46 - Funções Trigonométricas no Ciclo Trigonométrico II - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (46)

Resolva o seguinte (cada letra é um algarismo):

ABCDEF × 3 = BCDEFA

Jogos matemáticos - 46

TRIPLETS

Sabe o que são frações equivalentes?
Então agrupe as equivalentes sempre em grupos de três.
Vamos tentar? TRIPLETS

Arte & Matemática - 04 - A Ordem no Caos

*Harriot

Thomas Harriot

Data de Nascimento: 1560 , em Oxford, Inglaterra

Morte: 02 de julho de 1621 em Londres, Inglaterra

Thomas Harriot foi um matemático e astrônomo que fundou a escola Inglese de álgebra. Ele é descrito em [10] por Fauvel e Goulding como: -

...  o maior matemático que Oxford produziu ...

mas seu nome só recentemente se tornou amplamente conhecido , e mesmo agora Suas realizações não são totalmente apreciado pela maioria dos matemáticos .

Sabemos muito pouco da juventude de Harriot . Na verdade, tudo o que se sabe é que na sexta-feira 20 de dezembro de 1577 ele se matriculou na Universidade de Oxford com uma entrada nos registros oficiais dando sua idade como dezessete anos, seu pai como um plebeu , e sua terra natal Oxfordshire. É a partir deste registro que sua data de nascimento é deduzido para ser 1560 e sabemos que seu pai era um " plebeu ", mas o Harriot muito reputação estava entrando em Oxford Isso significa que é improvável que ele veio das classes mais pobres . Apesar das extensas pesquisas dos registros de Oxfordshire, sem mais informações sobre o seu nascimento ou da filiação foi encontrado (embora um número de possíveis parentes foram identificados ) .

Como estudante de graduação na Universidade de Oxford , Harriot era um estudante no Salão de Santa Maria. Ele fez amizade com Richard Hakluyt e Thomas Allen, ambos professores na universidade, mas não no Pavilhão de Santa Maria. Harriot formou-se em 1580 e foi para Londres . Não está claro exatamente o que ele fez em seus primeiros anos , mas lá, provavelmente do final de 1583, ele entrou para o serviço de Sir Walter Raleigh. Hakluyt , dedicando um prefácio para Raleigh , em fevereiro de 1587, escreveu (ver, por exemplo [4] ) : -

Desde que percebeu que habilidade na arte do navegador , o ornamento principal de um reino insular , pode atingir o seu esplendor entre nós se o auxílio das ciências matemáticas foram alistados , você tem mantido em sua casa Thomas Harriot , um homem preeminente na esses estudos , com um salário mais liberal, de modo que, por sua ajuda que você pode adquirir essas ciências nobres em suas horas de lazer ...

Harriot escreveu um texto chamado Arcticon que , infelizmente, nunca foi publicado e nenhuma cópia jamais foi encontrada . Este trabalho foi, essencialmente, dada a sua palestra no curso de Durham House, alojamentos de Raleigh em The Strand , em Londres, onde viveu Harriot neste momento. As palestras foram ministradas para os marinheiros que estavam sendo reunidos por Raleigh para participar Em suas expedições para o Novo Mundo . Pimenta Descreve os avanços nas técnicas de navegação feitas por Harriot pelo tempo que ele escreveu Arcticon [18] : -

... ele resolveu o problema de conciliar o sol e as observações Estrela Polar para determinar a latitude , introduziu a idéia de utilizar amplitude solar para determinar a variação magnética e , assim como melhorar os métodos e dispositivos para observação de altitudes solares ou estelar, ele recalculou mesas para o sol de declinação , com base em suas próprias observações astronômicas. ... ele produziu uma solução numérica prática do problema Mercator, provavelmente pela adição de secantes ...

Como observa Roche em [24] : -

... Quando combinado com novos instrumentos e práticas de observação , é claro que Raleigh tinha a melhor experiência de navegação na Europa.

Não foi apenas como um instrutor de navegação Raleigh Isso Harriot empregado. Ele estava envolvido com o projeto dos navios para as expedições de Raleigh , bem como ser envolvido dentro da construção das embarcações e Selecionando os marinheiros . Ele era contador de Raleigh , sendo responsável pela captação de recursos para as expedições e manter todas as contas .

