sábado, 9 de abril de 2016
quinta-feira, 7 de abril de 2016
*PHILON
Philon de Bizâncio
Data de Nascimento: cerca de 280 aC em Bizâncio (Turquia)
Morreu em: cerca de 220 aC
Apenas algumas referências a Philon de Bizâncio existem na literatura. Ele é mencionado por Vitrúvio, que era um arquiteto e engenheiro romano. Vitruvius (século 1 aC) foi o autor do famoso tratado De architectura (On Architecture) e neste trabalho ele dá uma lista de doze inventores de máquinas que incluem Archytas (segundo lugar na lista), Arquimedes (em terceiro lugar na lista), Ctesibius (em quarto lugar na lista), e Philon de Bizâncio (sexto na lista).
Heron de Alexandria menciona um trabalho por Philon Em teatros automáticas que na verdade faz parte de seu tratado Mecânica. Eutocius também menciona Philon e cita uma obra por ele sobre a duplicação do cubo e este material é novamente contido em seu tratado Mecânica. Talvez a mais informações sobre a vida de Philon, e isso é muito pouco, na verdade, vem do único trabalho de seus mecânicos que sobreviveu (pelo menos partes principais sobreviveram). Neste tratado, ele escreve sobre a catapulta que foi recentemente inventado por Ctesibius, que mencionamos acima como vindo antes Philon na lista de inventores dadas por Vitruvius. A partir desta informação podemos datar Philon bastante precisão e sabemos que ele escreveu seus mecânicos tratadistas em torno de 250 aC.
Antes de descrever o conteúdo de Mecânica da obra de Philon vamos dar alguns pequenos detalhes da vida de Philon, que pode ser deduzida a partir de observações que ele faz neste texto. Certamente Philon descreve as viagens que fizera para Rodes e Alexandria para estudar catapultas. Ele parece ter discutido aplicações militares de catapultas com os governantes de Alexandria. O tom aqui gostaria de sugerir que Philon era um homem rico de independente significa capaz de viajar na busca de seus estudos. Por outro lado, é possível que ele foi considerado o tipo certo de pessoa cujo conselho deve ser procurado em assuntos militares e ele pode ter sido ganhava a vida aconselhando governantes militares.
Qual foi exatamente no tratado Mecânica de Philon? Sabemos que ele tinha nove livros:
1. Introdução
2. No alavanca
3. Na construção de portos marítimos
4. Na catapultas
5. Na pneumática
6. Na teatros automáticas
7. Na construção de fortalezas
8. No cerco e defender cidades
9. No estratagemas
O texto dos livros 4, 5, 7 e 8 sobreviveu, enquanto o resto foi perdido. No entanto Philon tem o hábito de referência cruzada totalmente em seu trabalho para que possamos aprender um pouco sobre o que estava contido nas seções perdidas, estudando os sobreviventes. O estilo do tratado é bastante incomum já que os livros são compostas de muitos capítulos curtos. Por exemplo livro 8 é composto por duas secções, com 75 capítulos na primeira secção e 111 capítulos na segunda seção.
Este tratado não é apenas um trabalho sobre o que consideraríamos hoje para ser matemática aplicada. Por exemplo Livro 8, além de descrever formas de defender muralhas de terra e ataque do mar, também salienta o quão importante é ter um bom médico disponível. Philon argumenta que os gravemente feridos em ataques de modo que eles não podem trabalhar pensões novamente devem ser atribuídas, e que devem ser fornecidas as esposas dos mortos para.
Para capturar uma cidade através de um cerco de uma obrigação, de acordo com Philon, fazer uso adequado de máquinas, tais como catapultas e outras máquinas de guerra. Além disso deve-se tentar privar os habitantes da cidade, subornar as pessoas adequadas para ajudá-lo, use as suas receitas de veneno para matar os habitantes, e também usar criptografia para passar mensagens secretas. Seria interessante ter detalhes de sua criptografia proposto, mas, infelizmente, o trabalho de Philon sobre este tema foi perdida.
