84 - Matemática - Aula 9 - Representações, gráficos, transformações - Parte 1

DIVIRTA-SE (84)

Determine quais são os 3 números consecutivos de três algarismos tais que, o menor é múltiplo de 7, o maior é múltiplo de 11 e o do meio é múltiplo de 9.

Jogos matemáticos - 84

PUZZLE PICS MULTIPLICATION

Para formar o quadro completo, coloque cada parte da figura no lugar correspondente ao resultado da multiplicação indicada.

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FRACTAIS (24)

Tudo que você sempre quis perguntar

Como o próprio título do vídeo diz, aqui você vai encontrar respostas para muitas perguntas curiosas...
Vamos lá?

*ARQUIMEDES

Arquimedes de Siracusa

Data de Nascimento: 287 aC em Siracusa, Sicília (agora Itália)
Morreu em: 212 aC em Siracusa, Sicília (agora Itália)

pai de Arquimedes foi Phidias, um astrônomo. Não sabemos nada mais sobre Phidias diferente deste facto e só sabemos isso desde Arquimedes nos dá esta informação em uma de suas obras, O Sandreckoner. Um amigo de Arquimedes chamado Heracleides escreveu uma biografia dele, mas infelizmente este trabalho é perdido. Como nosso conhecimento de Arquimedes seria transformado se este trabalho perdido nunca foram encontrados, ou mesmo extratos encontrados na escrita de outros.

Arquimedes era natural de Siracusa, Sicília. É relatado por alguns autores que visitou o Egito e lá inventou um dispositivo agora conhecido como Parafuso de Arquimedes. Esta é uma bomba, ainda usado em muitas partes do mundo. É altamente provável que, quando ele era um jovem, Archimedes estudou com os sucessores de Euclides em Alexandria. Certamente ele estava completamente familiarizados com a matemática desenvolvidos lá, mas o que torna esta conjectura muito mais certo, ele conhecia pessoalmente os matemáticos que trabalham lá e enviou os seus resultados a Alexandria com mensagens pessoais. Ele considerava Conon de Samos, um dos matemáticos em Alexandria, ambos muito altamente para suas habilidades como um matemático e ele também considerou-o como um amigo próximo.

No prefácio Em espirais Arquimedes relaciona uma história divertida sobre seus amigos em Alexandria. Ele diz-nos que ele tinha o hábito de enviar-lhes declarações de seus últimos teoremas, mas sem dar provas. Aparentemente, alguns dos matemáticos havia reivindicado os resultados como o seu próprio modo de Arquimedes diz que na última ocasião em que ele enviou-os teoremas ele incluiu dois que eram falsas [3]: -

... De modo que aqueles que afirmam descobrir tudo, mas não produzem provas do mesmo, podem ser refutados como tendo pretendia descobrir o impossível.

Excepto nos prefácios de suas obras, informações sobre Arquimedes nos vem de uma série de fontes, tais como em histórias de Plutarco, Lívio, e outros. Plutarco nos diz que Arquimedes estava relacionado com o rei Hieron II de Siracusa (ver por exemplo [3]): -

Arquimedes ... por escrito ao Rei Hiero, cujo amigo e relação próxima que ele foi ....

Novamente evidência de, pelo menos, a sua amizade com a família do rei Hieron II vem do fato de que o Sandreckoner foi dedicado a Gelon, filho do rei Hieron.

Há, de fato, um grande número de referências a Arquimedes nos escritos do tempo para que ele ganhou uma reputação em seu próprio tempo, que alguns outros matemáticos deste período alcançado. A razão para isso não era um grande interesse em novas ideias matemáticas, mas sim que Arquimedes havia inventado muitas máquinas que foram usados ​​como máquinas de guerra. Estes foram particularmente eficaz na defesa de Siracusa quando foi atacada pelos romanos sob o comando de Marcelo.

