terça-feira, 23 de junho de 2015
sexta-feira, 19 de junho de 2015
DIVIRTA-SE (78)
Cortando a cruz
Com duas linhas retas, divida a Cruz Suíça abaixo em quatro peças congruentes que possam ser unidas formando um quadrado.
quarta-feira, 17 de junho de 2015
Jogos matemáticos - 78
LOCATE THE ALIENS
Os aliens estão perdidos! Mas, você pode ajudá-los digitando as coordenadas do plano em que eles se encontram.
Quantos você conseguirá localizar antes que o tempo acabe?
Descubra clicando em LOCATE THE ALIENS
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sábado, 13 de junho de 2015
terça-feira, 9 de junho de 2015
Brasil x Argentina
Ah, isso é bem comum.
Probabilidade e futebol.
Não acha? Então assista o vídeo e verifique a relação entre os dois...
domingo, 7 de junho de 2015
*MENAECMUS
Menaechmus
Data de Nascimento: cerca de 380 aC na Alopeconnesus, Ásia Menor (atual Turquia)
Morreu em: cerca de 320 aC
Menaechmus é mencionado por Proclus que nos diz que ele era um aluno de Eudoxus na seguinte citação (ver por exemplo [3]): -
Amyclas de Heraclea, um dos associados de Platão, e Menaechmus, um aluno de Eudoxus que havia estudado com Platão, e seu irmão Dinostratus fez toda a geometria ainda mais perfeito.
Há uma outra referência no Suda Lexicon (a obra de um lexicógrafo grego do século 10), que afirma que Menaechmus era (ver por exemplo [1]): -
... Um filósofo platônico da Alopeconnesus, ou de acordo com alguns dos Proconnesus, que escreveu obras de filosofia e de três livros sobre a República de Platão ...
Alopeconnesus e Proconnesus estão muito perto, a primeira na Trácia ea segunda no mar de Marmara, e ambos não estão longe de Cyzicus onde o professor de Menaechmus Eudoxus funcionou. As datas para Menaechmus são consistentes com ele ser um aluno de Eudoxus mas também são consistentes com uma anedota contada por Stobaeus escrito no século 5 dC. Stobaeus conta a história bem familiar que também foi dito de outros matemáticos como Euclides, dizendo que Alexandre, o Grande perguntou Menaechmus para mostrar-lhe uma maneira fácil de aprender geometria para que Menaechmus respondeu (ver por exemplo [1]): -
Ó rei, para viajar por todo o país existem estradas privadas e estradas reais, mas na geometria existe um caminho para todos.
Alguns têm inferido a partir desta (ver por exemplo [4]), que Menaechmus agiu como um tutor de Alexandre, o Grande, e na verdade isso não é impossível imaginar uma vez como Allman sugere Aristóteles pode ter fornecido a ligação entre os dois. Há também uma implicação nos escritos de Proclo que Menaechmus era o chefe de uma escola e isso é argumentado de forma convincente por Allman em [4]. Se de fato for este o caso Allman argumenta que a escola em questão era o único em Cyzicus onde Eudoxus tinha ensinado antes dele.
Menaechmus é famoso por sua descoberta das seções cônicas e ele foi o primeiro a mostrar que elipses, parábolas e hipérboles são obtidos por corte de um cone em um plano não paralelo à base. Tem sido geralmente pensado que Menaechmus não inventou as palavras "parábola" e "hipérbole", mas que estas foram inventadas por Apolônio mais tarde. No entanto a evidência recente em Diocles 'On queima espelhos descobertos na tradução árabe na década de 1970, levou G J Toomer a alegação de que ambos os nomes' parábola 'e' hipérbole 'são mais velhos do que Apolônio.
Menaechmus fez suas descobertas sobre cónicas, enquanto ele estava tentando resolver o problema da duplicação do cubo. Na verdade o problema específico que ele partiu para resolver era encontrar dois proporcionais média entre duas retas. Isso ele conseguiu e, portanto, resolveu o problema da duplicação do cubo usando essas seções cônicas. A solução da Menaechmus é descrito por Eutocius em seu comentário de Arquimedes sobre a esfera e cilindro.
Suponha que nos é dado, a b e queremos encontrar dois médios proporcionais x, y entre eles. Em seguida, um: x = x: y = y: b assim, fazendo um pedaço da matemática moderna,
a / x = x / y de modo x2 = ay, e a / x = y xy / b so = ab.
Vemos agora que os valores de X e Y são encontrados a partir da interseção da parábola x2 = ay e da hipérbole xy rectangular = ab. É claro que devemos ênfase que isso de modo algum indica a maneira que Menaechmus resolveu o problema mas mostra em termos modernos como a parábola e hipérbole entrar na solução para o problema.
Imediatamente após esta solução, Eutocius dá uma segunda solução. Mais uma vez um pedaço de matemática moderna ilustra isso:
a / x = x / y de modo x2 = ay, e x / y = y / b tão y2 = bx.