Uma contribuição importante matemático por Philon foi o problema da duplicação do cubo. À primeira vista, isso parece muito distante dos temas já observamos que estão em seu tratado. No entanto, esta não é assim para Philon examina o seguinte problema. Dada uma catapulta, como você fazer uma segunda catapulta que pode disparar um míssil duas vezes mais pesado que o primeiro. Para fazer isso é necessário construir uma máquina cujas dimensões lineares são aumentadas exatamente a quantidade necessária para o seu volume (o cubo da dimensão linear) para o dobro.
O seu método de duplicar o cubo é semelhante à que, devido à Heron. A solução é efectivamente produzido pela intersecção de um círculo e uma hipérbole retangular.
Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson
abril 1999
MacTutor História da Matemática
Data de Nascimento: cerca de 280 aC em Bizâncio (Turquia)
Morreu em: cerca de 220 aC
Apenas algumas referências a Philon de Bizâncio existem na literatura. Ele é mencionado por Vitrúvio, que era um arquiteto e engenheiro romano. Vitruvius (século 1 aC) foi o autor do famoso tratado De architectura (On Architecture) e neste trabalho ele dá uma lista de doze inventores de máquinas que incluem Archytas (segundo lugar na lista), Arquimedes (em terceiro lugar na lista), Ctesibius (em quarto lugar na lista), e Philon de Bizâncio (sexto na lista).
Heron de Alexandria menciona um trabalho por Philon Em teatros automáticas que na verdade faz parte de seu tratado Mecânica. Eutocius também menciona Philon e cita uma obra por ele sobre a duplicação do cubo e este material é novamente contido em seu tratado Mecânica. Talvez a mais informações sobre a vida de Philon, e isso é muito pouco, na verdade, vem do único trabalho de seus mecânicos que sobreviveu (pelo menos partes principais sobreviveram). Neste tratado, ele escreve sobre a catapulta que foi recentemente inventado por Ctesibius, que mencionamos acima como vindo antes Philon na lista de inventores dadas por Vitruvius. A partir desta informação podemos datar Philon bastante precisão e sabemos que ele escreveu seus mecânicos tratadistas em torno de 250 aC.
Antes de descrever o conteúdo de Mecânica da obra de Philon vamos dar alguns pequenos detalhes da vida de Philon, que pode ser deduzida a partir de observações que ele faz neste texto. Certamente Philon descreve as viagens que fizera para Rodes e Alexandria para estudar catapultas. Ele parece ter discutido aplicações militares de catapultas com os governantes de Alexandria. O tom aqui gostaria de sugerir que Philon era um homem rico de independente significa capaz de viajar na busca de seus estudos. Por outro lado, é possível que ele foi considerado o tipo certo de pessoa cujo conselho deve ser procurado em assuntos militares e ele pode ter sido ganhava a vida aconselhando governantes militares.
Qual foi exatamente no tratado Mecânica de Philon? Sabemos que ele tinha nove livros:
1. Introdução
2. No alavanca
3. Na construção de portos marítimos
4. Na catapultas
5. Na pneumática
6. Na teatros automáticas
7. Na construção de fortalezas
8. No cerco e defender cidades
9. No estratagemas
O texto dos livros 4, 5, 7 e 8 sobreviveu, enquanto o resto foi perdido. No entanto Philon tem o hábito de referência cruzada totalmente em seu trabalho para que possamos aprender um pouco sobre o que estava contido nas seções perdidas, estudando os sobreviventes. O estilo do tratado é bastante incomum já que os livros são compostas de muitos capítulos curtos. Por exemplo livro 8 é composto por duas secções, com 75 capítulos na primeira secção e 111 capítulos na segunda seção.
Este tratado não é apenas um trabalho sobre o que consideraríamos hoje para ser matemática aplicada. Por exemplo Livro 8, além de descrever formas de defender muralhas de terra e ataque do mar, também salienta o quão importante é ter um bom médico disponível. Philon argumenta que os gravemente feridos em ataques de modo que eles não podem trabalhar pensões novamente devem ser atribuídas, e que devem ser fornecidas as esposas dos mortos para.
