42 - Lugares Geométricos - Matemática - Vestibulando Digital

Jogos matemáticos - 42

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O Legado de Pitágoras - 03 - Desafiando Pitágoras

*BOLYAI

János Bolyai

Data de Nascimento: 15 de dezembro, 1802 Kolozsvár , Hungria ( agora Cluj , Roménia)
Morreu em: 27 de janeiro de 1860 Marosvásárhely , Hungria ( agora Tirgu - Mures, Roménia)

Os pais de János Bolyai foram Zsuzsanna Benkö , de Kolozsvár e Farkas Bolyai , de Bolya (perto Nagyszeben ) . János nasceu em Zsuzsanna da casa dos pais em Kolozsvár ( agora renomeada Cluj , na Roménia ), mas logo foi para Marosvásárhely onde seu pai Farkas tinha um trabalho para os calvinistas universitários de ensino de matemática , física e química . Farkas Bolyai sempre quis seu filho para ser um matemático , e ele trouxe -lo com isso em mente. Pode-se supor que isto significaria que a educação de János foi colocado pela primeira vez na casa Bolyai , mas não foi assim para Farkas acredita-se que uma mente sã só poderia conseguir grandes coisas se fosse em um corpo saudável som , eu sei que em seus primeiros anos mais foi dada atenção ao desenvolvimento físico do János . Ficou claro desde o início , no entanto, János Isso era uma criança extremamente inteligente e atento [7] : -

... Quando ele tinha quatro anos ele poderia distinguir certas figuras geométricas , sabia sobre a função seno , e pode identificar as melhores constelações conhecidas. Até o momento ele tinha cinco anos [ ele ] tinha - aprendido, praticamente sozinho, para ler. Ele estava bem acima da média em línguas e música de aprendizagem. Com a idade de sete anos ele assumiu a tocar violino e os progressos realizados mais disponível que ele foi logo tocando peças de concerto difíceis.

É importante compreender que, embora Farkas tinha um post palestras que ele não estava bem pagos e até mesmo Embora ele ganhou dinheiro extra a partir de uma variedade de fontes diferentes , János ainda foi trazido em condições financeiras ruins. Também a mãe de János era uma pessoa bastante difícil ea casa não era um lugar particularmente feliz para o menino crescer.

Até János tinha nove anos os melhores alunos do Colégio Marosvásárhely ensinou-lhe todas as disciplinas escolares habituais , exceto matemática, que ele foi ensinado por seu pai. Somente a partir de nove anos de idade ele frequentar a escola. Até o momento Bolyai tinha 13 anos, ele tinha dominado os cálculos e outras formas de mecânica analítica , o seu pai continua a dar-lhe instruções . Por esta altura, no entanto , ele estava freqüentando o Colégio Calvinista em Marosvásárhely Apesar de ter começado no quarto ano e frequentou aulas muitas vezes destinados para os alunos seniores.

Em 1816, Farkas escreveu a Gauss Seu amigo perguntando se ele iria deixar János viver com ele e levá-lo como aluno eu sei que ele pode receber a melhor educação possível matemática. Certamente teria sido uma educação maravilhosa para János e é interessante especular que benefícios pode ter como para o mundo da matemática, se ele tivesse aceitado o plano. Gauss No entanto, rejeitou a idéia. Quando János formou na faculdade Marosvásárhely em 30 de junho de 1817 não estava claro como ele poderia conseguir uma boa educação matemática . Nenhuma das universidades em Pest ou Viena oferecidas de boa qualidade da educação matemática , neste momento, e Farkas não podia dar ao luxo de enviar seu filho para eles a mais prestigiosa universidade no exterior. Os János decisão de que iria estudar engenharia militar na Academia de Engenharia em Viena não foi tomada sem muita dor de cabeça e busca da alma , mas no final desta rota foi escolhida como a menos má das opções. Isso não quer dizer que a Academia não o fez sobressair no ensino da matemática , pois na verdade o assunto foi Salientou Durante todo o curso . János permaneceu por mais um ano no Colégio Marosvásárhely tentativa de ganhar a entrada para a Academia em Viena, ao mais alto nível possível, que ele alcançou.

