*BAUDHAYANA

Nascido a cerca de 800 aC na Índia
Falecido a cerca de 800 aC na Índia

Escrever uma biografia de Baudhayana é praticamente impossível, já que nada se sabe sobre ele, exceto que ele foi o autor de um dos primeiros Sulbasutras: documentos que contêm alguns dos primeiros conhecimentos da matemática indiana. Nós não sabemos suas datas com precisão suficiente para sequer imaginar uma vida para ele, é por isso que damos o ano de nascimento aproximado como o mesmo ano da morte.

Ele não era nem um matemático no sentido em que nós entendemos hoje, nem um copista que simplesmente copiava manuscritos como Ahmes. Ele certamente teria sido um homem de muito conhecimento, mas provavelmente não estaria interessado em matemática, por si só, apenas interessado em usá-la para fins religiosos. Sem dúvida, ele escreveu o Sulbasutra para estabelecer regras para ritos religiosos e parece quase certo que Baudhayana seria, ele mesmo, um sacerdote védico.

A matemática dada nas Sulbasutras existe para possibilitar a construção precisa de altares para os sacrifícios necessários. É evidente a partir da escrita que Baudhayana que, bem como tendo sido um padre, deve ter sido um hábil artesão. Ele deve ter-se qualificado para a utilização prática da matemática descrita por ele como um artesão que construiu, ele mesmo, altares de sacrifício da mais alta qualidade.

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Abaixo damos um ou dois detalhes do Sulbasutra de Baudhayana, que continha três capítulos, é o mais antigo que nós possuímos, e seria justo dizer, um dos dois mais importantes.

O Sulbasutra de Baudhayana contém soluções geométricas (mas não algébricas) de uma equação linear com uma única incógnita. Equações quadráticas da forma ax ² = c e ax ² +bx = c também aparecem.

Vários valores de π ocorrem no Sulbasutra de Baudhayana desde que, dando interpretações diferentes, Baudhayana usa diferentes aproximações para a construção de formas circulares.Construções tomando π igual a ⁶⁷⁶ / ₂₂₅ (onde ⁶⁷⁶ / ₂₂₅ = 3,004), ⁹⁰⁰ / ₂₈₉ (onde ⁹⁰⁰ / ₂₈₉ = 3,114) e ainda ¹¹⁵⁶ / ₃₆₁ (em que ¹¹⁵⁶ / ₃₆₁ = 3,202). Nenhum deles é particularmente preciso, mas, no contexto da construção de altares, não levaria a erros visíveis.

Um interessante e bastante preciso, valor aproximado de √ 2 é dada no versículo 1 do capítulo 61 do Sulbasutra de Baudhayana. O texto sânscrito, dá em palavras o que se escreveria em símbolos como

√ 2 = 1 + ¹ / ₃ + ^​​1 / _{(3 × 4)} - ¹ / _{(3 × 4 × 34)} = ⁵⁷⁷ / ₄₀₈

o que equivale, com nove casas decimais, ao número 1,414215686, o que nos dá a raiz quadrada de 2 correta até a quinta casa decimal. Isso é surpreendente, uma vez que, como mencionamos acima, grandes precisões matemáticas não parecem necessárias para a construção descrita. Se a aproximação era dada como

√ 2 = 1 + ¹ / ₃ + ^​​1 / _{(3 × 4)}

então o erro é da ordem de 0,002 que é ainda mais preciso do que qualquer um dos valores de π. Por que então Baudhayana achou que precisava de uma melhor aproximação?

Texto adaptado de um artigo de JJ O'Connor e Robertson EF

Novembro 2000

MacTutor História da Matemática

62 - SuperAulas ENEM - Matemática - Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

A palavra é... ARITMÉTICA

A aritmética (da palavra grega ἀριθμός, arithmós , "número") é o ramo da Matemática que lida com números e com as operações possíveis entre eles. 

É o ramo mais antigo e mais elementar da Matemática, usado por quase todos, seja em tarefas do cotidiano, em cálculos científicos ou de negócios.

FONTE: Wikipedia.