Raleigh tinha capitães Filipe Amadas e Arthur Barlowe fazer uma expedição a Ilha de Roanoke na costa da Carolina do Norte em 1584. Embora não haja nenhuma evidência direta de que Harriot fez esta viagem , Quinn em [23] de forma convincente argumenta que Ele era um daqueles fazer este levantamento preliminar . Harriot foi, certamente, em uma viagem a Virgínia Organizado pela Raleigh em 1585-1586 . Ele partiu de Plymouth em 09 abril de 1585 a bordo do tigre e suas observações de um eclipse solar em 19 de Abril permitiram que os cientistas modernos para calcular a posição exata do navio naquele dia. Harriot fez muitas anotações durante seu tempo no Novo Mundo , sendo particularmente interessados ​​na língua e os costumes (principalmente os hábitos alimentares ) dos habitantes. O objecto da viagem era colonizar o Novo Mundo , mas não foi bem sucedida na presente objectivo .

Drake estava envolvido em batalhas navais com o espanhol quando soube que tinham a intenção de impedir que os colonos britânicos se estabelecer . Embora Drake reuniu-se com os colonos, em junho 1586 , havia tempestades severas e houve um retorno apressado a Inglaterra por Harriot e mais da festa. Harriot , juntamente com os navios de Drake , desembarcou em Portsmouth , em Julho de 1586 e ele foi imediatamente para Raleigh para informar sobre a expedição. Ele publicou um relatório Briefe and True da terra encontrada nova de Virginia em 1588 um livro no qual ele recomenda o fumo de tabaco que ele próprio tinha - aprendi a fazer em Virginia . No entanto, ele também escreveu um relato completo da viagem que , por alguma razão, ele nunca publicou e , apesar das tentativas árduas de encontrar uma cópia , parece perdida .

Até o momento Harriot havia retornado , Raleigh voltou sua atenção para a Irlanda. Harriot qualquer realizados levantamentos do verão Lismore , que era de propriedade de Raleigh , a partir de 1589. Nove anos mais tarde, ele foi envolvido dentro Ainda trabalhando a área plantada de parcelas sendo alugadas no verão. No entanto, a situação política estava prestes a mudar e isso teria implicações dramáticas para Harriot .

Já na década de 1590 houve alegações do ateísmo contra Raleigh. As acusações eram contra a escola de Raleigh e " o mágico que é o mestre dos mesmos. " Harriot Isso achava que esta era uma referência para ele e ele discutiu as alegações com John Dee (que sentiu que também os custos podem se relacionar com ele ) . Não há razão para acreditar que Harriot (ou Raleigh ) eram ateus , mas certamente eles eram livres pensadores e abordagem científica de Harriot para o mundo foi, para dizer o mínimo, visto com grande desconfiança pela igreja. Bem como os problemas causados ​​por alegações , Dee e Harriot discutidos assuntos científicos e matemáticos na década de 1590 .

Harriot havia movido agora de trabalhar para Raleigh a trabalhar para Henry Percy , Duque de Northumberland. O duque tinha em torno dele um círculo de amigos que eram estudiosos , muitos dos quais de capital em vista atomística . Vida caótica de Raleigh ficava de que Harriot havia procurado o apoio de um patrono que amoras podem fornecer estabilidade para suas atividades científicas . Em 1595 o Duque fez propriedade em Durham sobre a Harriot e ele subiu a escada social Tornando-se um membro da " aristocracia rural ". Harriot também propriedades posteriores realizadas em Cornwall e Norfolk. Não muito tempo depois da transação Durham , o Duque deu Harriot o uso de uma das casas da propriedade em Syon (perto Kew fora de Londres ) que Harriot usado tanto como uma residência e como um laboratório científico.

Nós sabemos a partir de manuscritos sobreviver O Que Harriot foi contratado em estudos profundos de óptica em Syon de 1597. Embora em [4] afirma que ele tinha descoberto que a lei seno de refração da luz antes de 1597 que na verdade sabemos agora , as datas exactas da importante descoberta de Harriot era julho de 1601. Tal como acontece com todas as suas outras descobertas matemáticas , no entanto, Harriot não publicou suas descobertas. É um pouco irônico , no entanto, que Snell ( a quem a descoberta dessa lei é agora atribuída ) não foi o primeiro a publicar o resultado. A descoberta de Snell foi em 1621 , cerca de 20 anos após a descoberta de Harriot , mas o resultado não foi publicado até Descartes colocá-lo na imprensa em 1637.

