Jogos matemáticos - 52

SLIDING BLOCK PUZZLE

Será que você consegue mover os blocos de modo a fazer com que o bloco vermelha saia do quadro?
Se quiser tentar, clique: SLIDING BLOCK PUZZLE

NÚMEROS BABILôNICOS

Babilônios foram os primeiros a desenvolver um sistema de numeração escrito. Seu sistema era sexagesimal ( de base 60). Ele apareceu por volta de 1900 AC a 1800 AC.

Este sistema tinha somente dois elementos básicos: l e < e os 59 números são construídos a partir destes 2 símbolos.




Exemplo:
Por exemplo, 1,45,29,36 representa o número sexagesimal
1 x 60³ + 45 x 60² + 29 x 60 + 36
= 1 x 216000 + 45 x 3600 + 29 x 60 + 36
= 216000 + 162000 + 1740 + 36
Cuja notação decimal é 379776

1,45,29,36 em numerais babilônicos


Os babilônios não tinham um símbolo para o zero, em vez disso usavam um espaço para marcar a inexistência de certo algarismo.
Exemplo:
4,0,8 em numerais babilônicos

Fonte: EASY CALCULATION

Arte & Matemática - 10 - Forma Dentro da Forma

PLAYFAIR

Data de Nascimento: 10 de março, 1748 em Benvie (perto de Dundee), Escócia

Data de Falecimento: 20 de julho de 1819 em Burntisland, Fife, Escócia

John Playfair foi o filho mais velho do Reverendo James Playfair, o ministro de Benvie, uma pequena cidade perto de Dundee (então em Perthshire, agora em Angus), Escócia. Ele foi educado por seu pai em casa até a idade de quatorze anos, quando foi enviado para a Universidade de St Andrews para estudar com o objetivo de entrar na Igreja. Playfair foi premiado com uma bolsa de estudos para a Universidade em 1762, e lá a sua aptidão e entusiasmo para estudar lhe valeram tanto o respeito quanto a amizade de seus professores. Seu progresso nas ciências matemáticas foi tão rápido que o professor de filosofia natural (a física ainda era chamada de filosofia natural em St. Andrews nos anos 60), o professor Wilkie, ao sofrer de uma doença, descobriu que ele era a pessoa mais qualificada para proferir suas palestras sobre filosofia natural. Playfair se formou na Universidade de St Andrews em 1765.

Em 1766, quando ainda tinha apenas dezoito anos, Playfair participou de um concurso para a cadeira de matemática no Marischal College, em Aberdeen. Neste concurso, que durou onze dias, ele se destacou e ganhou grande reconhecimento. A extensão do conhecimento matemático necessário para ser bem sucedido em tal concurso era imensa. Playfair não teve sucesso, no entanto, terminando em terceiro lugar entre os seis candidatos, atrás do reverendo Dr Trail, que foi nomeado para a presidência, e do Dr. Hamilton, que o sucedeu na presidência. No entanto Playfair, em uma idade muito jovem, provou seu talento extraordinário combinado com seu conhecimento abrangente da matemática.

Indo estudar teologia na Universidade de St Andrews, a Playfair realizou seus estudos teológicos no St Mary's College, St Andrews. Após a conclusão de seus estudos em 1769, ele deixou a Universidade e, a partir de então, passou a maior parte de seu tempo até 1773, em Edimburgo. Lá ele misturou-se com os luminares do Iluminismo escocês; grupo que incluía grandes estudiosos como Dugald Stewart, o matemático (filho de Matthew Stewart), Adam Smith, o economista, Joseph Black, o químico, James Hutton, o geólogo, Robert Adam, arquiteto e engenheiro, e Principal Robinson, o historiador.

Durante o período entre 1769 e 1773, Playfair tentou por duas vezes obter um posto acadêmico. Sua primeira tentativa foi em 1769, mas não teve sucesso. Ele continuou, no entanto, em sua vocação como ministro e foi autorizado a pregar pelo Presbitério de  Dundee em 1770. Em 1772, Playfair solicitou a cadeira de Filosofia Natural na Universidade de St Andrews, que ficou vaga após a morte de seu amigo Wilkie mas, novamente outro candidato foi nomeado. Tendo falhado em obter um posto acadêmico, Playfair retornou a Edimburgo, onde permaneceu até a morte de seu pai, em 1772.

Playfair foi nomeado por Lord Grey para suceder seu pai como o ministro da Paróquia de Liff e Benvie e se mudou para Liff para supervisionar a educação de seus irmãos e irmãs. Quase um ano se passou, entretanto, antes de sua nomeação ser confirmada, pois os direitos de apresentação de Lord Gray foram contestados pela Coroa de Advogados. O caso foi apresentado ao Tribunal de Sessão e, em agosto de 1773,  Playfair recebeu a confirmação por uma resolução da Assembléia Geral da Igreja. Ele foi então ordenado ministro de Liff e Benvie em sucessão ao pai.