Para capturar uma cidade através de um cerco de uma obrigação, de acordo com Philon, fazer uso adequado de máquinas, tais como catapultas e outras máquinas de guerra. Além disso deve-se tentar privar os habitantes da cidade, subornar as pessoas adequadas para ajudá-lo, use as suas receitas de veneno para matar os habitantes, e também usar criptografia para passar mensagens secretas. Seria interessante ter detalhes de sua criptografia proposto, mas, infelizmente, o trabalho de Philon sobre este tema foi perdida.
Uma contribuição importante matemático por Philon foi o problema da duplicação do cubo. À primeira vista, isso parece muito distante dos temas já observamos que estão em seu tratado. No entanto, esta não é assim para Philon examina o seguinte problema. Dada uma catapulta, como você fazer uma segunda catapulta que pode disparar um míssil duas vezes mais pesado que o primeiro. Para fazer isso é necessário construir uma máquina cujas dimensões lineares são aumentadas exatamente a quantidade necessária para o seu volume (o cubo da dimensão linear) para o dobro.
O seu método de duplicar o cubo é semelhante à que, devido à Heron. A solução é efectivamente produzido pela intersecção de um círculo e uma hipérbole retangular.
Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson
abril 1999
MacTutor História da Matemática
quarta-feira, 23 de março de 2016
sábado, 19 de março de 2016
DIVIRTA-SE (87)
Enigma dos quatro quatros.
Este é um passatempo matemático muito popular:
Use exatamente quatro quatros para formar cada número inteiro de 0 a 50, utilizando apenas os operadores +, -, x, /, () ( parêntesis), elevar ao quadrado e ! (fatorial).
Exemplo: 0 = 44-44
Este é um passatempo matemático muito popular:
Use exatamente quatro quatros para formar cada número inteiro de 0 a 50, utilizando apenas os operadores +, -, x, /, () ( parêntesis), elevar ao quadrado e ! (fatorial).
Exemplo: 0 = 44-44
quarta-feira, 9 de março de 2016
segunda-feira, 7 de março de 2016
*CONON
Conon de Samos
Data de Nascimento: cerca de 280 aC, em Samos
Morreu em: cerca de 220 aC na (possivelmente) Alexandria, Egito
Conon de Samos é dito ter servido como astrónomo tribunal para Ptolomeu III (também conhecido como Ptolomeu Euergetes) em Alexandria, ver, por exemplo [1] e [2]. No entanto, Neugebauer [5] afirma que: -
É apenas uma invenção moderna para fazer Conon um "astrônomo tribunal»; tal classificação existia no Egito ptolomaico ...
Conon é lembrado especialmente para Bloqueio poema de Calímaco de Berenice sobre a constelação Coma Berenices. Pode ser como um resultado desse poema que Conon é bem conhecido por Virgílio e Propércio.
A história da constelação Coma Berenices é que a rainha Berenice II, a esposa de Ptolomeu Euergetes, jurou um voto que ela iria dedicar uma mecha de seu cabelo para o templo se o marido voltou vitorioso da Terceira Guerra sírio. A guerra foi travada por Ptolomeu Euergetes para vingar o assassinato de sua irmã na Síria. Quando voltou vitorioso em 245 aC, Berenice cortou a mecha de seu cabelo e colocou-o no templo. No dia seguinte, a mecha de cabelo tinha desaparecido e Conon declarou que ele poderia vê-lo nas estrelas entre Virgo, Leo e Bootes. A partir desse momento a constelação tem sido conhecido como Coma Berenices.
Conon era um amigo ao longo da vida de Arquimedes e os dois trocaram ideias matemáticas. Heath [4] escreve: -
Foi provavelmente em Alexandria que [Arquimedes] fez o conhecimento de Conon de Samos (por quem tinha o maior respeito tanto como um matemático e um amigo).