Um dos problemas que Harriot óptico fizeram estudo na década de 1590 era o problema de Alhazen . Ele deu uma solução para o problema de Alhazen que envolveu a análise de um problema equivalente , ou seja, o problema da interceptação máxima formada entre um círculo e um diâmetro de uma corda girando em torno de um ponto em um círculo. O autor [8 ] conjectura que Harriot pode ter usado técnicas infinitesimais em demonstrar a equivalência desses problemas , e nós certamente sabe que Harriot Introduzido idéias mais tarde redescobertas por Barrow .

Óptica não foi o único tema a ocupar Harriot Durante este período . Ele havia sido convidado por Raleigh , no início de 1590 para aplicar seus conhecimentos matemáticos para a ciência da artilharia . Neste momento idéias da trajetória percorrida por um projétil ainda foram dominados pelo pensamento de Aristóteles. Harriot resolvidas as forças que actuam sobre o projéctil em componentes horizontal e vertical. Ele entendeu que a resistência do ar ACTED Durante todo o vôo, e que a gravidade agiu sobre o componente vertical. Ele chegou muito perto de uma solução do problema de encontrar a velocidade do projétil e , certamente por análise vetorial 1607 , ele chegou à conclusão de que a trajetória do projétil era uma parábola inclinada. Ele fez um erro, no entanto , [4]: -

De alguma forma , ele não poderia forçar-se a abandonar a idéia aristotélica de que os corpos mais pesados ​​caiu em um ritmo mais rápido do que os mais leves .

Outros temas Harriot que começou a trabalhar antes de 1600 eram problemas de química. Ele trabalhou intensamente em química para quase exatamente um ano a partir de maio 1599 a maio de 1600 e , apesar de seus experimentos foram realizados com uma nova precisão científica , ele não fez descobertas de notas particulares .

Raleigh tinha sido um favorito particular de Elizabeth I e , quando morreu, 24 de março de 1603, ficou claro Raleigh Isso é sorte mudaria. Talvez seja Harriot menos claro que , por esta altura não é tão intimamente associado com Raleigh, iria encontrar problemas também. James I se tornou rei e ele rapidamente viu alguém Raleigh ao contrário de suas reivindicações ao trono . Henry Percy, Duque de Northumberland, teve o cuidado de se colocar em uma boa posição com James com uma carta de apoio a ele apenas alguns dias antes de Elizabeth morreu . Em julho de parcelas foram descobertos contra James e Raleigh foi preso e acusado de alta traição .

Raleigh tentou o suicídio , mas não conseguiu . Ele, então, procurou a ajuda de Harriot na obtenção de provas em seu nome. Raleigh foi condenado e sentenciado à morte por enforcamento . Pobre Harriot foi apontada no próprio acórdão como sendo um ateu e uma má influência . Suas tentativas de ajudar Raleigh tinha sido baseada em princípios cristãos ( que sem dúvida ele adere a ), mas isso tinha bastante danificado Raleigh Harriot foi visto como um ateu usando os princípios cristãos por conveniência. Harriot foi devastada por cerca de um ano e assumiu nenhum novo trabalho científico , enquanto tentava chegar a um acordo com o que estava acontecendo. Raleigh recebeu um indulto de última hora da sentença de morte , mas foi preso na Torre de Londres.

Outra parcela foi para levar a mais problemas. Em 4 de novembro de 1605 de Guy Fawkes e outros foram presos por tentar explodir as Casas do Parlamento . Quatro outras pessoas, incluindo Thomas Percy , o neto de Henry Percy , foram presos também como os principais conspiradores. Harriot foi preso sob suspeita de estar envolvido e preso na Gatehouse . Ele foi interrogado sobre a acusação de que ele tinha um horóscopo do rei James , em uma tentativa de usar poderes mágicos para influenciar o futuro do rei. Em 27 de Novembro Henry Percy, patrono de Harriot , foi colocado também na Torre , onde permaneceu até 1621 , quando ele foi lançado. Sem evidências encontradas contra parece ter sido e Harriot , embora ele permaneceu no Gatehouse por algum tempo escrevendo várias cartas pedindo sua libertação, ele era um homem livre , provavelmente, até o final de 1605.

