44 - Relações Trigonométricas em Triângulos Retângulos - Matemática - Vestibulando Digital

Jogos matemáticos - 44

ZOGS AND THE MONSTERS X

Vamos lá! Mova os Zogs pelo tabuleiro buscando a resposta da multiplicação.
Quando encontrar pressione a barra de espaço.
Mas, seja rápido pois os monstros X estão te perseguindo...

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Números Maias

O Sistema de numeração dos Maias 

Os numerais mais foram usados na América central, até o ano 876 D.C. Os algarismos consistem de apenas 3 símbolos: o zero é representado pelo desenho de uma concha, o um por um ponto e o cinco por um traço.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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13
14
15
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17
18
19

Depois do número 19, os numerais são escritos na vertical na forma de potências de 20.

Exemplo:
433 is (1 x 400) + (1 x 20) + 13 = 433. Isto é representado como:


Fonte:Easy calculation

Arte & Matemática - 02 - Arte e Números

*Jacob (Jacques) Bernoulli

Jacob (Jacques ) Bernoulli

Data de Nascimento: 27 de dezembro de 1654 em Basel , Suíça
Morreu em: 16 ago 1705 Basel , Suíça

O pai de Jacob Bernoulli , Nicolaus Bernoulli (1623-1708) herdou o negócio de especiarias em Basel que havia sido criada por seu próprio pai, pela primeira vez em Amsterdam e , em seguida, em Basel . A família, de origem Bélgica , eram refugiados que fogem de perseguições por parte dos governantes espanhóis dos Países Baixos. Filipe, o rei da Espanha , enviou o Duque de Alba para a Holanda em 1567 com um grande exército para punir Os que se opõem ao governo espanhol, para fazer cumprir o catolicismo romano , e para restabelecer a autoridade de Filipe. Alba criou o Conselho dos Problemas que foi que um tribunal condenou mais de 12 mil pessoas, mas a maioria, como a família Bernoulli que eram da fé protestante , fugiu do país .

Nicolaus Bernoulli era um cidadão importante de Basel , sendo um membro do conselho da cidade e um magistrado. Também a mãe de Jacob Bernoulli veio de uma importante família de banqueiros e conselheiros locais Basel . Jacob Bernoulli era o irmão de Johann Bernoulli e tio de Daniel Bernoulli. Ele foi obrigado a estudar filosofia e teologia por seus pais , que ele muito se ressentiam , e graduou-se na Universidade de Basel , com um mestrado em filosofia em 1671 e uma licenciatura em Teologia em 1676 .

Durante o tempo que Jacob Bernoulli estava tomando seus diplomas universitários que ele estava estudando matemática e astronomia , contra a vontade de seus pais. Ressalte-se que este era um padrão típico para muitos da família Bernoulli , que fez um estudo da matemática , apesar da pressão para fazer uma carreira em outras áreas. No entanto, Jacob Bernoulli foi o primeiro a ir por este caminho Eu sei que ele era bastante diferente, já que não havia nenhuma tradição de matemática na família antes de Jacob Bernoulli. Mais tarde, os membros da família devem ter sido muito influenciada pela tradição de estudar matemática e física matemática .

Em 1676 , depois de tomar seu curso de Teologia , Bernoulli mudou-se para Genebra, onde trabalhou como tutor. Em seguida, ele viajou para a França passar dois anos estudando com os seguidores de Descartes que foram conduzidos neste momento por Malebranche . Em 1681 Bernoulli viajou para a Holanda , onde conheceu muitos matemáticos incluindo Hudde . Continuando seus estudos com os principais matemáticos e cientistas da Europa, ele foi para a Inglaterra, onde , entre outros, que ele conheceu Boyle e Hooke . Nesta época, ele estava profundamente interessado em astronomia e produziu uma obra que dá uma teoria incorreta dos cometas . Como resultado de suas viagens, Bernoulli Começou em correspondência com muitos matemáticos que h eo realizadas em ao longo de muitos anos.

Jacob Bernoulli retornou à Suíça e ensinou mecânica na Universidade de Basel de 1683 dando uma série de palestras importantes sobre a mecânica dos sólidos e líquidos . Seu grau foi em teologia , uma vez que teria sido natural para ele voltar para a Igreja, mas Embora ele foi oferecido um compromisso na Igreja, ele se recusou. Verdadeiro amor de Bernoulli foi para a matemática e física teórica e foi nestes tópicos que ele ensinou e pesquisou . Durante este período, ele estudou os principais trabalhos matemáticos do seu tempo , incluindo Descartes ' Géométrie e material adicional de van Schooten na edição Latina. Jacob Bernoulli também estudou o trabalho de Wallis e Barrow e através destes , ele ficou interessado em geometria infinitesimal . Jacob começou a publicar na revista Acta Eruditorum que foi criada em Leipzig em 1682 .

