70 - SuperAulas ENEM - Matemática - Sistemas de Equações e Geometria Analítica

Jogos matemáticos - 70

MATH MAN

Se você é fã de PacMan então tem tudo pra gostar deste jogo.
Resolva as operações e descubra qual fantasma você pode destruir.

MATH MAN

FRACTAIS (10)

Alice e a Lei dos Cossenos

Continuando nossa viagem pela trigonometria, desta vez você vai saber mais sobre a lei dos cossenos.

*DEMÓCRITO

Demócrito de Abdera
Data de Nascimento: cerca de 460 aC, em Abdera, Trácia, Grécia
Morreu em: cerca de 370 aC

Demócrito de Abdera é mais conhecido por sua teoria atômica, mas ele também era um excelente geômetra. Muito pouco se sabe de sua vida, mas sabemos que Leucipo foi seu professor.

Demócrito certamente, visitou Atenas, quando ele era um jovem, principalmente para visitar Anaxágoras, mas Demócrito queixou-se o quão pouco ele era conhecido lá. Ele disse que, de acordo com Diógenes Laércio escrita no AD [5] segundo século: -

Eu vim para Atenas e ninguém me conhecia.

Demócrito foi decepcionado por sua viagem a Atenas porque Anaxágoras, em seguida, um homem velho, recusou-se a vê-lo.

Como aponta Brumbaugh no [3]: -

Quão diferente ele iria encontrar a viagem de hoje, onde a principal abordagem para a cidade do nordeste passa pela impressionante "Demócrito Laboratório de Pesquisa Nuclear".

Certamente Demócrito fez muitas outras que a de Atenas viagens. Russell em [9] escreve: -

Ele viajou extensamente em terras sul e leste em busca de conhecimento, ele talvez tenha passado um tempo considerável no Egito, e certamente ele visitou a Pérsia. Ele então retornou para Abdera, onde permaneceu.

o próprio Demócrito escreveu (mas alguns historiadores contestam que a citação é fé) (ver [5]): -

De todos os meus contemporâneos eu cobri a maior parte do terreno em minhas viagens, tornando as investigações mais exaustivas do tempo; Tenho visto a maioria dos climas e países e ouviu o maior número de homens instruídos.

Suas viagens certamente o levou ao Egito e na Pérsia, como Russell sugere, mas ele quase certamente também viajou para a Babilônia, e alguns afirmam que ele viajou para a Índia e Etiópia. Certamente ele era um homem de grande aprendizado. Como Heath escreve em [7]: -

... Não havia nenhum assunto sobre o qual ele não contribuir, nomeadamente, da matemática e da física, por um lado com a ética ea poética, por outro; ele ainda atendia pelo nome de "sabedoria".

Embora pouco se sabe de sua vida, bastante é sabido de sua física e filosofia. Existem duas principais fontes para o nosso conhecimento da sua das teorias físicas e filosóficas. Em primeiro lugar Aristóteles discute as idéias de Demócrito completamente porque ele discordou fortemente com suas idéias do atomismo. A segunda fonte é na obra de Epicuro, mas, em contraste com Aristóteles, Epicuro é um crente forte na teoria atómica de Demócrito. Esta obra de Epicuro é preservada por Diógenes Laércio em seu segundo livro do século AD [5].

Certamente Demócrito não foi o primeiro a propor uma teoria atômica. Seu professor Leucippus tinha proposto um sistema atômico, como tinha Anaxágoras de Clazomenae. Em traços fato de uma teoria atômica voltar mais longe do que isso, talvez para a noção pitagórica dos sólidos regulares desempenhando um papel fundamental na composição do universo. No entanto Demócrito produziu uma visão muito mais elaborada e sistemática do mundo físico do que tinha qualquer dos seus antecessores. Sua visão é resumido em [2]: -

Demócrito afirmava que o espaço ou o Vazio, tinha o mesmo direito com a realidade, ou Ser, para ser considerado inexistente. Ele concebeu o Vazio como um vácuo, um espaço infinito em que se moveu um número infinito de átomos que compõem Ser (ou seja, o mundo físico). Esses átomos são eternos e invisíveis; absolutamente pequeno, tão pequeno que a sua dimensão não pode ser diminuído (daí o atomon nome, ou "indivisível"); absolutamente completa e incompressível, como são, sem poros e preencher completamente o espaço que ocupam; e homogêneo, diferindo apenas na forma, disposição, posição e magnitude.

Com isto como base para o mundo físico, Demócrito poderia explicar todas as mudanças no mundo como mudanças no movimento dos átomos, ou mudanças na maneira que eles foram embalados em comum. Esta era uma teoria notável que tentou explicar toda a física baseado em um pequeno número de ideias e matemática também trouxe em um papel físico fundamental, pois toda a estrutura proposta por Demócrito foi quantitativa e sujeito a leis matemáticas. Outra ideia fundamental na teoria de Demócrito é que a natureza se comporta como uma máquina, não é nada mais do que um mecanismo altamente complexo.