Plutarco escreve em seu trabalho sobre Marcellus, o comandante romano, sobre como foram utilizadas máquinas de guerra Arquimedes contra os romanos no cerco de 212 aC: -

... Quando Arquimedes começou a dobrar seus motores, ele imediatamente disparou contra as forças de terra todos os tipos de armas de mísseis, e imensas massas de pedra que desceu com o barulho incrível e violência; contra o qual nenhum homem poderia suportar; pois eles derrubado aqueles sobre os quais eles caíram em montes, quebrando todas as suas fileiras e arquivos. Nesse meio tempo grandes pólos lançados fora das paredes ao longo dos navios afundados e alguns por grandes pesos que desceram do alto sobre eles; outros levantaram no ar por uma mão de ferro ou bico como o bico de um guindaste e, quando tinha desenhado-los pela proa, e pô-los no fim sobre o cocô, eles mergulharam-los para o fundo do mar; ou então os navios, desenhados por motores dentro e rodopiou, foram jogados contra as rochas íngremes que estavam projetando-se sob as paredes, com grande destruição dos soldados que estavam a bordo eles. Um navio foi frequentemente levantada a uma grande altura no ar (uma coisa terrível de se ver), e foi rolou para lá e para cá, e continuou balançando, até que os marinheiros foram todos jogados para fora, quando finalmente foi jogados contra as rochas, ou deixar cair.

Arquimedes tinha sido convencido por seu amigo e relação Rei Hieron de construir tais máquinas: -

Estas máquinas [Arquimedes] tinha projetado e artificial, e não como matérias de qualquer importância, mas como meros divertimentos em geometria; em conformidade com o desejo do rei Hiero e pedido, algum tempo antes, que ele deve reduzir a praticar alguma parte de sua especulação admirável na ciência, e acomodando a verdade teórica à sensação e à utilização comum, trazê-lo mais dentro da valorização das pessoas em geral.

Talvez seja triste que máquinas de guerra foram apreciados pelas pessoas desta vez de uma forma que a matemática teórica não era, mas seria preciso observar que o mundo não é um lugar muito diferente no final do segundo milênio dC. Outras invenções de Arquimedes, como a polia composto também trouxe grande fama entre seus contemporâneos. Novamente citando Plutarco: -

[Arquimedes] tinha declarado [em uma carta ao rei Hieron] que, dado o vigor, qualquer peso pode ser movido, e até se vangloriou, somos informados, contando com a força de demonstração, que, se houvesse uma outra terra, entrando em que ele poderia remover este. Hiero sendo maravilhado com isso, e pedindo-lhe para fazer um bom este problema através da experiência real, e mostrar algum grande peso movido por um pequeno motor, ele fixados em conformidade cima de um navio de carga para fora do arsenal do rei, que não poderia ser desenhada fora do cais sem grande trabalho e muitos homens; e, carregando-a com muitos passageiros e um trem de carga completa, sentando-se a si mesmo o tempo longe, sem grande esforço, mas apenas segurando a cabeça da polia em sua mão e puxando os cordões por graus, ele desenhou o navio em uma linha reta , como forma suave e uniforme, como se tivesse sido no mar.

No entanto, Archimedes, embora ele alcançou a fama por suas invenções mecânicas, acreditava que a matemática pura era a única perseguição digna. Novamente Plutarco descreve muito bem a atitude de Arquimedes, ainda veremos mais adiante que Arquimedes fez, de facto usar alguns métodos muito práticos para descobrir os resultados de geometria pura: -

Arquimedes possuía um tão elevado espírito, tão profundo uma alma, e tais tesouros do conhecimento científico, que, embora essas invenções tinha agora ele obteve a fama de mais de sagacidade humana, ele ainda não iria se dignou a deixar para trás qualquer comentário ou escrever sobre tais assuntos; mas, repudiando como sórdido e desprezível todo o comércio de engenharia, e todo o tipo de arte que se presta a mera utilização e lucro, ele colocou toda a sua afeição e ambição nessas especulações mais puras, onde não pode haver nenhuma referência às necessidades vulgares da vida ; estudos, a superioridade do qual todos os outros é inquestionável, e em que a única dúvida pode ser se a beleza ea grandeza dos indivíduos examinados, da precisão e poder de persuasão dos métodos e meios de prova, mais merecem a nossa admiração.