Durante esse período,  Playfair não negligenciou seus próprios estudos acadêmicos e, além de fazer visitas ocasionais a Edimburgo, fez uma excursão em 1774 a Schiehallion, Perthshire, para conduzir experimentos com Neville Maskelyne, o astrônomo real. Eles se tornaram amigos por toda a vida e Maskelyne apresentou-o aos principais cientistas de então. Ele persuadiu Playfair a apresentar seu primeiro artigo de sucesso sobre matemática à Royal Society of London e este foi publicado na Philosophical Transactions em 1779. Este primeiro artigo matemático de Playfair Sobre a Aritmética das Quantidades Impossíveis, foi descrito como exibindo: -

... um gosto maior pela investigação puramente analítica do que a demonstrada por qualquer um dos matemáticos britânicos daquela época.

Playfair tornou-se moderador do Sínodo, mas logo depois disso ele recebeu, em 1782, uma oferta lucrativa para renunciar à sua posição na igreja e se tornar o tutor para os dois filhos de Ferguson de Raith. Ele ensinou Ronald Ferguson e seu irmão de 1782 até 1787. Isso envolveu a mudança para Edimburgo, e ele foi capaz de participar da vida intelectual da cidade. Playfair envolveu-se no estabelecimento da Royal Society of Edinburgh, em 1783 e foi um dos membros originais dessa sociedade. Durante as férias, ele fez sua primeira visita a Londres, onde Maskelyne o apresentou ao mundo científico.

Em 1785, Playfair foi nomeado Professor Conjunto de Matemática na Universidade de Edimburgo, cargo que ocupou por vinte anos. Dois anos depois, depois de completar seus deveres de tutoria para os Fergusons, mudou-se para Edimburgo, juntando-se à sua mãe e irmãs, que haviam residido durante alguns anos em Edimburgo. A partir de 1787 Playfair publicou em vários tópicos no Transactions of the Royal Society of Edinburgh e também contribuiu para o Edinburgh Review.

Em 1793, o irmão de Playfair, James, que se estabeleceu em Londres como arquiteto, morreu repentinamente. Playfair interrompeu seus estudos para fazer os arranjos da família. No ano seguinte, ele adotou o filho mais velho de James, William Henry Playfair, com apenas seis anos de idade. William seguiria os passos de seu pai e também se tornaria um renomado arquiteto.

No século XVIII, a geometria era sistematicamente estudada a partir dos Elementos de Euclides nas universidades, enquanto as escolas geralmente se contentavam em aceitar os teoremas e construções sem provas. No entanto, os matemáticos começaram a exigir mais rigor com o crescente interesse na investigação analítica. Em 1795, Playfair publicou uma edição dos Elementos que ele pretendia fosse usado por seus alunos. A principal inovação foi o uso da notação algébrica por Playfair para abreviar as provas que ele ensinou em sua aula. Isso pretendia evitar a "monotonia e circunlocução" da teoria geométrica.

As dificuldades encontradas por aqueles que estudavam os Elementos no século XVIII centraram-se em torno de dois problemas. Primeiramente, havia o controverso postulado "das paralelas". O segundo problema era a teoria da proporção de Euclides, derivada de Eudoxus. Robert Simson, da Universidade de Glasgow, em sua edição de 1756 dos Elementos, apresentou uma prova do axioma das paralelas baseado em outra suposição. O Playfair resolveu essa dificuldade em 1795 com uma retificação do axioma das paralelas de Euclides:

Duas linhas retas não podem ser traçadas no mesmo ponto, paralelas à mesma linha reta, sem coincidirem umas com as outras.

Essa forma de axioma certamente não era nova, como já fora dada no século V por Proclus. É curioso que o nome de Playfair seja associado a este axioma, particularmente porque ele aponta claramente ter derivado o axioma de Proclus. Escritores posteriores reformularam isso como:

Dada uma linha e um ponto que não estão na linha, é possível desenhar exatamente uma linha através do ponto dado paralelamente à linha.

e isso é o que geralmente é conhecido como Axioma de Playfair. 

Playfair padronizou a anotação de pontos e lados das figuras nos seis primeiros livros de sua edição de Euclides. A esses livros, que lidam especificamente com a geometria plana, Playfair adicionou mais três livros destinados a complementar os seis anteriores; Sobre a Quadratura do Círculo e a Geometria dos Sólidos, Elementos da Trigonometria Plana e Esférica e A Aritmética dos Senos. Ele também incluiu uma seção de notas na forma de um apêndice, na qual deu suas razões para as alterações feitas ao longo dos volumes, e uma discussão esclarecedora sobre o difícil tema das linhas paralelas. O fato de ter chegado a seis edições mostra a popularidade da edição de Euclides de Playfair. D K Wilson, The History of Mathematical Teaching in Scotland to the End of the Eighteenth Century (London, 1935), afirma que:

... A intervenção da Playfair salvou Euclides por cem anos de seu inevitável destino!

Playfair sofreu um severo ataque de reumatismo, durante o início de 1797. Isto não o impediu de escrever, e durante esse tempo ele escreveu Um Tratado analítico sobre as seções cônicas e um Ensaio sobre as descobertas acidentais que foram feitas por homens. de Ciência, enquanto em busca de algo mais, ou quando eles não tinham nenhum objeto determinado em vista.

