O MUNDO DA MATEMÁTICA (6)

E continua nossa viagem pelos fractais...

*Galileu Galilei

Galileu Galilei

Data de Nascimento: 15 de fevereiro, 1564 em Pisa ( agora na Itália)

Morte: 8 de janeiro de 1642 em Arcetri (perto de Florença ) ( agora na Itália)

Os pais de Galileo Galilei foram Vincenzo Galilei e Giulia Ammannati . Vincenzo , que nasceu em Florença, em 1520, era professor de música e um tocador de alaúde bem. Depois de estudar música em Veneza, ele realizou experimentos em cordas para apoiar suas teorias musicais. Giulia , que nasceu em Pescia, Vincenzo casou em 1563 e fizeram a sua casa no campo, perto de Pisa. Galileu foi o primeiro filho e passou seus primeiros anos com sua família em Pisa.

Em 1572 , quando Galileu tinha oito anos , sua família retornou a Florença , cidade natal de seu pai. No entanto , Galileu permaneceu em Pisa e viveu por dois anos com Muzio Tedaldi que estava relacionado com a mãe de Galileu pelo casamento. Quando chegou à idade de dez anos , Galileu deixou Pisa para se juntar a sua família em Florença, e lá ele foi orientado por Jacopo Borghini . Uma vez que ele era velho o suficiente para ser educado em um mosteiro , seus pais o enviaram ao Mosteiro Camaldolese em Vallombrosa , que está situado em um magnífico encosta florestada 33 km ao sudeste de Florença. A Ordem Camaldolese foi independente da ordem beneditina , dividindo com ela em cerca de 1012 . A Ordem combinado a vida solitária do eremita com a vida estrito do monge e logo o jovem Galileu descobriu esta vida um atrativo . Ele se tornou um novato, com a intenção de ingressar na Ordem , mas isso não agradou a seu pai, que já tinha decidido que seu filho mais velho deve se tornar um médico.

Vincenzo tinha Galileo retornar de Vallombrosa para Florença e desistir da idéia de unir a ordem Camaldolese . Ele fez continuar seus estudos em Florença, no entanto, em uma escola dirigida pelos monges Camaldolese . Em 1581 Vincenzo Galileu enviou de volta para Pisa a viver novamente com Muzio Tedaldi e agora se inscrever para um curso de medicina na Universidade de Pisa. Embora a idéia de uma carreira médica parece nunca ter apelado para Galileo , o desejo de seu pai era um bastante natural, uma vez que não tinha sido um distinto médico de sua família no século anterior. Galileu nunca parece ter tomado estudos médicos a sério , participando de cursos sobre seus reais interesses que estavam em matemática e filosofia natural. Seu professor de matemática em Pisa foi Filippo Fantoni , que ocupou a cadeira de matemática . Galileu voltou a Florença para as férias de verão e continuaram a estudar matemática .

No ano de 1582-1583 Ostilio Ricci , que foi o matemático do Tribunal toscano e um ex- aluno de Tartaglia , ministrou um curso sobre os Elementos de Euclides da Universidade de Pisa , que Galileu compareceram. Durante o verão de 1583 Galileo estava de volta a Florença com sua família e Vincenzo encorajou a ler Galen para continuar seus estudos de medicina. No entanto Galileo , ainda relutante para estudar medicina , convidou Ricci (também em Florença, onde o tribunal toscano passou o verão e outono) até sua casa para conhecer seu pai . Ricci tentou convencer Vincenzo para permitir que o seu filho a estudar matemática, uma vez que este era o lugar onde os seus interesses leigos. Certamente Vincenzo não gostou da idéia e resistiu fortemente , mas , eventualmente, ele cedeu um pouco e Galileo foi capaz de estudar as obras de Euclides e Arquimedes, a partir das traduções italianas que Tartaglia tinha feito. É claro que ele ainda estava oficialmente inscrito como estudante de medicina em Pisa , mas, eventualmente , por 1585, ele abandonou o curso e saiu sem completar a sua licenciatura .

Galileo começou a ensinar matemática , primeiro privadamente , em Florença e , em seguida, durante 1585-1586 em Siena , onde realizou uma consulta pública. Durante o verão de 1586 lecionou na Vallombrosa , e neste ano, ele escreveu seu primeiro livro científico O equilíbrio pouco [La Balancitta ] que descreveu o método de encontrar os pesos específicos (isto é, as densidades relativas ) de substâncias através de um equilíbrio de Arquimedes . No ano seguinte , ele viajou a Roma para visitar Clavius ​​, que era professor de matemática no Colégio Jesuíta Romano lá. Um tema que era muito popular com os matemáticos jesuítas neste momento era centros de gravidade e Galileo trouxe com ele alguns resultados que ele havia descoberto sobre este tema. Apesar de fazer uma impressão muito favorável sobre Clavius ​​, Galileu não conseguiu ganhar uma nomeação para ensinar matemática na Universidade de Bolonha.

Depois de deixar Roma Galileu permaneceu em contato com Clavius ​​por correspondência e Guidobaldo del Monte foi também um correspondente regular. Certamente, os teoremas que Galileu tinha provado sobre os centros de gravidade dos sólidos , e deixou em Roma , foram discutidos nesta correspondência . Também é provável que Galileu recebeu notas de aula dos cursos que haviam sido dadas no Collegio Romano , pois ele fez cópias de tais materiais que ainda sobrevivem até hoje. A correspondência começaram por volta de 1588 e mantida durante muitos anos. Também em 1588 Galileo recebeu um convite prestigioso para palestra sobre as dimensões e localização do inferno no Inferno de Dante , na Academia , em Florença.

