sexta-feira, 23 de agosto de 2013
sábado, 17 de agosto de 2013
Jogos matemáticos - 56
MATH AT THE MALL
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sexta-feira, 9 de agosto de 2013
3 2 1 - Mistério
Você conhece o princípio de Cavalieri? Não?
Então esta é uma ótima oportunidade para aprender este importante assunto da geometria.
quarta-feira, 7 de agosto de 2013
*EUDOXO
Eudoxo de Cnido
Data de Nascimento: 408 aC em Cnido ( em Resadiye península) , Ásia Menor ( agora Knidos , Turquia )
Morte: 355 aC, em Cnido , na Ásia Menor (atual Turquia)
Eudoxo de Cnido era filho de Aischines . Quanto aos seus professores , sabemos que ele viajou para Tarento, agora na Itália, onde estudou com Archytas que era um seguidor de Pitágoras . O problema da duplicação do cubo foi um que Archytas interessadas e que seria razoável supor que o interesse de Eudoxus nesse problema foi estimulado por seu professor. Outros temas que é provável que ele aprendeu sobre a partir de Archytas incluem teoria dos números ea teoria da música.
Eudoxo também visitou a Sicília , onde estudou medicina com Philiston , antes de fazer sua primeira visita a Atenas na companhia do Theomedon médico. Eudoxo passou dois meses em Atenas nesta visita e ele certamente assistiram a palestras sobre a filosofia de Platão e outros filósofos da Academia , que só tinha sido estabelecido pouco tempo antes. Heath [3] escreve sobre Eudoxus como um estudante em Atenas -
... tão pobre era aquele que ele pegou seu domicílio no Pireu e marchou para Atenas e volta a pé todos os dias.
Depois de deixar Atenas , ele passou mais de um ano no Egito , onde estudou astronomia com os sacerdotes de Heliópolis. Neste momento, Eudoxo fez observações astronômicas de um observatório que se situava entre Heliópolis e Cercesura . Do Egito Eudoxus viajou para Cyzicus no noroeste da Ásia Menor, na costa sul do mar de Mármara. Lá, ele estabeleceu uma escola que se mostrou muito popular e tinha muitos seguidores .
Em cerca de 368 aC Eudoxo fez uma segunda visita a Atenas acompanhado por vários de seus seguidores. É difícil descobrir exatamente o que o seu relacionamento com Platão e da Academia foram neste momento. Há alguma evidência para sugerir que Eudoxus tinha pouco respeito pela capacidade analítica , de Platão , e é fácil ver por que isso pode ser , pois, como um matemático suas habilidades foram muito além de Platão. Também é sugerido que Platão não estava totalmente satisfeito ao ver como a escola de Eudoxo de sucesso se tornou. Certamente não há nenhuma razão para acreditar que os dois filósofos tinha muita influência sobre as idéias uns dos outros .
Eudoxus voltou aos seus Cnidus nativas e lá foi aclamado pelo povo que o colocou em um papel importante no Legislativo. No entanto, ele continuou seu trabalho acadêmico , escrevendo livros e palestras sobre teologia , astronomia e meteorologia .
Ele construiu um observatório sobre Cnidus e sabemos que a partir daí ele observou a estrela Canopus . As observações feitas em seu observatório em Cnido , bem como aquelas feitas no observatório perto de Heliópolis , formada com base em dois livros referidos por Hiparco . Estas obras eram o espelho ea Phaenomena que são considerados por alguns estudiosos como revisões do mesmo trabalho. Hiparco nos diz que as obras em causa o nascer eo pôr das constelações , mas , infelizmente, esses livros , como todas as obras de Eudoxo , foram perdidos .
Eudoxus contribuições importantes para a teoria da proporção , onde ele fez uma definição comprimentos permitindo possivelmente irracionais ser comparados de uma forma semelhante ao método de cruz multiplicando hoje usado. Uma das maiores dificuldades surgiram em matemática pelo tempo de Eudoxo , ou seja, o fato de que certos comprimentos não eram comparáveis . O método de comparação de dois comprimentos de x e y , encontrando assim um comprimento t que x = m × t e y = n X t os números inteiros m e n não funciona para comprimentos de linhas 1 e 2, como as √ Pythagoreans tinha mostrado .