Vemos agora que os valores de X e Y são encontrados a partir da interseção das duas parábolas x2 = ay e y2 = bx.
[1], [3] e [4] todos considerar um problema associado com essas soluções. Plutarco afirma que Platão desaprovou a solução da Menaechmus uso de dispositivos mecânicos que, acreditava ele, degradados o estudo da geometria que ele considerada como a maior conquista da mente humana. No entanto, a solução descrita acima, que se segue Eutocius não parecem envolver dispositivos mecânicos. Os especialistas têm discutido se Menaechmus poderia ter usado um dispositivo mecânico de tirar as suas curvas.
Allman [4] sugere que Menaechmus poderia ter desenhado as curvas encontrando muitos pontos sobre os mesmos e que esta pode ser considerado como um dispositivo mecânico. A solução proposta para esta questão em [1], no entanto, parece ser particularmente atraente. O que veio a ser conhecido como solução de Platão para o problema da duplicação do cubo é amplamente reconhecido como não devido a Platão uma vez que envolve um instrumento mecânico. Heath [3] escreve: -
..., Parece provável que alguém que tinha segunda solução de Menaechmus antes dele trabalhado para mostrar como a mesma representação das quatro linhas rectas podia ser obtido por uma construção mecânica como uma alternativa ao uso de secções cónicas.
A sugestão feita em [1] é que o "alguém" desta citação foi o próprio Menaechmus.
Outras referências a Menaechmus incluem um por Theon de Esmirna que sugere que ele era um defensor da teoria dos corpos celestes com base em esferas concêntricas de Eudoxo. Na verdade Theon de Smyrna afirma que Menaechmus desenvolveu a teoria mais longe, acrescentando novas esferas. Houve conjecturas feitas quanto ao local onde esta informação foi escrita por Menaechmus de modo que ele estava disponível para Theon de Esmirna. Uma conjectura é que ele apareceu em comentários de Menaechmus na República de Platão referido na citação acima do Suda Lexicon.
Proclus escreve sobre Menaechmus dizendo que ele estudou a estrutura da matemática [4]: -
... Ele discutiu, por exemplo, a diferença entre o significado mais amplo do elemento nominativo (no qual pode-se dizer qualquer proposição que leva a outra a ser um elemento da mesma) e do sentido mais estrito de algo permanente simples e fundamental para consequências elaborado a partir dele na relação de um princípio, que é capaz de ser universalmente aplicado e entra na prova de todos os tipos de proposições.
Outra questão relacionada com a estrutura da matemática que Menaechmus discutidos foi a distinção entre teoremas e problemas. Embora muitos havia afirmado que os dois eram diferentes, Menaechmus por outro lado, alegou que não havia nenhuma distinção fundamental. Ambos são problemas, segundo ele, mas no uso dos termos que são direcionados para diferentes objetos.
Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson
abril 1999
MacTutor História da Matemática
Data de Nascimento: cerca de 380 aC na Alopeconnesus, Ásia Menor (atual Turquia)
Morreu em: cerca de 320 aC
Menaechmus é mencionado por Proclus que nos diz que ele era um aluno de Eudoxus na seguinte citação (ver por exemplo [3]): -
Amyclas de Heraclea, um dos associados de Platão, e Menaechmus, um aluno de Eudoxus que havia estudado com Platão, e seu irmão Dinostratus fez toda a geometria ainda mais perfeito.
Há uma outra referência no Suda Lexicon (a obra de um lexicógrafo grego do século 10), que afirma que Menaechmus era (ver por exemplo [1]): -
... Um filósofo platônico da Alopeconnesus, ou de acordo com alguns dos Proconnesus, que escreveu obras de filosofia e de três livros sobre a República de Platão ...
Alopeconnesus e Proconnesus estão muito perto, a primeira na Trácia ea segunda no mar de Marmara, e ambos não estão longe de Cyzicus onde o professor de Menaechmus Eudoxus funcionou. As datas para Menaechmus são consistentes com ele ser um aluno de Eudoxus mas também são consistentes com uma anedota contada por Stobaeus escrito no século 5 dC. Stobaeus conta a história bem familiar que também foi dito de outros matemáticos como Euclides, dizendo que Alexandre, o Grande perguntou Menaechmus para mostrar-lhe uma maneira fácil de aprender geometria para que Menaechmus respondeu (ver por exemplo [1]): -
Ó rei, para viajar por todo o país existem estradas privadas e estradas reais, mas na geometria existe um caminho para todos.
Alguns têm inferido a partir desta (ver por exemplo [4]), que Menaechmus agiu como um tutor de Alexandre, o Grande, e na verdade isso não é impossível imaginar uma vez como Allman sugere Aristóteles pode ter fornecido a ligação entre os dois. Há também uma implicação nos escritos de Proclo que Menaechmus era o chefe de uma escola e isso é argumentado de forma convincente por Allman em [4]. Se de fato for este o caso Allman argumenta que a escola em questão era o único em Cyzicus onde Eudoxus tinha ensinado antes dele.
