77 - Matemática - Aula 3 - Números: uma visão histórica

Jogos matemáticos - 77

TRITRIS

Este jogo nada mais é do que o tetris que talvez você já conheça.
A diferença é que você pode ter até 3 jogos acontecendo ao mesmo tempo...
Diversão tripla não?

TRITRIS

FRACTAIS (17)

O Jogo de dados de Mozart

Música clássica e probabilidade.
Nada a ver, certo?
Ou será que...
Melhor assistir o vídeo.

*ARISTÓTELES

Aristóteles

Data de Nascimento: 384 aC na Stagirus, Macedónia, Grécia
Morreu em: 322 aC, em Chalcis, Eubéia, na Grécia

Aristóteles não era primariamente um matemático, mas fez importantes contribuições por sistematização lógica dedutiva. Ele escreveu sobre temas física: algumas partes de seus posteriora Analytica mostram uma compreensão incomum do método matemático. Principalmente, no entanto, ele é importante para o desenvolvimento de todo o conhecimento, pois, como os autores [2] escreve: -

Aristóteles, mais do que qualquer outro pensador, determinou a orientação eo conteúdo da história intelectual ocidental. Ele foi o autor de um sistema filosófico e científico que, através dos séculos, tornou-se o apoio e veículo para tanto medieval cristã e pensamento escolástico islâmica: até o final do século 17, a cultura ocidental era aristotélica. E, mesmo após as revoluções intelectuais dos séculos a seguir, conceitos e ideias de Aristóteles permaneceu embutido no pensamento ocidental.

Aristóteles nasceu em Stagirus ou Stagira ou Stageirus, na península Chalcidic do norte da Grécia. Seu pai era Nicômaco, médico de profissão, enquanto sua mãe foi nomeada Phaestis. Nicômaco era certamente vivendo em Chalcidice quando Aristóteles nasceu e ele provavelmente tinha nascido naquela região. A mãe de Aristóteles, Phaestis, veio de Chalcis na Eubéia e sua família tivesse uma propriedade lá.

Há pouca dúvida de que a Nicômaco Aristóteles teria destinado a se tornar um médico, para a tradição foi que habilidades médicas foram mantidos em segredo e transmitido de pai para filho. Não era uma sociedade onde as pessoas visitou um médico, mas sim que era os médicos que viajaram pelo país tendendo para o doente. Embora não sabemos nada dos primeiros anos de Aristóteles é muito provável que ele teria acompanhado seu pai em suas viagens. Nós sabemos que Nicômaco encontrou as condições em Chalcidice menos satisfatório do que no estado vizinho da Macedónia e ele começou a trabalhar lá com tanto sucesso que logo foi apontado como o médico pessoal de Amintas III, rei da Macedônia.

Não há nenhum registro para indicar se Aristóteles viveu com seu pai em Pella, capital da Macedónia, enquanto a Nicômaco atendido rei Amintas na corte lá. No entanto, Aristóteles foi certamente amigável com Philip, filho do rei Amintas, alguns anos mais tarde e parece razoável supor que os dois, que eram quase exatamente a mesma idade, tinha-se tornado amigável em Pella como crianças.

Quando Aristóteles tinha cerca de dez anos, seu pai morreu. Isso certamente fez com que Aristóteles não poderia agora seguir na profissão de médico de seu pai e, desde que sua mãe também parece ter morrido jovem, Aristóteles foi criado por um tutor, Proxenus de Atarneus, que era seu tio (ou, eventualmente, um amigo da família como é sugerido por alguns autores). Proxenus ensinou Aristóteles grego, retórica e poesia que complementou os ensinamentos biológicos que Nicômaco tinha dado Aristóteles como parte do treinamento de seu filho na medicina. Uma vez que na última vida Aristóteles escreveu fina prosa grega, isso também deve ter sido parte de sua educação precoce.

Em 367 aC, Aristóteles, com a idade de dezessete anos, tornou-se um estudante na Academia de Platão em Atenas. No momento em que Aristóteles se juntou a Academia tinha sido funcionamento há vinte anos. Platão não estava em Atenas, mas ele estava em sua primeira visita a Siracusa. Não devemos pensar da Academia de Platão como uma organização não-política interessado apenas em idéias abstratas. A Academia foi altamente envolvido na política da época, na visita do fato de Platão à Sicília foi por razões políticas, e as políticas da Academia e de toda a região iria desempenhar um papel importante em influenciar o curso da vida de Aristóteles.