A teoria desenvolvida por Eudoxo consta do livro Elementos de Euclides V. Definição 4 em que o livro é chamado o Axioma de Eudoxo e foi -lhe atribuído por Arquimedes . A definição estados ( na tradução de Heath [3] ) : -
Magnitudes são referidos como tendo uma relação de um para o outro que é capaz de, quando um múltiplo ou pode exceder o outro.
Por esta Eudoxus significava que um comprimento e uma área não têm uma proporção capaz. Mas uma linha de comprimento √ 2 e um de comprimento 1 têm uma relação capaz desde 1 × √ 2> 1 e 2 × 1 > √ 2 . Assim, o problema de comprimentos irracionais foi resolvido , no sentido que se pode comparar as linhas de qualquer comprimento , sejam racionais ou irracional.
Eudoxus então passou a dizer quando dois índices são iguais. Isso aparece como elementos de Euclides Livro V Definição 5, que é , na tradução de Heath [3]: -
Magnitudes são ditos ser da mesma proporção , da primeira para a segunda e a terceira para a quarta , em que, se qualquer equimultiples ser tomadas independentemente da primeira e a terceira e quaisquer equimultiples independentemente dos segundo e quarto , o ex equimultiples tanto exceder , são iguais igual ou iguais menos do que os últimos equimultiples tomadas a fim correspondente.
Em notação moderna, este afirma que a: b e c : d são iguais ( onde a, b , c, d são possivelmente irracional ) , se possível, para cada par de números inteiros m, n
se ma < nb , então mc < nd ,
se ma = nb , então mc = nd ,
se ma > nb , então mc > nd .
Huxley escreveu em [1]: -
É difícil exagerar o significado da teoria , por isso equivale a uma definição rigorosa do número real. Teoria dos números foi autorizado a avançar novamente , após a paralisia imposta pela descoberta de Pitágoras de irracionais , em benefício inestimável de toda a matemática subseqüentes.
Vários autores têm discutido as ideias de números reais na obra de Eudoxo e comparou suas idéias com as de Dedekind , em especial, a definição envolve " cortes de Dedekind " dadas em 1872. Se Dedekind enfatizou que seu trabalho foi inspirado pelas idéias de Eudoxo . Heath [3] escreve definição de proporções iguais desse Eudoxus : -
... corresponde exatamente à teoria moderna de irracionais , devido a Dedekind , e que é palavra por palavra, a mesma definição de um número igual de Weierstrass .
No entanto, alguns historiadores têm uma visão bem diferente . Por exemplo, o artigo [15] ( citando resumo do autor) : -
... análises, em primeiro lugar, o significado histórico da teoria das proporções contidas no Livro V dos " Elementos" de Euclides e atribuída a Eudoxo . Em seguida, ele demonstra a originalidade radical , em relação a esta teoria, a definição de números reais , com base no conjunto de rationals propostos pela Dedekind . Duas conclusões : (1) não há no Livro V dos "Elementos " As lacunas percebidas por Dedekind , (2) não se pode falar propriamente de uma "influência" das idéias de Eudoxus sobre a teoria de Dedekind .
Outra contribuição notável para a matemática feitas por Eudoxo foi o seu primeiro trabalho na integração usando seu método de exaustão. Este trabalho desenvolvido diretamente de seu trabalho sobre a teoria da proporção desde que ele agora era capaz de comparar números irracionais . Também foi baseada em idéias anteriores de aproximação da área de um círculo por onde Antífona Antífona levou polígonos regulares inscritos com um número crescente de lados . Eudoxo era capaz de fazer a teoria de Antífona em um rigoroso uma , aplicando seus métodos para dar provas rigorosas de teoremas , primeiro indicado pelo Demócrito , que
o volume de uma pirâmide é um terço do volume do prisma tendo a mesma base e de altura igual , e
o volume de um cone é um terço do volume do cilindro que tem a mesma base e altura.
As provas destes resultados são atribuídos à Eudoxus por Arquimedes em seu trabalho sobre a esfera eo cilindro e, claro, Arquimedes passou a usar o método da exaustão de Eudoxo para provar uma notável colecção de teoremas.