A morte de seu amigo, James Hutton, levou Playfair para compor uma memória biográfica, que gradualmente se tornou uma resposta aos críticos das teorias da geologia de Hutton. Isso, por sua vez, deu origem à obra geológica da Playfair, Ilustrações da Teoria Huttoniana da Terra. Playfair apresentou as teorias de Hutton em um estilo diferente de sua apresentação original. Hutton tinha um estilo peculiar de apresentação que tornava sua teoria menos inteligível e, como resultado, recebera menos elogios do que merecia. Foi um estilo que levou a muitas deturpações errôneas e aos ataques dos poucos que leram. O estilo simples e eloquente da Playfair consistia em uma série de capítulos que afirmavam claramente a teoria de Hutton, dando os fatos para apoiá-la e os argumentos apresentados contra ela. O sucesso da apresentação de Playfair pode ser julgado pela fama e crédito que desde então foram dados a Hutton, que agora é considerado o primeiro grande geólogo britânico. Segundo H Playfair, The Playfair Family (Blackford, 1984), o Ilustrações: -

... não só deu popularidade à teoria de Hutton, mas ajudou a criar a moderna ciência da geologia.

Playfair passou quase cinco anos, de 1797 a 1802, escrevendo as Ilustrações. A maior parte do seu tempo livre passou viajando pela Grã-Bretanha, em busca de seus estudos geológicos. Playfair esperava estender suas pesquisas para o continente, mas ele foi impedido de fazê-lo pela guerra na Europa. Ele voltou sua atenção para a Irlanda, fazendo visitas a Dublin e à Calçada dos Gigantes.

Em 1803, Playfair publicou seu esboço biográfico de Hutton no Transactions of the Royal Society of Edinburgh. Este trabalho foi descrito mais de um século depois como:

... um trabalho para o qual o tratamento luminoso e a direção graciosa, permanece sem rival na literatura geológica inglesa.

Playfair foi um professor de sucesso em sua posição como Professor de Matemática na Universidade de Edimburgo, dando palestras com entusiasmo pelo assunto, fazendo o máximo para inspirar seus alunos com um entusiasmo pela investigação matemática e recompensando aqueles que conseguiam, elogiando-os na frente da classe. Ele foi descrito por D Allan, Virtue, Learning and the Scottish Enlightenment (Edinburgh, 1993). como um 'professor magnético' que:

... prosseguiu com considerável desenvoltura depois dos anos 1800 uma tradição estabelecida de exposição brilhante e pedagogia eficaz associada, desde pelo menos o décimo sétimo século, à sólida escola presbiteriana da Escócia e as suas instalações universitárias eloquentes.

Playfair foi um dos primeiros na Grã-Bretanha a ensinar análise moderna. Seu curso sobre este tema contou com a participação de muitos que já haviam muito antes concluído seus estudos acadêmicos. Para expressar sua gratidão, os alunos presentearam Playfair com um precioso círculo astronômico, que foi colocado no Observatório da Instituição Astronômica. No entanto, apesar de seu sucesso como matemático, Playfair trocou a cadeira de matemática pela cadeira de Filosofia Natural em 1805. Dois anos depois, ele foi eleito membro da Royal Society of London.

A Instituição Astronômica de Edimburgo foi fundada em 1811, precedendo a Royal Astronomical Society na Inglaterra por nove anos, tornando-se a primeira sociedade britânica dedicada à astronomia. Playfair foi seu primeiro presidente. O Novo Observatório de Calton Hill foi construído em grande parte através dos esforços da Playfair em apoio ao projeto.

Em 1812, Playfair publicou o primeiro dos volumes de Outlines of Natural Philosophy, mais uma vez destinado principalmente ao uso de seus alunos. O primeiro volume cobriu a dinâmica, mecânica, hidrostática, hidráulica, aerostática e pneumática. O segundo volume foi inteiramente dedicado à astronomia, enquanto um terceiro volume, destinado a completar a série e cobrir os assuntos de óptica, eletricidade e magnetismo, nunca foi concluído.

Em 1815,  Playfair sucedeu seu amigo e colega, o professor Robison, como secretário da Royal Society of Edinburgh. Playfair publicou muitos artigos nas Transactions of the Society, incluindo um conjunto de tabelas meteorológicas construídas a partir de suas próprias observações.

Mais tarde, em 1815, a paz na Europa seguiu-se à derrota de Napoleão e Playfair iniciou um estudo geológico do Continente de 17 meses e 4.000 milhas para reunir material para a segunda edição das Ilustrações da Teoria Huttoniana da Terra. Apesar dos 68 anos de idade, Playfair partiu em uma jornada árdua e extensa através da França e Suíça, continuando até a ponta sul da Itália, examinando a estrutura geológica das partes do mundo que visitou. Ele foi acompanhado durante parte do tempo por seu sobrinho mais velho, James George Playfair, que o ajudou gravando os detalhes de suas viagens.

A segunda edição das Ilustrações foi projetada para ser um trabalho muito mais importante do que o primeiro. Pretendia-se ser mais como os textos científicos de hoje, começando com os fatos bem autenticados, seguidos por inferências gerais que foram deduzidas desses fatos, com um exame dos vários modelos geológicos que foram hipotetizados. O objetivo da Playfair era basear os princípios da geologia em suposições e argumentos inquestionáveis. Concluiria com o modelo de geologia de Playfair e suas aplicações.