Ele estudou no Royal Faculdade de Engenharia , em Viena 1818-1822 concluir o curso de sete anos em quatro anos. Ele era um estudante excepcional e de seu segundo ano de estudo, ele veio por cima na maioria dos temas que estudou. Além disso, ele teve tempo para se tornar um excelente desportista, e ele continuou a tomar o seu violino a sério e executada enquanto em Viena. Sua mãe morreu em 18 setembro de 1821 , mas ele foi capaz de continuar seus estudos. Quando ele se formou na Academia em 6 de setembro de 1822 ele teve mais disponível Alcançados notável sucesso que ele passou mais um ano em Viena, em estudos acadêmicos antes de entrar no serviço militar. Claro que ele tinha recebido treinamento militar durante o seu tempo em Viena , para os meses de verão foram dedicadas a isso, mas a natureza de Bolyai não lhe permitia aceitar facilmente a rigorosa disciplina militar.

Em setembro de 1823 Entrou no corpo de engenharia do exército como um subtenente e foi enviado para trabalhar em fortificações no Temesvár . Ele gastou um total de 11 anos no serviço militar e tinha a fama de ser o melhor espadachim e dançarina do Exército Imperial Austro -Húngaro. Ele não fumava nem bebia , nem mesmo café, e com a idade de 23 , ele foi relatado para ainda manter a modéstia de inocência. Ele também era um poliglota que fala nove línguas , incluindo chinês e tibetano.

Por volta de 1820 , quando ele ainda estava estudando em Viena, Bolyai começou a seguir o mesmo caminho que seu pai tinha tomado na tentativa de substituir o axioma das paralelas de Euclides com um outro axioma que poderia ser deduzida a partir das outras. Na verdade, ele deu -se esta abordagem para ainda Dentro de um ano , em 1820, como Seus cadernos mostram agora, ele começou a desenvolver as idéias básicas da geometria hiperbólica . Em 03 de novembro de 1823 , ele escreveu a seu pai que ele teve: -

... criou um novo , um outro mundo a partir do nada ...

mas ele ainda acrescentou algumas linhas mais tarde que não foi criado ainda. Por volta de 1824 No entanto, há evidências que sugerem que ele tinha desenvolvido mais do que deveria aparecer em seu tratado como um sistema completo de geometria não-euclidiana . No início de 1825 Bolyai viajou para Marosvásárhely e explicou suas descobertas a seu pai. No entanto Farkas Bolyai não reagiu com entusiasmo o que claramente desapontado János . Bolyai foi enviada para Arad em 1826 e lá encontrou Wolther que o Capitão von Eckwehr , um de seus antigos professores de matemática da Academia de Viena , também estava estacionado . Bolyai deu-lhe um projecto de materiais que ele estava escrevendo sobre a teoria da geometria , pois , provavelmente, esperava alguns comentários construtivos dele. No entanto, afigura-se de escritos posteriores de Bolyai Que ele não tem nada de von Eckwehr , em particular, ele nunca recebeu o manuscrito de volta.

Em 1830, Bolyai - aprendi que ele estava a ser enviado para uma postagem em Lemberg . No início de 1831 , ele partiu para Lemberg , mas visitou o Seu Pai em Marosvásárhely em seu caminho . Até agora Farkas tinha chegado a compreender o significado completo do que o seu filho tinha feito e fortemente encorajou a escrever o trabalho para publicação como um anexo à Tentamen que estava perto de publicação. Bolyai escreveu mais tarde: -

Se meu pai não aconteceu para exortar ou mesmo forçar-me a Marosvásárhely , na minha maneira de dever em Lemberg , imediatamente a colocar as coisas no papel, possivelmente, o conteúdo do Anexo nunca teria visto a luz do dia .