Há, então, perguntas para Demócrito de responder. Aonde qualidades como calor, cor e sabor se encaixam na teoria atômica? Para Demócrito átomos diferem apenas em quantidade, e todas as diferenças qualitativas são apenas aparentes e resultam de impressões de um observador causada por diferentes configurações de átomos. As propriedades do calor, cor, sabor são apenas por convenção - as únicas coisas que realmente existem são os átomos e do Vazio.

A filosofia de Demócrito contém um formulário adiantado da conservação da energia. Em seus átomos de teoria são eternos e por isso é movimento. Demócrito explicou a origem do universo através de átomos movendo-se aleatoriamente e colidindo para formar corpos e mundos maiores. Não havia lugar em sua teoria para a intervenção divina. Ao contrário, ele postulou um mundo que sempre existiu, e sempre existem, e se encheu de átomos movendo-se aleatoriamente. movimentos Vortex ocorreu devido a colisões dos átomos e resultando vortex movimento criado diferenciação dos átomos em diferentes níveis, devido apenas à sua massa diferentes. Este não era um mundo que surgiu através do projeto ou propósito de algum ser sobrenatural, mas sim que era um mundo que surgiu por necessidade, que é da natureza dos próprios átomos.

Demócrito construiu uma teoria ética no topo de sua filosofia atomista. Seu sistema era puramente determinística para que ele não podia admitir a liberdade de escolha para os indivíduos. Para Demócrito liberdade de escolha era uma ilusão, uma vez que não têm conhecimento de todas as causas de uma decisão. Demócrito acreditava que [3]: -

... A alma quer ser perturbado, de modo que o seu movimento afeta o corpo de forma violenta, ou ele vai estar em repouso, caso em que regulamenta pensamentos e ações harmoniosamente. Liberdade de perturbação é a condição que causa a felicidade humana, e este é o objetivo ético.

Demócrito descreve o bem supremo, que ele identifica com alegria, como: -

... Um estado em que a alma vive pacificamente e tranqüilamente, sem ser perturbada pelo medo ou a superstição ou qualquer outro sentimento.

Ele queria remover a crença em deuses que eram, acreditava ele, só introduziu para explicar fenômenos para os quais nenhuma explicação científica foi então disponíveis.

Muito pouco se sabe de certeza sobre as contribuições de Demócrito para a matemática. Como se afirma no Dicionário Oxford Classical: -

Pouco se sabe (embora muito está escrito) sobre a matemática de Demócrito.

Nós sabemos que Demócrito escreveu muitas obras matemáticas. Diógenes Laércio (ver [5]), enumera seus trabalhos e dá Trasilo como a fonte desta informação. Ele escreveu em números, na geometria, On tangências, On mapeamentos, On irracionais, mas nenhum desses trabalhos sobreviver. No entanto, sabemos um pouco de outras referências. Heath [7] escreve: -

No Método de Arquimedes, felizmente descoberto em 1906, somos informados de que Demócrito foi o primeiro a declarar as proposições importantes que o volume de um cone é um terço do que a de um cilindro com a mesma base e altura igual, e que o volume de uma pirâmide é um terço do que de um prisma com a mesma base e a mesma altura; isto é, Demócrito enunciou essas proposições cerca de cinquenta anos ou mais antes que eles foram os primeiros cientificamente comprovada por Eudoxo.

Há um outro pedaço intrigante de informações sobre Demócrito, que é dado por Plutarco em suas noções comuns contra os estóicos, onde ele relata um dilema proposto por Demócrito, conforme relatado pelo estóico Crisipo (ver [7], [10] ou [11]) .

Se um cone foram cortadas por um plano paralelo à base [por que significa um avião por tempo indeterminado perto da base], o que devemos pensar das superfícies formando seções? Eles são iguais ou desiguais? Pois, se eles são desiguais, eles vão fazer o cone irregular como tendo muitas reentrâncias, como degraus e desníveis; mas, se elas forem iguais, as secções serão iguais, e o cone aparece ter a propriedade de o cilindro e a efectuar-se da igualdade, não desiguais, círculos, o que é muito absurdo.

Existem idéias importantes neste dilema. Em primeiro lugar notar, como Heath aponta em [7], que Demócrito tem a idéia de um sólido que é a soma de um número infinito de planos paralelos e ele pode ter usado essa idéia para encontrar os volumes do cone e pirâmide como relatado por Arquimedes. Essa idéia de Demócrito pode ter levado Archimedes depois de aplicar a mesma idéia com grande efeito. Esta ideia acabaria por levar a teorias da integração.

Há muita discussão em [7], [8], [10] e [11] quanto ao facto de Demócrito a distinção entre o continuum geométricas e discreta física do seu sistema atômico. Heath salienta que, se Demócrito transitadas sua teoria atômica para linhas geométricas, então não há dilema para ele desde o seu cone é mesmo reforçada com passos tamanho de um átomo. Heath certamente acreditava que a linhas de Demócrito eram infinitamente divisível. Outros, ver, por exemplo [10], têm chegado à conclusão oposta, acreditando que Demócrito fez contribuições para os problemas de matemática aplicada, mas, por causa de sua teoria atômica, ele não poderia lidar com as questões infinitesimais decorrentes.

Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

janeiro 1999

MacTutor História da Matemática