Sabemos que Eudoxus estudaram o problema clássico da duplicação do cubo. Eratóstenes , que escreveu a história do problema , diz que Eudoxo resolveu o problema por meio de linhas curvas. Eutocius escreveu sobre a solução de Eudoxo , mas parece que ele tinha diante de si um documento que , apesar de pretender dar a solução de Eudoxo , deve ter sido escrito por alguém que não tinha conseguido entender. Paul Tannery tentou reconstruir a prova de Eudoxo de muito pouca evidência , por isso deve ficar mais do que um palpite. Sugestão engenhosa de curtume foi que Eudoxus tinha usado a curva Kampyle na sua solução e , como conseqüência, a curva é agora conhecido como o Kampyle de Eudoxo . Heath, no entanto, as sugestões do duvida Tannery [ 3]: -
Para minha mente a objeção a ele é que ele é muito próximo de uma adaptação das idéias de Arquitas ... Eudoxus foi , eu acho, muito originais um matemático de se contentar com a mera adaptação do método de solução de Arquitas .
Nós ainda temos que discutir a teoria de Eudoxo planetária , talvez, o trabalho para o qual ele é o mais famoso , que ele publicou no livro On velocidades que agora está perdido . Talvez o primeiro comentário que vale a pena fazer é que Eudoxo foi grandemente influenciado pela filosofia dos pitagóricos Archytas através de seus professores. Portanto, não é surpreendente que ele desenvolveu um sistema baseado em esferas após a crença de Pitágoras que a esfera era a forma mais perfeita . O sistema proposto pela esfera homocêntrica Eudoxus consistiu de um número de esferas rotativas , cada uma esfera que roda em torno de um eixo que passa pelo centro da Terra . O eixo de rotação de cada uma das esferas não foi fixo no espaço , mas para a maioria das esferas , este eixo de rotação foi si como foi determinada por pontos fixos na outra esfera rotativa.
Como no diagrama da direita , suponha que temos duas esferas S1 e S2 , o eixo XY de S1 , sendo um diâmetro da esfera S2. Como S2 roda em torno de um eixo AB, então eixos XY de S1 gira com ele. Se as duas esferas giram com velocidade constante, mas oposta , angular , em seguida, um ponto P no equador de S1 descreve uma figura de oito curva. Esta curva foi chamado de hippopede (ou seja, um cavalo - grilhão ) .
Eudoxo usou esta construção do hippopede com duas esferas e , em seguida considerado um planeta como o ponto P percorrendo a curva. Ele introduziu uma terceira esfera de corresponder ao movimento geral do planeta contra as estrelas de fundo , enquanto o movimento em torno do hippopede produziu o movimento retrógrado periódica observada. O subsistema de três esfera foi colocada em uma quarta esfera que deu a rotação diária das estrelas .
O sistema planetário de Eudoxus é descrito por Aristóteles em Metafísica e do sistema completo contém 27 esferas. Simplício , escrever um comentário sobre Aristóteles, em cerca de 540 dC, também descreve as esferas de Eudoxo . Eles representam uma conquista geométrica magnífico. Como Heath escreve [ 3]: -
... para produzir os retrogradações desta forma teórica rotações axiais sobrepostas de esferas foi um golpe de gênio notável . Não era ligeira realização geométrica , para os dias , para demonstrar o efeito da hipótese ; mas isto não é nada , em comparação com a potência especulativa que permitiu a de inventar homem a hipótese de que poderia produzir do efeito.
Não há dúvida essa conquista matemática incrível. Mas ainda há muitas perguntas que , em seguida, deve-se perguntar . Será que Eudoxus acreditam que as esferas realmente existiu ? Será que ele inventá-los como um modelo geométrico que era puramente um dispositivo computacional ? Será que o modelo de representar fielmente a forma como os planetas são observados a se comportar ? Será que Eudoxus testar seu modelo com evidência observacional ?
Um argumento em favor de pensar que Eudoxus acreditavam nas esferas apenas como um dispositivo computacional é o fato de que ele parece ter feito nenhum comentário sobre a substância das esferas nem sobre o seu modo de interconexão . É preciso distinguir entre as visões de Eudoxus e os de Aristóteles para a Huxley escreve em [1]: -
Eudoxus podem ter considerado o seu sistema simplesmente como um modelo geométrico abstrato, mas Aristóteles o levou a ser uma descrição do mundo físico ...