O que estava contido nesta obra-prima matemática ? Depois de configurar suas próprias definições de " paralelo" e mostrar que se o quinto postulado realizada em uma região do espaço realizada todo , e vice- versa , então ele declarou claramente os diferentes sistemas que iria considerar: -

... denotamos por Σ um sistema de geometria com base na hipótese de que o quinto postulado de Euclides é verdade, e S pelo sistema com base na hipótese contrária. Todos os teoremas estávamos sem Especificando o sistema Σ ou S em que o teorema é válido se destinam a ser absoluta , isto é, válida independentemente de Σ ou S é verdade.

Hoje chamamos Estes três geometrias euclidiana , hiperbólica e absoluta. A maioria das apêndice aborda geometria absoluta. Até 20 de Junho de 1831, o Anexo tinha sido publicado naquele dia para Farkas Bolyai enviou para reimprimir a Gauss que , ao ler o Apêndice , escreveu a um amigo dizendo : -

Eu considero este jovem geômetra Bolyai como um gênio de primeira ordem .

Para Farkas Bolyai , no entanto , Gauss escreveu: -

Elogiá-lo equivaleria a me elogiar . Para a totalidade do conteúdo do trabalho ... coincide quase exatamente com as minhas próprias meditações que ocuparam minha mente durante os últimos trinta ou 35 anos .

Não há dúvida de que Gauss estava simplesmente declarando fatos aqui . A referência mais clara nas cartas de Gauss à Sua obra sobre a geometria não-euclidiana , que mostra a profundidade de sua compreensão , ocorre em uma carta que ele escreveu para Taurinus em 08 de novembro de 1824 , quando ele escreveu : -

A suposição de que a soma dos três ângulos de um triângulo é menor do que 180 ° leva a uma geometria curioso , bastante diferente do nosso [isto Geometria euclidiana ] mas completamente consistente, o que eu tenho desenvolvido para toda a minha satisfação , eu sei que posso resolver todos os problemas nele com exceção da determinação de uma constante, o que não pode ser fixado a priori. .... os três ângulos de um triângulo ser tão pequena quanto se queira , se apenas os lados são tomados suficientemente grande, no entanto, a área do triângulo nunca pode ser superior a , ou até se atingir um certo limite, independentemente de quão grande é os lados são .

Bolyai não permanecem por muito tempo em Lemberg , em 1832, ele foi enviado a Olmutz onde ele agora era um capitão . A descoberta de que Gauss tinha antecipado muito do seu trabalho , no entanto, muito chateado Bolyai que tomou isso como um duro golpe . Ele ficou irritado e uma pessoa difícil de obter com . Começou a sua saúde se deteriorou e ele foi atormentado por uma febre que freqüentemente desativado ele para que ele achou cada vez mais difícil de realizar seus deveres militares . Aposentou-se em 16 de junho de 1833, pedindo para ser aposentada , e por um curto período de tempo foi morar com o pai.

Depois de passar um tempo com seu pai , Bolyai foi morar na propriedade da família em Domald que a família tinha herdado da mãe de Farkas Bolyai . Ele havia conhecido Rozália Kibédi Orbán e viveram juntos na Domald de 1834. Eles não se casar, no entanto , desde que a lei insistia em dinheiro a ser depositado antes de um casamento pode ter lugar e Bolyai não poderia arcar com o dinheiro. Ele teve dois filhos com Rozália mas sua pensão era insuficiente para permitir que a família viver com conforto . Ele não parece ter conseguido bem o dinheiro que ele tinha normal ter mantido a propriedade em boas condições. Parece que Farkas Bolyai não aprovava Rozália , estava descontente com a situação financeira de seu filho, foi infeliz Que a propriedade da família em Domald não estava sendo bem cuidada , e foi infeliz que seu filho estava prejudicando o seu bom nome para Farkas foi altamente membro respeitado da comunidade.