No entanto, este plano foi interrompido quando Playfair recebeu um pedido de que ele escrevesse um ensaio intitulado Dissertação sobre o Progresso da Matemática e Ciência Física desde o Renascimento das Cartas na Europa para o suplemento à Encyclopaedia Britannica. Ele se mudou para Burntisland em Fife em 1818, depois de ver o trabalho começado no Novo Observatório da Instituição Astronômica de Edimburgo, para concluir este ensaio. Enquanto em Burntisland, ele também escreveu sua Memoir on Naval Tactics, publicada postumamente nas Transactions of the Royal Society of Edinburgh.

Logo após a conclusão da Dissertação, Playfair sofreu um severo ataque de uma doença da bexiga que o impediu de continuar sua planejada segunda edição das Ilustrações e interrompeu suas palestras. Ele recuperou sua saúde o suficiente para terminar o curso de palestras em Edimburgo, mas, infelizmente, a segunda edição das Ilustrações nunca foi concluída. Em junho de 1819, a doença da bexiga retornou ainda mais grave e Playfair retornou à Burntisland. Apesar de sofrer uma dor muito intensa, ele passou os últimos dias de sua vida ditando correções nas folhas de prova da Dissertação. 

Depois de uma doença que durou um mês, Playfair morreu. Havia mais de 500 pessoas em seu enterro no Old Burton Burial Ground, ignorado pelo Observatório que ele ajudou a criar. Sua sepultura é adjacente à de David Hume, o famoso filósofo, mas não tem qualquer indicação de quem está enterrado lá e, infelizmente, ao longo dos anos foi negligenciado. 

Playfair granjeou para si uma alta reputação em pelo menos três campos da ciência pura, não principalmente como um descobridor, mas como um expositor de teorias. No campo da matemática, ele introduziu métodos continentais para a Grã-Bretanha através de seus artigos em revistas científicas e enciclopédias, e por seus cursos de palestras. Seu sobrinho, James George Playfair, que editou The Works of John Playfair em 1822, escreveu: -

... acreditamos que não nos equivocamos em dizer que ele foi um dos matemáticos mais cultos de sua idade, e entre os primeiros, se não o primeiro, que introduziu as belas descobertas dos últimos geômetras continentais ao conhecimento de seus compatriotas, e deu seu justo valor e verdadeiro lugar, no esquema do conhecimento europeu, àquelas importantes melhorias pelas quais todo o aspecto das ciências abstratas foram renovadas desde os dias de nosso ilustre Newton ... Ele possuía, de fato, no mais alto grau, todas as características de um entendimento fino e poderoso - ao mesmo tempo penetrante e vigilante -, mas mais distinto, talvez, para a cautela na segurança de sua marcha, do que para o brilho ou rapidez de seus movimentos, - e guiado e adornado através de todo o seu progresso pelo mais genuíno entusiasmo por tudo que é grandioso, e o mais justo gosto por tudo que é belo na Verdade ou a Energia Intelectual com a qual ele era habitualmente familiarizado.

O caráter de Playfair fez dele uma personalidade popular. Ele possuía uma: -

... combinação cordial das duas aristocracias: a de hierarquia e a das letras.

Lord Henry Coburn escreveu que Playfair foi: -

Admirado por todos os homens e amado por todas as mulheres, de cujas virtudes e intelecto sempre foi campeão, a sociedade se sentia mais feliz e mais respeitável por sua presença.

Seu sobrinho escreve:

... embora o mais social dos seres humanos, e o mais disposto a encorajar e simpatizar com a alegria e jovialidade dos outros, seu próprio estado de espírito era, em geral,  mais de boa disposição que de alegria, ou pelo menos nunca se transformava em qualquer tipo de turbulência ou tumulto... Sua própria satisfação geralmente pode ser traçada no sorriso lento e temperado, gradualmente cobrindo suas características benevolentes e inteligentes, e iluminando o semblante do Sábio com a expressão da mais suave e genuína filantropia.

Em A Ackerberg-Hastings, The Misnamings of Playfair’s Axiom, in M. Zack, D. Schlimm (eds.), Research in History and Philosophy of Mathematics, Proceedings of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics, 2016, as contribuições da Playfair são resumidas da seguinte forma:

O aprendizado amplo, o intelecto calmo e o pensamento claro, tão aparentes em todos os seus escritos, também marcaram suas palestras. Ele era, de acordo com um de seus muitos ilustres alunos, "um professor encantador, tão simples, não afetado e sincero, tão casto em estilo, tão claro em demonstração". Consolidando a aprendizagem das gerações passadas e coligindo as descobertas e teorias de seu próprio tempo, ele fez uma apresentação abrangente e unificada dos assuntos que professou e, assim, lançou as bases para futuras pesquisas construtivas nos campos da matemática e da filosofia natural.