A questão de saber se Eudoxus pensou em seus âmbitos como geometria ou a realidade física é estudado no papel interessante [29] , que argumenta que Eudoxo estava mais interessado em realmente representar os caminhos dos planetas do que na previsão de fenômenos astronômicos .
Certamente, o modelo não representa , e talvez mais significativamente não poderia representar , os caminhos reais dos planetas com um grau de precisão que iria passar mesmo o mais simples dos testes observacionais. Quanto à questão de quanto Eudoxus baseou em dados observacionais em verificar sua hipótese , Neugebauer escreve em [7] : -
... não só não temos evidência de dados numéricos na construção de esferas homocêntricos de Eudoxus mas também seria difícil, como sua teoria poderia ter sobrevivido a uma comparação com os parâmetros observacionais.
Talvez seja apenas uma forma muito moderna de pensar para saber como Eudoxus poderia ter desenvolvido uma teoria tão complexa sem testá-lo com dados observacionais.
Muitos dos primeiros comentaristas acreditavam que Platão foi a inspiração para a representação de Eudoxus do movimento planetário pelo seu sistema de esferas homocêntricos . Estes vista são ainda bastante difundida , mas o artigo [19] argumenta que isso não é assim e que as idéias que influenciaram Eudoxus para chegar a sua obra-prima da geometria 3- dimensional foram Pitágoras e não de Platão.
Como comentário final , devemos notar que Eudoxo também escreveu um livro sobre geografia chamado Tour da Terra que, embora perdido, é bastante conhecido através de cerca de 100 citações em várias fontes. O trabalho consistiu de sete livros e estudou os povos da Terra conhecida por Eudoxo , em particular, examinar seus sistemas políticos , a sua história e fundo. Eudoxus escreveu sobre o Egito ea religião daquele país com autoridade especial e é claro que ele aprendeu muito sobre esse país no ano que passou lá. No sétimo livro Eudoxus escreveu longamente sobre a Sociedade de Pitágoras na Itália novamente sobre o que ele estava claramente extremamente experiente.
Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F
abril 1999
Data de Nascimento: 408 aC em Cnido ( em Resadiye península) , Ásia Menor ( agora Knidos , Turquia )
Morte: 355 aC, em Cnido , na Ásia Menor (atual Turquia)
Eudoxo de Cnido era filho de Aischines . Quanto aos seus professores , sabemos que ele viajou para Tarento, agora na Itália, onde estudou com Archytas que era um seguidor de Pitágoras . O problema da duplicação do cubo foi um que Archytas interessadas e que seria razoável supor que o interesse de Eudoxus nesse problema foi estimulado por seu professor. Outros temas que é provável que ele aprendeu sobre a partir de Archytas incluem teoria dos números ea teoria da música.
Eudoxo também visitou a Sicília , onde estudou medicina com Philiston , antes de fazer sua primeira visita a Atenas na companhia do Theomedon médico. Eudoxo passou dois meses em Atenas nesta visita e ele certamente assistiram a palestras sobre a filosofia de Platão e outros filósofos da Academia , que só tinha sido estabelecido pouco tempo antes. Heath [3] escreve sobre Eudoxus como um estudante em Atenas -
... tão pobre era aquele que ele pegou seu domicílio no Pireu e marchou para Atenas e volta a pé todos os dias.
Depois de deixar Atenas , ele passou mais de um ano no Egito , onde estudou astronomia com os sacerdotes de Heliópolis. Neste momento, Eudoxo fez observações astronômicas de um observatório que se situava entre Heliópolis e Cercesura . Do Egito Eudoxus viajou para Cyzicus no noroeste da Ásia Menor, na costa sul do mar de Mármara. Lá, ele estabeleceu uma escola que se mostrou muito popular e tinha muitos seguidores .
Em cerca de 368 aC Eudoxo fez uma segunda visita a Atenas acompanhado por vários de seus seguidores. É difícil descobrir exatamente o que o seu relacionamento com Platão e da Academia foram neste momento. Há alguma evidência para sugerir que Eudoxus tinha pouco respeito pela capacidade analítica , de Platão , e é fácil ver por que isso pode ser , pois, como um matemático suas habilidades foram muito além de Platão. Também é sugerido que Platão não estava totalmente satisfeito ao ver como a escola de Eudoxo de sucesso se tornou. Certamente não há nenhuma razão para acreditar que os dois filósofos tinha muita influência sobre as idéias uns dos outros .