Certamente Bolyai continuou a desenvolver teorias matemáticas , enquanto ele vivia em Domald , mas estar isolado do resto do mundo da matemática muito do que ele tentou foi de pouco valor. Sua única grande empresa , para tentar desenvolver toda a matemática com base em sistemas axiomáticos , foi iniciado em 1834, para que ele escreveu no prefácio Naquele ano, mas ele nunca concluiu o trabalho . O que ele escreveu geometria em causa e há várias idéias deste trabalho inédito que estavam à frente de seu tempo , tais como : noções de invariância topológica.

Além de seu trabalho em geometria, Bolyai desenvolveu um conceito geométrica rigorosa dos números complexos como pares ordenados de números reais. Isso ele fez Jablonowsky porque a sociedade em Leipzig tinha colocado uma chamada de trabalhos sobre o tema. Ambos Bolyai e seu pai apresentou documentos , mas não foram bem recebidos. O trabalho de János foi chamado Responsio e foi escrito para responder à questão de saber se as quantidades imaginárias utilizadas em geometria poderia ser construído. Bolyai que escolheu para discutir a questão foi mal formulada , talvez não seja a melhor maneira de encontrar favor com os juízes . Ele argumentou que não era que a sua construção Isso era importante , era sim a sua definição e seu papel na geometria que foram significativas.

Em 1846 mudou-se Bolyai do verão em Domald para Marosvásárhely . Esta Isso significava que ele estava mais perto de Seu Pai e isso parecia tornar as relações entre os dois tensas mesmo amoras . Em 1848, Bolyai descoberto que Lobachevsky tinha publicado um pedaço de trabalho semelhante em 1829. Kagan escreve [ 14] : -

János estudou a obra de Lobachevsky cuidado e Analisados ​​linha por linha , palavra por palavra não quer dizer, com tanto cuidado como ele administrou a trabalhar no apêndice . O trabalho provocou uma verdadeira tempestade em sua alma e deu saída para suas tribulações nos comentários adicionados dos Exames geométricas ".

Os 'Comentários' para o ' Exames geométrica ' são mais do que uma análise crítica do trabalho . Eles expressam os pensamentos e angústias dos János provocadas pela leitura do livro. Incluem sua queixa de que ele foi injustiçado, sua suspeita de que Lobachevsky não existem, e que tudo foi o rancoroso maquinações de Gauss : é o trágico lamento de um geômetra engenhoso que estava ciente do significado de sua descoberta , mas não conseguiu obter o apoio da única pessoa que poderia ter apreciado seus méritos .

Apesar de sua agitação mental em meio à qual János observações colocadas no papel , ele preservou o suficiente objetividade aprecio muito o trabalho do seu rival. Em seu comentário ao Teorema 35 Que observações sobre as provas de Lobachevsky trigonometria esférica urso a impressão de genialidade e seu trabalho deve ser respeitado como uma conquista magistral .

Em 1852 Bolyai esquerda Rozália , - com quem se casou em 18 de maio de 1849 acreditando que a lei agora mudou para os dois Hungatian declaração de independência, e dividir com Rozália pelo menos teve a vantagem de que a melhoria das relações com seu pai . Ele desistiu de trabalhar a matemática em seus últimos anos e em vez disso tentou construir uma teoria de todo o conhecimento . Há idéias interessantes contidas nas seções sobre lingüística e sociologia.

Apesar de nunca ter publicado mais do que as poucas páginas do Apêndice deixou mais de 20 mil páginas do manuscrito de trabalho matemático Quando Ele morreu de pneumonia na idade de 57 . Estes são agora na biblioteca Bolyai - Teleki em Tirgu - Mures . Em 1945 universidade em Cluj foi nomeado depois dele, mas foi fechado pelo governo de Ceausescu em 1959.

A imagem dele é tirado de um selo emitido pelos Correios húngaro para celebrar o centenário de sua morte. Não se acredita ser autêntico e não existe autêntica da imagem .