Texto adaptado de um artigo de J J O'Connor and E F Robertson

Agosto de 1999

MacTutor History of Mathematics

51 - Prisma e Cilindro Circular - Matemática - Vestibulando Digital

Jogos matemáticos - 51

GAP ZAPPERS

A muitos trechos dessa estrada que estão faltando.
Como prosseguir no caminho?
Simples. Complete os espações com as frações apresentadas.
É só clicar em: GAP ZAPPERS

Arte & Matemática - 09 - Tempo e Infinito

*Lagrange

Joseph- Louis Lagrange

Data de Nascimento: 25 de janeiro de 1736 , em Turim , Piemonte - Sardenha (atual Itália)
Morreu em: 10 de abril de 1813 em Paris , França

Joseph- Louis Lagrange é geralmente considerado um matemático francês , mas a Encyclopaedia italiano [40] refere-se a ele como um matemático italiano . Eles certamente têm alguma justificativa para essa reivindicação desde Lagrange nasceu em Turim, e batizado em nome de Giuseppe Lodovico Lagrangia . O pai de Lagrange foi Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia que era tesoureiro do Gabinete de Obras Públicas e Fortificações em Turim, enquanto sua mãe Teresa Grosso era a única filha de um médico de Cambiano , perto de Turim . Lagrange era o mais velho de seus 11 filhos , mas um dos dois únicos a viver até a idade adulta .

Turim tinha sido a capital do ducado de Sabóia, mas tornou-se a capital do reino da Sardenha, em 1720, 16 anos antes do nascimento de Lagrange . A família de Lagrange tinha conexões francesas do lado de seu pai, seu bisavô ser um capitão de cavalaria francesa, que deixou a França para trabalhar para o Duque de Sabóia. Lagrange sempre se inclinou em direção a sua ascendência francesa , pois, como um jovem que iria assinar o próprio Ludovico LaGrange ou Luigi Lagrange, usando a forma francesa de seu nome de família.

Apesar do fato de que o pai de Lagrange detinha uma posição de certa importância no serviço do rei da Sardenha , a família não eram ricos desde o pai de Lagrange havia perdido grandes somas de dinheiro na especulação financeira sem sucesso . A carreira como advogado foi planejado para Lagrange por seu pai, e certamente Lagrange parece ter aceite esta de bom grado. Estudou na Faculdade de Turim e seu assunto favorito era latim clássico . No começo, ele não tinha grande entusiasmo pela matemática , encontrar geometria grega bastante aborrecido .

O interesse de Lagrange na matemática começou quando ele leu uma cópia de 1693 o trabalho de Halley sobre o uso de álgebra em ótica . Ele também foi atraído para a física com o excelente ensino de Beccaria na Faculdade de Turim, e ele decidiu fazer uma carreira para si mesmo em matemática. Talvez o mundo da matemática tem de agradecer o pai de Lagrange para a sua especulação financeira instável , por Lagrange mais tarde afirmou : -

Se eu fosse rico, eu provavelmente não teria me dedicado a matemática.

Ele certamente o fez dedicar-se à matemática, mas em grande parte ele foi autodidata e não ter o benefício de estudar com os principais matemáticos . Em 23 de julho de 1754 , ele publicou seu primeiro trabalho matemático que tomou a forma de uma carta escrita em italiano Giulio Fagnano . Talvez o mais surpreendente foi o nome sob o qual Lagrange escreveu este papel , ou seja, Luigi De la Grange Tournier . Este trabalho foi nenhuma obra-prima e mostrou até certo ponto, o fato de que Lagrange estava trabalhando sozinho, sem o aconselhamento de um supervisor de matemática. O documento faz uma analogia entre o teorema binomial e as derivadas sucessivas do produto de funções.

Antes de escrever o documento em italiano para a publicação, Lagrange enviou os resultados para Euler, que nessa época estava trabalhando em Berlim, em uma carta escrita em latim. O mês após o artigo foi publicado , no entanto, Lagrange descobriu que os resultados apareceram na correspondência entre Johann Bernoulli e Leibniz . Lagrange ficou muito chateado por esta descoberta desde que ele temia ser tachado de fraude que copiou os resultados dos outros . No entanto, esta menos do que excelente começo não fez nada mais do que fazer Lagrange redobrar os seus esforços para produzir resultados de mérito real em matemática. Começou a trabalhar no tautochrone , a curva na qual uma partícula ponderada sempre chegar a um ponto fixo no mesmo tempo, independentemente da sua posição inicial. Até o final de 1754 ele havia feito algumas descobertas importantes sobre o tautochrone que contribuam substancialmente para o novo assunto do cálculo de variações (que os matemáticos estavam começando a estudar, mas que não recebeu " cálculo de variações " o nome antes Euler chamou que, em 1766) .

Euler Lagrange enviou seus resultados no tautochrone contendo seu método de máximos e mínimos . Sua carta foi escrita em 12 de agosto de 1755 e Euler respondeu em 6 de setembro dizendo como ele estava impressionado com novas idéias de Lagrange . Embora ele ainda tinha apenas 19 anos, Lagrange foi nomeado professor de matemática na Escola Real de Artilharia , em Turim em 28 de setembro de 1755. Foi bem merecido para o jovem já havia mostrado ao mundo da matemática a originalidade de seu pensamento ea profundidade de seus grandes talentos.

