73 - SuperAulas ENEM - Matemática - Tópicos de Geometria Plana

DIVIRTA-SE (73)

Enigma dos oito oitos.

Será que você consegue obter o número 1000 usando 8 exatamente oito vezes e:

a) Usando somente os sinais de   +   -   x   /
b) Também podendo usar os  símbolos de raiz √, expoentes ^, fatoriais!, e vírgulas.

Jogos matemáticos - 73

SAVE THE ZOGS

Neste excelente jogo você vai, ao mesmo tempo, "salvar os Zogs" e fixar o conteúdo de equação da reta em Geometria Analítica.
Divirta-se!
SAVE THE ZOGS

FRACTAIS (13)

Noite de Forró

Vamos estudar um pouco mais de probabilidade?

*ARCHYTAS

Archytas de Tarento

Data de Nascimento: cerca de 428 aC, em Tarento (atual Taranto), Magna Grécia (hoje Itália)
Morreu em: cerca de 350 aC

Archytas de Tarento foi um matemático, estadista e filósofo que viveu em Tarento na Magna Grécia, uma área do sul da Itália, que estava sob controle grego no século V aC. Os pitagóricos, que tinham em um estágio sido forte em todo Magna Grécia, foram atacados e expulsos até que apenas a cidade de Tarento permaneceu uma fortaleza para eles. Archytas levou os pitagóricos em Tarento e tentaram unir as cidades gregas na área para formar uma aliança contra seus vizinhos não-gregos. Ele era o comandante-em-chefe das forças em Tarentum para sete anos, apesar de haver uma lei que ninguém poderia exercer o cargo por mais de um ano. Platão, que se tornou um grande amigo, o conheceu durante a sua estada na Magna Grécia. Heath escreve em [4]: ​​-

... Ele é dito, por meio de uma carta, para ter salvo Plato da morte nas mãos de Dionísio.

Na verdade Platão fez uma série de viagens à Sicília e foi no terceiro dessas viagens em 361 aC, que ele foi detido por Dionísio II. Platão escreveu a Arquitas que enviou um navio para resgatá-lo. Para mais detalhes sobre a relação entre Arquitas e Platão consultar o artigo interessante [8].

Dada a história acima e à conclusão de que Archytas veio depois de Sócrates, pode parecer estranho para incluí-lo em obras de filósofos pré-socráticos como é feito em [3]. Isto é feito, no entanto, por causa do estilo da filosofia de Archytas em vez de a cronologia estrita.

Archytas era um aluno de Filolau e por isso foi um firme defensor da filosofia de Pitágoras acreditar que a matemática forneceu o caminho para a compreensão de todas as coisas. Embora Arquitas estudados muitos temas, desde que ele era um pitagórico, matemática era o seu tema principal e todas as outras disciplinas eram vistas como dependentes de matemática. Ele afirmou que a matemática era composto por quatro ramos, ou seja, a geometria, aritmética, astronomia e música. Ele também acreditava que o estudo da matemática foi importante em outros aspectos, como um fragmento de seus escritos que foram preservados mostra (ver [3] ou [6]): -

Matemáticos me parece ter excelente discernimento, e não é de todo estranho que eles deveriam pensar corretamente sobre as particularidades que são; para na medida em que possam discernir excelente sobre a física do universo, eles também são susceptíveis de ter uma excelente perspectiva sobre as indicações que são. Na verdade, eles nos transmitiram um discernimento afiado sobre as velocidades das estrelas e seus levantamentos e configurações, e sobre a geometria, aritmética, astronomia, e, não menos importante de tudo, música. Estas parecem ser as ciências da irmã, por eles se preocupam com as duas primeiras formas conexas de ser [número e magnitude].

Este fragmento provém do prefácio de um de seus trabalhos, que alguns afirmam tinha direito sobre a matemática, enquanto outros afirmam que tinha o direito On Harmonics. Certamente, vindo após esta citação, há uma discussão de tom, freqüência e uma teoria de som. Ele contém alguns erros, mas é ainda um trabalho notável e formou a base para a teoria do som nos escritos de Platão.

Archytas trabalhou na média harmônica e deu-lhe esse nome (que tinha sido chamado sub-contrárias em épocas anteriores). A razão pela qual ele trabalhou em este era o seu interesse no problema da duplicação do cubo, encontrar o lado de um cubo com um volume duas vezes maior que de um determinado cubo. Hipócrates reduziu o problema de encontrar dois proporcionais significa. Archytas resolveu o problema com uma solução geométrica notável (não, naturalmente, uma construção régua e compasso).

