52 - Pirâmides - Matemática - Vestibulando Digital

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Jogos matemáticos - 52

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NÚMEROS BABILôNICOS

Babilônios foram os primeiros a desenvolver um sistema de numeração escrito. Seu sistema era sexagesimal ( de base 60). Ele apareceu por volta de 1900 AC a 1800 AC.

Este sistema tinha somente dois elementos básicos: l e < e os 59 números são construídos a partir destes 2 símbolos.




Exemplo:
Por exemplo, 1,45,29,36 representa o número sexagesimal
1 x 60³ + 45 x 60² + 29 x 60 + 36
= 1 x 216000 + 45 x 3600 + 29 x 60 + 36
= 216000 + 162000 + 1740 + 36
Cuja notação decimal é 379776

1,45,29,36 em numerais babilônicos


Os babilônios não tinham um símbolo para o zero, em vez disso usavam um espaço para marcar a inexistência de certo algarismo.
Exemplo:
4,0,8 em numerais babilônicos

Fonte: EASY CALCULATION

Arte & Matemática - 10 - Forma Dentro da Forma

PLAYFAIR

Data de Nascimento: 10 de março, 1748 em Benvie (perto de Dundee), Escócia

Data de Falecimento: 20 de julho de 1819 em Burntisland, Fife, Escócia

John Playfair foi o filho mais velho do Reverendo James Playfair, o ministro de Benvie, uma pequena cidade perto de Dundee (então em Perthshire, agora em Angus), Escócia. Ele foi educado por seu pai em casa até a idade de quatorze anos, quando foi enviado para a Universidade de St Andrews para estudar com o objetivo de entrar na Igreja. Playfair foi premiado com uma bolsa de estudos para a Universidade em 1762, e lá a sua aptidão e entusiasmo para estudar lhe valeram tanto o respeito quanto a amizade de seus professores. Seu progresso nas ciências matemáticas foi tão rápido que o professor de filosofia natural (a física ainda era chamada de filosofia natural em St. Andrews nos anos 60), o professor Wilkie, ao sofrer de uma doença, descobriu que ele era a pessoa mais qualificada para proferir suas palestras sobre filosofia natural. Playfair se formou na Universidade de St Andrews em 1765.

Em 1766, quando ainda tinha apenas dezoito anos, Playfair participou de um concurso para a cadeira de matemática no Marischal College, em Aberdeen. Neste concurso, que durou onze dias, ele se destacou e ganhou grande reconhecimento. A extensão do conhecimento matemático necessário para ser bem sucedido em tal concurso era imensa. Playfair não teve sucesso, no entanto, terminando em terceiro lugar entre os seis candidatos, atrás do reverendo Dr Trail, que foi nomeado para a presidência, e do Dr. Hamilton, que o sucedeu na presidência. No entanto Playfair, em uma idade muito jovem, provou seu talento extraordinário combinado com seu conhecimento abrangente da matemática.

Indo estudar teologia na Universidade de St Andrews, a Playfair realizou seus estudos teológicos no St Mary's College, St Andrews. Após a conclusão de seus estudos em 1769, ele deixou a Universidade e, a partir de então, passou a maior parte de seu tempo até 1773, em Edimburgo. Lá ele misturou-se com os luminares do Iluminismo escocês; grupo que incluía grandes estudiosos como Dugald Stewart, o matemático (filho de Matthew Stewart), Adam Smith, o economista, Joseph Black, o químico, James Hutton, o geólogo, Robert Adam, arquiteto e engenheiro, e Principal Robinson, o historiador.

Durante o período entre 1769 e 1773, Playfair tentou por duas vezes obter um posto acadêmico. Sua primeira tentativa foi em 1769, mas não teve sucesso. Ele continuou, no entanto, em sua vocação como ministro e foi autorizado a pregar pelo Presbitério de  Dundee em 1770. Em 1772, Playfair solicitou a cadeira de Filosofia Natural na Universidade de St Andrews, que ficou vaga após a morte de seu amigo Wilkie mas, novamente outro candidato foi nomeado. Tendo falhado em obter um posto acadêmico, Playfair retornou a Edimburgo, onde permaneceu até a morte de seu pai, em 1772.