Em 1756, Lagrange enviou os resultados de Euler que tinha obtido na aplicação do cálculo das variações para a mecânica . Estes resultados generalizada resultados que Euler próprio tinha obtido e Euler consultados Maupertuis , o presidente da Academia de Berlim , sobre este notável jovem matemático . Não só era um excelente matemático Lagrange , mas ele também era um forte defensor do princípio de ação mínima para Maupertuis não hesitou , mas para tentar seduzi- Lagrange para uma posição na Prússia. Ele combinou com Euler que ele iria deixá- Lagrange saber que a nova posição seria muito mais prestígio do que o que ele realizou , em Turim. No entanto, Lagrange não procurou grandeza , ele só queria ser capaz de dedicar seu tempo à matemática, e por isso ele timidamente , mas polidamente, recusou o cargo.

Euler também propôs Lagrange para a eleição para a Academia de Berlim e foi eleito em 2 de setembro de 1756. No ano seguinte, Lagrange foi um dos fundadores de uma sociedade científica em Turim, que viria a se tornar a Academia Real de Ciências de Turim. Um dos principais papéis desta nova sociedade era publicar uma revista científica da Mélanges de Turim, que publicou artigos em francês ou latim. Lagrange foi um dos principais contribuintes para os primeiros volumes de volume Mélanges de Turim uma das quais apareceu em 1759 , o volume 2 em 1762 eo volume 3 em 1766.

Os trabalhos de Lagrange que aparecem nestas operações cobrem uma variedade de tópicos. Ele publicou seus belos resultados no cálculo das variações , e um curto trabalho no cálculo de probabilidades . Em um trabalho sobre os fundamentos da dinâmica , Lagrange baseou seu desenvolvimento no princípio de ação mínima e em energia cinética.

No Mélanges de Turim Lagrange também fez um grande estudo sobre a propagação do som , fazendo contribuições importantes para a teoria das cordas que vibram . Ele havia lido muito sobre este assunto e ele claramente pensava profundamente sobre as obras de Newton, Daniel Bernoulli , Taylor, Euler e d' Alembert . Lagrange usou um modelo de massa discreta para sua corda vibrante , que ele levou para consistem de n massas unidas por cordas sem gravidade . Ele resolveu o sistema resultante de n +1 equações diferenciais , então vamos n tende ao infinito para obter a mesma solução funcional como Euler tinha feito. Sua rota diferente para a solução , no entanto, mostra que ele estava à procura de métodos diferentes dos de Euler, Lagrange , para quem tinha o maior respeito .

Nos documentos que foram publicados no terceiro volume , Lagrange estudou a integração de equações diferenciais e fez várias aplicações de temas como mecânica dos fluidos ( onde ele introduziu a função de Lagrange ) . Também contidas são métodos para resolver sistemas de equações diferenciais lineares que utilizaram o valor da característica de uma substituição linear para a primeira vez. Outro problema para o qual ele aplicou seus métodos foi o estudo das órbitas de Júpiter e Saturno.

A Académie des Sciences de Paris anunciou sua concorrência prêmio para 1764 em 1762 . O tema foi sobre a libração da Lua , que é o movimento da Lua , que faz com que o cara que ele apresenta para a Terra oscilar fazendo pequenas mudanças na posição das características lunares. Lagrange entrou na competição , enviando a sua entrada para Paris em 1763 , que lá chegou não muito tempo antes de se Lagrange . Em novembro daquele ano, ele deixou de Turim para fazer sua primeira viagem longa , que acompanha o Marquês Caraccioli , um embaixador de Nápoles , que estava movendo-se de um post em Turim a um , em Londres. Lagrange chegou a Paris pouco depois de sua entrada havia sido recebido, mas ficou doente enquanto lá e não continuar a Londres com o embaixador. D' Alembert estava chateado que um matemático tão fina como Lagrange não receber mais honra . Ele escreveu em seu nome [1]: -

Monsieur de la Grange , um jovem geômetra de Turim, está aqui há seis semanas. Ele tornou-se muito seriamente doente e que ele precisa, não de ajuda financeira , para o Marquês de Caraccioli dirigido ao sair para a Inglaterra, que não deve faltar para qualquer coisa , mas alguns sinais de interesse por parte de seu país de origem ... Em Turim, ele possui um tesouro cuja pena talvez não sabe.

Retornando a Turim no início de 1765, Lagrange entrou , mais tarde naquele ano , para a Académie des Sciences prêmio de 1766 sobre as órbitas das luas de Júpiter. D' Alembert , que havia visitado a Academia de Berlim e foi simpático com Frederick II da Prússia, organizado por Lagrange para ser oferecido um cargo na Academia de Berlim . Apesar de não haver melhoria na posição de Lagrange , em Turim , novamente ele recusou a oferta por escrito : -

Parece- me que Berlim não seria de todo adequado para mim enquanto M Euler está lá.