Quando Aristóteles chegou a Atenas, a Academia estava sendo executado por Eudoxo de Cnidos na ausência de Platão. Speusippus, sobrinho de Platão, também estava ensinando na Academia como foi Xenocrates de Calcedônia. Depois de ser um estudante, Aristóteles logo se tornou um professor na Academia e ele foi para lá ficar durante vinte anos. Sabemos pouco sobre o que Aristóteles ensinou na Academia. Em [10] Diógenes Laércio, escrita no século II dC, diz que Aristóteles ensinou retórica e dialética. Certamente Aristóteles escreveu sobre a retórica, neste momento, a emissão de Gryllus que atacou os pontos de vista sobre a retórica de Isócrates, que dirigia um outro estabelecimento de ensino principal em Atenas. escritos desse tempo todo de Aristóteles apoiar fortemente as visões de Platão e os da Academia.

Para o final do de Aristóteles vinte anos na Academia de sua posição se tornou difícil devido aos acontecimentos políticos da época. Amintas, rei da Macedônia, morreu por volta de 369 aC, um par de anos antes de Aristóteles foi para Atenas para se juntar à Academia. Dois dos filhos de Amintas, Alexander II e Pérdicas III, cada um reinou Macedónia por um tempo, mas o reino sofria de ambas as disputas internas e guerras externas. Em terceiro filho de 359 aC Amintas, Philip II subiu ao trono quando Pérdicas foi morto lutando contra uma invasão Ilíria. Philip usou táticas hábeis, tanto militares como políticos, para permitir Macedónia um período de paz interna em que se expandiu por vitórias sobre as áreas circundantes.

Philip capturado Olynthus e anexada Chalcidice em 348 aC. Stagirus, a cidade de nascimento de Aristóteles, realizada fora por um tempo, mas também foi derrotado por Philip. Atenas preocupado com as poderosas forças ameaçadoras da Macedónia, e ainda Aristóteles havia sido criado na corte da Macedónia e provavelmente tinha conservado sua amizade com Philip. A ordem dos acontecimentos é agora um pouco incerto. Platão morreu em 347 aC e Speusippus assumiu a liderança da Academia. Aristóteles foi certamente não em opiniões de Speusippus e ele pode ter deixado a Academia após a morte de Platão por razões académicas ou porque ele não conseguiu ser nomeado chefe do próprio Academy. Algumas fontes, no entanto, sugerem que ele pode ter deixado por razões políticas antes de Platão morreu por causa de sua impopularidade, devido às suas ligações macedónios.

Aristóteles viajou de Atenas para Assos que enfrenta na ilha de Lesbos. Ele não estava sozinho em deixar a Academia para Xenocrates de Calcedônia deixado com ele. Em Assos Aristóteles foi recebido pelo Hermias governante de Atarneus com muito aplauso. É provável que Aristóteles estava agindo como um embaixador para Felipe e ele certamente foi tratada como tal pelas Hermias. Aristóteles casou Pythias, a sobrinha e filha adotiva de Hermias, e eles tiveram um filho, uma filha também chamada Pythias. No entanto, a esposa de Aristóteles morreu cerca de 10 anos depois de seu casamento. Acredita-se que ela era muito mais jovem do que Aristóteles, sendo provavelmente da idade de cerca de 18 anos quando eles se casaram.

Em Assos, Aristóteles tornou-se o líder do grupo de filósofos que Hermias haviam se reunido lá. É possível que Xenocrates também era um membro do grupo por um tempo. Aristóteles tinha um forte interesse em anatomia e da estrutura dos seres vivos em geral, um interesse que seu pai tinha promovido nele em seus primeiros anos, que o ajudou a desenvolver um talento notável para observação. Aristóteles e os membros de seu grupo começou a recolher observações, enquanto em Assos, em especial em zoologia e biologia. Barnes escreve em [6] que Aristóteles: -

... Estudos em animais lançaram as bases das ciências biológicas; e eles não foram substituídos até mais de dois mil anos após sua morte. As investigações sobre a qual essas grandes obras foram baseadas provavelmente foram realizadas principalmente em Assos e Lesbos.

Aristóteles provavelmente começou sua Política de trabalho em Assos, bem como sobre o Reinado que agora está perdido. Ele começou a desenvolver uma filosofia distinta da de Platão que disse que os reis deveriam ser filósofos e filósofos reis. Em Em Realeza Aristóteles escreveu que é: -

... Não apenas desnecessária para um rei para ser um filósofo, mas até mesmo uma desvantagem. Em vez um rei deveria seguir os conselhos dos verdadeiros filósofos. Então ele iria encher o seu reinado com boas ações, não com palavras boas.