Em 1684 Jacob Bernoulli casado Judith Stupanus . Eles deviam ter dois filhos , um filho a quem foi dado o nome de seu avô de Nicolaus e uma filha. Estas crianças , ao contrário de muitos membros da família Bernoulli , não vai se tornar matemáticos e físicos .

Um dos eventos mais significativa quanto os estudos matemáticos de Jacob Bernoulli ocorreu quando seu irmão mais novo, Johann Bernoulli , começou a trabalhar em temas matemáticos . Johann foi informado pelo seu Pai, para estudar medicina, mas enquanto ele estava estudando que seu irmão tópico Jacob perguntou-lhe para ensinar matemática . Jacob Bernoulli foi nomeado professor de matemática em Basiléia em 1687 e os dois irmãos começaram a estudar o cálculo , tal como apresentado por Leibniz em seu artigo de 1684 sobre o cálculo diferencial em Nova Methodus pro Maximis et Minimis , itemque Tangentibus ... publicado em Acta Eruditorum . Eles também estudaram as publicações de von Tschirnhaus . Deve ser entendido que as publicações de Leibniz sobre o cálculo eram muito obscura para os matemáticos da época e os Bernoulli foram os primeiros a tentar compreender e aplicar as teorias de Leibniz .

Embora Jacob e Johann trabalhavam em problemas similares Seu relacionamento estava prestes a mudar a partir de um dos colaboradores para um dos rivais. Johann Bernoulli orgulha-se foram a primeira causa de ataques de Jacó para ele e Jacob Johann escreveu esse era seu aluno cujas conquistas eram apenas para repetir o que seu mestre havia lhe ensinado . Claro que isso foi uma declaração manifestamente abusivas . Jacob continuou a atacar o seu irmão de impressão de uma forma vergonhosa e desnecessária , especialmente depois de 1697. No entanto, ele não reservar críticas públicas para o seu irmão . Ele criticou as autoridades universitárias em Basel e novamente ele foi muito público na tomada de declarações críticas que , como seria de esperar , o deixou em uma situação difícil na universidade. Esse foi Johann Jacob provavelmente sentiu a amoras poderoso matemático dos dois e , essa dor já que a natureza de Jacó Isso significava que ele sempre teve a sensação de que ele estava ganhando elogios de todos os lados. Hofmann escreve em [1]: -

Sensibilidade , irritabilidade, uma paixão mútua pela crítica, e uma necessidade exagerada de reconhecimento alienado dos irmãos , dos quais , Jacob tinha o intelecto mais lento, mas mais profundo.

Como sugerido por esta citação , os irmãos eram igualmente a culpa em sua disputa . Johann teria gostado da cadeira de matemática em Basel que Jacob realizada e ele certamente se ressentia ter que se deslocar para a Holanda em 1695. Este foi mais um fator na quebra total das relações em 1697 .

Claro que a disputa entre os irmãos sobre quem poderia obter o maior reconhecimento foi um estúpido Particularmente no sentido de que ambos fizeram contribuições para a matemática do muito maior importância. Se a rivalidade entre os estimulou a coisas maiores , ou se eles podem ter tido eles continuaram amoras Alcançados Sua colaboração inicial, é impossível dizer. Vamos agora examinar algumas das principais contribuições feitas por Jacob Bernoulli em uma importante fase do desenvolvimento da matemática Seguindo o trabalho de Leibniz sobre o cálculo .

Primeiras contribuições importantes de Jacob Bernoulli eram um panfleto sobre os paralelos de lógica e álgebra publicado em 1685 , o trabalho sobre probabilidade em 1685 e geometria em 1687 . A sua geometria resultado deu uma construção para dividir qualquer triângulo em quatro partes iguais, com as duas linhas perpendiculares .

Por 1689 ele publicou um trabalho importante sobre séries infinitas e publicou sua lei dos grandes números da teoria da probabilidade . A interpretação de probabilidade como frequência relativa afirma que se uma experiência é repetida um grande número de vezes , em seguida, a frequência relativa a um evento que é igual à probabilidade do evento . A lei dos grandes números é uma interpretação matemática deste resultado. Jacob Bernoulli publicou cinco tratados sobre séries infinitas entre 1682 e 1704. Os dois primeiros Estes muitos resultados contidos , resultado: como fundamental que Σ (1 / n) diverge , que Bernoulli acredita eram novos , mas eles , na verdade, tinha sido provado por Mengoli 40 anos antes . Bernoulli não conseguiu encontrar uma forma fechada para Σ ( 1/n2 ), mas ele mostrou que ele convergiram para um limite finito inferior a 2. Euler foi o primeiro a encontrar a soma desta série em 1737 . Também Bernoulli estudou a constatação série exponencial que saiu de juros compostos.