Por março 1766 d' Alembert sabia que Euler estava retornando para São Petersburgo e escreveu novamente para Lagrange para encorajá-lo a aceitar um posto em Berlim. Detalhes completos da oferta generosa foram enviadas a ele por Frederick II , em abril, e Lagrange finalmente aceite. Deixando de Turim , em agosto, ele visitou d' Alembert em Paris, então Caraccioli em Londres antes de chegar em Berlim, em outubro. Lagrange sucedeu Euler como diretor de Matemática da Academia de Berlim em 06 de novembro de 1766 .

Lagrange foi recebido calorosamente pela maioria dos membros da Academia e ele logo se tornaram amigos íntimos com Lambert e Johann (III) Bernoulli. No entanto , nem todo mundo ficou satisfeito ao ver este jovem em uma posição de prestígio , particularmente Castillon , que era 32 anos mais velho do que Lagrange e considerou que ele deveria ter sido nomeado como Diretor de Matemática . Pouco menos de um ano a partir do momento que ele chegou em Berlim, Lagrange casou com sua prima Vittoria Conti . Ele escreveu a d' Alembert : -

Minha esposa, que é um dos meus primos e que ainda viveu por muito tempo com a minha família , é uma boa dona de casa e não tem pretensões em tudo.

Eles não tiveram filhos , na verdade Lagrange tinha dito d' Alembert nesta carta que ele não queria ter filhos.

Turim sempre lamentou perder Lagrange e de vez em quando de seu retorno não foi sugerido , por exemplo, em 1774. No entanto, há 20 anos Lagrange trabalhou em Berlim , produzindo um fluxo constante de papéis de alta qualidade e regularmente ganhar o prêmio da Académie des Sciences de Paris. Ele dividiu o prêmio de 1772 sobre o problema de três corpos com Euler, ganhou o prêmio de 1774, outro sobre o movimento da lua, e ele ganhou o prêmio de 1780 em perturbações das órbitas dos cometas pelos planetas.

Seu trabalho em Berlim coberto muitos temas : astronomia , a estabilidade do sistema solar , mecânica , dinâmica , mecânica dos fluidos , probabilidade e as fundações do cálculo . Ele também trabalhou em teoria dos números provar em 1770 que todo inteiro positivo é a soma de quatro quadrados . Em 1771 ele provou o teorema de Wilson ( expôs pela primeira vez sem a prova por Waring ) que n é primo se e somente se (n -1) ! + 1 é divisível por n . Em 1770, ele também apresentou seu importante trabalho reflexões sur la resolução algébrique des equações que fez uma investigação fundamental por que as equações de graus até 4 poderiam ser resolvidas por radicais . O papel é o primeiro a considerar as raízes de uma equação como quantidades abstratas ao invés de ter valores numéricos . Estudou permutações das raízes e , embora não compor permutações no papel , pode ser considerado como um primeiro passo no desenvolvimento da teoria de grupos continuou por Ruffini , Galois e Cauchy .

Apesar de Lagrange fez inúmeras contribuições importantes para a mecânica , ele não tinha produzido um trabalho abrangente . Ele decidiu escrever uma obra definitiva incorporação de suas contribuições e escreveu para Laplace em 15 de setembro 1782: -

Tenho quase completou um Traité de mécanique analytique , com base unicamente no princípio das velocidades virtuais , mas, como eu ainda não sei quando ou onde eu vou ser capaz de imprimi-lo , eu não estou correndo para dar os últimos retoques para que .

Caraccioli , que era até agora , na Sicília, teria gostado de ver Lagrange voltar para a Itália e ele arranjou para uma oferta a ser feita a ele pelo Tribunal de Nápoles, em 1781. Ofereceu o cargo de Diretor de Filosofia da Academia de Nápoles, Lagrange recusou porque ele só queria paz para fazer matemática e da posição em Berlim ofereceu-lhe as condições ideais . Durante seus anos em Berlim, sua saúde era bastante pobre , em muitas ocasiões , e de sua esposa era ainda pior. Ela morreu em 1783 depois de anos de doença e de Lagrange estava muito deprimido . Três anos mais tarde, Frederick II morreu ea posição de Lagrange , em Berlim tornou-se um menos feliz. Muitos estados italiano viu sua chance e foram feitas tentativas de convencê-lo de volta para a Itália.

A oferta , que era mais atraente para Lagrange , no entanto, não veio da Itália, mas a partir de Paris e incluía uma cláusula que significava que Lagrange não tinha ensino. Em 18 de maio de 1787 , ele deixou Berlim para se tornar um membro da Académie des Sciences em Paris , onde permaneceu pelo resto de sua carreira. Lagrange sobreviveu à Revolução Francesa , enquanto outros não e isso pode de alguma forma ser devido a sua atitude que ele havia expressado muitos anos antes, quando ele escreveu: -

Acredito que , em geral, um dos primeiros princípios de cada homem sábio é se conformar estritamente às leis do país em que ele está vivendo , mesmo quando eles não são razoáveis ​​.