Seu fascínio com a geometria é lindamente descrito por Plutarco: -

servos oftimes Arquimedes pegou contra a sua vontade para os banhos, para lavar e unge-o, e ainda estar lá, ele jamais seria desenho fora das figuras geométricas, mesmo nas próprias brasas da chaminé. E enquanto eles estavam unção dele com óleos e doces aromas, com os dedos ele desenhou linhas sobre o seu corpo nu, até agora ele estava tomado de si mesmo, e trouxe em êxtase ou transe, com o prazer que ele tinha no estudo da geometria.

As realizações de Arquimedes são bastante impressionantes. Ele é considerado pela maioria dos historiadores da matemática como um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele aperfeiçoou um método de integração que lhe permitiu encontrar áreas, volumes e áreas de superfície de muitos corpos. Chasles disse que o trabalho de Arquimedes sobre a integração (ver [7]): -

... Deu à luz o cálculo do infinito concebido e levado à perfeição pelo Kepler, Cavalieri, Fermat, Leibniz e Newton.

Arquimedes foi capaz de aplicar o método da exaustão, que é a forma inicial de integração, para obter toda uma série de resultados importantes e podemos citar alguns deles nas descrições de suas obras abaixo. Arquimedes também deu uma aproximação precisa para ¸ e mostrou que ele poderia aproximar raízes quadradas com precisão. Ele inventado um sistema para expressão de grandes números. Na mecânica Arquimedes descobriu teoremas fundamentais relativas ao centro de gravidade do figuras planas e sólidos. Seu mais famoso teorema dá o peso de um corpo imerso num líquido, chamado princípio de Arquimedes.

Os trabalhos de Arquimedes que sobreviveram são as seguintes. Em equilíbrios de avião (dois livros), Quadratura da parábola, sobre a esfera e cilindro (dois livros), em espirais, On conoids e esferóides, On corpos flutuantes (dois livros), Medição de um círculo, e O Sandreckoner. No verão de 1906, J L Heiberg, professor de filologia clássica na Universidade de Copenhague, descobriu um manuscrito do século 10 que incluiu trabalhos de Arquimedes O método. Isso fornece uma visão notável em como Arquimedes descobriu muitos de seus resultados e vamos discutir isso abaixo, uma vez que temos dado mais detalhes sobre o que está nos livros sobreviventes.

A ordem em que Arquimedes escreveu suas obras não se sabe ao certo. Temos usado a ordem cronológica sugerida por Heath em [7] na listagem essas obras acima, exceto para o método que Heath colocou imediatamente antes na esfera e cilindro. O documento [47] analisa argumentos para uma ordem cronológica diferente das obras de Arquimedes.

O tratado Sobre equilíbrios plano estabelece os princípios fundamentais da mecânica, utilizando os métodos de geometria. Arquimedes descobriu teoremas fundamentais relativas ao centro de gravidade do figuras planas e estes são apresentados neste trabalho. Em particular, ele encontra, no livro 1, o centro de gravidade de um paralelogramo, um triângulo e um trapézio. Livro dois é inteiramente dedicado a encontrar o centro de gravidade de um segmento de uma parábola. No quadratura da parábola Arquimedes encontra a área de um segmento de uma parábola cortado por qualquer acorde.

No primeiro livro de Sobre a esfera eo cilindro Arquimedes mostra que a superfície de uma esfera é quatro vezes maior do que um grande círculo, ele encontra a área de qualquer segmento de uma esfera, ele mostra que o volume de uma esfera é dois terços o volume de um cilindro circunscrito, e que a superfície de uma esfera é dois terços da superfície de um cilindro circunscrito incluindo as suas bases. Uma boa discussão de como Arquimedes pode ter sido levado a alguns desses resultados usando infinitesimais é dada em [14]. No segundo livro deste trabalho resultado mais importante de Arquimedes é mostrar como cortar uma dada esfera por um plano de modo que a razão entre os volumes dos dois segmentos tem uma proporção prescrita.