Jogos matemáticos - 62

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*TEETETO

Teeteto de Atenas

Nascido : cerca de 417 aC, em Atenas, Grécia
Morte: cerca de 369 aC, em Atenas, Grécia

A maior parte do que sabemos da vida de Teeteto vem da escrita de Platão. É claro que Platão Teeteto realizada no maior respeito e escreveu dois diálogos que tiveram Teeteto como o principal personagem , um dos diálogos , sendo Teeteto , enquanto o outro é o sofista .

Em Teeteto uma discussão entre Sócrates, Teeteto eo seu professor Teodoro de Cirene é gravado. Essa conversa ocorreu em 399 aC e Teeteto é descrito como um jovem na época. Isto permite-nos dar uma data bastante precisa para o nascimento de Teeteto ( embora alguns tenham afirmado que a palavra grega poderia descrever um homem de até 21 anos de idade) . Mais uma vez a partir de Platão ficamos sabendo que o pai de Teeteto , Euphronius de Sunium , era um homem rico e deixou uma grande fortuna . No entanto , o dinheiro foi desperdiçado pelos curadores da vontade, mas , apesar disso Teeteto foi generoso com todos à sua volta.

Na aparência Teeteto tinha um nariz arrebitado e os olhos salientes , mas ele é descrito por Platão como tendo uma mente bonita e ele também é descrito como sendo um perfeito cavalheiro . Teodoro disse que de todos os seus alunos [1]: -

... ele nunca tinha encontrado alguém tão maravilhosamente talentoso.

Há duas referências a um Teeteto no léxico Suda ( um trabalho de um lexicógrafo grego do século 10 ) . Os primeiros estados ( ver, por exemplo [1] ) : -

Teeteto , de Atenas, astrônomo , filósofo, discípulo de Sócrates, ensinou na Heraclea . Ele foi o primeiro a construir os chamados cinco sólidos . Ele viveu depois da guerra do Peloponeso.

A Guerra do Peloponeso foi travada entre Atenas e Esparta de 431 aC a 404 aC para as datas aqui são consistentes desde Teeteto seria 13 anos de idade quando a guerra terminou tão dizendo que o que ele viveu depois da guerra do Peloponeso " é razoável.

A segunda referência no léxico estados Suda (ver, por exemplo [1] ) : -

Teeteto , de Heraclea em Pontus , filósofo e discípulo de Platão.

Claro que não é claro se estes se referem à mesma pessoa ou duas pessoas diferentes. Há muitos historiadores da matemática que acreditam que estes se referem à mesma pessoa . Bulmer -Thomas em [1] , no entanto, acha que a explicação de Allman em [5] é a mais provável. De acordo com esta teoria, o segundo Teeteto era filho do primeiro . Se isto é assim , então ele teria nascido quando Teeteto de Atenas estava ensinando em Heraclea e teria sido enviado por seu pai a Atenas para ser educado na Academia lá sob Platão.

Teeteto tomou parte na batalha entre Atenas e Corinto em 369 aC. Depois de absolver -se com distinção na batalha, ele foi ferido e levado de volta a Atenas . Como resultado dos ferimentos que recebeu na batalha, Teeteto contratado disenteria e morreu em Atenas.

Teeteto fez contribuições muito importantes para a matemática e, apesar de nenhum de seus escritos ter sobrevivido sabemos muito sobre sua contribuição . Livro X e XIII Livro dos Elementos de Euclides são quase certamente uma descrição do trabalho de Teeteto . Isso significa que ele foi o trabalho de Teeteto em comprimentos irracionais que é descrito no Livro X, considerado por muitos como o melhor trabalho dos Elementos. Pappus escreveu na introdução ao seu comentário ao Livro X dos Elementos de Euclides (ver, por exemplo [1] ) : -

O objetivo do livro X do tratado de Euclides sobre os " Elementos" é investigar as , as quantidades contínuas racionais e irracionais comensuráveis ​​e incomensuráveis ​​. Esta ciência tem sua origem na escola de Pitágoras, mas passou por um desenvolvimento importante nas mãos do ateniense , Teeteto , que é justamente admirado por sua aptidão natural nesta como em outros ramos da matemática . Um dos mais talentosos do homem, ele pacientemente perseguido a investigação da verdade contida nestes ramos da ciência ... e foi na minha opinião o principal meio de estabelecer distinções exatas e provas irrefutáveis ​​no que diz respeito às quantidades acima mencionadas.