Artigo por: J O'Connor e Robertson E F

mar 2004

ARTE MATEMÁTICA (42)

Vários hexágonos foram construídos um dentro do outro. Perceba o efeito obtido.

MATEMÁGICA? (42)

Pegue uma calculadora e faça as operações abaixo.
Antes porém, lembre-se de que deve fazer as multiplicações e as potências antes das somas e das subtrações...

    6² - 3 x 12 = 
    7² - 4 x 12 = 
    8² - 5 x 12 = 
    9² - 6 x 12 = 
  10² - 7 x 12 = 
  11² - 8 x 12 = 
  12² - 9 x 12 =
13² - 10 x 12 =
14² - 11 x 12 =
15² - 12 x 12 =
16² - 13 x 12 =

Então? Percebeu que números são estes que apareceram nas respostas???

Tente estas outras:


    3² - 2 x 4 = 
    4² - 3 x 4 =
    5² - 4 x 4 =
    6² - 5 x 4 =
    7² - 6 x 4 =
    8² - 7 x 4 =
    9² - 8 x 4 =
  10² - 9 x 4 =
11² - 10 x 4 =
12² - 11 x 4 =

Que tal?!?

41 - Teorema de Tales, Pitágoras, Semelhança de Triângulos - Matemática - Vestibulando Digital

Jogos matemáticos - 41

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O Legado de Pitágoras - 02 - Pitágoras e outros

*ABEL

Niels Henrik Abel

Data de Nascimento: 5 de agosto de 1802 Frindöe (perto de Stavanger) , Noruega
Morreu em: 06 abril de 1829 Froland , Noruega

A vida de Niels Abel foi dominado pela pobreza e começamos por colocar isso em contexto , olhando rapidamente para os problemas políticos que levaram aos problemas econômicos na Noruega. No final do século 18 na Noruega era parte da Dinamarca e os dinamarqueses tentaram permanecer neutros com as guerras napoleônicas. No entanto, um tratado de neutralidade em 1794 foi considerado como ato agressivo pela Grã-Bretanha e , em 1801 , a frota britânica destruiu a maior parte da frota dinamarquesa em uma batalha no porto de Copenhague. Apesar disso Dinamarca-Noruega evitado guerras até 1807 , quando a Inglaterra temia que a frota dinamarquesa pode ser usado pelos franceses para invadir. Usando a filosofia de que o ataque é a melhor forma de defesa , o Inglese atacado e capturado toda a frota dinamarquesa em Outubro de 1807.

Dinamarca , em seguida, juntou-se à aliança Grã-Bretanha Grã-Bretanha. O poder continental bloquearam Grã-Bretanha, e como um contador para este Grã-Bretanha bloqueado Noruega. O bloqueio duplo foi uma catástrofe para a Noruega impedindo a sua exportação de madeira , que tinha sido em grande parte para a Grã-Bretanha , e impedindo a sua importação de grãos da Dinamarca. Uma crise econômica na Noruega Seguido com as pessoas que sofrem fome e da extrema pobreza. Em 1813, Suécia Dinamarca atacado a partir do sul e, ao Tratado de Kiel , em janeiro de 1814, a Dinamarca entregou a Noruega para a Suécia. Uma tentativa de independência por parte de alguns meses mais tarde levou a Noruega para a Suécia atacando a Noruega , em Julho de 1814. Suécia ganhou o controle da Noruega , a criação de uma completa autonomia interna para a Noruega com um governo em Christiania (que é chamado hoje Oslo ) . Neste momento difícil Abel estava crescendo em Gjerstad no sudeste da Noruega.

