66 - SuperAulas ENEM - Matemática - Porcentagem

DIVIRTA-SE (66)

Quebra-cabeça de aniversário

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Jogos matemáticos - 66

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FRACTAIS (6)

As aventuras de Radix

Vamos aprender mais sobre a geometria da esfera?

*HIPÓCRATES

Hipócrates de Chios

Data de Nascimento: cerca de 470 aC, em Chios (agora Khios), Grécia

Morreu em: cerca de 410 aC

Hipócrates de Chios ensinou em Atenas e trabalhou nos problemas clássicos da quadratura do círculo e duplicação do cubo. Pouco se sabe sobre sua vida, mas ele é relatado para ter sido um excelente geômetra que, em outros aspectos, era estúpida e sem sentido. Alguns afirmam que ele foi defraudada de uma grande soma de dinheiro por causa de sua ingenuidade. Iamblichus [4] escreve: -

Um dos pitagóricos [Hipócrates] perderam os seus bens, e quando esta desgraça se abateu sobre ele que ele foi autorizado a fazer dinheiro ensinando geometria.

Heath [6] narra duas versões dessa história: -

Uma versão da história é que [Hipócrates] era um comerciante, mas perdeu todos os seus bens através de ser capturado por um navio pirata. Ele então veio a Atenas para perseguir os criminosos e, durante uma longa estadia, assistiram a palestras, finalmente, alcançar a proficiência em geometria que ele tentou fazer a quadratura do círculo.

Heath também relata uma versão diferente da história contada por Aristóteles: -

... Ele se permitiu ser defraudada de uma grande soma por oficiais da alfândega em Bizâncio, provando assim, na opinião de Aristóteles, que, apesar de uma boa geômetra, ele era idiota e incompetente nos negócios da vida cotidiana.

A sugestão é que essa "longa estadia" em Atenas foi entre cerca de 450 aC e 430 aC.

Nas suas tentativas de quadratura do círculo, Hipócrates era capaz de encontrar as áreas de segunda-feira, certas figuras em forma de crescente, usando o teorema de que a relação entre as áreas de dois círculos é a mesma que a relação dos quadrados dos seus raios. Descrevemos essa conquista impressionante forma mais completa abaixo.

Hipócrates também mostrou que um cubo pode ser duplicada, se duas grandezas proporcionais média pode ser determinada entre um número e seu duplo. Isto teve uma influência importante na tentativa de duplicar o cubo, todos os esforços após esta sendo dirigida para o problema média proporcionais.

Ele foi o primeiro a escrever um Elementos de Geometria e embora o seu trabalho já está perdida, deve ter contido muito do que Euclides posteriormente incluído em Livros 1 e 2 dos Elementos. Proclus, o último grande filósofo grego, que viveu por volta de 450 dC, escreveu: -

Hipócrates de Chios, o descobridor da quadratura do lune, ... foi o primeiro dos quais está registrado que ele realmente compilado "Elements".

o livro de Hipócrates também incluídas as soluções geométricas para equações quadráticas e incluiu métodos iniciais de integração.

Eudemo de Rodes, que foi discípulo de Aristóteles, escreveu História da Geometria em que ele descreveu a contribuição de Hipócrates em lunes. Este trabalho não tem sobrevivido, mas Simplício da Cilícia, escrevendo em torno de 530, teve acesso ao trabalho de Eudemus e citou a passagem sobre os lunes de Hipócrates 'palavra por palavra, exceto para algumas adições' tiradas de Elementos de Euclides para fazer a descrição mais clara.

Vamos primeira citação parte da passagem de Eudemo sobre o lunes de Hipócrates, seguindo os historiadores da matemática que desembaraçadas as adições de elementos de Euclides, que Simplício acrescentou. Ver [6], tanto para a tradução que damos e para uma discussão de quais as partes são devidos a Eudemus: -

As quadraturas de segunda-feira, que foram considerados como pertencendo a uma classe incomum de proposições em razão da estreita relação da lunes para o círculo, foram investigados pela primeira vez por Hipócrates, e sua exposição foi pensado para ser correta; por isso, iremos lidar com eles em comprimento e descrevê-los. Ele começou com, e deitou-se como o primeiro dos teoremas úteis para o efeito, a proposição de que segmentos semelhantes de círculos têm a mesma relação entre si como os quadrados em suas bases. E isso ele provou pela primeira exibição que os quadrados dos diâmetros têm a mesma proporção que os círculos.