Fantoni deixou a cadeira de matemática na Universidade de Pisa em 1589 e Galileu foi nomeado para ocupar o cargo ( embora este fosse apenas uma posição nominal para fornecer apoio financeiro para o Galileo ) . Não só ele receber recomendações fortes de Clavius ​​, mas ele também adquiriu uma excelente reputação através de suas palestras na Academia de Florença no ano anterior . O jovem matemático tinha rapidamente adquiriu a reputação que era necessário para ganhar tal posição, mas ainda havia posições mais altas em que ele poderia apontar. Galileo passou três anos que ocupa este cargo na Universidade de Pisa e durante este tempo , ele escreveu De Motu uma série de ensaios sobre a teoria do movimento que ele nunca publicou . É provável que ele nunca publicou este material porque ele era menos do que satisfeito com ele, e isso é justo que apesar de conter alguns passos importantes , que também continha algumas idéias incorretas . Talvez as mais importantes novas idéias que contém De Motu é que se pode testar as teorias através da realização de experimentos. Em particular, o trabalho contém a importante idéia de que alguém poderia testar teorias sobre a queda dos corpos , utilizando um plano inclinado para diminuir a taxa de descida.

Em 1591, Vincenzo Galilei , o pai de Galileo , morreu e, desde Galileu foi o filho mais velho tinha de fornecer apoio financeiro para o resto da família e, em particular, têm os meios financeiros necessários para fornecer dotes para suas duas irmãs mais novas . Ser professor de matemática em Pisa não era bem pago , então Galileu olhou para um post mais lucrativo. Com fortes recomendações de Guidobaldo del Monte , Galileu foi nomeado professor de matemática na Universidade de Pádua ( Universidade da República de Veneza ) em 1592 com um salário de três vezes o que ele havia recebido em Pisa. Em 07 de dezembro de 1592 , ele deu a sua palestra inaugural e iniciou um período de 18 anos na universidade, que anos mais tarde ele descreveu como o mais feliz de sua vida. Em Pádua seus deveres eram principalmente para ensinar geometria de Euclides e padrão astronomia ( geocêntrico ) para estudantes de medicina, que se precisa saber de alguma astronomia , a fim de fazer uso de astrologia em sua prática médica. No entanto, Galileo argumentou contra a opinião de Aristóteles da astronomia e da filosofia natural em três palestras que ele deu em conexão com o aparecimento de uma nova estrela ( agora conhecido como supernova de Kepler ' ) em 1604 . A crença neste momento era a de Aristóteles , ou seja, que todas as mudanças no céu teve que ocorrem na região lunar perto da Terra , a esfera das estrelas fixas , sendo permanente. Galileu usou argumentos de paralaxe para provar que o New Star não poderia estar perto da Terra. Em uma carta pessoal escrita a Kepler em 1598 , Galileu havia afirmado que ele era um copernicano ( crente nas teorias de Copérnico ) . No entanto, nenhum sinal público dessa crença era a aparecer muitos anos depois .

Em Pádua , Galileu começou um relacionamento de longo prazo com Maria Gamba , que foi de Veneza, mas não casar talvez porque Galileo sentiu sua situação financeira não era boa o suficiente. Em 1600 seu primeiro filho Virginia nasceu , seguido de uma segunda filha Lívia no ano seguinte . Em 1606, seu filho Vincenzo nasceu.

Mencionamos anteriormente um erro na teoria do movimento de Galileu como ele defini-lo em De Motu volta de 1590 . Foi bastante confundido no seu crença de que a força que actua sobre um corpo foi a diferença relativa entre o seu peso específico , e que da substância através da qual foi transferida . Galileu escreveu ao seu amigo Paolo Sarpi , uma multa matemático que foi consultor para o governo de Veneza, em 1604 , e é claro a partir de sua carta, que dessa vez ele percebeu seu erro. Na verdade, ele tinha voltado a trabalhar na teoria do movimento em 1602 e ao longo dos dois anos seguintes, através de seu estudo de planos inclinados eo pêndulo , ele formulou a lei correta da queda dos corpos , e tinha feito um projétil que segue uma parabólica caminho . No entanto , estes resultados famosas não seriam publicados por mais de 35 anos.

Em maio de 1609, Galileu recebeu uma carta de Paolo Sarpi contando a ele sobre uma luneta que um holandês tinha mostrado em Veneza. Galileu escreveu no Mensageiro das Estrelas ( Sidereus Nuncius ) em abril de 1610 -

Cerca de 10 meses atrás, um relatório chegou aos meus ouvidos que um certo Fleming tinha construído uma luneta por meio do qual objetos visíveis , embora muito distante do olho do observador, foram claramente vistos como se nas proximidades. Deste efeito verdadeiramente notável várias experiências foram relacionados , a que algumas pessoas acreditavam , enquanto outros negaram . Poucos dias depois, o relatório foi confirmada por uma carta que recebi de um francês em Paris, Jacques Badovere , o que me levou a me aplicar plenamente a investigar meios pelos quais eu poderia chegar a invenção de um instrumento similar. Isso eu fiz logo depois, minha base ser a doutrina da refração.

A partir desses relatórios , e usando suas próprias habilidades técnicas como matemático e como um artesão , Galileu começou a fazer uma série de telescópios cujo desempenho óptico era muito melhor do que o instrumento holandês. O seu primeiro telescópio foi feita a partir de lentes disponíveis e deu um aumento de cerca de quatro vezes . Para melhorar este Galileo aprendeu a moer e polir suas próprias lentes e por agosto 1609 ele tinha um instrumento com uma ampliação de cerca de oito ou nove. Galileo viu imediatamente as aplicações comerciais e militares de seu telescópio (que ele chamou de uma perspicillum ) para navios no mar. Ele manteve Sarpi informado do seu progresso e Sarpi organizou uma demonstração para o Senado veneziano. Eles ficaram muito impressionados e , em troca de um grande aumento em seu salário, Galileo deu os direitos exclusivos para a fabricação de telescópios para o Senado veneziano. Parece particularmente boa jogada de sua parte uma vez que ele deve ter sabido que tais direitos eram sem sentido, especialmente porque ele sempre reconheceu que o telescópio não foi sua invenção !

Até o final de 1609 Galileu virou o seu telescópio para o céu à noite e começou a fazer descobertas notáveis. Swerdlow escreve ( ver [16] ) : -

Em cerca de dois meses , dezembro e janeiro , ele fez mais descobertas que mudaram o mundo que ninguém jamais fez antes ou depois.

