45 - Funções trigonométricas no ciclo trigonométrico I - Matemática - Vestibulando Digital

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Enigma do número de 5 dígitos

Que número de 5 dígitos tem as seguintes características?

Se colocarmos o algarismo 1 no início, temos um número três vezes menor do que se colocarmos o algarismo 1 no final do número.

Jogos matemáticos - 45

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Numerais chineses

Numerais Chineses

O sistema de numeração chinês não é posicional embora seja decimal ( de base 10).
Ele contém 2 tipos de numerais: simples e complexos.

Nºs	Simples	Complexos
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
1000
10000

Exemplo:

Por exemplo, 123 é representado como 
Simples  
Complexo  

Fonte: EASY CALCULATION

Arte & Matemática - 03 - O Artista e o Matemático

*L'Hôpital

Guillaume François Antoine Marquis de L' Hôpital

Data de Nascimento: 1661 , em Paris , França
Morreu em: 02 de fevereiro de 1704 em Paris , França

Dar a Guillaume de l' Hôpital seu nome completo levaria um parágrafo inteiro por damos apenas uma versão muito reduzida : Guillaume -François- Antoine Marquês de l' Hôpital , Marquês de Sainte- Mesme , Comte d' Entremont e Seigneur de Ouques - la- Chaise . A família tinha sido um lugar de destaque na França ao longo de muitas gerações que remontam ao redor do século 12. Existem várias maneiras de escrever o nome Hôpital , as versões anteriores , sendo o hospital ou Lhospital com o Hôpital sendo uma forma relativamente moderna do nome. Seu pai era Anne -Alexandre de l' Hôpital , o tenente - general do exército do rei, ele era conde de Sainte- Mesme e Duc d' Orléans . A mãe de Guilherme foi Gobelin Elisabeth , a filha de Claude Gobelin que era um intendente no exército do Rei e Conselheiro de Estado . Resistente escreve [ 5] : -

A associação de destaque que Anne -Alexandre de l' Hôpital tinha com a casa de Orléans e a confiança que Gaston d' Orléans depositou nele conferido um brilho brilhante sobre a reputação dos os hopitals ; Também lhes oferecia uma proteção apenas a segunda a do próprio rei.

Como uma criança, l' Hôpital não tinha talento para assuntos como o latim , mas ele desenvolveu fortes habilidades matemáticas e uma verdadeira paixão pelo assunto. Bernard de Fontenelle , em [7] Quando o Hôpital conta que tinha quinze anos ele era, em certa ocasião , discutindo matemática com o Duque de Roannes e um deputado Arnaud . Disseram-lhe sobre um problema muito difícil no ciclóide que Blaise Pascal tinha proposto . Poucos dias depois, l' Hôpital tinha resolvido o problema. Dada a sua origem familiar , não é de estranhar que Guillaume de l' Hôpital seguido uma carreira militar e serviu como um capitão de um regimento de cavalaria. Ele certamente não desistir de seu interesse pela matemática, como Fontenelle Explica [7] : -

Ele entrou para o serviço , mas sem abrir mão de seu querido paixão. Ele estudou geometria , mesmo em sua tenda. Não é apenas que ele se aposentou lá para estudo, foi também para esconder sua aplicação para estudar. Para isso deve -se admitir que a nação francesa , embora, como bem educado como qualquer outro, ainda é nesse tipo de barbárie pela qual se pergunta se as ciências, levado a um certo ponto, são incompatíveis com a nobreza, e se ela não é mais nobre não saber nada . ... Eu vi pessoalmente algumas das pessoas que serviram ao mesmo tempo , muito surpreso que um homem que viveu como eles, foi um dos matemáticos mais importantes da Europa .

No entanto, ele resignou do exército causa de miopia não ser capaz de ver além de dez passos . Julian Coolidge escreve [ 3]: -

Um está inclinado a acreditar que era o amor do Hôpital de matemática , em vez de a imperfeição da sua visão que o levou a abandonar a carreira militar em favor de uma teoria científica .