O analytique Mécanique que Lagrange tinha escrito , em Berlim , foi publicado em 1788. Ele havia sido aprovado para publicação por um comitê da Académie des Sciences composto de Laplace, Cousin, Legendre e Condorcet . Legendre agiu como um editor para o trabalho de fazer a leitura de prova e outras tarefas. O Mécanique analytique resumiu todo o trabalho feito no campo da mecânica desde a época de Newton e é notável por seu uso da teoria das equações diferenciais . Com este trabalho Lagrange mecânica transformada em um ramo da análise matemática . Ele escreveu no prefácio : -

Um não vai encontrar figuras deste trabalho. Os métodos que eu exponho exigem nem construções , nem os argumentos geométricos ou mecânico , mas apenas operações algébricas, sujeitos a um curso regular e uniforme.

Lagrange foi feito um membro do comitê da Académie des Sciences de padronizar pesos e medidas maio 1790 . Eles trabalharam no sistema métrico e defendeu uma base decimal . Lagrange casou pela segunda vez , em 1792 , sua esposa sendo Renée -Françoise -Adelaide Le Monnier , filha de um de seus colegas astrônomo da Académie des Sciences. Ele certamente não foi afetado pelos acontecimentos políticos. Em 1793, o Reino do Terror começou ea Académie des Sciences, juntamente com as outras sociedades científicas , foi suprimida em 8 de agosto . Os pesos e medidas comissão era o único autorizado a continuar e Lagrange tornou-se seu presidente quando outros, como o químico Lavoisier , Borda, Laplace, Coulomb , Brisson e Delambre foram expulsos da comissão.

Em setembro 1793 foi aprovada uma lei ordenando a prisão de todos os estrangeiros nascidos em países inimigos e todos os seus bens a serem confiscados. Lavoisier interveio em nome de Lagrange, que certamente caiu sob os termos da lei, e foi-lhe concedida uma exceção. Em 8 de maio 1794, após um julgamento que durou menos de um dia, um tribunal revolucionário condenou Lavoisier , que havia salvo Lagrange de prisão , e 27 outros até a morte. Lagrange disse sobre a morte de Lavoisier , que foi guilhotinado na tarde do dia de seu julgamento : -

Levou apenas um momento para fazer cair essa cabeça e cem anos não serão suficientes para produzir o seu gosto .

A École Polytechnique foi fundada em 11 de março 1794 e inaugurado em dezembro de 1794 ( apesar de ter sido chamado de École Centrale des Travaux Publics para o primeiro ano de sua existência ) . Lagrange foi seu primeiro professor de análise , nomeado para a abertura em 1794. Em 1795, a École Normale foi fundada com o objectivo de professores da escola de formação. Lagrange ministrou cursos sobre matemática elementar lá. Mencionamos anteriormente que Lagrange tinha uma cláusula de "não ensinar" escrito em seu contrato, mas a Revolução mudou as coisas e Lagrange foi necessária para ensinar. No entanto, ele não era um bom professor , como Fourier , que participaram de suas palestras na École Normale , em 1795, escreveu: -

Sua voz é muito fraco, pelo menos na medida em que ele não se torne aquecido , ele tem um sotaque italiano muito pronunciada e pronuncia o s como z ... Os estudantes, dos quais a maioria são incapazes de apreciar -lhe , dá-lhe pouco bem-vindos , mas os professores fazer as pazes por isso.

Da mesma forma Bugge que assistiram suas palestras na École Polytechnique , em 1799, escreveu: -

... o que este grande homem diz , merece o mais alto grau de consideração , mas ele é muito abstrata para a juventude .

Lagrange publicou dois volumes de suas aulas de cálculo. Em 1797 , ele publicou a primeira teoria de funções de uma variável real com Théorie des fonctions analytiques embora ele não conseguiu dar a devida atenção às questões da convergência. Ele afirma que o objetivo do trabalho é dar : -

... os princípios do cálculo diferencial , livres de toda a consideração do infinitamente pequeno ou desaparecimento quantidades, limites ou de fluxões , e reduzidos à análise algébrica de quantidades finitas .

Além disso, ele afirma: -

As operações ordinárias da álgebra suficiente para resolver os problemas na teoria de curvas.

Nem toda a gente encontrou a abordagem de Lagrange para o cálculo o melhor no entanto, de Prony , por exemplo, escreveu em 1835 : -

Fundamentos do cálculo de Lagrange é seguramente uma parte muito interessante do que se poderia chamar de estudo puramente filosófica , mas quando é um caso de fazer análise transcendental um instrumento de exploração de questões apresentadas por astronomia, engenharia naval , geodésia, e os diferentes ramos da ciência do engenheiro , a consideração dos infinitamente pequenas ligações para o objectivo de uma maneira que é mais aprazível , mais rápida, e mais imediatamente adaptado à natureza das perguntas e é por isso que o método Leibnizian tem , em geral, prevaleceu nas escolas francesas .

O segundo trabalho de Lagrange sobre este tópico Leçons sur le calcul des fonctions apareceu em 1800.

Napoleão nomeou Lagrange para a Legião de Honra e Conde do Império em 1808. Em 03 de abril de 1813 , ele foi condecorado com a Grande Cruz da Impérial Ordre de la Réunion . Ele morreu uma semana depois.

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

janeiro 1999

ARTE MATEMÁTICA (51)

O que você acha destes losangos entrelaçados? Consefue ver mais figuras além deles?

50 - Cônicas: Elipse, Hipérbole e Arco de Parábola - Matemática - Vestibulando Digital