Assim que foi lançado, Harriot voltou ao seu trabalho em óptica . Ele agora Considerado amoras sistemas complexos e Christopher Tooke empregado como um moedor de lente a partir do início de 1605. Seu trabalho sobre a luz agora se mudou para a dispersão de luz em cores. Ele começou a desenvolver uma teoria para o arco-íris e , por 1606, Kepler tinha ouvido falar dos resultados notáveis ​​na óptica Realizados pelos Harriot . Kepler escreveu a Harriot , mas a correspondência nunca conseguiu realmente qualquer troca significativa de idéias. Talvez Harriot foi muito cautelosos com as dificuldades que o seu trabalho tinha quase levou com ele , ou talvez ele ( como ele dizia Kepler ) ainda pretendo publicar os resultados se Sua Sua saúde permitido.

O aparecimento de um cometa atraiu a atenção de Harriot e voltou sua mente científica para a astronomia. Ele observou em cometa em 17 de setembro de 1607 a partir de Ilfracombe que viria a ser identificado como o cometa de Halley . Kepler descobriu o cometa teve seis dias antes, mas seria as observações de Harriot e seu amigo (e estudante ) William inferior que eventualmente foram usados ​​por Bessel para calcular sua órbita.

Sua astronomia trouxe de volta à tona, Harriot passou a fazer as primeiras observações telescópicas , na Inglaterra. Em 26 de julho de 1609 , às 9 horas , ele esboçou a Lua que na época tinha 5 dias de idade , vendo-a através de um telescópio com uma ampliação de 6. Ele desenhou a Lua novamente um ano depois, em 17 de julho , 1610, por esta altura ele tinha um telescópio dando-lhe uma ampliação de 10. Logo ele tinha construído um telescópio com uma ampliação de 20, em seguida, em abril de 1611 teve um telescópio de ampliação 32.

Harriot Observadas as luas de Júpiter , desde a sua primeira aparição Embora estados : -

Minha primeira observação dos novos planetas . Eu vi , mas um sozinho e que

ele já deve ter tido conhecimento da descoberta de Galileo . Como com todas as suas descobertas científicas , Harriot não publicou seus resultados. Foram feitas estas observações das luas de Júpiter entre 17 de outubro, 1610 e 26 de Fevereiro 1612.

Ele foi o primeiro a descobrir as manchas solares , fazendo com que 199 observações entre 8 de dezembro de 1610 e 18 de Janeiro de 1613. A primeira observação de manchas solares foi feita enquanto ele estava observando as luas de Júpiter . A partir dos dados coletados , ele era capaz de deduzir o período de rotação do sol. No entanto , desta vez em torno de seu trabalho científico , basicamente, chegou ao fim . Ele parece ter tido seus espíritos abatidos pelas mortes de seus amigos e perdeu o espírito para continuar a investigação (que lhe trouxe muitos problemas apesar de sua falta de publicações ) .

Das poucas peças de trabalho feito por Harriot depois de 1614 era Sua observação de um outro cometa em 1618 ( houve três cometas visíveis esse ano eo terceiro Harriot Observado ) de Syon House. Em 1618 Raleigh, que tinha sido mostrado a clemência de prisão ao invés de morte, em 1603, foi condenado à morte . Raleigh foi executado em 29 outubro de 1618 em uma execução pública , com Harriot presentes para testemunhar o evento. No entanto , por esta altura foi Harriot já sofrendo com o câncer do nariz, o que eventualmente levou à sua morte.

O câncer parece ter começado por volta de 1613 , sobre o momento em Harriot perdeu o interesse em avançar Sua pesquisa matemática e científica . Ele consultou o maior especialista em 1615 , que escreveu o relatório sobre a consulta . Ele Harriot descrito como (ver, por exemplo [4] ) : -

... um homem um pouco melancólico. ... A úlcera cancerosa na narina esquerda come-se o septo do nariz e em proporção ao seu tamanho mantém os lábios com força e virou para cima. Ele foi gradualmente penetrou bem no nariz. Esse mal o paciente sofreu nos últimos dois anos .

Harriot sofreria esse "mal" por mais três anos antes de o câncer tirou a vida.

Existem algumas outras duas grandes realizações matemáticas de Harriot que devemos mencionar . Ele exibiu a espiral logarítmica como a projeção estereográfica de uma esfera em um loxodrome , ele provou ser uma projeção conforme. Os loxodromes são as linhas retas no mapa Mercator, que Harriot calculado com grande precisão. Na verdade , a fim de alcançar este grau de precisão , Harriot Introduzido interpolação de diferenças finitas .