Em No espirais de Arquimedes define uma espiral, que confere propriedades fundamentais que ligam o comprimento do vector de raio com os ângulos através do qual se tem girado. Ele dá resultados sobre tangentes à espiral, bem como encontrar a área de porções da espiral. No trabalho Em conoids e esferóides Arquimedes examina parabolóides da revolução, hiperbolóides da revolução e esferóides obtidos pela rotação de uma elipse, quer sobre o seu eixo principal ou sobre o seu eixo menor. O principal objetivo do trabalho é investigar o volume de segmentos destas figuras tridimensionais. Alguns afirmam que existe uma falta de rigor em alguns dos resultados deste trabalho, mas a discussão interessante em [43] atribui isso a uma reconstrução moderna.

Em corpos flutuantes é um trabalho em que Arquimedes estabelece os princípios básicos da hidrostática. Seu mais famoso teorema que dá o peso de um corpo imerso em um líquido, chamado de princípio de Arquimedes, está contido neste trabalho. Ele também estudou a estabilidade de vários corpos flutuantes de diferentes formas e diferentes gravidades específicas. Em Medição do círculo Arquimedes mostra que o valor exato do π situa-se entre os valores de 310/71 e 31/7. Este obteve circunscrevendo e inscrevendo um círculo com polígonos regulares com 96 lados.

O Sandreckoner é um trabalho notável, em que Arquimedes propõe um sistema numérico capaz de expressar números até 8 × 1063 em notação moderna. Ele argumenta neste trabalho que este número é grande o suficiente para contar o número de grãos de areia que podem ser equipados para o universo. Há também importantes observações históricas neste trabalho, por Archimedes tem que dar as dimensões do universo para ser capaz de contar o número de grãos de areia que poderiam conter. Ele afirma que Aristarco propôs um sistema com o sol no centro e os planetas, incluindo a Terra, que gira em torno dele. Ao citar resultados sobre as dimensões afirma resultados devido a Eudoxo, Fídias (seu pai) e Aristarco. Existem outras fontes que mencionam o trabalho de Arquimedes sobre distâncias dos corpos celestes. Por exemplo, em [59] Osborne reconstrói e discute: -

... Uma teoria das distâncias dos corpos celestes atribuída a Arquimedes, mas o estado corrupto dos numerais no manuscrito sobrevivente único [devido à Hipólito de Roma, cerca de 220 AD] significa que o material é difícil de segurar.

No método, Arquimedes descrito o modo pelo qual ele descobriu muitos dos seus resultados geométricos (ver [7]): -

... certas coisas primeira tornou-se claro para mim por um método mecânico, embora tivessem de ser provado pela geometria depois, porque a sua investigação por parte do referido método não forneceu uma prova real. Mas é claro que é mais fácil, quando tivermos adquirido anteriormente, pelo método, algum conhecimento das questões, para fornecer a prova do que está a encontrá-lo sem qualquer conhecimento anterior.

Talvez o brilho de resultados geométricas de Arquimedes é melhor resumido por Plutarco, que escreve: -

Não é possível encontrar nas perguntas toda a geometria mais difíceis e complexas, ou explicações mais simples e lúcido. Alguns atribuem isso ao seu gênio natural; enquanto outros pensam que incrível esforço e do trabalho produzido estes, ao que tudo indica, fácil e resultados espontâneo. Nenhuma quantidade de investigação de vocês teria sucesso em alcançar a prova e, no entanto, uma vez que visto, você acredita imediatamente que você teria descoberto; por tão suave e tão rápido um caminho que leva à conclusão necessária.

Heath acrescenta sua opinião sobre a qualidade do trabalho de Arquimedes [7]: -

Os tratados são, sem exceção, monumentos de exposição matemática; a revelação gradual do plano de ataque, a ordenação magistral das proposições, a eliminação de popa de tudo não imediatamente relevante para o efeito, o acabamento do conjunto, são tão impressionantes em sua perfeição como para criar um sentimento semelhante ao temor no mente do leitor.