Playfair foi nomeado por Lord Grey para suceder seu pai como o ministro da Paróquia de Liff e Benvie e se mudou para Liff para supervisionar a educação de seus irmãos e irmãs. Quase um ano se passou, entretanto, antes de sua nomeação ser confirmada, pois os direitos de apresentação de Lord Gray foram contestados pela Coroa de Advogados. O caso foi apresentado ao Tribunal de Sessão e, em agosto de 1773,  Playfair recebeu a confirmação por uma resolução da Assembléia Geral da Igreja. Ele foi então ordenado ministro de Liff e Benvie em sucessão ao pai.

Durante esse período,  Playfair não negligenciou seus próprios estudos acadêmicos e, além de fazer visitas ocasionais a Edimburgo, fez uma excursão em 1774 a Schiehallion, Perthshire, para conduzir experimentos com Neville Maskelyne, o astrônomo real. Eles se tornaram amigos por toda a vida e Maskelyne apresentou-o aos principais cientistas de então. Ele persuadiu Playfair a apresentar seu primeiro artigo de sucesso sobre matemática à Royal Society of London e este foi publicado na Philosophical Transactions em 1779. Este primeiro artigo matemático de Playfair Sobre a Aritmética das Quantidades Impossíveis, foi descrito como exibindo: -

... um gosto maior pela investigação puramente analítica do que a demonstrada por qualquer um dos matemáticos britânicos daquela época.

Playfair tornou-se moderador do Sínodo, mas logo depois disso ele recebeu, em 1782, uma oferta lucrativa para renunciar à sua posição na igreja e se tornar o tutor para os dois filhos de Ferguson de Raith. Ele ensinou Ronald Ferguson e seu irmão de 1782 até 1787. Isso envolveu a mudança para Edimburgo, e ele foi capaz de participar da vida intelectual da cidade. Playfair envolveu-se no estabelecimento da Royal Society of Edinburgh, em 1783 e foi um dos membros originais dessa sociedade. Durante as férias, ele fez sua primeira visita a Londres, onde Maskelyne o apresentou ao mundo científico.

Em 1785, Playfair foi nomeado Professor Conjunto de Matemática na Universidade de Edimburgo, cargo que ocupou por vinte anos. Dois anos depois, depois de completar seus deveres de tutoria para os Fergusons, mudou-se para Edimburgo, juntando-se à sua mãe e irmãs, que haviam residido durante alguns anos em Edimburgo. A partir de 1787 Playfair publicou em vários tópicos no Transactions of the Royal Society of Edinburgh e também contribuiu para o Edinburgh Review.

Em 1793, o irmão de Playfair, James, que se estabeleceu em Londres como arquiteto, morreu repentinamente. Playfair interrompeu seus estudos para fazer os arranjos da família. No ano seguinte, ele adotou o filho mais velho de James, William Henry Playfair, com apenas seis anos de idade. William seguiria os passos de seu pai e também se tornaria um renomado arquiteto.

No século XVIII, a geometria era sistematicamente estudada a partir dos Elementos de Euclides nas universidades, enquanto as escolas geralmente se contentavam em aceitar os teoremas e construções sem provas. No entanto, os matemáticos começaram a exigir mais rigor com o crescente interesse na investigação analítica. Em 1795, Playfair publicou uma edição dos Elementos que ele pretendia fosse usado por seus alunos. A principal inovação foi o uso da notação algébrica por Playfair para abreviar as provas que ele ensinou em sua aula. Isso pretendia evitar a "monotonia e circunlocução" da teoria geométrica.

As dificuldades encontradas por aqueles que estudavam os Elementos no século XVIII centraram-se em torno de dois problemas. Primeiramente, havia o controverso postulado "das paralelas". O segundo problema era a teoria da proporção de Euclides, derivada de Eudoxus. Robert Simson, da Universidade de Glasgow, em sua edição de 1756 dos Elementos, apresentou uma prova do axioma das paralelas baseado em outra suposição. O Playfair resolveu essa dificuldade em 1795 com uma retificação do axioma das paralelas de Euclides:

Duas linhas retas não podem ser traçadas no mesmo ponto, paralelas à mesma linha reta, sem coincidirem umas com as outras.