As descobertas astronômicas que ele fez com seus telescópios foram descritos em um pequeno livro chamado o Mensageiro Estrelado publicado em Veneza em Maio de 1610. Este trabalho causou sensação . Galileu afirmou ter visto montanhas na Lua , ter provado a Via Láctea era composta de pequenas estrelas , e de ter visto quatro pequenos corpos que orbitam Júpiter. Estes últimos , com um olho para a obtenção de uma posição em Florença, ele rapidamente chamado ' o Medicean estrelas . Ele também tinha enviado Cosimo de Medici, o Grão-Duque da Toscana, um excelente telescópio para si mesmo.

O Senado de Veneza, talvez percebendo que os direitos para a fabricação de telescópios que Galileu tinha dado a eles eram inúteis , congelou o seu salário . No entanto, ele tinha conseguido impressionar Cosimo e , em junho de 1610, apenas um mês depois de seu famoso pequeno livro foi publicado , Galileu renunciou a seu posto na Universidade de Pádua e tornou-se chefe Matemático da Universidade de Pisa ( sem funções de ensino ) e " matemático e filósofo 'para o Grão-Duque da Toscana. Em 1611 ele visitou Roma, onde ele foi tratado como um dos principais celebridade , o Collegio Romano colocar em um grande jantar com discursos de notáveis ​​descobertas de Galileu honra . Ele também foi feito um membro da Accademia dei Lincei (na verdade o sexto membro ), e esta foi uma honra que foi especialmente importante para Galileo , que assinou a si mesmo " Galileu Galilei Linceo " a partir deste momento .

Enquanto em Roma , e depois do seu regresso a Florença, Galileo continuou a fazer observações com o telescópio. Já no Mensageiro Estrelado tinha dado períodos difíceis das quatro luas de Júpiter , mas cálculos mais precisos não foram certamente fácil, já que era difícil identificar a partir de uma observação que lua era eu , que era II, III e IV que . Ele fez uma longa série de observações e foi capaz de dar períodos precisos, 1612. Em um estágio nos cálculos ele ficou muito intrigado , pois os dados que ele tinha gravado parecia inconsistente , mas ele tinha esquecido de levar em conta o movimento da Terra em torno do sol.

Galileu virou o seu telescópio em Saturno em 25 de julho 1610 e ele apareceu como três corpos ( o seu telescópio não era bom o suficiente para mostrar os anéis , mas os fez aparecer como lobos em ambos os lados do planeta ) . Continuação observações foram , na verdade, confundindo Galileu como os organismos em ambos os lados da Saturn desapareceu quando o sistema de anel era de lado. Também em 1610, ele descobriu que , quando visto no telescópio , o planeta Venus mostrou fases como as da Lua e, portanto, deve orbitar o Sol e não a Terra . Isso não permitir que se decidir entre o sistema de Copérnico , em que tudo gira em torno do Sol, e que proposto por Tycho Brahe em que tudo, mas a Terra (e Lua) gira em torno do Sol, que por sua vez gira em torno da Terra. A maioria dos astrônomos da época de fato favoreceu o sistema de Brahe e de fato a distinção entre os dois pela experiência foi além dos instrumentos do dia. No entanto , Galileu sabia que todas as suas descobertas eram provas de idéias de Copérnico , embora não seja uma prova . Na verdade, foi sua teoria da queda dos corpos , que foi o mais significativo a este respeito, para os opositores de Terraplanagem argumentou que, se a rotação da Terra e um corpo foi retirado de uma torre que deve ficar para trás da torre que a Terra girou enquanto caiu . Uma vez que esta não foi observada na prática isso foi feita como uma forte evidência de que a Terra fosse estacionária. No entanto, Galileu já sabia que um corpo cairia na forma observada em uma Terra em rotação.

Outras observações feitas por Galileu incluíram a observação de manchas solares . Ele relatou isso em Discurso sobre corpos flutuantes que ele publicou em 1612 e mais plenamente em Cartas sobre as manchas que apareceram em 1613. No ano seguinte, suas duas filhas entraram no Convento Franciscano de São Mateus fora de Florença , Virginia tomando o nome de Irmã Maria Celeste e Livia o nome de Irmã Arcângela . Desde que tinha nascido fora do casamento , Galileu acreditava que eles nunca deveriam se casar . Embora Galileo apresentou muitas teorias revolucionárias corretas , ele não estava correto em todos os casos. Em particular , quando três cometas apareceram em 1618 ele se envolveu em uma polêmica sobre a natureza dos cometas . Ele argumentou que eles estavam perto da Terra e causado pela refração óptica. Uma consequência grave deste argumento infeliz foi que os jesuítas começaram a ver Galileo como um adversário perigoso .

Apesar de seu apoio privado para idéias de Copérnico , Galileu tentou evitar polêmica por não fazer declarações públicas sobre o assunto. No entanto, ele foi arrastado para a polêmica através Castelli , que tinha sido nomeado para a cadeira de matemática em Pisa em 1613 . Castelli tinha sido aluno de Galileu e ele também era um defensor de Copérnico. Em uma reunião no palácio Medici em Florença, em dezembro 1613 com o grão-duque Cosimo II e sua mãe, a grã-duquesa Cristina de Lorena, Castelli foi convidado para explicar as aparentes contradições entre a teoria de Copérnico e Sagrada Escritura. Castelli defendeu vigorosamente a posição de Copérnico e Galileu escreveu para depois dizer-lhe o quão bem sucedido ele tinha sido em colocar os argumentos. Galileu, Castelli menos convencido de que tinha ganho o argumento, escreveu uma carta a Castelli com ele argumentando que a Bíblia tinha de ser interpretada à luz do que a ciência tinha mostrado para ser verdade. Galileu teve vários adversários em Florença e que garantir que uma cópia da Carta aos Castelli foi enviado para a Inquisição em Roma. No entanto, depois de examinar seu conteúdo , encontraram pouco para que pudesse protestar .