Uma inovação interessante que Arquitas trazido em sua solução de encontrar duas grandezas proporcionais média entre dois segmentos de linha foi a introdução de movimento em geometria. O seu método utiliza um semicírculo rotativo no espaço tridimensional e a curva formada por isso cortando a outra superfície tridimensional.

Sabemos da solução da Archytas para o problema da duplicação do cubo através dos escritos de Eutocius de Ascalon. Nestes Eutocius afirma citar a descrição feita em História da geometria de Eudemo de Rodes, mas a exatidão da citação é posta em dúvida pelos autores [10].

Uma outra descoberta interessante devido à matemática Archytas é que não pode haver qualquer número que é uma média geométrica entre dois números em relação a (n + 1): n. A coisa mais interessante sobre a sua prova é que ele está próximo ao que é dado por Euclides muitos anos mais tarde, e também que ele cita teoremas conhecidos, que mais tarde iria aparecer em Elementos de Euclides Livro VII.

Os argumentos acabaram de dar levou van der Waerden para reivindicar (ver por exemplo [5]) que muitos dos resultados que aparecem no Livro VII dos Elementos anteriores Arquitas. Claramente, ele afirma, houve algumas obras, escritas muitos anos antes de Euclides escreveu os Elementos, que abrangeu o mesmo material. Archytas construídas sobre este trabalho mais cedo e suas descobertas são, então, em grande parte aqueles apresentados por Euclides nos Elementos Livro VIII. Seguindo estes argumentos de van der Waerden é hoje amplamente aceite que Euclides emprestado o trabalho de Archytas para Livro VIII dos Elementos.

Archytas é às vezes chamado o fundador da mecânica e ele disse ter inventado dois dispositivos mecânicos. Um dispositivo foi um pássaro mecânico [2]: -

A ave foi, aparentemente, suspensa a partir da extremidade de uma barra articulada, e todo o aparelho girava por meio de um jacto de vapor ou de ar comprimido.

Outro dispositivo mecânico era um guizo para crianças que foi útil, nas palavras de Aristóteles (ver, por exemplo [4]): -

... Para dar às crianças para ocupá-los, e assim impedi-los de quebrar as coisas sobre a casa (para os jovens são incapazes de manter ainda).

Este parece um pensamento extremamente moderno para um inventor em 400 aC! Na verdade, este interesse em aplicar a matemática está em contraste com as ideias matemáticas puras de Platão e este contraste formaram a base para um poema escrito pelo autor polonês C K Norwid (1821-1883). Este poema fascinante é discutido e dado na tradução francesa por Marczewski em [9].

Simplício, em sua Física, cita a opinião de Archytas que o universo é infinito (na tradução de Heath [4]): -

Se eu fosse para o exterior, dizer no céu das estrelas fixas, eu poderia esticar a minha mão ou meu pau para fora ou não? Supor que eu não poderia é absurdo: e se eu posso esticá-la, o que está fora deve ser ou corpo ou no espaço (não faz diferença qual é, como veremos). Podemos, em seguida, da mesma forma chegar ao exterior do que uma vez, e assim por diante, pedindo à chegada a cada novo limite a mesma pergunta; e se há sempre um novo lugar para que a vara pode ser realizada fora, isso envolve claramente extensão sem limite. Se agora o que então se estende é o corpo, a proposição é provada; mas mesmo que seja espaço, então, desde que o espaço é aquela em que o corpo é ou pode ser, e, no caso de as coisas eternas devemos tratar essa que potencialmente é como sendo, conclui-se igualmente que deve haver corpo e o espaço que se estende sem limite.

Quando ele veio para uma filosofia da política e da ética, novamente Arquitas baseou suas idéias sobre as bases matemáticas. Ele escreveu (ver, por exemplo [3] ou [6]): -

Quando o raciocínio matemático foi encontrada, ele verifica facção política e aumenta a concórdia, pois não há vantagem injusta em sua presença, e igualdade reina. Com o raciocínio matemático podemos atenuar as diferenças em nossas relações uns com os outros. Através dela o mau aproveitamento dos poderosos e os ricos dão aos necessitados, tanto confiar nele para obter uma parcela igual ...

Finalmente citamos novamente a partir dos escritos de Arquitas sobre sua teoria de como aprender. O fragmento aparece em [3] ou [6]: -

Para tornar-se bem informados sobre coisas que não se conhece, deve-se quer aprender com os outros ou descobrir por si mesmo. Agora aprendizagem deriva de outra pessoa e é estrangeiro, enquanto descobrindo é de e por si mesmo. Descobrir sem procurar é difícil e raro, mas com a procura é gerenciável e fácil, se alguém que não sabe como procurar não consegue encontrar.

Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

abril 1999

MacTutor História da Matemática