Eudoxus voltou aos seus Cnidus nativas e lá foi aclamado pelo povo que o colocou em um papel importante no Legislativo. No entanto, ele continuou seu trabalho acadêmico , escrevendo livros e palestras sobre teologia , astronomia e meteorologia .
Ele construiu um observatório sobre Cnidus e sabemos que a partir daí ele observou a estrela Canopus . As observações feitas em seu observatório em Cnido , bem como aquelas feitas no observatório perto de Heliópolis , formada com base em dois livros referidos por Hiparco . Estas obras eram o espelho ea Phaenomena que são considerados por alguns estudiosos como revisões do mesmo trabalho. Hiparco nos diz que as obras em causa o nascer eo pôr das constelações , mas , infelizmente, esses livros , como todas as obras de Eudoxo , foram perdidos .
Eudoxus contribuições importantes para a teoria da proporção , onde ele fez uma definição comprimentos permitindo possivelmente irracionais ser comparados de uma forma semelhante ao método de cruz multiplicando hoje usado. Uma das maiores dificuldades surgiram em matemática pelo tempo de Eudoxo , ou seja, o fato de que certos comprimentos não eram comparáveis . O método de comparação de dois comprimentos de x e y , encontrando assim um comprimento t que x = m × t e y = n X t os números inteiros m e n não funciona para comprimentos de linhas 1 e 2, como as √ Pythagoreans tinha mostrado .
A teoria desenvolvida por Eudoxo consta do livro Elementos de Euclides V. Definição 4 em que o livro é chamado o Axioma de Eudoxo e foi -lhe atribuído por Arquimedes . A definição estados ( na tradução de Heath [3] ) : -
Magnitudes são referidos como tendo uma relação de um para o outro que é capaz de, quando um múltiplo ou pode exceder o outro.
Por esta Eudoxus significava que um comprimento e uma área não têm uma proporção capaz. Mas uma linha de comprimento √ 2 e um de comprimento 1 têm uma relação capaz desde 1 × √ 2> 1 e 2 × 1 > √ 2 . Assim, o problema de comprimentos irracionais foi resolvido , no sentido que se pode comparar as linhas de qualquer comprimento , sejam racionais ou irracional.
Eudoxus então passou a dizer quando dois índices são iguais. Isso aparece como elementos de Euclides Livro V Definição 5, que é , na tradução de Heath [3]: -
Magnitudes são ditos ser da mesma proporção , da primeira para a segunda e a terceira para a quarta , em que, se qualquer equimultiples ser tomadas independentemente da primeira e a terceira e quaisquer equimultiples independentemente dos segundo e quarto , o ex equimultiples tanto exceder , são iguais igual ou iguais menos do que os últimos equimultiples tomadas a fim correspondente.
Em notação moderna, este afirma que a: b e c : d são iguais ( onde a, b , c, d são possivelmente irracional ) , se possível, para cada par de números inteiros m, n
se ma < nb , então mc < nd ,
se ma = nb , então mc = nd ,
se ma > nb , então mc > nd .
Huxley escreveu em [1]: -
É difícil exagerar o significado da teoria , por isso equivale a uma definição rigorosa do número real. Teoria dos números foi autorizado a avançar novamente , após a paralisia imposta pela descoberta de Pitágoras de irracionais , em benefício inestimável de toda a matemática subseqüentes.
Vários autores têm discutido as ideias de números reais na obra de Eudoxo e comparou suas idéias com as de Dedekind , em especial, a definição envolve " cortes de Dedekind " dadas em 1872. Se Dedekind enfatizou que seu trabalho foi inspirado pelas idéias de Eudoxo . Heath [3] escreve definição de proporções iguais desse Eudoxus : -
... corresponde exatamente à teoria moderna de irracionais , devido a Dedekind , e que é palavra por palavra, a mesma definição de um número igual de Weierstrass .