Há uma história interessante para um problema que foi resolvido apenas recentemente , mas originou-se com Harriot . Raleigh Harriot pediu para resolver certos problemas relacionados com o empilhamento de balas de canhão . Em um manuscrito datado de 12 de dezembro de 1591 (domingo) , em setembro de Harriot fora a mesa de Raleigh para responder a perguntas . Ele mostra que, se o número de canhão é dada , pode-se calcular o número de canhão para ser colocados na base de uma pirâmide com uma base triangular, quadrada ou oblonga . Raleigh representava uma segunda questão, que também respondeu Harriot , nomeadamente Dada a pirâmide de balas de canhão , calcule o número nas estantes .

Harriot foi demais o matemático parar por aí , no entanto. A partir de um estudo de como as balas de canhão poderia preencher o espaço , ele considerou as implicações para a teoria atômica da matéria em que ele acreditava . Mais tarde, em sua correspondência com Kepler sobre a teoria atômica , Harriot mencionou o problema da embalagem. Kepler não poderia resolver o problema, mas que acreditava que o empacotamento mais denso das esferas seria atingido se cada camada os centros das esferas estavam acima dos centros dos furos na camada abaixo. Isto parece intuitivamente óbvio , mas resistiu a prova até 1998 , quando Thomas Hales , da Universidade de Michigan ( com a ajuda de horas de dados gerados por computador ) finalmente provou a conjectura .

A única parte do trabalho de Harriot que ainda não têm descrito é o trabalho matemático para a qual, em alguns aspectos, ele é mais conhecido , ou seja, seu trabalho em álgebra. Ele introduziu na notação simplificada para a álgebra e sua investigação fundamental sobre a teoria das equações de estava à frente de seu tempo. Como exemplo de suas habilidades para resolver equações , mesmo quando as raízes são negativas ou imaginário , reproduzimos Sua solução de uma equação de grau 4 . O exemplo em questão é de próprio punho e reproduzido em [3] .

aaaa - 6AA + 135 = 1155

---------

aaaa- 2aa 4aa - 136a + 1 = 1,156 +

aa - 1 = 2a - 34

33 = 2a - AA

aa - 2a = -33

aa - 2a + 1 = 1-33

a-1 = -32 √

1 - a = -32 √

a = 1 + -32 √

a = 1 - √ -32

---------

aa - 1 = 34 - 2a

aa + 2a = 35

aa + 2a + 1 + 1 = 35

a + 1 = 36 √

a = √ 36-1 = 5

----

- A - 1 = 36 √

um = - √ 36-1 = -7

Note-se como especialista Harriot é completar o quadrado , sabendo que sempre que ele tem uma raiz quadrada , há duas respostas para considerar e tratar todas as respostas igualmente positivo ou negativo , real ou imaginário . I [ EFR ] só fizeram uma pequena alteração na notação de Harriot . Onde eu tenho usado o símbolo agora padrão = Harriot usado.

Harriot inventou certos símbolos são usados ​​hoje . No entanto, os símbolos < para "menor que" e  > para "maior que" não são devidos a Harriot (como é frequentemente afirmado ) , mas foram introduzidos pelo editor do Praxis Artis Analyticae para Aequationes Algebraicas Resolvendas - se Harriot usados ​​símbolos diferentes. Há ainda muito debate acadêmico sobre como Harriot foi influenciado por Viète , ou se a notação e as idéias foram introduzidas por Viète aprendidas por ele de Harriot .

Como vimos no exemplo acima , Harriot fez um excelente trabalho na solução de equações , reconhecendo as raízes negativas e raízes complexas de uma maneira que faz com suas soluções parecem com uma solução hoje. Fez a observação de que , se a, b, c são as raízes de uma cúbico então a cúbico é ( x - a ) (x - b) (x - c ) = 0. Este é um grande passo em frente na compreensão que Harriot , em seguida, transportado para equações de grau superior.

Embora ele estava fazendo à frente do seu tempo, seu trabalho teve que fazer menos influência do que deveria ter feito , pois, como já observamos acima Repetidamente, ele publicou nenhum trabalho matemático em sua vida. Mesmo Seu trabalho em álgebra Artis Analyticae Praxis para Aequationes Algebraicas Resolvendas ( 1631 ) foi publicado 10 anos após sua morte e foi editado por pessoas que não apreciam plenamente a profundidade de sua obra. Por exemplo, ele não discute soluções negativas.

Artigo por: J O'Connor e Robertson E F

janeiro 2000

ARTE MATEMÁTICA (46)

Esta figura é chamada Cardióide por ter formato de coração e, como você pode ver é formada por vários segmentos de reta cujas inclinações estabelecem a curva.