Menaechmus é famoso por sua descoberta das seções cônicas e ele foi o primeiro a mostrar que elipses, parábolas e hipérboles são obtidos por corte de um cone em um plano não paralelo à base. Tem sido geralmente pensado que Menaechmus não inventou as palavras "parábola" e "hipérbole", mas que estas foram inventadas por Apolônio mais tarde. No entanto a evidência recente em Diocles 'On queima espelhos descobertos na tradução árabe na década de 1970, levou G J Toomer a alegação de que ambos os nomes' parábola 'e' hipérbole 'são mais velhos do que Apolônio.
Menaechmus fez suas descobertas sobre cónicas, enquanto ele estava tentando resolver o problema da duplicação do cubo. Na verdade o problema específico que ele partiu para resolver era encontrar dois proporcionais média entre duas retas. Isso ele conseguiu e, portanto, resolveu o problema da duplicação do cubo usando essas seções cônicas. A solução da Menaechmus é descrito por Eutocius em seu comentário de Arquimedes sobre a esfera e cilindro.
Suponha que nos é dado, a b e queremos encontrar dois médios proporcionais x, y entre eles. Em seguida, um: x = x: y = y: b assim, fazendo um pedaço da matemática moderna,
a / x = x / y de modo x2 = ay, e a / x = y xy / b so = ab.
Vemos agora que os valores de X e Y são encontrados a partir da interseção da parábola x2 = ay e da hipérbole xy rectangular = ab. É claro que devemos ênfase que isso de modo algum indica a maneira que Menaechmus resolveu o problema mas mostra em termos modernos como a parábola e hipérbole entrar na solução para o problema.
Imediatamente após esta solução, Eutocius dá uma segunda solução. Mais uma vez um pedaço de matemática moderna ilustra isso:
a / x = x / y de modo x2 = ay, e x / y = y / b tão y2 = bx.
Vemos agora que os valores de X e Y são encontrados a partir da interseção das duas parábolas x2 = ay e y2 = bx.
[1], [3] e [4] todos considerar um problema associado com essas soluções. Plutarco afirma que Platão desaprovou a solução da Menaechmus uso de dispositivos mecânicos que, acreditava ele, degradados o estudo da geometria que ele considerada como a maior conquista da mente humana. No entanto, a solução descrita acima, que se segue Eutocius não parecem envolver dispositivos mecânicos. Os especialistas têm discutido se Menaechmus poderia ter usado um dispositivo mecânico de tirar as suas curvas.
Allman [4] sugere que Menaechmus poderia ter desenhado as curvas encontrando muitos pontos sobre os mesmos e que esta pode ser considerado como um dispositivo mecânico. A solução proposta para esta questão em [1], no entanto, parece ser particularmente atraente. O que veio a ser conhecido como solução de Platão para o problema da duplicação do cubo é amplamente reconhecido como não devido a Platão uma vez que envolve um instrumento mecânico. Heath [3] escreve: -
..., Parece provável que alguém que tinha segunda solução de Menaechmus antes dele trabalhado para mostrar como a mesma representação das quatro linhas rectas podia ser obtido por uma construção mecânica como uma alternativa ao uso de secções cónicas.
A sugestão feita em [1] é que o "alguém" desta citação foi o próprio Menaechmus.
Outras referências a Menaechmus incluem um por Theon de Esmirna que sugere que ele era um defensor da teoria dos corpos celestes com base em esferas concêntricas de Eudoxo. Na verdade Theon de Smyrna afirma que Menaechmus desenvolveu a teoria mais longe, acrescentando novas esferas. Houve conjecturas feitas quanto ao local onde esta informação foi escrita por Menaechmus de modo que ele estava disponível para Theon de Esmirna. Uma conjectura é que ele apareceu em comentários de Menaechmus na República de Platão referido na citação acima do Suda Lexicon.
Proclus escreve sobre Menaechmus dizendo que ele estudou a estrutura da matemática [4]: -
... Ele discutiu, por exemplo, a diferença entre o significado mais amplo do elemento nominativo (no qual pode-se dizer qualquer proposição que leva a outra a ser um elemento da mesma) e do sentido mais estrito de algo permanente simples e fundamental para consequências elaborado a partir dele na relação de um princípio, que é capaz de ser universalmente aplicado e entra na prova de todos os tipos de proposições.
Outra questão relacionada com a estrutura da matemática que Menaechmus discutidos foi a distinção entre teoremas e problemas. Embora muitos havia afirmado que os dois eram diferentes, Menaechmus por outro lado, alegou que não havia nenhuma distinção fundamental. Ambos são problemas, segundo ele, mas no uso dos termos que são direcionados para diferentes objetos.
Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson
abril 1999
MacTutor História da Matemática
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