No entanto, o tempo de Aristóteles, em Assos foi terminado por acontecimentos políticos. Os persas atacaram a cidade e Hermias foi capturado e executado. Aristóteles escapou e parou na ilha de Lesbos em seu caminho para Macedónia. Era mais do que uma visita de passagem para ele permaneceu ali por cerca de um ano e deve ter tido o grupo de cientistas de Assos com ele por eles continuaram suas pesquisas biológicas lá.

Macedónia agora estava em paz com Atenas, por Filipe ter feito um tratado, em 346 aC. Em 343 aC, Aristóteles chegou ao Tribunal da Macedónia e ele foi para lá ficar por sete anos. A história frequentemente citado que ele se tornou tutor do jovem Alexandre, o Grande, filho de Filipe, é quase certamente uma invenção mais tarde, como foi apontado por Jaeger, veja [16]. Grayeff em [12] sugere que Felipe viu em Aristóteles um futuro chefe da Academia, em Atenas. Certamente isto teria adaptado Philip bem para Speusippus, o então chefe da Academia, foi fortemente contestado a Philip e incentivando fortemente Atenas para se opor a ascensão da Macedônia.

O tratado entre Atenas ea Macedónia começou a desmoronar em 340 aC e preparativos para a guerra começou. No ano seguinte Speusippus morreu, mas Aristóteles, embora proposto como chefe da Academia, não foi eleito. A posição foi para Xenocrates e Philip perdeu o interesse em seu apoio a Aristóteles. Ele voltou para sua casa em Stagirus e levou com ele para Stagirus seu círculo de filósofos e cientistas.

Aristóteles não se casar novamente após a morte de sua esposa, mas ele se formou um relacionamento com Herpyllis, que veio de sua cidade natal, Stagirus. Não está claro quando se conheceram, mas juntos eles tiveram um filho, Nicômaco, nomeado após o pai de Aristóteles.

Philip estava agora no auge de seu poder, mas, como tantas vezes acontece, que provou o tempo para disputas internas. Aristóteles apoiado Alexandre, filho de Filipe, que logo se tornou rei. Alexander decidido sobre uma política semelhante ao seu pai em relação a Atenas e procurou fazer valer o seu poder por meios pacíficos. Alexander protegida da Academia e encorajou-o a continuar com o seu trabalho. Ao mesmo tempo, porém, ele enviou Aristóteles a Atenas para fundar um estabelecimento rival.

Em 335 aC, Aristóteles fundou sua própria escola Liceu em Atenas. Ele chegou na cidade com assistentes para o pessoal da escola e uma grande variedade de materiais de ensino que se tinham reunido, enquanto na Macedónia; livros, mapas e outros materiais de ensino que pode muito bem ter sido destinados a um estágio para apoiar Aristóteles em sua tentativa de se tornar chefe da Academia. A Academia sempre foi estreita em seus interesses, mas o Liceu sob Aristóteles prosseguido uma ampla gama de assuntos. Destaque foi dado por Aristóteles para o estudo detalhado da natureza e neste e em todos os outros assuntos que ele estudou [6]: -

Suas próprias pesquisas foram realizadas em empresa, e ele se comunicava seus pensamentos para seus amigos e alunos, nunca pensando em mantê-las como um tesouro-store privado. Ele pensou que, de fato, que um homem não pode afirmar que sabe um assunto a menos que ele foi capaz de transmitir seu conhecimento para os outros, e ele considerava o ensino como a manifestação adequada de conhecimento.

Se as obras que chegaram até nós são devidos a Aristóteles ou de membros posteriores de sua escola foi questionada por um número de estudiosos no final do século 19. As razões são discutidas por Jaeger [16], mas neste trabalho Jaeger argumenta que as aparentes diferenças na abordagem por Aristóteles em diferentes trabalhos pode ser explicada por suas idéias em desenvolvimento ao longo de vários anos. Grayeff [6] examina alguns textos em detalhe e novamente afirma que eles representam a evolução das idéias da escola de Aristóteles muito tempo depois de sua morte. Ele escreve:-

De acordo com uma tradição que surgiu cerca de duzentos e cinquenta anos depois de sua morte, que, em seguida, tornou-se dominante e até hoje praticamente não é contestado, Aristóteles nesses mesmos anos lecionou - não uma, mas duas ou três vezes, em quase todos os assuntos - na lógica , física, astronomia, meteorologia, zoologia, metafísica, teologia, psicologia, política, economia, ética, retórica, poética; e que ele escreveu estas palestras, expandi-las e modificá-las várias vezes, até que chegaram ao estágio em que lê-los. No entanto, ainda mais surpreendente é o fato de que a maioria destes indivíduos não existia como tal diante dele, para que ele teria sido o primeiro a conceber e estabelecê-los, como disciplinas sistemáticas.