Antes de continuar com a citação que deve ter notado que Hipócrates está tentando "um quadrado lune 'pelo qual ele significa para construir um quadrado igual na área ao lune. Este é precisamente o que o problema da "quadratura do círculo" significa, ou seja, para a construção de um quadrado cuja área é igual à área do círculo. Novamente seguinte tradução de Heath em [6]: -

Depois de provar isso, ele passou a mostrar de que forma foi possível um quadrado lune o perímetro exterior das quais é a de um semicírculo. Isto ele afectado por circunscrever um semicírculo sobre um triângulo rectângulo isósceles e um segmento de um círculo semelhantes aos cortada pelos lados. Então, uma vez que o segmento sobre a base é igual à soma dos outros sobre os lados, segue-se que, quando a parte do triângulo acima do segmento sobre a base é adicionada para ambos os semelhantes, a lune será igual ao triângulo. Portanto o lune, tendo sido provada igual ao triângulo, pode ser quadrado.


Para acompanhar argumento de Hipócrates aqui, olhar para o diagrama.

ABCD é um quadrado e O é seu centro. Os dois círculos no diagrama são o círculo com centro O que passa por A, B, C e D, e o círculo com centro D por A e C.

Aviso primeira que o segmento marcado 1 na AB subtende um ângulo reto no centro do círculo (o ângulo AOB), enquanto o segmento 2 na CA também subtende um ângulo reto no centro (o ADC ângulo).

Por conseguinte, o segmento 1 de AB e o segmento 2 na AC são semelhantes. Agora
segmento 1/2 = segmento AB2 / AC2 = 1/2 desde AB2 + BC2 = AC2 pelo teorema de Pitágoras, e AB = BC de modo AC2 = 2AB2.

Agora, uma vez que o segmento 2 é um segmento de duas vezes, o segmento 2 é igual à soma dos dois segmentos marcados 1.

Então Hipócrates argumenta que o ABC semicírculo com os dois segmentos 1 removido é o triângulo ABC, que pode ser elevado ao quadrado (que era conhecido como construir um quadrado igual a um triângulo).

No entanto, se subtraia o segmento 2 do ABC semicírculo temos a lune mostrado no segundo diagrama. Assim Hipócrates provou que a lune pode ser elevado ao quadrado.

No entanto, Hipócrates foi mais longe do que isso no estudo lunes. A prova examinámos em pormenor é aquele em que a circunferência externa do lune é o arco de um semicírculo. Ele também estudados os casos em que o arco exterior era menos do que a de um semicírculo e também o caso em que o arco exterior era maior do que um semicírculo, que mostra em cada caso que a lune poderia ser quadrado. Esta foi uma conquista notável e um grande passo na tentativa de quadratura do círculo. Como Heath escreve em [6]: -

... Ele desejava mostram que, se os círculos não poderia ser quadrado por estes métodos, podem ser empregues para determinar a área de algumas figuras limitadas por arcos de círculos, ou seja, determinadas lunes, e ainda da soma de uma determinada círculo e um certo lune.

Existe mais um feito notável que os historiadores da matemática acreditam que Hipócrates conseguida, mas não temos uma prova direta desde que seus trabalhos não tenham sobrevivido. No estudo da lunes de Hipócrates, como descrito por Eudemus, ele usa o teorema de que círculos estão entre si como os quadrados em seus diâmetros. Este teorema é provado por Euclides nos Elementos e está provado há pelo método de exaustão devido à Eudoxus. No entanto, Eudoxus nasceu dentro de poucos anos da morte de Hipócrates, e assim segue-se a questão intrigante de como Hipócrates provou este teorema. Desde Eudemus parece inteiramente satisfeito que Hipócrates tem de facto uma prova correta, parece quase certo a partir desta evidência circunstancial de que podemos deduzir que o próprio Hipócrates desenvolveram pelo menos uma variante do método da exaustão.

Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

janeiro 1999

MacTutor História da Matemática