Essa forma de axioma certamente não era nova, como já fora dada no século V por Proclus. É curioso que o nome de Playfair seja associado a este axioma, particularmente porque ele aponta claramente ter derivado o axioma de Proclus. Escritores posteriores reformularam isso como:

Dada uma linha e um ponto que não estão na linha, é possível desenhar exatamente uma linha através do ponto dado paralelamente à linha.

e isso é o que geralmente é conhecido como Axioma de Playfair. 

Playfair padronizou a anotação de pontos e lados das figuras nos seis primeiros livros de sua edição de Euclides. A esses livros, que lidam especificamente com a geometria plana, Playfair adicionou mais três livros destinados a complementar os seis anteriores; Sobre a Quadratura do Círculo e a Geometria dos Sólidos, Elementos da Trigonometria Plana e Esférica e A Aritmética dos Senos. Ele também incluiu uma seção de notas na forma de um apêndice, na qual deu suas razões para as alterações feitas ao longo dos volumes, e uma discussão esclarecedora sobre o difícil tema das linhas paralelas. O fato de ter chegado a seis edições mostra a popularidade da edição de Euclides de Playfair. D K Wilson, The History of Mathematical Teaching in Scotland to the End of the Eighteenth Century (London, 1935), afirma que:

... A intervenção da Playfair salvou Euclides por cem anos de seu inevitável destino!

Playfair sofreu um severo ataque de reumatismo, durante o início de 1797. Isto não o impediu de escrever, e durante esse tempo ele escreveu Um Tratado analítico sobre as seções cônicas e um Ensaio sobre as descobertas acidentais que foram feitas por homens. de Ciência, enquanto em busca de algo mais, ou quando eles não tinham nenhum objeto determinado em vista.

A morte de seu amigo, James Hutton, levou Playfair para compor uma memória biográfica, que gradualmente se tornou uma resposta aos críticos das teorias da geologia de Hutton. Isso, por sua vez, deu origem à obra geológica da Playfair, Ilustrações da Teoria Huttoniana da Terra. Playfair apresentou as teorias de Hutton em um estilo diferente de sua apresentação original. Hutton tinha um estilo peculiar de apresentação que tornava sua teoria menos inteligível e, como resultado, recebera menos elogios do que merecia. Foi um estilo que levou a muitas deturpações errôneas e aos ataques dos poucos que leram. O estilo simples e eloquente da Playfair consistia em uma série de capítulos que afirmavam claramente a teoria de Hutton, dando os fatos para apoiá-la e os argumentos apresentados contra ela. O sucesso da apresentação de Playfair pode ser julgado pela fama e crédito que desde então foram dados a Hutton, que agora é considerado o primeiro grande geólogo britânico. Segundo H Playfair, The Playfair Family (Blackford, 1984), o Ilustrações: -

... não só deu popularidade à teoria de Hutton, mas ajudou a criar a moderna ciência da geologia.

Playfair passou quase cinco anos, de 1797 a 1802, escrevendo as Ilustrações. A maior parte do seu tempo livre passou viajando pela Grã-Bretanha, em busca de seus estudos geológicos. Playfair esperava estender suas pesquisas para o continente, mas ele foi impedido de fazê-lo pela guerra na Europa. Ele voltou sua atenção para a Irlanda, fazendo visitas a Dublin e à Calçada dos Gigantes.

Em 1803, Playfair publicou seu esboço biográfico de Hutton no Transactions of the Royal Society of Edinburgh. Este trabalho foi descrito mais de um século depois como:

... um trabalho para o qual o tratamento luminoso e a direção graciosa, permanece sem rival na literatura geológica inglesa.