Após a morte de Alexandre, o Grande, em 323 aC, o sentimento anti-macedónio em Atenas fez Aristóteles retirar-se para Chalcis onde viveu na casa que pertencera à sua mãe e ainda foi mantido pela família. Ele morreu no ano seguinte de uma queixa do estômago com a idade de 62.

É virtualmente impossível dar uma impressão da personalidade de Aristóteles com toda a certeza, mas os autores [2] escreve: -

As anedotas relacionadas dele revelar como um personagem gentil, carinhoso, e eles mostram quase nenhum traço da auto-importância que alguns estudiosos acham que podem detectar em suas obras. Sua vontade, que foi preservada, apresenta os mesmos traços gentis; ele faz referências à sua vida familiar feliz e cuida solícita de seus filhos, bem como seus servos.

Barnes [6] escreve: -

Ele foi um pouco de um dandy, anéis usando em seus dedos e cortar o cabelo moda curta. Ele sofria de má digestão, e é dito ter sido fuso shanked. Ele era um bom orador, lúcido em suas palestras, persuasiva na conversa; e ele tinha um humor mordaz. Seus inimigos, que eram numerosos, fê-lo por ser arrogante e arrogante. ... Como um homem que ele era, eu suspeito, admirável ao invés de afável.

Já comentamos acima sobre as disputas entre os estudiosos modernos quanto ao facto de Aristóteles escreveu os tratados agora atribuídos a ele. Nós sabemos que o seu trabalho se divide em duas partes distintas, ou seja, as obras que publicou durante sua vida e que agora estão perdidos (embora alguns fragmentos sobreviver em citações em trabalhos de outros), ea coleção de escritos que chegaram até nós e foram não publicado por Aristóteles em sua vida. Nós podemos dizer com certeza que Aristóteles nunca pretendeu estas 30 obras que enchem mais de 2000 páginas impressas para ser publicado. Eles são certamente notas de aula dos cursos ministrados no Liceu quer ser, como a maioria dos estudiosos acreditam que, a obra de Aristóteles, ou de professores posteriores. Claro que é claramente possível que eles são notas dos cursos originalmente dado por Aristóteles, mas mais tarde completado por outros docentes após a morte de Aristóteles.

Os trabalhos foram publicados pela primeira vez em cerca de 60 aC por Andrônico de Rodes, o último chefe do Liceu. Certamente [2]: -

A forma, títulos e ordem dos textos de Aristóteles que são estudados até hoje foram dadas a eles por Andrônico de quase três séculos após a morte do filósofo, e a longa história de comentário sobre eles começou nesta fase.

O que essas obras contêm? Existem importantes obras sobre a lógica. Aristóteles acreditava que a lógica não era uma ciência, mas sim tinha que ser tratado antes do estudo de cada ramo do conhecimento. nome de Aristóteles para a lógica era "análise", a lógica termo que está sendo introduzido por Xenocrates de trabalho na Academia. Aristóteles acreditava que a lógica deve ser aplicado às ciências [6]: -

As ciências - de qualquer modo, as ciências teóricas - serão axiomatised. O que, então, são seus axiomas de ser? Que condições devem satisfazer uma proposta para contar como um axioma? novamente, que forma é que as derivações dentro de cada ciência tomar? Por quais regras serão teoremas ser deduzido de axiomas? Estas são algumas das perguntas a que Aristóteles coloca em seus escritos lógicos, e em particular nas obras conhecidas como Analytics prévias e posteriores.

De fato, em Prior Analytics Aristóteles propôs o agora famoso silogística aristotélica, uma forma de argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão. Seu exemplo é: -

(I) Cada grego é uma pessoa.
(Ii) Cada pessoa é mortal.
(Iii) Cada grego é mortal.

Aristóteles não foi o primeiro a sugerir sistemas axioma. Platão tinha feito a sugestão ousada que pode haver um sistema único axioma de abraçar todo o conhecimento. Aristóteles foi para a sugestão de um pouco mais possível de um sistema de axioma para cada ciência. Observe que Euclides e seu sistema de axiomas para a geometria veio depois de Aristóteles.