Certamente, a partir desse momento em diante, ele dirigiu sua atenção para a matemática. É quase certo que o Hôpital Isso seria totalmente desconhecido no mundo da matemática hoje, mas para um encontro casual entre ele e Johann Bernoulli para o final de 1691. Bernoulli nessa época tinha 24 anos e ele tinha acabado de chegar em Paris depois de dar palestras sobre o mais recente desenvolvimento em matemática , ou seja, cálculo diferencial de Leibniz . l' Hôpital era na época um membro do círculo de Nicolas Malebranche na Congregação do Oratório , que continha os principais matemáticos e cientistas de Paris. Era um lugar óbvio para Bernoulli para ir ao encontro dos principais matemáticos franceses e ele logo descobriu que l' Hôpital era o mais entusiasmado. l' Hôpital , por sua vez, ficou intrigado ao encontrar Bernoulli , para que rapidamente se tornou claro para ele que ele era muito mais bem informados sobre os novos desenvolvimentos em métodos infinitesimais que ninguém em Paris. Bernoulli disse l' Hôpital , e outros no círculo de Malebranche , que ele sabia que a fórmula geral para o raio de curvatura de uma curva . Embora outros : como Huygens , Leibniz e Newton sabia disso, pensei que estava em Paris para ser uma importante questão em aberto Eu sei l' Hôpital , embora , provavelmente, um dos melhores matemáticos da França, Realizado ele poderia aprender muito com Bernoulli. Bernoulli concordou em dar quatro aulas por semana, para o círculo de Malebranche e fê-lo para os próximos seis meses. Estas palestras participaram l' Hôpital , mas depois mudou-se de Paris para seu verão em Ouques onde empregados Bernoulli para lhe dar aulas particulares. Em novembro 1692 Ouques Bernoulli esquerda e devolvido para Basileia, onde ele a partir do realizada em correspondência com o Hôpital .

L' Hôpital havia publicado algumas notas breves matemáticas , mas em 1692, enquanto Bernoulli estava dando aulas em Ouques , Hôpital enviado para a solução do problema de de Beaune a Huygens . Florimond de Beaune pediu uma curva para a qual o subtangente tinha um comprimento fixo e Bernoulli tinha incluído a solução no curso que ele tinha dado l' Hôpital . L' Hôpital não alegação de que a solução que ele enviou o Seu próprio , mas foi Huygens Huygens fez a suposição razoável que era. Pouco depois a solução de l' Hôpital publicado sob um pseudônimo . Até o momento Bernoulli viu a solução que ele publicou foi em Basel e , naturalmente, ele estava muito irritado . Durante cerca de seis meses, a correspondência entre Bernoulli e l' Hôpital Deixou então, em 17 de março 1694, o Hôpital enviou uma carta ao Bernoulli com uma proposição notável [11] : -

Eu vou ser feliz para lhe dar um adiantamento de 300 libras, começando com o primeiro de janeiro deste ano . ... Prometi pouco para aumentar esse retentor , que eu sei que é muito modesto , tão logo meus assuntos são um pouco esticado para fora. ... Eu não sou tão irracional quanto a exigir em troca todo o seu tempo , mas vou pedir-lhe para me dar em intervalos de algumas horas de seu tempo para trabalhar no que eu também solicitar e comunicar -me as suas descobertas , ao mesmo tempo, pedindo você não divulgar qualquer um deles para os outros. Peço-lhe que nem sequer aqui para enviar Mr. Varignon ou outros quaisquer cópias dos escritos que você deixou comigo, se forem publicadas, eu não vou ser nada satisfeito . Em relação a me responda isso ...

Embora nenhuma cópia da resposta de Johann Bernoulli foi encontrado , sabemos que a partir da próxima carta Hôpital é esse Bernoulli aceitou rapidamente a proposta . A correspondência continuou e, em uma das cartas enviadas à Bernoulli Hôpital em 1695 , ele fez a seguinte promessa notável [11] : -

Você só tem que me deixar saber seus desejos definido , se vou publicar mais nada na minha vida, pois eu vou segui-los de forma precisa e nada mais será visto por mim.