Figura mais importante da Igreja Católica neste momento em lidar com interpretações da Sagrada Escritura era o cardeal Roberto Belarmino . Ele parece neste momento ter visto pouca razão para que a Igreja se preocupar em relação à teoria de Copérnico . O ponto em questão era se Copérnico simplesmente apresentar uma teoria matemática que permitiu o cálculo das posições dos corpos celestes a ser feita de forma mais simples ou se ele estava propondo uma realidade física . Neste momento Belarmino visto a teoria como um elegante matemática que não ameaçam a crença cristã estabelecida sobre a estrutura do universo.

Em 1616, Galileu escreveu a Carta aos grã-duquesa que atacou vigorosamente os seguidores de Aristóteles. Neste trabalho , que se dirigiu à grã-duquesa Cristina de Lorena , argumentou fortemente para uma interpretação não- literal das Sagradas Escrituras , quando a interpretação literal contradiz fatos sobre o mundo físico comprovado pela ciência matemática . Neste Galileu afirmou muito claramente que para ele a teoria de Copérnico não é apenas uma ferramenta de cálculo matemático , mas é uma realidade física : -

Eu defendo que o Sol está localizado no centro das revoluções dos orbes celestes e não trocar de lugar , e que a Terra gira sobre si mesma e se move em torno dele. Além disso ... Eu confirmar esse ponto de vista não só por refutar Ptolomeu e os argumentos de Aristóteles , mas também através da produção de muitos para o outro lado , especialmente alguns referentes a efeitos físicos cujas causas talvez não possa ser determinado por qualquer outra forma , e outras descobertas astronômicas , essas descobertas refutar claramente a sistema de Ptolomeu , e eles concordam admiravelmente com esta outra posição e confirmá-la.

O Papa Paulo V ordenou Belarmino ter a Sagrada Congregação do Índice de decidir sobre a teoria de Copérnico . Os cardeais da Inquisição reuniu-se em 24 de fevereiro de 1616 e colheu provas dos peritos teológicos. Eles condenaram os ensinamentos de Copérnico, e Belarmino transmitiu sua decisão de Galileu, que não tinha sido envolvido pessoalmente no julgamento. Galileu foi proibido de ter opiniões de Copérnico mas os acontecimentos posteriores fez menos preocupados com esta decisão da Inquisição . Mais importante Maffeo Barberini , que era um admirador de Galileo , foi eleito como Papa Urbano VIII. Isso aconteceu tão de Galileu livro Il Saggiatore ( O Ensaiador ) estava prestes a ser publicado pela Accademia dei Lincei em 1623 e Galileu foi rápido para dedicar este trabalho ao novo Papa. O trabalho descrito novo método científico de Galileu e contém uma famosa citação em relação à matemática : -

A filosofia está escrita neste grande livro , o universo , que está permanentemente aberto ao nosso olhar . Mas o livro não pode ser entendido a não ser que um primeiro aprende a compreender a linguagem e ler os caracteres em que está escrito . Ele está escrito na linguagem da matemática , e seus caracteres são triângulos , círculos e outras figuras geométricas sem as quais é humanamente impossível entender uma única palavra dele , sem que estes se está andando em um labirinto escuro.

O Papa Urbano VIII convidou Galileo para audiências papais em seis ocasiões e levou Galileu a acreditar que a Igreja Católica não faria uma questão da teoria de Copérnico . Galileo , por isso, decidiu publicar suas opiniões acreditando que ele poderia fazê-lo sem consequências graves da Igreja . No entanto, por esta fase na área da saúde a sua vida de Galileu foi pobre, com ataques freqüentes de doença grave e por isso mesmo que ele começou a escrever seu famoso diálogo em 1624 ele levou seis anos para concluir o trabalho.

Galileo tentou obter a permissão de Roma para publicar o Diálogo em 1630 , mas isso não se mostrou fácil. Eventualmente, ele recebeu permissão de Florença , e não Roma. Em fevereiro 1632 Galileu publicou Diálogo sobre os dois principais sistemas do mundo - Ptolomeu e Copérnico. Ele toma a forma de um diálogo entre Salviati , que defende o sistema de Copérnico , e Simplício , que é um filósofo aristotélico . O clímax do livro é um argumento por Salviati que os movimentos da Terra , que foi baseado na teoria das marés de Galileu . Teoria das marés de Galileu era inteiramente falsa , apesar de ser postulada após Kepler já tinha apresentado a explicação correta . Foi lamentável , dadas as verdades notáveis ​​do Diálogo suportados, que o argumento de que Galileo pensado para dar a prova mais forte da teoria de Copérnico deve estar incorreta.

Logo após a publicação do Diálogo sobre os dois principais sistemas do mundo - Ptolomeu e Copérnico a Inquisição proibiu a sua venda e ordenou Galileo a aparecer em Roma antes deles. Doença o impediu de viajar para Roma até 1633. A acusação de Galileo no julgamento que se seguiu foi que ele violou as condições estabelecidas pela Inquisição em 1616. No entanto, uma versão diferente desta decisão foi produzido no julgamento ao invés do Galileo tinha sido dada na época. A verdade da teoria de Copérnico não era um problema , portanto , que foi tomado como um fato no julgamento que esta teoria era falsa. Isso era lógico , é claro, uma vez que o julgamento de 1616 tinha declarado totalmente falso .

Considerado culpado , Galileu foi condenado à prisão perpétua , mas a sentença foi executada um pouco com simpatia e atingiu prisão domiciliar , em vez de uma sentença de prisão . Ele era capaz de viver pela primeira vez com o Arcebispo de Siena , e depois voltar para sua casa em Arcetri , perto de Florença , mas teve que passar o resto de sua vida vigiada por agentes da Inquisição. Em 1634 ele sofreu um duro golpe quando sua filha Virginia , Irmã Maria Celeste , morreu . Ela tinha sido um grande apoio para seu pai através de suas doenças e Galileo foi quebrado e não podia trabalhar durante muitos meses. Quando ele conseguiu reiniciar o trabalho, ele começou a escrever Discursos e demonstrações matemáticas sobre duas novas ciências .