Pappus afirma que a curva de agora conhecida como a espiral de Arquimedes foi descoberto por Conon embora tenha sido muito utilizado por Arquimedes. Heath escreve em [4] que Conon foi: -
... Citado como o proponente de um teorema sobre a espiral em um plano que Arquimedes provou: isso seria, no entanto, parece ser um erro, como Arquimedes diz no início de seu tratado que ele enviou certos teoremas, sem provas, a Conon, que teria certamente provou que ele tinha vivido.
O trabalho de Conon sobre cónicas tornou-se uma base para o quarto livro de cônicas de Apolônio de Perga apesar do fato de que Apolônio faz menos de admirar observações sobre Conon no prefácio. Apolônio diz que Conon enviou um pedaço de trabalho para Trasídeo que discutiu os pontos de intersecção das cônicas (incluindo círculos), mas que os resultados de Conon estão incorretos e foram vistos a ser assim por Nicoteles de Cirene. O trabalho a que se refere Apolônio é de Conon Prós Thrasydaion que agora está perdido por isso não podemos julgar a exatidão dos comentários.
Também é perdido grande trabalho de Conon sobre astronomia, os sete livros de De astrologia, que incluíram observações do eclipse solar. Ptolomeu atribui dezessete "sinais das estações" a Conon que ele pode ter dado neste trabalho. Como a habilidades de Conon, como observador, Seneca, escrevendo no primeiro século dC, diz [5]: -
... Que Conon era um observador cuidadoso e que ele "eclipses solares registrados observados pelos egípcios".
Mas Neugebauer [5] acrescenta que este é: -
... Uma história difícil levar a sério, tendo em conta o que sabemos da astronomia egípcia.
Para a discussão sobre a obra de Conon com as observações da Babilônia, consulte o artigo [3].
Outra avaliação do Conon veio em forma poética de Catulo, poeta romano (84 aC - 54 aC), que escreveu que Conon (ver por exemplo [1]): -
... Discernido todas as luzes do vasto universo, e divulgados os levantes e as configurações das estrelas, como o brilho de fogo do sol é escurecido, e como as estrelas recuam em horários fixos.
Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson
abril 1999
MacTutor História da Matemática
Data de Nascimento: cerca de 280 aC, em Samos
Morreu em: cerca de 220 aC na (possivelmente) Alexandria, Egito
Conon de Samos é dito ter servido como astrónomo tribunal para Ptolomeu III (também conhecido como Ptolomeu Euergetes) em Alexandria, ver, por exemplo [1] e [2]. No entanto, Neugebauer [5] afirma que: -
É apenas uma invenção moderna para fazer Conon um "astrônomo tribunal»; tal classificação existia no Egito ptolomaico ...
Conon é lembrado especialmente para Bloqueio poema de Calímaco de Berenice sobre a constelação Coma Berenices. Pode ser como um resultado desse poema que Conon é bem conhecido por Virgílio e Propércio.
A história da constelação Coma Berenices é que a rainha Berenice II, a esposa de Ptolomeu Euergetes, jurou um voto que ela iria dedicar uma mecha de seu cabelo para o templo se o marido voltou vitorioso da Terceira Guerra sírio. A guerra foi travada por Ptolomeu Euergetes para vingar o assassinato de sua irmã na Síria. Quando voltou vitorioso em 245 aC, Berenice cortou a mecha de seu cabelo e colocou-o no templo. No dia seguinte, a mecha de cabelo tinha desaparecido e Conon declarou que ele poderia vê-lo nas estrelas entre Virgo, Leo e Bootes. A partir desse momento a constelação tem sido conhecido como Coma Berenices.
Conon era um amigo ao longo da vida de Arquimedes e os dois trocaram ideias matemáticas. Heath [4] escreve: -
Foi provavelmente em Alexandria que [Arquimedes] fez o conhecimento de Conon de Samos (por quem tinha o maior respeito tanto como um matemático e um amigo).