Em 01 de setembro de 1695 Johann Bernoulli deixou Basel para assumir um novo cargo como professor de matemática em Groningen. Em 1696 L' Hôpital famoso livro Analyse des petits infiniment pour l' intelligence des lignes courbes foi publicado , foi o primeiro livro-texto para ser escrito sobre o cálculo diferencial . Na introdução do seu Hôpital reconhece dívida de Leibniz , Jacob Bernoulli e Johann Bernoulli , mas os fundamentos fornecidos pelo Hôpital - lo considerado como suas próprias idéias. Ele escreveu: -

I deve possuir -me muito grato aos trabalhos dos senhores Bernoulli , mas especialmente para aqueles do presente Professor em Groningen. Eu fiz o uso gratuito de suas descobertas , assim como as do Sr. Leibniz , eu sei que eu francamente voltar a eles o que quiserem para reivindicar como seus próprios.

Ele estava ciente de Contribuições de Newton Além disso, escrevendo : -

Devo aqui em justiça própria ( como Mr. Leibniz se fez no ' Journal des Sçavans ' para agosto 1694 ) Que o erudito Sir Isaac Newton também descobriu algo como o differentialis Cálculo ... Pouco o método do Sr. Leibniz é muito mais fácil e rápido , por conta da notação que ele usa , para não mencionar a assistência maravilhosa que proporciona em maio ocasiões .

O livro começa com duas definições :

Definição 1 . Quantidades variáveis ​​são aqueles que aumentam ou diminuem continuamente enquanto uma quantidade constante permanece o mesmo , enquanto outros variam .

Definição 2 . O infinitamente pequena parte por um que aumenta ou diminui continuamente quantidade variável é chamado o diferencial dessa quantidade .

Seguem-se dois axiomas :

Axiom 1 . Fazei com que duas grandezas cuja diferença é uma quantidade infinitamente pequena pode ser tomada ( ou usado) com indiferença para o outro, ou ( o que é a mesma coisa ) que uma quantidade que é aumentada ou diminuída apenas por um infinitamente pequena quantidade pode ser considerada como remanescente o mesmo.

Axiom 2 . Fazei com que a linha curva pode ser considerada como o conjunto de um número infinito de infinitamente pequenas linhas retas , ou ( o que é a mesma coisa) como um polígono com um número infinito de lados , cada um infinitamente pequeno comprimento mais disponível que o ângulo entre adjacente linhas determina a curvatura das curvas .

No segundo capítulo da obra L' Hôpital passou a determinar as tangentes a uma curva . Dada a sua definição de uma curva como um polígono com um número infinito de lados de cada infinitamente pequenos de comprimento, ele pode definir o tangente num ponto da curva da linha recta como sendo produzido a partir da linha recta infinitamente pequeno naquele ponto. Ele dá muitos exemplos de tangentes de computação , bem como um método geral . No terceiro capítulo que considera problemas de máximos e mínimos , dando exemplos de mecânica e geografia. Nos próximos capítulos , ele passa a considerar pontos de inflexão , cúspides , curvatura , evolui , envolventes e derivados de ordem superior. No capítulo 9 é encontrado a regra, agora conhecida como a regra de L' Hôpital , para encontrar o limite de uma função racional cujo numerador e denominador tendem a zero em um ponto.

Este livro é uma contribuição extremamente importante. Foi usado por um longo período de tempo , com novas edições produzidas até 1781, e foi também um modelo para a próxima geração de livros de cálculo . Mas, é claro , temos que examinar a questão de como o trabalho era dependente de Johann Bernoulli. Bem, ele não reclamou muito vigorosamente Quando o livro apareceu e só após a morte do Hôpital ele se tornou amoras contundente em dizer que o livro foi Essencialmente HIS. Johann Bernoulli , apesar de ter uma excelente reputação como um matemático , tinha sido envolvido em várias disputas prioritárias , especialmente com seu irmão Jacob Bernoulli , e suas reivindicações não foram levadas muito a sério. Por outro lado , L' Hôpital personalidade e profunda compreensão dos conceitos levou os colegas a tomar seu lado. Por exemplo , Robinson escreve em [ 1]: -

L' Hôpital possuía uma personalidade muito atraente , sendo, entre outras coisas , modesto e generoso , que duas qualidades não foram generalizados entre os matemáticos de sua época.

