Procurando Xenakis

*APOLÔNIO

Apolônio de Perga

Nascido: cerca de 262 aC em Perge, da Panfília, do grega Ionia (agora Murtina, Antalya, Turquia)
Morreu em: cerca de 190 aC em Alexandria, Egito

Apolônio de Perga era conhecido como "O Grande Geometer '. Pouco se sabe sobre sua vida, mas suas obras tiveram uma grande influência no desenvolvimento da matemática, em particular, seu famoso livro Cónicas introduziu termos que são familiares para nós hoje, como parábola, elipse e hipérbole.

Apolônio de Perga não deve ser confundido com outros estudiosos grego chamado Apolônio, pois era um nome comum. Em [1] detalhes de outras pessoas com o nome de Apolônio são dadas: Apolônio de Rodes, nascido por volta de 295 aC, poeta e gramático grego, aluno de Calímaco que era um professor de Eratóstenes; Apolônio de Tralles, século 2 aC, um escultor grego; Apolônio ateniense, século 1 aC, um escultor; Apolônio de Tiana, 1 º século dC, um membro da sociedade fundada por Pitágoras; Apolônio Díscolo, 2o século dC, um gramático grego, que era tida como o fundador do estudo sistemático da gramática; e Apolônio de Tiro, que é um personagem literário.

O matemático Apolônio nasceu em Perge, da Panfília que hoje é conhecido como Murtina ou Murtana e está agora em Antalya, Turquia. Perge era um centro de cultura neste momento e foi o local de culto da Rainha Artemis, a deusa da natureza. Quando ele era um jovem Apolônio foi para Alexandria, onde estudou com os seguidores de Euclides e mais tarde ele ensinou lá. Apolônio visitou Pérgamo, onde uma universidade e uma biblioteca semelhante a Alexandria tinha sido construída. Pergamum, hoje a cidade de Pérgamo, na província de Izmir, na Turquia, foi uma antiga cidade grega da Mísia. Ele foi situado a 25 km do Mar Egeu em uma colina no lado norte do amplo vale do rio Caicus (chamado o rio Bakir hoje).

Embora Apolônio estava em Pérgamo se encontrou Eudemo de Pérgamo (para não ser confundido com Eudemus de Rodes que escreveu a História da geometria) e também Attalus, que muitos pensam que devem ser rei Attalus I de Pérgamo. No prefácio à segunda edição do Cónicas Apolônio dirigida Eudemo (ver [4] ou [7]): -

Se você está de boa saúde e as coisas estão em outros aspectos, como desejar, é bom; comigo também as coisas são moderadamente bem. Durante o tempo que passei com você em Pérgamo, observei sua ânsia de se tornar aquatinted com o meu trabalho em cônicas.

As únicas outras peças de informação sobre a vida de Apolônio pode ser encontrada nos prefácios de vários livros de cônicas. Ficamos sabendo que ele teve um filho, também chamado de Apolônio, e de fato seu filho tomou a segunda edição do livro de duas das Cónicas de Alexandria a Eudemo de Pérgamo. Nós também aprendemos com o prefácio deste livro que Apolônio introduziu o geômetra Philonides a Eudemo, enquanto eles estavam em Éfeso.

Estamos em um pouco melhor estado de conhecimento a respeito dos livros que Apolônio escreveu. Cónicas foi escrito em oito livros, mas apenas o primeiro de quatro sobreviveram em grego. Em árabe, no entanto, os primeiros sete dos oito livros de Cónicas sobreviver.

Primeiro devemos notar que cónicas a Apolônio são por definição as curvas formadas quando um avião cruza a superfície de um cone. Apolônio, explica no prefácio como ele veio a escrever suas Conics trabalho famosos (ver [4] ou [7]): -

... I realizou a investigação deste assunto a pedido do Naucrates o geômetra, no momento em que ele veio a Alexandria e ficou comigo e, quando eu tinha trabalhado para fora em oito livros, eu dei para ele de uma só vez também às pressas, porque ele estava a ponto de vela; eles tinham, portanto, não foi completamente revisto, na verdade eu tinha colocado para baixo tudo como ocorreu-me, adiando a revisão até o fim.

Livros 1 e 2 dos Conics começaram a circular sob a forma de sua primeira versão, na verdade, há alguma evidência de que algumas traduções que chegaram até nós viemos de estes primeiros esboços. Apolônio escreve (ver [4] ou [7]): -

... Aconteceu que algumas pessoas também, entre aqueles que eu conheci, tem o primeiro e segundo livros antes que eles foram corrigidos ....

Cónicas composta por 8 livros. Livros um a quatro formar uma introdução elementar para as propriedades básicas de cônicas. A maioria dos resultados desses livros eram conhecidos por Euclides, Aristeu e outros, mas alguns são, nas palavras do próprio Apolônio: -

... Trabalhou de forma mais completa e geral do que nos escritos de outros.

No primeiro livro as relações satisfeitas pelos diâmetros e tangentes de cônicas são estudadas enquanto que no livro dois Apolônio investiga como hipérboles são relacionadas às suas assíntotas, e ele também estuda como desenhar tangentes a cónicas dadas. Há, no entanto, novos resultados nestes livros, em particular, no terceiro livro. Apolônio escreve livro de três (ver [4] ou [7]): -

... Mais e mais bonita desses teoremas são novos, e foi a sua descoberta que me fez consciente de que Euclides não elaborou as sínteses do locus com respeito a três e quatro linhas, mas apenas uma parte chance de ele e que não êxito; pois não era possível para a referida síntese a ser completada sem a ajuda dos teoremas adicionais descobertos por mim.