Pappus afirma que a curva de agora conhecida como a espiral de Arquimedes foi descoberto por Conon embora tenha sido muito utilizado por Arquimedes. Heath escreve em [4] que Conon foi: -
... Citado como o proponente de um teorema sobre a espiral em um plano que Arquimedes provou: isso seria, no entanto, parece ser um erro, como Arquimedes diz no início de seu tratado que ele enviou certos teoremas, sem provas, a Conon, que teria certamente provou que ele tinha vivido.
O trabalho de Conon sobre cónicas tornou-se uma base para o quarto livro de cônicas de Apolônio de Perga apesar do fato de que Apolônio faz menos de admirar observações sobre Conon no prefácio. Apolônio diz que Conon enviou um pedaço de trabalho para Trasídeo que discutiu os pontos de intersecção das cônicas (incluindo círculos), mas que os resultados de Conon estão incorretos e foram vistos a ser assim por Nicoteles de Cirene. O trabalho a que se refere Apolônio é de Conon Prós Thrasydaion que agora está perdido por isso não podemos julgar a exatidão dos comentários.
Também é perdido grande trabalho de Conon sobre astronomia, os sete livros de De astrologia, que incluíram observações do eclipse solar. Ptolomeu atribui dezessete "sinais das estações" a Conon que ele pode ter dado neste trabalho. Como a habilidades de Conon, como observador, Seneca, escrevendo no primeiro século dC, diz [5]: -
... Que Conon era um observador cuidadoso e que ele "eclipses solares registrados observados pelos egípcios".
Mas Neugebauer [5] acrescenta que este é: -
... Uma história difícil levar a sério, tendo em conta o que sabemos da astronomia egípcia.
Para a discussão sobre a obra de Conon com as observações da Babilônia, consulte o artigo [3].
Outra avaliação do Conon veio em forma poética de Catulo, poeta romano (84 aC - 54 aC), que escreveu que Conon (ver por exemplo [1]): -
... Discernido todas as luzes do vasto universo, e divulgados os levantes e as configurações das estrelas, como o brilho de fogo do sol é escurecido, e como as estrelas recuam em horários fixos.
Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson
abril 1999
MacTutor História da Matemática
terça-feira, 23 de fevereiro de 2016
sexta-feira, 19 de fevereiro de 2016
DIVIRTA-SE (86)
Na multiplicação abaixo, cada letra corresponde a um número.
Determine o valor de cada letra.
Determine o valor de cada letra.
A B C 4 D E
x 7
6 7 4 3 F 5 6
terça-feira, 9 de fevereiro de 2016
domingo, 7 de fevereiro de 2016
*CRISIPO
Crisipo de Soli
Data de Nascimento: 280 aC em Soli, Cilícia, na Ásia Menor (atual Soloi, Turquia)
Morreu em: 206 aC em Atenas, Grécia
Crisipo foi de raízes fenícias. Ele veio para Atenas para estudar filosofia na Academia com Arcesilaus. Depois de um tempo, ele deixou a Academia e se mudou para a Academia Pórtico Pintado em Atenas, onde foi aluno na Escola fundada por Zeno de Citium.
Até o momento Crisipo se juntou ao Poikile Academy Stoa, Cleanthes de Assos havia se tornado a segunda cabeça após a morte de Zeno. Crisipo estudou com Cleanthes, mas ele também foi influenciado pelos ensinamentos de Platão. Em 232 aC Crisipo tornou-se o terceiro chefe do Pórtico Pintado após a morte de Cleanthes. Ele foi para continuar a manter esta posição até sua própria morte.
Há evidências a partir dos escritos de Chrysippus que ele era pobre ao longo de sua vida. Certamente, ele declarou que, para um filósofo para se tornar rico, ele pode servir a um rei (ou mesmo, disse Crisipo, tornou-se um rei). Contudo, é evidente que ele não adotar este caminho para uma renda constante. Caso contrário, Crísipo escreve, o filósofo deve confiar em seus amigos e em ensinar a fim de viver, e parece que este é o meio pelo qual ele fez sua pequena renda.
