exemplo [28] . Também Laptev em [29] examinou a correspondência entre Bartels e Gauss e mostrou que Bartels não sabia sobre os resultados de Gauss em geometria não-euclidiana .

Há outras reivindicações feitas sobre Lobachevsky e da descoberta da geometria não-euclidiana , que foram recentemente refutada. Por exemplo, em [25 ] as reivindicações que Lobachevsky estava em correspondência com Gauss ( Gauss apreciado Lobachevsky da funciona muito bem , mas não teve correspondência pessoal com ele) , que Gauss estudou russo para ler jornais russos de Lobachevsky como alegado por exemplo, em [1] (na verdade, , Gauss estudou russo antes ele tinha sequer ouvido falar de Lobachevsky ) , e que Gauss era um "bom propagandista " de obras de Lobachevsky na Alemanha ( Gauss nunca comentou publicamente sobre o trabalho de Lobachevsky ) são mostrados para ser falsa.

A história de como geometria hiperbólica de Lobachevsky veio a ser aceito é complexa e esta biografia não é o lugar para se entrar em detalhes, mas vamos observar os principais eventos . Em 1866 , dez anos após a morte de Lobachevsky , Houel publicou uma tradução francesa de Lobachevsky Geometrische Untersuchungen , juntamente com alguns de correspondência de Gauss sobre a geometria não-euclidiana . Beltrami , em 1868 , deu uma realização concreta da geometria de Lobachevsky . Weierstrass levou um seminário sobre a geometria de Lobachevsky em 1870, que foi assistido por Klein e , dois anos mais tarde , depois de Klein e Lie havia discutido essas novas generalizações da geometria em Paris , Klein apresentou sua visão geral da geometria como as propriedades invariantes sob a ação de alguns grupo de transformações no Erlanger Programm . Havia mais duas grandes contribuições para a geometria de Lobachevsky por Poincaré em 1882 e 1887. Talvez estes , finalmente, marcar a aceitação das idéias de Lobachevsky , que acabaria por ser visto como passos vitais para libertar o pensamento dos matemáticos de modo que a teoria da relatividade teve uma fundação matemática natural.

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

fev 2000

ARTE MATEMÁTICA (40)

Observe o efeito gerado por estes círculos entrelaçados.