Depois de Galileu havia concluído o trabalho sobre os discursos foi contrabandeado para fora da Itália, e levado para Leyden , na Holanda , onde foi publicado. Foi seu trabalho mais rigoroso matemático que tratou problemas no impulso , momentos, e centros de gravidade . Muito deste trabalho voltou para as idéias inéditas em De Motu de por volta de 1590 e as melhorias que ele havia trabalhado durante 1602-1604 . Nos discursos , ele desenvolveu suas idéias sobre a escrita plano inclinado : -

Presumo que a velocidade adquirida pelo mesmo objeto móvel em diferentes inclinações do plano são iguais sempre que a altura daqueles aviões são iguais.

Ele, então, descreveu um experimento usando um pêndulo para verificar a sua propriedade de planos inclinados e usou essas idéias para dar um teorema sobre a aceleração dos corpos em queda livre : -

O momento em que uma determinada distância é percorrida por um objecto em movimento em aceleração uniforme de resto é igual ao momento em que a mesma distância seria atravessada pelo mesmo objecto móvel movendo-se a uma velocidade uniforme de uma metade da velocidade máxima e final da o anterior movimento uniformemente acelerado .

Depois de dar mais resultados deste tipo ele dá o seu resultado famosa que a distância que um corpo se move a partir do repouso em aceleração uniforme é proporcional ao quadrado do tempo despendido .

Seria de se esperar que a compreensão de Galileo do pêndulo , que ele tinha desde que era um jovem , que o levaram a conceber um relógio de pêndulo . Na verdade, ele só parece ter pensado em tal possibilidade , perto do fim de sua vida e por volta de 1640 ele fez projetar o primeiro relógio de pêndulo . Galileu morreu no início de 1642 , mas o significado do seu projeto relógio certamente foi realizado por seu filho Vincenzo que tentou fazer um relógio com o plano de Galileu , mas não conseguiu.

Foi um triste fim para um tão grande homem condenado a morrer de heresia. Sua vontade indicava que ele desejava ser enterrado ao lado de seu pai no túmulo da família , na Basílica de Santa Croce , mas seus parentes temiam , com razão, que isso iria provocar a oposição da Igreja. Seu corpo foi escondido e só colocado em um túmulo bem na igreja em 1737 pelas autoridades civis contra a vontade de muitos na Igreja . Em 31 de outubro de 1992, 350 anos após a morte de Galileu, o Papa João Paulo II fez um discurso em nome da Igreja Católica em que ele admitiu que erros foram feitos pelos consultores teológicos , no caso de Galileu . Ele declarou que o caso Galileu fechado, mas ele não admitir que a Igreja errou ao condenar Galileu sob a acusação de heresia por causa de sua crença de que a Terra gira em volta do sol.

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

novembro 2002

ARTE MATEMÁTICA (21)

Esta é uma de minhas preferidas.
A primeira vista parece um espelho quebrado. Nada mais.
Mas, fixando a atenção nos detalhes é possível uma espécia e estrela de seis pontas ( ou algo assim) no centro da imagem...
Bem, minhas dicas param por aqui hoje.
Prefiro que você observe mais e tire suas próprias conclusões...

20 - Equação da Reta - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (20)

Os 5 piratas

Cinco piratas de diferentes idades tem um tesouro de 100 moedas de ouro.

Em seu navio, eles decidiram repartir as moedas usando o seguinte esquema:

O pirata mais idoso propõe um método para dividir as moedas, e TODOS os piratas (inclusive o mais idoso) votam a favor ou contra o método.
Se 50% ou mais dos piratas votarem a favor, Então as moedas serão repartidas por este método.

Caso contrário, o pirata que fez a proposta será lançado ao mar, e o processo é repetido com os piratas que permanecem.

Como piratas tendem a ser um grupo sanguinário, se um pirata teria o mesmo número de moedas votando a favor ou contra uma proposta, ele vai votar contra para que o pirata que propôs o plano será lançado ao mar.

Partindo do princípio de que todos os cinco piratas são inteligentes, racionais, gananciosos, e não querem morrer, (e são bastante bons em matemática para um pirata) o que vai acontecer?

Jogos matemáticos - 20

Clique nos números cuja multiplicação está sendo pedida... mas, seja rápido. Se o seu tempo acabar...
Quer experimentar? Então clique em MULTIPLICATION STATION .

O piano e a tábua de logaritmos

Por Luiz Barco

Muitos estudantes de Música sentem verdadeira aversão pela Matemática - ou, pelo menos, pelo que lhes é oferecido na escola como sendo Matemática. Para eles, deve ser uma surpresa saber que o grande filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) disse uma vez: "A Música é um exercício de Aritmética secreto e aquele que a ela se entrega às vezes ignora que maneja números". E é assim: ao acionarmos as teclas - de um piano moderno, por exemplo, estamos, a rigor, teclamos sobre logaritmos.

A música tem ligações muito fortes com a Matemática. Uma delas diz respeito ao efeito produzido sobre nossos ouvidos por um determi-nado som. O efeito depende sobretu-do da altura do som (ou, como pre-ferem os físicos, da sua freqüência, que é o número de vibrações, por segundo, do objeto que produz o som). Assim, fica claro que a cada som corresponde um número e a cada número, conseqüentemente, corresponde um som. Outra daquelas ligações aparece quando ouvimos dois sons simultaneamente. Isso equivale a perceber dois números, ou seja, uma relação. Ouvir o dó e o sol de uma mesma escala equivale a perceber a relação 2/3 (dois para três), que é a relação das freqüências desses dois sons.

Admite-se que um ouvido bem treinado pode distinguir, dentro de uma oitava, até no máximo 54 sons. Mas usar todo esse potencial seria pouco prático. Pense comigo: um piano de oito oitavas teria de possuir 432 teclas. Assim, parece que aquestão inicial, na história da Música, foi o momento em que se escolheram alguns poucos sons, entre esses 54 que são possíveis. Foi uma responsabilidade muito grande, a desses primeiros teóricos que decompuseram a oitava. Talvez nenhuma outra arte tenha dependido de uma única decisão tão importante - e, como sempre, coube aos gregos tomá-Ia. Eles desenvolveram a gama grega musical ao mesmo tempo em que desenvolviam a Matemática.

