68 - SuperAulas ENEM - Matemática - Prismas Notáveis

Jogos matemáticos - 68

THE X DETECTIVES

Neste jogo de espionagem cada tarefa matemática realizada vai te habilitar a cumprir sua missão.

Não se demore!

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FRACTAIS (8)

Os ângulos e as torres

A trigonometria está em muitos lugares inclusive... nas construções.
Assista e observe...

*HIPIAS

Hípias de Elis

Data de Nascimento: cerca de 460 aC, em Elis, Peloponeso, Grécia
Morreu em: cerca de 400 aC

Hípias de Elis foi um estadista e filósofo que viajou de lugar para lugar tirar dinheiro por seus serviços. Ele deu palestras sobre poesia, gramática, história, política, arqueologia, matemática e astronomia. Platão descreve-o como um homem vão sendo tanto arrogante e prepotente, tendo uma ampla mas superficial conhecimento. Heath nos diz algo sobre esse personagem quando ele escreve em [3]: -

Ele alegou ... ter ido uma vez para o festival olímpico com tudo o que ele usava feita pelo próprio, anel e sandália (gravado), óleo de garrafa, raspador, sapatos, roupas e um cinto persa do tipo caro; ele também teve poemas, épicos, tragédias, dithyrambs, e todos os tipos de trabalhos em prosa.

Quanto aos resultados académicos de Hípias, Heath escreve: -

Ele era um mestre da ciência do cálculo, geometria, astronomia, 'ritmos e harmonias e escrita correta'. Ele também tinha um maravilhoso sistema de mnemônicos, permitindo-se que uma vez ouviu uma série de cinqüenta nomes para lembrar de todos eles.

Um pouco agradável história, que diz mais dos espartanos que ele faz de Hípias, é que ele foi relatado que ele não recebeu nenhum pagamento para as palestras que ele deu em Esparta uma vez que [3]: -

... Os espartanos não podiam suportar palestras sobre astronomia ou a geometria ou cálculo; que era apenas uma pequena minoria deles que poderia mesmo contar; o que eles gostavam era história e arqueologia.

Desde Hípias foi relatado para dar palestras sobre arqueologia, ele parece ter escolhido os temas errados quando lecionou em Sparta!

única contribuição de Hípias à matemática parece ser a quadratrix que pode ter sido usado por ele para triseccionar um ângulo e quadratura do círculo. A curva pode ser usado para dividir um ângulo em qualquer número de partes iguais. Talvez o maior elogio que podemos pagar para Hípias é informar sobre os argumentos de certos historiadores da matemática que alegaram que as Hípias que descobriram o quadratrix não pode ser Hípias de Elis desde a geometria não era suficientemente avançada neste momento que deixar que ele para fazer essas descobertas. No entanto, seus argumentos não são geralmente aceites e há ampla evidência de atribuir a descoberta do quadratrix a Hípias de Elis.

Heath [3] escreve: -

Ele foi, provavelmente, cerca de 420 aC que Hippias de Elis inventou a curva conhecida como o quadratrix com a finalidade de triseccionar qualquer ângulo.

No entanto, isto está longe de ser certo e há alguma evidência para sugerir que Geminus, escrevendo no primeiro século aC, tinha em sua posse um tratado por Hípias de Elis na quadratrix que indicou como poderia ser usado para a quadratura do círculo. Se este for realmente o caso, então o tratado por Hípias deve ter sido perdido entre este tempo e que de Sporus no terceiro século dC.

Pappus escreveu sua grande obra sobre geometria Synagoge em 340. É uma coleção de escritos matemáticos em oito livros. Livro IV contém uma descrição do quadratrix de Hípias.

Olhe para o diagrama do quadratrix.

ABCD é um quadrado e cama é parte de um círculo, centro de Um raio AB. Como o raio AB gira em torno de A para mover para a posição de AD, em seguida, a linha BC move ao mesmo paralelo taxa de si para terminar em AD. Em seguida, o locus do ponto de intersecção F do raio de rotação AB e BC a linha em movimento é o quadratrix. Conseqüentemente

ângulo EAD / ângulo BAD = arco ED / CAMA arc = FH / AB,

assim, tendo AB = 1,

ângulo de EAD = arco ED = FH × π / 2.

Para dividir o FAD ângulo em uma determinada relação, digamos p: q, em seguida, desenhar um ponto P sobre a linha FH dividindo-o na proporção p: q.
Desenhar uma linha através de P paralelo ao AD para atender a quadratrix pelo P. Então AQ divide ângulo FAD na proporção p: q.

Pappus também dá a versão um pouco mais complicada da construção necessária a quadratura do círculo. No entanto, Pappus relata que Sporus tinha duas críticas do método de Hípias com o qual ele concorda. O segundo é especificamente relacionado com a construção necessário para a quadratura do círculo que não temos descrito. A primeira refere-se no entanto à construção da própria quadratrix. Pappus relata que Sporus escreve (ver [3]): -

A mesma coisa para a qual a construção é pensado para servir é realmente assumido na hipótese. Para saber como é que é possível, com dois pontos a partir de B, para fazer um deles se movem ao longo de uma linha reta para A e o outro ao longo de uma circunferência para D em um tempo igual, a menos que você primeiro conhecer a relação entre a linha reta AB para BED circunferência? De facto, esta relação deve também ser a de as velocidades de movimento. Pois, se você empregar velocidades definitivamente não ajustados a esta relação, como você pode fazer os movimentos terminam no mesmo momento, a menos que isso deve acontecer em algum momento por puro acaso? não é a coisa assim, demonstrou ser um absurdo?

O ponto aqui parece ser uma questão de o que exatamente Hípias está tentando mostrar com seu quadratrix. Certamente ele sabia perfeitamente bem que ele não estava fornecendo uma construção régua e compasso para a quadratura do círculo. Exatamente o que ele provou relativa a quadratura do círculo é, como Pappus e Sporus sugerem, longe de ser claro.

Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

janeiro 1999

MacTutor História da Matemática