Outro tema a que Aristóteles fez grandes contribuições foi a filosofia natural ou melhor, física pela terminologia de hoje. (I [EFR] mostrar a minha idade e a natureza tradicional de St Andrews University se eu observar que na década de 1960 um passe em parte formado 'General Filosofia Natural "do meu curso.) Aristóteles analisa a matéria, mudança, movimento, espaço, posição , e tempo. Ele também fez contribuições para o estudo da astronomia, onde, em particular, ele estudou cometas, geografia com um exame de características tais como rios), química, onde ele estava interessado em processos como a queima, bem como a meteorologia eo estudo do arco-íris.

Bem como importantes obras sobre zoologia e psicologia, Aristóteles escreveu sua famosa obra sobre a metafísica. Este, de acordo com Aristóteles, os estudos [2]: -

... As características mais gerais ou abstratos da realidade e dos princípios que têm validade universal. ... Estudos metafísica o que quer que deve ser verdade de todas as coisas existentes apenas na medida em que existe, [e] estuda as condições gerais que qualquer coisa existente deve satisfazer.

Apesar de Aristóteles não parecem ter feito quaisquer novas descobertas em matemática, ele é importante no desenvolvimento da matemática. Como Heath explica em [14]: -

A importância de uma boa compreensão da matemática em Aristóteles reside principalmente no fato de que a maioria de suas ilustrações do método científico são tomadas a partir matemática.

Claramente Aristóteles tinha uma compreensão profunda da matemática elementar e acredita matemática a ter grande importância como um dos três ciências teóricas. No entanto, é justo dizer que ele não concordava com Platão, que elevou a matemática para um lugar tão proeminente de estudo que havia pouco espaço para a gama de ciências estudadas por Aristóteles. As outras duas ciências teóricas, Aristóteles afirmava, estavam (usando a terminologia moderna) filosofia e física teórica.

Heath observa na introdução [14] alguns dos matemática referidos por Aristóteles em suas obras: -

... Aristóteles estava ciente das importantes descobertas de Eudoxo, que afetou profundamente a exposição dos Elementos de Euclides. Uma alusão mostra claramente que Aristóteles sabia de grande Teoria da Proporção que foi exposta por Euclides em seu Livro V do Eudoxus, e reconheceu a importância do mesmo. Outra passagem recorda o pressuposto fundamental em que Eudoxo baseou seu 'método da exaustão "para medir áreas e volumes; e, claro, Aristóteles estava familiarizado com o sistema de esferas concêntricas pelo qual Eudoxus e Calipo representou teoricamente para os movimentos independentes de sol, da lua e dos planetas. ...

O incomensurável é mencionado uma e outra vez, mas o caso mencionado é o da diagonal de um quadrado em relação ao seu lado; não há nenhuma alusão à extensão da teoria para outros casos, por Theodorus e Theaetetus ...

Heath [14] também menciona a matemática que Aristóteles, talvez surpreendente, não se referem. Há sim:-

... Nenhuma alusão a cónicas, com a duplicação do cubo, ou para o tri-secção de um ângulo. O problema da quadratura do círculo é mencionado em conexão com as tentativas de Antífona, Bryson, e Hipócrates para resolvê-lo; mas não há nada sobre a curva de Hípias ...

Enquanto Heath [14] discute as muitas referências matemáticas em Aristóteles, o livro [5] tenta construir (ou reconstruir) um trabalho sobre a visão de Aristóteles da filosofia da matemática. Como Apóstolo escreve em [5]: -

... Inúmeras passagens sobre a matemática são distribuídos em toda as obras que possuem e indicar uma filosofia definida de matemática, de modo que uma tentativa de construir ou reconstruir essa filosofia com um grau bastante elevado de precisão é possível.

Nós terminamos nossa discussão com uma ilustração de idéias de "contínuo" e "infinito" em matemática de Aristóteles. Heath [15] explica idéia de Aristóteles de que "contínuo": -

... Não poderia ser feito de partes indivisíveis; o que é contínuo em que o limite ou limite entre duas partes consecutivas, em que se tocam, é um e o mesmo ...

Quanto ao infinito Aristóteles acreditava que na verdade não existem, mas apenas potencialmente existe. Aristóteles escreve em Física (ver por exemplo [15]): -

Mas o meu argumento não em todo o caso matemáticos roubar de seu estudo, embora nega a existência do infinito, no sentido da existência real como algo aumentou a tal ponto que não pode ser atravessado; pois, como ele é, eles não precisam o infinito ou usá-lo, mas apenas exigir que a linha reta finita deve ser tão longo como eles por favor. ... Por isso, não fará diferença para eles com a finalidade de provas.

Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

fev 1999

MacTutor História da Matemática