Outra peça de informação, que mais uma vez não é surpreendente, é que Crisipo escreveu grega com estilo muito pobre. Esta parece ter sido uma característica das pessoas de Soli, e este é preservado hoje na expressão "solecismo". Apesar de sua prosa grega sendo estranho, ele era um escritor prolífico, que se diz ter escrito 705 rolos de papiros, nenhum dos quais são permanece até hoje.
Juntamente com Zeno de Citium, Crísipo é considerado o co-fundador do estoicismo. Estoicismo leva o nome de Academia Poikile Stoa que por sua vez significa "Colonnade pintado", o lugar onde o fundador da academia normalmente leccionado.
Crisipo foi um dos primeiros a organizar a lógica proposicional como uma disciplina intelectual. proposições não analisados unidas por conectivos foram estudados. Isto permitiu que os estóicos a fazer grandes avanços em matemática e ciências. O termo "disjunção" lógico é certamente devido ao estóicos e é pensado para ter originado com Crisipo. Diógenes Laércio em [3] lista 118 obras sobre a lógica por Crisipo, e destes 118 há sete livros que ocupam 15 rolos de papiros relativas ao Mentiroso Paradox.
Uma alegação que Crisipo fez na área da lógica era a rejeitar que o impossível não se segue a partir do possível. Seus argumentos em relação a este são apresentados em [8], que também examina de forma mais geral a sua opinião sobre a lógica modal.
Em Física Crisipo fez distinções entre "todo" e "todos" ou "universo". Ele argumentou que o "todo" é o mundo, enquanto o "tudo" é o vazio externo, em conjunto com o mundo. Ele acreditava que a lógica e física são necessários para diferenciar entre o bem eo mal. Para Crísipo é necessário um conhecimento da física antes de ética pode ser formulado. Para ele, o valor da física e da lógica é principalmente para este fim.
Russell em [4] diz: -
Crisipo ... tinha uma elaborada teoria do conhecimento, na principal empírica e com base na percepção, apesar de [ele] permitiu certas idéias e princípios, que foram realizadas a ser estabelecido por ... o acordo da humanidade.
Uma das contribuições de Crisipo a matemática é sua afirmação de que 'um' é um número. Pode parecer estranho para nós a perceber que 'um' já não foi considerado como um número, mas, claro, um pouco de reflexão deixa claro que, na verdade, não há necessidade para um número para descrever um único objeto. Na verdade "um" foi considerado como aquele pelo qual as coisas são medidas. Aristóteles, em Metafísica escreve (ver por exemplo [5]): -
... Uma medida que não é das coisas medidos, mas a medida ou o Uno é o começo de número.
Crísipo disse 'um' era 'uma multidão "e deve ser considerado como um número, mas isso não foi imediatamente aceito, Jâmblico escrito que" uma multidão "era uma contradição em termos.
Plutarco em noções comuns contra os estóicos relata um dilema proposto por Demócrito como relatado por Crisipo sobre um cone cortado por um plano paralelo à sua base. Crisipo argumenta contra a interpretação do dilema alegando que ele é baseado na suposição de que as linhas matemáticas têm uma estrutura atômica e não são, portanto, infinitamente divisível. No entanto Heath [5] não acredita, como Crisipo faz, que Demócrito diz respeito linhas matemáticas como tendo uma estrutura atômica. Este aspecto das ideias de Crisipo de Solis são discutidas no artigo interessante [7].
Há um ditado muito antigo diz de Crisipo, que: -
... Só ele é o sábio, os outros só agem como sombras.
Há outro ditado (ver por exemplo [6]): -
Se não tivesse havido Crisipo, não teria havido nenhuma estoicismo
o que certamente não exagerar grandemente a sua importância.
Há uma série de versões de como Chrysippus morreu, um dos quais diz que ele bebeu um pouco mais de vinho prova enquanto outra diz que ele morreu de rir. Consult [3] para mais detalhes (provavelmente fictício) de sua vida.
Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson
abril 1999
MacTutor História da Matemática
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