No entanto, alguns historiadores têm uma visão bem diferente . Por exemplo, o artigo [15] ( citando resumo do autor) : -
... análises, em primeiro lugar, o significado histórico da teoria das proporções contidas no Livro V dos " Elementos" de Euclides e atribuída a Eudoxo . Em seguida, ele demonstra a originalidade radical , em relação a esta teoria, a definição de números reais , com base no conjunto de rationals propostos pela Dedekind . Duas conclusões : (1) não há no Livro V dos "Elementos " As lacunas percebidas por Dedekind , (2) não se pode falar propriamente de uma "influência" das idéias de Eudoxus sobre a teoria de Dedekind .
Outra contribuição notável para a matemática feitas por Eudoxo foi o seu primeiro trabalho na integração usando seu método de exaustão. Este trabalho desenvolvido diretamente de seu trabalho sobre a teoria da proporção desde que ele agora era capaz de comparar números irracionais . Também foi baseada em idéias anteriores de aproximação da área de um círculo por onde Antífona Antífona levou polígonos regulares inscritos com um número crescente de lados . Eudoxo era capaz de fazer a teoria de Antífona em um rigoroso uma , aplicando seus métodos para dar provas rigorosas de teoremas , primeiro indicado pelo Demócrito , que
o volume de uma pirâmide é um terço do volume do prisma tendo a mesma base e de altura igual , e
o volume de um cone é um terço do volume do cilindro que tem a mesma base e altura.
As provas destes resultados são atribuídos à Eudoxus por Arquimedes em seu trabalho sobre a esfera eo cilindro e, claro, Arquimedes passou a usar o método da exaustão de Eudoxo para provar uma notável colecção de teoremas.
Sabemos que Eudoxus estudaram o problema clássico da duplicação do cubo. Eratóstenes , que escreveu a história do problema , diz que Eudoxo resolveu o problema por meio de linhas curvas. Eutocius escreveu sobre a solução de Eudoxo , mas parece que ele tinha diante de si um documento que , apesar de pretender dar a solução de Eudoxo , deve ter sido escrito por alguém que não tinha conseguido entender. Paul Tannery tentou reconstruir a prova de Eudoxo de muito pouca evidência , por isso deve ficar mais do que um palpite. Sugestão engenhosa de curtume foi que Eudoxus tinha usado a curva Kampyle na sua solução e , como conseqüência, a curva é agora conhecido como o Kampyle de Eudoxo . Heath, no entanto, as sugestões do duvida Tannery [ 3]: -
Para minha mente a objeção a ele é que ele é muito próximo de uma adaptação das idéias de Arquitas ... Eudoxus foi , eu acho, muito originais um matemático de se contentar com a mera adaptação do método de solução de Arquitas .
Nós ainda temos que discutir a teoria de Eudoxo planetária , talvez, o trabalho para o qual ele é o mais famoso , que ele publicou no livro On velocidades que agora está perdido . Talvez o primeiro comentário que vale a pena fazer é que Eudoxo foi grandemente influenciado pela filosofia dos pitagóricos Archytas através de seus professores. Portanto, não é surpreendente que ele desenvolveu um sistema baseado em esferas após a crença de Pitágoras que a esfera era a forma mais perfeita . O sistema proposto pela esfera homocêntrica Eudoxus consistiu de um número de esferas rotativas , cada uma esfera que roda em torno de um eixo que passa pelo centro da Terra . O eixo de rotação de cada uma das esferas não foi fixo no espaço , mas para a maioria das esferas , este eixo de rotação foi si como foi determinada por pontos fixos na outra esfera rotativa.
Eudoxo usou esta construção do hippopede com duas esferas e , em seguida considerado um planeta como o ponto P percorrendo a curva. Ele introduziu uma terceira esfera de corresponder ao movimento geral do planeta contra as estrelas de fundo , enquanto o movimento em torno do hippopede produziu o movimento retrógrado periódica observada. O subsistema de três esfera foi colocada em uma quarta esfera que deu a rotação diária das estrelas .
O sistema planetário de Eudoxus é descrito por Aristóteles em Metafísica e do sistema completo contém 27 esferas. Simplício , escrever um comentário sobre Aristóteles, em cerca de 540 dC, também descreve as esferas de Eudoxo . Eles representam uma conquista geométrica magnífico. Como Heath escreve [ 3]: -
... para produzir os retrogradações desta forma teórica rotações axiais sobrepostas de esferas foi um golpe de gênio notável . Não era ligeira realização geométrica , para os dias , para demonstrar o efeito da hipótese ; mas isto não é nada , em comparação com a potência especulativa que permitiu a de inventar homem a hipótese de que poderia produzir do efeito.