Pappus diz-nos , portanto, que Teeteto foi inspirado pelo trabalho de Theodorus para trabalhar em incomensuráveis ​​e que ele fez grandes contribuições para a teoria. Na tradução de Heath, ver, por exemplo [3] , ( repetimos em uma forma ligeiramente diferente parte da citação acima por Pappus ) a teoria da irracionais : -

... foi consideravelmente desenvolvido por Teeteto o ateniense , que deu prova , nesta parte da matemática como em outros, da capacidade que tem sido justamente admirado. ... Quanto às distinções exatas das magnitudes acima mencionados e as demonstrações rigorosas das proposições para que esta teoria dá origem , eu acredito que eles estavam principalmente estabelecida por este matemático . Para Teeteto tinha distinguido raízes quadradas comensuráveis ​​de comprimento daqueles que são incomensuráveis ​​, e que dividiu as linhas irracionais mais geralmente conhecidos de acordo com as diferentes meios , atribuindo a linha medial a geometria, a aritmética e binomial para o ApoTome a harmonia , como afirma Eudemus ...

BL van der Waerden argumenta em [4] que o Livro X dos Elementos é inteiramente o trabalho de Teeteto . Ele escreve : -

Tem os mesmos Teeteto que estudaram a medial , a binomial , eo ApoTome , também definidos e investigados os outros dez irracionalidades , ou foram introduzidos mais tarde? Parece- me que tudo isso é obra de um matemático . Para o estudo das 13 irrationalities é uma unidade . A mesma idéia fundamental prevalece ao longo do livro , os mesmos métodos de prova são aplicadas em todos os casos . ... Assim, todo o livro é o trabalho de Teeteto .

No entanto, como Bulmer -Thomas aponta em [1] , o argumento de van der Waerden só comporta até se assumirmos que Euclides não fez um monte de trabalho em unificar os métodos e dando uma abordagem consistente para o trabalho do Livro X. Bulmer - Thomas prefere a conjectura de que, embora Livro X é baseado no trabalho de Teeteto há muito devido a Euclides apresentado lá também.

Platão , escrevendo em seus Teeteto de trabalho , tem Teeteto descrever como ele veio a generalizar a prova de Theodorus que √ 3 , √ 5 , ..., √ 17 eram irracionais (ver por exemplo [3] ) : -

A idéia ocorreu a nós dois [ Teeteto eo jovem Sócrates ] , vendo que essas raízes quadradas parecia ser ilimitada na multidão, para tentar chegar a um termo coletivo pelo qual poderíamos designar todas essas raízes. ... Dividimos o número , em geral, em duas classes . O número que pode ser expresso como igual multiplicado pelo igual que comparou a uma praça em forma , e chamou-lhe praça ... O número intermédio , tal como três, cinco, e qualquer número que não pode ser expressa como sendo igual multiplicado por igual ... que comparado a uma figura oblonga e chamou-lhe um número oblongo ...

Em [ 10] , no entanto, argumenta que Paiow Theodorus tinha um método geral e só apresentou os casos particulares , por razões pedagógicas . Se os seus argumentos são válidos , então , é claro, Teeteto não seria o primeiro a provar o resultado geral.

Teeteto também é pensado para ser o autor da teoria da proporção que aparece na obra de Eudoxo .

Teeteto foi o primeiro a estudar o octaedro eo icosaedro e acredita-se que o Livro XIII dos Elementos de Euclides é baseado em sua obra. Um comentário ( pensado para ser devido a Geminus ) afirma [3]: -

... os cinco dos chamados números Platônicas que , no entanto, não pertencem ao Plato , três dos cinco sendo devido às Pythagoreans , designadamente o cubo , a pirâmide , eo dodecaedro , enquanto o octaedro e icosaedro são devidos a Theaetetus .

Citamos de Pappus acima de onde ele descreveu o trabalho de Teeteto no medial , a binomial, eo ApoTome . Dadas duas grandezas a, b ​​medial é AB, binomial é a + b , e a ApoTome é a - b . É fácil de ver que a média e o binómio estão intimamente relacionadas com a média geométrica e a média aritmética , respectivamente. O que é muito menos evidente como é o ApoTome é a - b está relacionado com a média harmónica moderna .

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

abril 1999