Há referências a outras obras de Arquimedes, que agora estão perdidos. Pappus refere-se a um trabalho de Arquimedes sobre poliedros semi-regular, o próprio Arquimedes refere-se a um trabalho sobre o sistema numérico que propôs na Sandreckoner, Pappus menciona um tratado Sobre equilíbrios e alavancas, e Theon menciona um tratado de Arquimedes sobre espelhos. Evidências para trabalhos ainda mais perdidos são discutidos em [67], mas a evidência não é totalmente convincente.

Arquimedes foi morto em 212 aC durante a captura de Siracusa pelos romanos na Segunda Guerra Púnica, depois de todos os seus esforços para manter os romanos na baía com suas máquinas de guerra tinha falhado. Plutarco relata três versões da história de sua morte, que tinha descido com ele. A primeira versão: -

Arquimedes ... foi ..., como ele teria sorte, decidido a trabalhar fora algum problema por um diagrama, e tendo fixado sua mente tanto os olhos sobre o assunto de sua especulação, ele nunca percebeu a incursão dos romanos, nem que a cidade foi tomada. Neste transporte de estudo e contemplação, um soldado, de forma inesperada vindo até ele, ordenou-lhe a seguir para Marcelo; que ele se recusou a fazer antes ele tinha trabalhado para fora seu problema a uma demonstração, o soldado, furioso, desembainhou a espada e correu-lo passar.

A segunda versão: -

... Um soldado romano, correndo em cima dele com uma espada desembainhada, ofereceu-se para matá-lo; e que Arquimedes, olhando para trás, sinceramente suplicou-lhe para segurar sua mão um pouco, que ele não pode deixar que ele foi, então, no trabalho em cima inconclusivo e imperfeito; mas o soldado, nada se movia por sua súplica, instantaneamente matou.

Finalmente, a terceira versão que Plutarco tinha ouvido: -

... Como Arquimedes estava carregando a instrumentos Marcellus matemáticos, mostradores, esferas e ângulos, através da qual a magnitude do sol pode ser medido à vista, alguns soldados vê-lo, e pensar que ele levou o ouro em um navio, o matou .

Arquimedes considerou suas realizações mais significativas foram as que dizem respeito um cilindro circunscrevendo uma esfera, e ele pediu uma representação deste juntamente com o seu resultado na relação dos dois, a ser inscrita em sua tumba. Cícero estava na Sicília, em 75 aC, e ele escreve como ele procurou Archimedes túmulo (ver por exemplo [1]): -

... E achei fechado todo e coberto com amoras e matas; para me lembrei certas linhas cômicas inscritos, como eu tinha ouvido, sobre o seu túmulo, que afirmou que uma esfera, juntamente com um cilindro tinha sido colocado em cima de seu túmulo. Assim, depois de tomar uma boa olhada ao redor ..., eu notei uma pequena coluna decorrente um pouco acima dos arbustos, onde havia uma figura de uma esfera e um cilindro .... Os escravos eram enviados com foices ... e quando uma passagem para o local foi inaugurado nos aproximávamos do pedestal em frente de nós; o epigrama foi rastreado com cerca de metade das linhas legíveis, como a última parte foi vestida afastado.

É talvez surpreendente que os trabalhos matemáticos de Arquimedes foram relativamente pouco conhecida imediatamente após a sua morte. Como Clagett escreve em [1]: -

Ao contrário dos Elementos de Euclides, as obras de Arquimedes não foram amplamente conhecido na antiguidade. ... É verdade que ... obras individuais de Arquimedes foram, obviamente, estudou em Alexandria, desde Arquimedes foi muitas vezes citado por três matemáticos eminentes de Alexandria: Heron, Pappus e Theon.

Só depois Eutocius trouxe edições de algumas das obras de Arquimedes, com comentários, no sexto século dC foram tratados notáveis ​​para se tornar mais conhecido. Finalmente, vale a pena observar que o teste usado hoje para determinar o quão próximo do texto original as várias versões de seus tratados de Arquimedes são, é para determinar se eles mantiveram dialeto Dorian Arquimedes.


Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

janeiro 1999

MacTutor História da Matemática