Em maio 1690 um artigo publicado na Acta Eruditorum , Jacob Bernoulli mostrou que o problema de determinar a isócrona é equivalente a resolver uma equação diferencial não-linear de primeira ordem . A isócrona , ou curvas de descida constante, é a curva junto à partícula que descerá por gravidade a partir de qualquer ponto na parte inferior , exatamente ao mesmo tempo, não importa o ponto de partida. Ela havia sido estudado por Huygens em 1687 e Leibniz em 1689 . Depois de encontrar a equação diferencial , Bernoulli , então resolveu por aquilo que hoje chamamos de separação de variáveis ​​. 1690 de papel de Bernoulli é importante para a história de cálculo, uma vez que o termo integral aparece pela primeira vez com o seu significado integração. Em 1696 Bernoulli resolveu a equação , agora chamada de " equação de Bernoulli " ,

y '= p (x ) y + q (x ) yn

e Hofmann Descreve esta parte de seu trabalho como: -

... prova de um trabalho cuidadoso e crítico de Bernoulli em mais velho , bem como sobre as contribuições contemporâneas para a matemática infinitesimal e de sua perseverança e capacidade analítica para lidar com problemas especiais pertinentes , inclusive os de natureza mecânica dinâmica.

Jacob Bernoulli também descobriu um método geral para determinar evolui de uma curva como o envelope de seus círculos de curvatura . Ele também investigou as curvas cáusticas e, em particular, ele estudou Associated Estas curvas da parábola , a espiral logarítmica e epiciclóide volta de 1692 . A lemniscata de Bernoulli foi idealizado por Jacob Bernoulli em 1694 . Em 1695 , ele investigou o problema ponte levadiça que busca a curva necessário saber Que peso deslizando ao longo do cabo sempre mantém a ponte levadiça equilibrado.

Ars Conjectandi trabalho mais original de Jacob Bernoulli foi publicado em Basiléia em 1713 , oito anos após sua morte. O trabalho estava incompleto no momento da sua morte , mas ainda é um trabalho da maior importância na teoria da probabilidade. No livro Bernoulli revisado revista trabalho dos outros em probabilidade , em especial os trabalhos de van Schooten , Leibniz e Prestet . Os números de Bernoulli aparecem no livro em uma discussão sobre a série exponencial. Muitos exemplos são dados sobre o quanto seria de esperar para ganhar jogando vários jogos de azar. Há pensamentos interessantes sobre o que é realmente probabilidade [1]: -

... probabilidade de um grau mensurável de certeza, necessidade e oportunidade ; expectativa moral contra matemático , a priori, uma probabilidade a posteriori ; expectativa de ganhar Quando os jogadores são divididos de acordo com a habilidade funcional; respeito de todos os argumentos disponíveis, a sua avaliação, e sua avaliação calculável ; lei de grandes números ...

Em [ 1] Hofmann resume Contribuições de Jacob Bernoulli da seguinte forma: -

Bernoulli álgebra muito avançada, o cálculo infinitesimal , o cálculo das variações , mecânica , a teoria da série , ea teoria da probabilidade. Ele estava obstinado, teimoso , agressivo, vingativo, atormentado por sentimentos de inferioridade , e ainda firmemente convencido de suas próprias habilidades . Com essas características, ele teve que colidir com Necessariamente Seu irmão eliminados da mesma forma. No entanto, ele exerceu a influência mais duradoura no último.

Bernoulli foi um dos promotores mais significativos dos métodos formais de análise posterior. Astúcia e elegância são raramente encontrados em seu método de apresentação e de expressão, mas há um máximo de integridade.

Jacob Bernoulli continuou a segurar a cadeira de matemática em Basiléia , até sua morte em 1705 quando a cadeira foi preenchida por seu irmão Johann . Jacob sempre achou as propriedades da espiral logarítmica ser quase mágico e tinha solicitado ser esculpida que na sua lápide com a inscrição latina Mudança eadem em Resurgo que significa " eu vou surgir o mesmo que mudou " .

Artigo por: J O'Connor e Robertson E F

setembro 1998

ARTE MATEMÁTICA (44)

Perceba como a disposição e o tamanho dos círculos deram à figura um aspecto tridimensional.