Playfair foi um professor de sucesso em sua posição como Professor de Matemática na Universidade de Edimburgo, dando palestras com entusiasmo pelo assunto, fazendo o máximo para inspirar seus alunos com um entusiasmo pela investigação matemática e recompensando aqueles que conseguiam, elogiando-os na frente da classe. Ele foi descrito por D Allan, Virtue, Learning and the Scottish Enlightenment (Edinburgh, 1993). como um 'professor magnético' que:

... prosseguiu com considerável desenvoltura depois dos anos 1800 uma tradição estabelecida de exposição brilhante e pedagogia eficaz associada, desde pelo menos o décimo sétimo século, à sólida escola presbiteriana da Escócia e as suas instalações universitárias eloquentes.

Playfair foi um dos primeiros na Grã-Bretanha a ensinar análise moderna. Seu curso sobre este tema contou com a participação de muitos que já haviam muito antes concluído seus estudos acadêmicos. Para expressar sua gratidão, os alunos presentearam Playfair com um precioso círculo astronômico, que foi colocado no Observatório da Instituição Astronômica. No entanto, apesar de seu sucesso como matemático, Playfair trocou a cadeira de matemática pela cadeira de Filosofia Natural em 1805. Dois anos depois, ele foi eleito membro da Royal Society of London.

A Instituição Astronômica de Edimburgo foi fundada em 1811, precedendo a Royal Astronomical Society na Inglaterra por nove anos, tornando-se a primeira sociedade britânica dedicada à astronomia. Playfair foi seu primeiro presidente. O Novo Observatório de Calton Hill foi construído em grande parte através dos esforços da Playfair em apoio ao projeto.

Em 1812, Playfair publicou o primeiro dos volumes de Outlines of Natural Philosophy, mais uma vez destinado principalmente ao uso de seus alunos. O primeiro volume cobriu a dinâmica, mecânica, hidrostática, hidráulica, aerostática e pneumática. O segundo volume foi inteiramente dedicado à astronomia, enquanto um terceiro volume, destinado a completar a série e cobrir os assuntos de óptica, eletricidade e magnetismo, nunca foi concluído.

Em 1815,  Playfair sucedeu seu amigo e colega, o professor Robison, como secretário da Royal Society of Edinburgh. Playfair publicou muitos artigos nas Transactions of the Society, incluindo um conjunto de tabelas meteorológicas construídas a partir de suas próprias observações.

Mais tarde, em 1815, a paz na Europa seguiu-se à derrota de Napoleão e Playfair iniciou um estudo geológico do Continente de 17 meses e 4.000 milhas para reunir material para a segunda edição das Ilustrações da Teoria Huttoniana da Terra. Apesar dos 68 anos de idade, Playfair partiu em uma jornada árdua e extensa através da França e Suíça, continuando até a ponta sul da Itália, examinando a estrutura geológica das partes do mundo que visitou. Ele foi acompanhado durante parte do tempo por seu sobrinho mais velho, James George Playfair, que o ajudou gravando os detalhes de suas viagens.

A segunda edição das Ilustrações foi projetada para ser um trabalho muito mais importante do que o primeiro. Pretendia-se ser mais como os textos científicos de hoje, começando com os fatos bem autenticados, seguidos por inferências gerais que foram deduzidas desses fatos, com um exame dos vários modelos geológicos que foram hipotetizados. O objetivo da Playfair era basear os princípios da geologia em suposições e argumentos inquestionáveis. Concluiria com o modelo de geologia de Playfair e suas aplicações.

No entanto, este plano foi interrompido quando Playfair recebeu um pedido de que ele escrevesse um ensaio intitulado Dissertação sobre o Progresso da Matemática e Ciência Física desde o Renascimento das Cartas na Europa para o suplemento à Encyclopaedia Britannica. Ele se mudou para Burntisland em Fife em 1818, depois de ver o trabalho começado no Novo Observatório da Instituição Astronômica de Edimburgo, para concluir este ensaio. Enquanto em Burntisland, ele também escreveu sua Memoir on Naval Tactics, publicada postumamente nas Transactions of the Royal Society of Edinburgh.

