67 - SuperAulas ENEM - Matemática - Princípio Fundamental da Contagem

DIVIRTA-SE (67)

Resolva o seguinte (cada letra é um algarismo):

CAT = (C + A + T) × C × A × T

Jogos matemáticos - 67

RAINBOW MECHANIC

Posicione os espelhos de modo a desviar o raio de luz.
Se você tiver sucesso, vai atingir o prisma. Senão...
Tente!
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FRACTAIS (7)

A loira do banheiro

Você sabe o que é criptografia?
Não?
Então não perca tempo!
Vamos juntos assistir este vídeo e ficar por dentro do assunto...

*TEODORO DE CIRENE

Teodoro de Cirene

Data de Nascimento: 465 aC, em Cyrene (agora Shahat, Líbia)
Morreu em: 398 aC, em Cyrene (agora Shahat, Líbia)

Teodoro de Cirene foi aluno de Protágoras e se o tutor de Platão, ensinando-lhe a matemática, e também o tutor de Theaetetus. Platão viajou de e para o Egito e em tais ocasiões, ele passou um tempo com Theodorus em Cirene. Theodorus, no entanto, não gastar toda a sua vida em Cyrene pois ele foi certamente em Atenas num momento em que Sócrates estava vivo.

Theodorus, além de seu trabalho em matemática, [5] foi: -

... Distinguido ... em astronomia, aritmética, música e todos os assuntos educacionais.

Um membro da sociedade de Pitágoras, Theodorus foi um dos principais filósofos da escola Cyrenaic da filosofia moral. Ele acreditava que os prazeres e as dores não são nem boas nem más. Alegria e sabedoria, acreditava ele, eram suficientes para a felicidade.

Nosso conhecimento da Theodorus vem através de Platão que escreveu sobre ele em sua obra Theaetetus. Theodorus é lembrado por matemáticos por sua contribuição para o desenvolvimento dos números irracionais e é esse aspecto de seu trabalho que Platão descreve (ver por exemplo [5]): -

[Theodorus] estava provando para nós uma certa coisa sobre raízes quadradas, refiro-me ao lado (ou seja root) de um quadrado de três unidades de quadrados e de cinco unidades quadrados, que essas raízes não são comensuráveis ​​de comprimento com a unidade de comprimento, e ele continuou desta forma, tendo todos os casos separados até a raiz de dezessete unidades quadradas, altura em que, por alguma razão, ele parou.

Todo o nosso conhecimento das realizações matemáticas de Theodorus são dadas por esta passagem de Platão. No entanto, existem pontos de interesse que possam surgir imediatamente. O primeiro ponto é que Platão não creditar Theodorus com uma prova de que a raiz quadrada de dois era irracional. Este deve ser porque √2 foi provado irracional antes Theodorus trabalhou no problema, alguns afirmam isso foi provado pelo próprio Pitágoras.

Não há dúvida de que Theodorus teria construído linhas de comprimento √3, √5 etc. usando o teorema de Pitágoras. É também claro que Theodorus não tinha resultado geral aqui, para Platão continua a descrever como os resultados de Theodorus inspirado Theaetetus e Sócrates a olhar para generalizações: -

A ideia ocorreu a nós dois (Theaetetus e Sócrates), vendo que essas raízes quadradas parecia ser ilimitada em multidão, para tentar chegar a um termo coletivo pelo qual poderíamos designar todas essas raízes ....

Portanto, a questão que naturalmente vem a seguir é como é que Theodorus provar que √3, √5, ..., √17 eram irracionais, sem dar uma prova que provam claramente que qualquer número não-quadrado era irracional. A prova usual que √2 é irracional, ou seja, aquela que supõe que √2 = p / q onde p / q é um racional em seus termos mais baixo e deriva uma contradição, mostrando que p e q são ambos ainda, teria sido conhecido para Theodorus. Esta prova generaliza facilmente (por matemáticos modernos pensando em termos de números em vez de comprimentos) para mostrar √n é irracional para qualquer n não-quadrado. É quase impossível conceber que Theodorus teria usado esta prova em cada uma √3, √5, ..., √17 sem obter um teorema geral muito antes de ele chegou a 17.

Uma proposta interessante foi feita por Zeuthen em 1915. Ele sugeriu que Theodorus pode ter usado o resultado que mais tarde iria aparecer em Elementos de Euclides a saber: -

Se, quando o menor de dois magnitudes desiguais é continuamente subtraído por sua vez, da maior, o que é nunca deixou mede o anterior, as magnitudes será incomensurável.

Heath [5] ilustra a utilização deste resultado mostrar que √5 é irracional. Comece com 1 e √5.

√5 / 1 = 2 + (√5-2)
1 / (√5-2) = 4 + (√5-2) 2
(√5-2) / (√5-2) 2 = 1 / (√5-2) = 4 + (√5-2) 2
.......

O processo agora claramente falha para terminar uma vez que a proporção 1: (√5-2) é o mesmo que (√5-2): (√5-2) 2. Heath [5] dá uma versão geométrica deste, começando com um triângulo retângulo com lados 1, 2 e √5 que podem estar perto do método que Theodorus usado. No entanto, há pouca chance de fazer mais do que adivinhar o método de Theodorus.

Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

janeiro 1999

MacTutor História da Matemática