Não há dúvida essa conquista matemática incrível. Mas ainda há muitas perguntas que , em seguida, deve-se perguntar . Será que Eudoxus acreditam que as esferas realmente existiu ? Será que ele inventá-los como um modelo geométrico que era puramente um dispositivo computacional ? Será que o modelo de representar fielmente a forma como os planetas são observados a se comportar ? Será que Eudoxus testar seu modelo com evidência observacional ?
Um argumento em favor de pensar que Eudoxus acreditavam nas esferas apenas como um dispositivo computacional é o fato de que ele parece ter feito nenhum comentário sobre a substância das esferas nem sobre o seu modo de interconexão . É preciso distinguir entre as visões de Eudoxus e os de Aristóteles para a Huxley escreve em [1]: -
Eudoxus podem ter considerado o seu sistema simplesmente como um modelo geométrico abstrato, mas Aristóteles o levou a ser uma descrição do mundo físico ...
A questão de saber se Eudoxus pensou em seus âmbitos como geometria ou a realidade física é estudado no papel interessante [29] , que argumenta que Eudoxo estava mais interessado em realmente representar os caminhos dos planetas do que na previsão de fenômenos astronômicos .
Certamente, o modelo não representa , e talvez mais significativamente não poderia representar , os caminhos reais dos planetas com um grau de precisão que iria passar mesmo o mais simples dos testes observacionais. Quanto à questão de quanto Eudoxus baseou em dados observacionais em verificar sua hipótese , Neugebauer escreve em [7] : -
... não só não temos evidência de dados numéricos na construção de esferas homocêntricos de Eudoxus mas também seria difícil, como sua teoria poderia ter sobrevivido a uma comparação com os parâmetros observacionais.
Talvez seja apenas uma forma muito moderna de pensar para saber como Eudoxus poderia ter desenvolvido uma teoria tão complexa sem testá-lo com dados observacionais.
Muitos dos primeiros comentaristas acreditavam que Platão foi a inspiração para a representação de Eudoxus do movimento planetário pelo seu sistema de esferas homocêntricos . Estes vista são ainda bastante difundida , mas o artigo [19] argumenta que isso não é assim e que as idéias que influenciaram Eudoxus para chegar a sua obra-prima da geometria 3- dimensional foram Pitágoras e não de Platão.
Como comentário final , devemos notar que Eudoxo também escreveu um livro sobre geografia chamado Tour da Terra que, embora perdido, é bastante conhecido através de cerca de 100 citações em várias fontes. O trabalho consistiu de sete livros e estudou os povos da Terra conhecida por Eudoxo , em particular, examinar seus sistemas políticos , a sua história e fundo. Eudoxus escreveu sobre o Egito ea religião daquele país com autoridade especial e é claro que ele aprendeu muito sobre esse país no ano que passou lá. No sétimo livro Eudoxus escreveu longamente sobre a Sociedade de Pitágoras na Itália novamente sobre o que ele estava claramente extremamente experiente.
Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F
abril 1999
sábado, 3 de agosto de 2013
Matemágica? (56)
Para descobrir a idade de uma pessoa e deixá-la surpreendida, basta pedir para que ela realize alguns cálculos:
- Escrever um número de dois algarismos.
- Multiplicar o número escrito por dois.
- Somar cinco unidades ao produto obtido.
- Multiplicar esta soma por cinqüenta.
- Somar ao produto o número 1766.
- Subtrair o ano de nascimento com 4 algarismos.
- Escrever um número de dois algarismos.
- Multiplicar o número escrito por dois.
- Somar cinco unidades ao produto obtido.
- Multiplicar esta soma por cinqüenta.
- Somar ao produto o número 1766.
- Subtrair o ano de nascimento com 4 algarismos.
O resultado que se obteve é um número de quatro algarismos: os dois algarismos da direita, que correspondem as dezenas e as unidades, indicam a idade da pessoa (se ela já fez aniversário) e, os dois algarismos da esquerda, que correspondem as centenas e aos milhares, indicam o número que a pessoa havia pensado.
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