Só em 1921, fez uma cópia manuscrita do curso ministrado por Johann Bernoulli para L' Hôpital vir à luz e foi visto como o livro Seguido de perto as notas do curso. Além disso, quando o acordo entre os dois homens foi visto, amoras compreensão dos eventos se tornou possível. Na verdade Bernoulli não tinha estado em uma posição de reclamar Quando o livro foi publicado Hôpital é por causa do acordo entre eles. Em [ 11] Truesdell tenta colocar em perspectiva o arranjo : -

Não devemos julgar muito duramente os procedimentos do Hôpital . Embora talvez necessidade financeira Bernoulli obrigado a aceitar o acordo , inicialmente , continuou depois que ele estabeleceu em sua cátedra na Groningen em 1695 . L' Hôpital , sendo um nobres , estava acostumado a pagar pelos serviços dos outros, e que ele não teria sido errado tinha Bernoulli esteve Considerado um político, um advogado, talvez até mesmo um arquiteto. Certamente não era nada de L' Hôpital para se orgulhar. Um exame cuidadoso das cartas em que L' Hôpital Seu progresso matemático relatados para Leibniz e Huygens , que mostra com uma ou duas exceções possíveis L' Hôpital não mentiu , mas sim Bernoulli Referido em um tom condescendente Reconhecendo sem qualquer dívida que seja para ele e em matéria de proveniência mais disponível escreveu de forma a sugerir sem realmente afirmar .

Então, por que Johann Bernoulli concordar tão rapidamente para Hôpital é a proposta? Embora como Truesdell sugere , o dinheiro pode ter desempenhado um papel , não parece ser toda a razão . Certamente status social era amoras importantes neste momento do que no mundo moderno e Bernoulli que , para muito , em grande medida , se sentem obrigados a ser subserviente a um nobre. Para o fim de sua vida Bernoulli se gabava de o dinheiro que ele havia recebido de L' Hôpital , exagerando a quantia que ele havia recebido. Mas é possível também que ele pode ter sido mais importante para o jovem que Bernoulli Suas descobertas matemáticas do que o que se tornou conhecido no mundo sabia que ele era o autor .

Mas temos que dar crédito L' Hôpital para entender rapidamente as novas matemática que estava sendo apresentado a ele. Ele era um matemático muito competente e certamente foi capaz de escrever com grande clareza . Afigura-se , porém, que ele fez poucos ou nenhum descobertas matemáticas de sua própria e sua solução para o problema , provavelmente, não foi brachystochrone His Own . A reputação Independentemente este problema foi resolvido por Newton, Leibniz e Jacob Bernoulli colocaria o Hôpital em muito boa companhia na verdade, se a solução era mesmo dois para ele. Bem como um matemático resolve os problemas , muitas vezes é a qualidade das perguntas que perguntar qual destacam-nas para a grandeza. A este respeito, é importante notar o prestígio l' Hôpital queria saber se a noção de derivada fracionária faz sentido. Há uma carta dele para Leibniz datado 1695 que ele pergunta se dny / dxn tem um significado para n = 1/2.

Pode -se pensar que ser da nobreza, L' Hôpital teria achado fácil de ser eleito para a Académie des Sciences. No entanto, sua eleição nobreza feita nos termos dos processos normais , mas impossível após a reorganização da Academia em 1699 , ele recebeu o estatuto de honorário.

L' Hôpital Considerado publicar um trabalho sobre integração, mas , ao saber que Leibniz estava indo para publicar um trabalho sobre o tema, ele deixou cair seus planos . Um manuscrito de um livro foi descoberto após a sua morte e isso foi publicado sob o título Traité des anlytique seções coniques em 1707 . A segunda edição deste texto apareceu em 1720.

L' Hôpital casou com Marie -Charlotte de La Romilley Chesnelaye , eles tiveram um filho e três filhas .

Vamos acabar dando a avaliação de Coolidge de L' Hôpital [3]: -

Ele era um exemplo brilhante de um homem da mais alta distinção social, cujo amor pelo aprendizado o levou a dedicar grande parte da sua curta vida à escrita científica.

Artigo por: J O'Connor e Robertson E F

dezembro 2008

ARTE MATEMÁTICA (45)

Perceba o padrão gerado peça repetição da mesma figura com as operações de rotação e de translação.