Já passaram 2.500 anos e a gama diatônica, ou de Pitágoras, continua sendo utilizada. Outras foram desenvolvidas, como por exemplo a dos físicos, ou de Zarlino, e a temperada, imortalizada pelo compositor alemão Johann Sebastian Bach (1685-1750). Elas não são perfeitamente equivalentes, do ponto de vista físico; mas na prática são utilizadas como se fossem. Uma mesma notação serve para todas elas. Tomemos a corda que produz o som fá. Os 2/3 dessa - corda produzem o dó (a quinta de fá, na escala comum), os 2/3 dessa o som sol (a quinta de dó) e assim por diante. De quinta em quinta teremos fá-dó-sol-ré-Iá-mi-si. Continuando o processo teremos os sustenidos e bemóis. Nem todas da mesma oitava, é claro. Reduzidas à oitava inicial, elas aparecerão na ordem conhecida: dó-ré-mi-fá-sol- lá-si.

O princípio da gama dos físicos, ou de Zarlino, é diferente. Dois sons são mais agradáveis ao ouvido quanto mais harmônicos comuns tiverem. Os harmônicos de um som são aqueles sons que correspondem ao seu dobro, triplo, quádruplo etc. Alguns intervalos dessa gama coincidem com os da gama grega, outros estão bem próximos. Elas apresentam doze intervalos, ligeiramente desiguais. Já a gama temperada tem doze intervalos iguais. Nela, a potência doze de cada intervalo é igual a dois. Em outras palavras, o intervalo fundamental é a raiz duodécima de dois e as freqüências das doze notas estão em progressão geométrica. Os chamados graus de tonalidade da escala cromática não são eqüidistantes, nem pelo número de vibrações nem pelo comprimento de onda dos sons, mas representam os logaritmos de base dois dessas grandezas. A gama temperada é, pois, uma concepção matemática muito mais complicada. Bach só pôde usá-la com sucesso porque, já antes dele, o matemático escocês John Napier (1550-1617) havia criado os logaritmos.

Agora, voltando aos estudantes do começo deste artigo: talvez eles pudessem aprender os logaritmos com mais facilidade e prazer se a aula fosse dada no departamento de Música, ao som de um piano bem afinado.

Fonte: Superinteressante, abril de 1988

O MUNDO DA MATEMÁTICA (5)

Neste episódio vemos a belíssima teoria dos fractais...

*Napier

John Napier

Data de Nascimento: 1550 em Merchiston Castle, Edinburgh , Escócia
Morreu em: 04 de abril de 1617 em Edimburgo, Escócia

O pai de John Napier, Archibald Napier, era um homem importante no final do século 16 na Escócia . Sua família possuía a propriedade de Merchiston década de 1430 , quando um de seus antepassados ​​adquiriu a propriedade , tornando-se o primeiro Napare de Merchiston . ( Vamos comentar um pouco sobre as diferentes grafias do nome de Napier . ) A família também possuía propriedades em Lennox e em Menteith e uma residência no Gartness . Archibald Napier casado Janet Bothwell, a irmã do bispo de Orkney , em 1549 , quando ele tinha apenas 15 anos de idade. Seu filho John Napier nasceu no ano seguinte. Archibald Napier foi uma justiça depute e foi nomeado cavaleiro em 1565. Ele foi nomeado Mestre da Casa da Moeda em 1582 .

Antes de continuar , devemos comentar sobre a ortografia de John Napier . O nome de John é mais facilmente tratada como John Napier, e quase todos os outros ao redor de seu tempo , usou a ortografia antiga " Jhone " . Seu sobrenome aparece em uma grande variedade de grafias diferentes . As formas Napeir , Nepair , Nepeir , Neper , Napare , Naper , Naipper são vistos , mas John Napier que mais comumente foram escritos Neper Jhone naquele momento. A única forma de Napier , que temos a certeza de que não foram utilizados durante a vida de Napier foi o presente ortografia moderna " Napier " !

Pouco se sabe sobre os primeiros anos de John Napier . Um dos poucos fragmentos de informação que temos é de uma carta do bispo de Orkney , o tio de John , de Archibald Napier escrito quando John tinha onze anos de idade : -

Peço-vos, senhor, para enviar o seu filho John para a escola , para a França ou Flanders , pois ele não pode aprender bem em casa nem obter lucro neste mundo mais perigoso - de que ele pode ser salvo nele , - para que ele possa buscar honra e lucro, como eu não tenho dúvida de que ele vai ...

Esta é uma tradução dos antigos escoceses que o bispo de Orkney , na verdade, escreveu. Para aqueles interessados ​​na versão original lê-se: -

Peço-vos, Schir , para enviar seu filho Jhone ao schuyllis ; oyer para a França ou Flandaris , pois ele pode Leyr na orientação no hame , nem ficar na proffeitt neste mundo velho perullous maist ...

Napier foi educado na Universidade de St Andrews, entrar na universidade em 1563 , com a idade de 13 anos. A mãe arranjou-lhe para viver em Colégio de St Salvator e arranjos especiais foram feitas para o director da Universidade , John Rutherford, para cuidar dele pessoalmente . O nome de Napier aparece no rolo de matrícula do Colégio de St Salvator para 1563. Pouco depois de Napier matriculou sua mãe morreu. Sabemos que Napier passou algum tempo na Universidade de St Andrews e escreveu -se muitos anos mais tarde que ele estava em St Andrews , que ele começou a se apaixonadamente interessado em teologia.

No entanto, o nome de Napier não aparece na lista dos graus sendo concedidos nos anos subseqüentes então ele deve ter deixado St Andrews para estudar na Europa , antes de completar um grau. De outros fatos que também podem estar certos . Napier não adquiriu seu conhecimento de matemática superior em St Andrews nem ele adquirir o seu profundo conhecimento da literatura clássica lá. Ambos devem ter sido adquiridos durante os seus estudos na Europa, mas nenhum registro existe para mostrar onde ele estudou , embora a Universidade de Paris é altamente provável e também é provável que ele passou algum tempo na Itália e na Holanda.