Logo após a conclusão da Dissertação, Playfair sofreu um severo ataque de uma doença da bexiga que o impediu de continuar sua planejada segunda edição das Ilustrações e interrompeu suas palestras. Ele recuperou sua saúde o suficiente para terminar o curso de palestras em Edimburgo, mas, infelizmente, a segunda edição das Ilustrações nunca foi concluída. Em junho de 1819, a doença da bexiga retornou ainda mais grave e Playfair retornou à Burntisland. Apesar de sofrer uma dor muito intensa, ele passou os últimos dias de sua vida ditando correções nas folhas de prova da Dissertação. 

Depois de uma doença que durou um mês, Playfair morreu. Havia mais de 500 pessoas em seu enterro no Old Burton Burial Ground, ignorado pelo Observatório que ele ajudou a criar. Sua sepultura é adjacente à de David Hume, o famoso filósofo, mas não tem qualquer indicação de quem está enterrado lá e, infelizmente, ao longo dos anos foi negligenciado. 

Playfair granjeou para si uma alta reputação em pelo menos três campos da ciência pura, não principalmente como um descobridor, mas como um expositor de teorias. No campo da matemática, ele introduziu métodos continentais para a Grã-Bretanha através de seus artigos em revistas científicas e enciclopédias, e por seus cursos de palestras. Seu sobrinho, James George Playfair, que editou The Works of John Playfair em 1822, escreveu: -

... acreditamos que não nos equivocamos em dizer que ele foi um dos matemáticos mais cultos de sua idade, e entre os primeiros, se não o primeiro, que introduziu as belas descobertas dos últimos geômetras continentais ao conhecimento de seus compatriotas, e deu seu justo valor e verdadeiro lugar, no esquema do conhecimento europeu, àquelas importantes melhorias pelas quais todo o aspecto das ciências abstratas foram renovadas desde os dias de nosso ilustre Newton ... Ele possuía, de fato, no mais alto grau, todas as características de um entendimento fino e poderoso - ao mesmo tempo penetrante e vigilante -, mas mais distinto, talvez, para a cautela na segurança de sua marcha, do que para o brilho ou rapidez de seus movimentos, - e guiado e adornado através de todo o seu progresso pelo mais genuíno entusiasmo por tudo que é grandioso, e o mais justo gosto por tudo que é belo na Verdade ou a Energia Intelectual com a qual ele era habitualmente familiarizado.

O caráter de Playfair fez dele uma personalidade popular. Ele possuía uma: -

... combinação cordial das duas aristocracias: a de hierarquia e a das letras.

Lord Henry Coburn escreveu que Playfair foi: -

Admirado por todos os homens e amado por todas as mulheres, de cujas virtudes e intelecto sempre foi campeão, a sociedade se sentia mais feliz e mais respeitável por sua presença.

Seu sobrinho escreve:

... embora o mais social dos seres humanos, e o mais disposto a encorajar e simpatizar com a alegria e jovialidade dos outros, seu próprio estado de espírito era, em geral,  mais de boa disposição que de alegria, ou pelo menos nunca se transformava em qualquer tipo de turbulência ou tumulto... Sua própria satisfação geralmente pode ser traçada no sorriso lento e temperado, gradualmente cobrindo suas características benevolentes e inteligentes, e iluminando o semblante do Sábio com a expressão da mais suave e genuína filantropia.

Em A Ackerberg-Hastings, The Misnamings of Playfair’s Axiom, in M. Zack, D. Schlimm (eds.), Research in History and Philosophy of Mathematics, Proceedings of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics, 2016, as contribuições da Playfair são resumidas da seguinte forma:

O aprendizado amplo, o intelecto calmo e o pensamento claro, tão aparentes em todos os seus escritos, também marcaram suas palestras. Ele era, de acordo com um de seus muitos ilustres alunos, "um professor encantador, tão simples, não afetado e sincero, tão casto em estilo, tão claro em demonstração". Consolidando a aprendizagem das gerações passadas e coligindo as descobertas e teorias de seu próprio tempo, ele fez uma apresentação abrangente e unificada dos assuntos que professou e, assim, lançou as bases para futuras pesquisas construtivas nos campos da matemática e da filosofia natural.

Texto adaptado de um artigo de J J O'Connor and E F Robertson

Agosto de 1999

MacTutor History of Mathematics