Livros de cinco a sete são altamente original. Nestes Apolônio discute normais de cônicas e mostra como muitos podem ser tiradas a partir de um ponto. Ele dá proposições determinação do centro de curvatura que conduzem imediatamente à equação cartesiano da evoluta. Heath escreve que o livro cinco [7]: -

... É o mais notável dos livros existentes. Ele lida com as normais para cônicas consideradas como linhas retas máximos e mínimos retirados de determinados pontos da curva. Incluídos nele são uma série de proposições que, embora elaborada pelos mais puros métodos geométricos, realmente levar imediatamente à determinação da evolute de cada uma das três cónicas; isto é, as equações cartesianas dos evolui pode ser facilmente deduzido a partir dos resultados obtidos por Apolônio. Não pode haver dúvida de que o livro é quase totalmente original, e é um verdadeiro tour de force geométrica.

A beleza de secções cónicas de Apolônio pode ser facilmente visto através da leitura das proposições como determinado por Heath, ver [4] ou [7]. No entanto, Heath explica em [7] quão difícil o texto original é ler: -

... O tratado é um grande clássico que merece ser mais conhecido do que ele é. O que milita contra a sua sendo lido em sua forma original é a grande extensão da exposição (que contém 387 propostas separadas), em parte devido ao hábito grego de provar casos particulares de uma proposição geral separadamente da própria proposição, mas mais para a lentidão dos enunciados das proposições complicadas em termos gerais (sem a ajuda de letras para denotar pontos específicos) e ao elaborateness da forma euclidiana, a que Apolônio adere por toda parte.

Pappus dá algumas indicações do conteúdo de seis outras obras de Apolônio. Estes são de corte de um rácio (em dois livros), corte uma área (em dois livros), na secção determinada (em dois livros), tangências (em dois livros), Plane loci (em dois livros), e On beirando construções ( em dois livros). Corte de uma relação sobrevive em árabe e é-nos dito pelo bibliógrafo século 10 Ibn al-Nadim que três outras obras foram traduzidas para o árabe, mas nenhum destes sobrevive.

Para ilustrar o quão longe Apolônio tinha tomado construções geométricas além daquele dos Elementos de Euclides que consideramos os resultados que são conhecidos por ter sido contida em tangências. No Elements Livro III Euclid mostra como desenhar um círculo através de três pontos dados. Ele também mostra como desenhar uma tangente a três linhas dadas. Em tangências Apolônio mostra como construir o círculo que é tangente a três círculos dadas. Em termos mais gerais, ele mostra como construir o círculo que é tangente a todos os três objetos, onde os objetos são pontos ou linhas ou círculos.

Em [14] Hogendijk relata que duas obras de Apolônio, não se pensava ter sido traduzido para o árabe, foram, de facto conhecido por geômetras muçulmanas do século 10. Estes são os loci obras Plane and On construções beirando. Em [14] alguns resultados dessas obras que não eram conhecidos anteriormente ter sido provado por Apolônio são descritos.

De outras fontes, há referências com ainda outras livros de Apolônio, nenhum dos quais sobreviveram. Hypsicles refere-se a uma obra de Apolônio comparando um dodecaedro eo icosaedro inscritos na mesma esfera, que, como Conics apareceu em duas edições. Marinus, escrevendo um comentário sobre dados de Euclides, refere-se a um trabalho geral por Apolônio em que são discutidos os fundamentos da matemática, tais como o significado de axiomas e definições. Apolônio também escreveu uma obra sobre a hélice cilíndrica e outra sobre números irracionais que é mencionado por Proclus. Eutocius refere-se a um livro de entrega rápida por Apolônio em que foi obtida uma aproximação para π melhor do que o

223/71 <π <22 p="">
conhecida a Arquimedes. Em On the Burning Espelho Apolônio mostrou que os raios de luz paralelos não são levados a um foco de um espelho esférico (como se pensava anteriormente) e discutidas as propriedades focais de um espelho parabólico.

Apolônio foi também um importante fundador da astronomia matemática grega, que usava modelos geométricos para explicar a teoria planetária. Ptolomeu, em seu livro Syntaxis diz Apolônio sistemas do movimento excêntrico e epicyclic introduzida para explicar o movimento aparente dos planetas no céu. Isto não é estritamente verdade, pois a teoria da epicycles certamente antecede Apolônio. No entanto, Apolônio fez contribuições substanciais em particular usando suas grandes habilidades geométricas. Em particular, ele fez um estudo dos pontos onde um planeta parece estacionária, ou seja, os pontos em que o movimento para a frente muda para um movimento retrógrado ou o inverso.

Havia também aplicações feitas por Apolônio, utilizando seus conhecimentos de cônicas, a problemas práticos. Desenvolveu o hemicyclium, um relógio que tem as hora linhas desenhadas na superfície de uma secção cónica que dá uma maior precisão.

Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

janeiro 1999

MacTutor História da Matemática