Em 1571 Napier voltou à Escócia para que ele esteve presente no segundo casamento de seu pai , que teve lugar nesse ano. Foi em 1571 que o próprio Napier começou a fazer arranjos para o seu próprio casamento, mas ele estava em quase dois anos antes que ocorreu. Em 1572 a maior parte das propriedades da família Napier foram feitas ao longo de John Napier e um castelo foi planejado para a propriedade em Gartness .

Quando o castelo foi concluído em 1574, Napier e sua esposa passou a residir lá. Napier se dedicou a correr suas propriedades . Esta tarefa ele levou muito a sério e, por ser um grande gênio como um inventor, ele aplicou seus conhecimentos para essas tarefas. Ele se aproximou de agricultura de uma forma científica e ele experimentou com : -

... melhorar e adubação de todos os tipos de terreno campo com sais comuns , em que o mesmo pode trazer mais abundância, tanto de grama e milho de todos os tipos , e muito mais barato do que pela maneira comum de excreção usado até então na Escócia .

A descrição acima é citado em [12] , sem referência à sua origem .

Napier tomou parte nas controvérsias religiosas da época. Ele era um protestante fervoroso e publicado , o que ele considerava sua obra mais importante , o Plaine Descoberta do Apocalipse Whole of St. John ( 1593 ) .

Napier foi um protestante fanático de seus dias como um estudante na St Andrews. Ele escreveu o Plaine Descoberta do Apocalipse inteiro de St. John de acordo com o seu prefácio : -

... para prevenir o perigo aparente de Papistry surgindo dentro desta ilha ...

Na verdade, havia boas razões para que Napier pensei que uma mudança na situação religiosa na Escócia pode ocorrer, pois não teve , durante algum tempo, os rumores de que Felipe da Espanha pode invadir Escócia sido. A Plaine Descoberta do Apocalipse Whole of St. John Napier fez ganhar uma boa reputação , não só na Escócia , mas também no continente após o trabalho foi traduzido para o holandês, francês e alemão. Gibson, em [12 ], no entanto observações : -

... Suponho que há poucos de fato da atual geração que leu, ou mesmo ouviu falar, o livro, independentemente dos seus méritos pode ter sido eles não apelar para a mente moderna ...

Estudo da matemática de Napier era apenas um hobby e em suas obras matemáticas , ele escreve que muitas vezes ele achou difícil encontrar tempo para os cálculos necessários entre trabalhar em teologia. Ele é mais conhecido , no entanto, para a sua invenção dos logaritmos , mas suas outras contribuições matemáticas incluem um mnemônico para fórmulas utilizadas na resolução de triângulos esféricos , duas fórmulas conhecidas como " analogias de Napier " utilizado na resolução de triângulos esféricos e uma invenção chamada " ossos de Napier " utilizado para multiplicar mecanicamente divisão e tendo raízes quadradas e raízes cúbicas . Napier também encontrou expressões exponenciais para funções trigonométricas , e introduziu a notação decimal para frações.

Muito do trabalho de Napier em logaritmos parece ter sido feito enquanto ele estava vivendo em Gartness . A Conta de Estatística (Vol. XVI , página 108) contém o seguinte: -

Junto ao moinho em Gartness são os restos de uma antiga casa em que John Napier de Merchiston , inventor dos logaritmos , residia uma grande parte do seu tempo ( alguns anos ), quando ele estava fazendo seus cálculos . Relata-se que o barulho da cascata , sendo constante, nunca deu-lhe mal-estar, mas que o clack do moinho , que era apenas ocasional, muito perturbado seus pensamentos. Ele era , portanto , quando em estudo profundo , por vezes, sob a necessidade de desejar o moleiro para parar o moinho que o trem de suas idéias não pode ser interrompida.

Discussão dos logaritmos de Napier aparece em Mirifici logarithmorum canonis descriptio em 1614 . Dois anos depois, uma tradução em Inglês do texto original em latim de Napier foi publicado , traduzido por Edward Wright. No prefácio do livro Napier explica seu pensamento por trás de sua grande descoberta ( citamos a tradução em Inglês de 1616 do original latino de 1614 ) : -

Vendo que não há nada (à direita alunos bem- amados da Matemática ), que é tão problemático para prática matemática , nem que vos mais molestar e dificultar calculadoras , do que as multiplicações , divisões, quadrados e extrações cúbico de grandes números, que além da despesa tedioso de tempo são , na maior parte, sujeitas a muitos erros escorregadias , comecei a considerar , portanto, na minha mente, o que certo e pronto arte eu poderia remover esses obstáculos. E ter o pensamento de muitas coisas para esse fim , eu achei no comprimento alguns excelentes regras breves para ser tratado de (talvez ) a seguir . Mas entre todos , nada mais rentável do que este que, juntamente com as multiplicações rígidos e tedioso , divisões e extrações de raízes : Porventura também rejeitarei a partir do trabalho em si mesmo as próprias números que devem ser multiplicados , divididos e resolvidos em raízes , e põe outros números em seu lugar , que executam tanto quanto eles podem fazer, apenas pela adição e subtração, divisão por divisão por dois ou três.

Ao contrário dos logaritmos usados ​​hoje , logaritmos de Napier não são realmente para qualquer base , embora em nossa terminologia atual não é razoável (mas talvez um pouco enganador ) para dizer que eles são a base 1 / e . Certamente, eles envolvem uma constante 107 que surgiram a partir da construção de uma forma que vamos agora explicar. Napier não pensar em logaritmos de uma forma algébrica , de fato álgebra não estava suficientemente bem desenvolvido na época de Napier para tornar isso uma abordagem realista . Ao contrário, ele pensava , por analogia, dinâmico . Considere duas linhas AB de comprimento fixo e a'x de comprimento infinito . Os pontos C e C ' começar a mover , simultaneamente, para a direita , a começar em A e A ' , respectivamente, com a mesma velocidade inicial; move C ' com velocidade uniforme e C, com uma velocidade que é igual à distância CB . Napier definido A'C ' (= Y ) como o logaritmo do BC (= X) , que é

y = x Nap.log .

Napier escolheu o AB comprimento a ser 107 , com base no fato de que as melhores tabelas de senos disponíveis para ele foram dadas sete casas decimais e ele pensou que o argumento x como sendo da forma 102.sin X.

O fato de que Nap.log 1 não é igual a 0 é uma grande dificuldade que fazer Nap.logs muito menos conveniente para os cálculos do que os nossos logs. A mudança de logs com log 1 = 0 surgiu em discussões entre Napier e Briggs. Briggs ler texto em latim de 1614 e de Napier , na 10 de marco de 1615 escreveu em uma carta a um amigo : -

Napper , senhor de Markinston , pôs a cabeça e as mãos de um trabalho com suas novas e admiráveis ​​logaritmos . Espero vê-lo neste verão , se agradar a Deus, pois eu nunca vi um livro que me agradou bem ou me fez mais admira .

Na verdade Briggs fez a difícil viagem de Londres a Edimburgo para ver Napier , no verão de 1615 ( ele teria sonhado que agora leva 4 horas de trem , ao invés de pelo menos 4 dias por cavalo e treinador naqueles tempos ) . A descrição do encontro foi dito por John Marr de William Lilly , que escreve o seguinte ( ver [12] ) : -

Sr. Briggs nomeia um certo dia, quando se encontrar em Edimburgo , mas não da mesma, Merchiston estava com medo que ele não viria. Aconteceu um dia como John Marr eo Senhor Napier estavam falando do Sr. Briggs, " Oh John , " diz Merchiston ", o Sr. Briggs não virá agora "; no um instante bate à porta , John Marr apressou-se para baixo e provou ser o Sr. Briggs ao seu grande contentamento. Ele traz o Sr. Briggs na câmara do meu Senhor, onde quase um quarto de hora foi gasto , cada um contemplando outro com admiração , antes de uma palavra foi dita. Finalmente o Sr. Briggs começou, - "Meu Senhor, tenho realizado esta longa jornada com o propósito de ver sua pessoa , e saber por que mecanismo de inteligência ou engenho você chegou a pensar nisso mais excelente ajuda até astronomia , ou seja os logaritmos . ...

Briggs havia sugerido a Napier em uma carta enviada antes de sua reunião que os logs devem ser ( em nossa terminologia ) para base 10 e Briggs tinha começado a construir tabelas . Napier respondeu que ele tinha a mesma idéia, mas ( [12] ) : -

... ele não poderia , por conta de problemas de saúde e por outras razões ponderosas empreender a construção de novas tabelas.

Em sua reunião de Napier sugeriu Briggs as novas tabelas devem ser construídas com base 10 e com log 1 = 0, e, na verdade Briggs se construir tais tabelas. Na verdade Briggs passou um mês com Napier em sua primeira visita de 1615, fez uma segunda viagem de Londres a Edimburgo para visitar Napier novamente em 1616 e teria feito ainda uma terceira visita , no ano seguinte , mas Napier morreu na primavera antes do verão planejada visitar.

Napier mostrou um meio mecânico de simplificar os cálculos na sua Rabdologiae publicado em 1617. Ele descreve um método de multiplicação usando varetas " numeração " com os números marcados fora sobre eles. A razão para a publicação do trabalho é dada por Napier na dedicação , onde ele diz que muitos de seus amigos, a quem ele havia mostrado as varas de numeração , estava tão satisfeito com eles que eles já estavam se tornando amplamente utilizada , mesmo começando a ser utilizado em países estrangeiros.

Hastes de numeração de Napier eram feitos de marfim, de modo que eles pareciam ossos , o que explica por que eles agora são conhecidos como os ossos de Napier . Para multiplicar números , os ossos foram colocados lado a lado e os produtos adequados lido . Glaisher descrito como usar os ossos de Napier , em um artigo que escreveu para a Encyclopaedia Britannica e esta descrição é citado em [10] . Os ossos de Napier são também descritos em [6 ], [ 16] e [19 ] .

Seria surpreendente se um homem de tão grande intelecto , como Napier não parecer um pouco estranho para os seus contemporâneos e, dada a idade supersticioso em que viveu , histórias estranhas começaram a circular . Muitas tradições sugerem que Napier foi

... em conluio com os poderes das trevas ...

e estes são levados a sério na biografia tendenciosa [7] escrito por Mark Napier, um dos descendentes de John Napier . Mark Napier sugere que John Napier deliberadamente jogado sobre as crenças primitivas de seus servos por dar a volta com um galo que ele tinha coberto de fuligem . Mesmo a conta de Estatística (citado acima) diz: -

[ Napier ] usado com freqüência para sair em sua camisola e boné. Este , com algumas coisas que o vulgar aparecer um pouco estranho , fixo nele o caráter de um bruxo . Antigamente, era acreditado e, atualmente, informou que ele estava em pacto com o diabo , e que o tempo que passou em estudo foi gasto em aprender a arte preto e segurando conversa com o velho Nick .

Napier , no entanto, será lembrado para fazer uma das contribuições mais importantes para o avanço do conhecimento . Foi através do uso de logaritmos que Kepler foi capaz de reduzir as suas observações e fazer sua descoberta , que , em seguida, por sua vez apoiado a teoria da gravitação de Newton. No prefácio à Mirifici logarithmorum canonis descriptio , citado acima, Napier diz que esperava que seus logaritmos vai economizar calculadoras muito tempo e livrá-los dos erros escorregadias de cálculos. Laplace, 200 anos depois, concordou, dizendo que os logaritmos : -

... encurtando os trabalhos , dobrou a vida do astrônomo .


Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

abril 1998

ARTE MATEMÁTICA (20)

Observe esta imagem.
Novamente temos triângulos. E dos mais diversos tamanhos.
Mas não apenas isto.
Estão posicionados de modo a similarem curvas.
E além do mais são semi transparentes. O que faz com que sua sobreposição faça surgir áreas mais claras e outras mais escuras.

Há muito mais o que ver, mas... o resto deixo por sua conta...