O pai de Abel , Sören Georg Abel , tinha uma licenciatura em teologia e filologia e seu pai ( avô de Niels Abel ) foi um pastor protestante em Gjerstad perto Risor . Sören Abel era um nacionalista norueguês que era politicamente ativo no movimento para fazer independente Noruega. Sören Abel casou Ane Marie Simonson , a filha de um comerciante e proprietário do navio , e foi nomeado como ministro em Finnoy . Niels Abel , o segundo de sete filhos, foi um ano de idade quando seu avô morreu e seu pai foi nomeado para sucedê-lo como ministro em Gjerstad . Foi na cidade que esse Abel foi criado , ensinado por seu pai na paróquia até que ele atingiu 13 anos de idade. No entanto, 13 Estes foram os anos de crise econômica para a Noruega descrito acima e os pais de Abel não teria sido capaz de alimentar a sua família muito bem. Os problemas não foram totalmente político , quer para [14] : -

Pai [ Abel ] foi, provavelmente, um bêbado e sua mãe foi acusada de ter moral frouxa .

O pai de Abel , contudo, foi importante na política da Noruega e , depois da Suécia ganhou o controle da Noruega , em 1814 , ele foi envolvido dentro de escrever uma nova constituição para a Noruega como um membro do Storting , o órgão legislativo da Noruega. Em 1815, Abel e seu irmão mais velho foram enviados para a Escola Catedral em Christiania . A fundação da Universidade de Christiania tinham tirado os bons professores da Escola Catedral ao pessoal University Quando abriu para o ensino em 1813. O que tinha sido uma boa escola estava em um estado ruim Quando Abel chegou. Uninspired pela má escola, ele provou ser um aluno bastante comum com algum talento para a matemática e física.

Quando um novo professor de matemática Bernt Holmboe ingressou na escola em 1817 as coisas mudaram consideravelmente para Abel. O professor de matemática anterior havia sido demitido por punir severamente um menino que eu sabia que ele tinha morrido. Abel começou a estudar textos de matemática de nível universitário e , dentro de um ano da chegada de Holmboe , Abel estava lendo as obras de Euler , Newton, Lalande e d' Alembert . Holmboe estava convencido de que Abel tinha um grande talento e encorajou-o muito de levá-lo para estudar as obras de Lagrange e Laplace . No entanto, em 1820, a tragédia se abateu a família de Abel quando seu pai morreu .

O pai de Abel teve sua carreira política terminou em desgraça , fazendo falsas acusações contra seus colegas no Storting depois que ele foi eleito para o corpo novamente em 1818. Seus hábitos de beber em excesso também contribuiu para sua demissão ea família estava no problema mais profundo Por isso quando ele morreu. Agora não havia dinheiro para permitir a Abel para completar sua educação escolar , nem dinheiro para lhe permitir estudar na universidade e , em adições , Abel teve a responsabilidade de sustentar sua mãe e família.

Holmboe Abel foi capaz de ajudar a ganhar uma bolsa de estudos para permanecer na escola e Abel foi capaz de entrar na Universidade de Christiania em 1821, dez anos após a universidade foi fundada . Holmboe tinha levantado o dinheiro de seus colegas para que Abel para estudar na universidade e se formou em 1822. Enquanto em seu último ano na escola, no entanto , Abel tinha começado a trabalhar na solução de equações de quinto grau por radicais . Ele acreditava que tinha resolvido o quinto grau em 1821 e um artigo submetido ao matemático dinamarquês Ferdinand Degen , para publicação pela Royal Society of Copenhagen . Degen Abel pediu para dar um exemplo numérico de seu método e , ao tentar dar um exemplo, Abel descobriu em seu erro do papel. Dado Abel Degen tinha alguns conselhos importantes que era constituí-lo trabalhando em uma área da matemática (ver [ 2] ) : -

... desenvolvimento cujo teria maiores conseqüências para a análise e mecânica. Refiro-me integrais elípticas . Um investigador sério com qualificações adequadas para a investigação desse tipo teria de modo algum ser restrito às muitas belas propriedades dessas funções mais notáveis ​​, mas pode descobrir uma Estreito de Magalhães, levando em grandes extensões de um oceano analítica tremenda .

Na Universidade de Christiania Abel encontrou um torcedor do professor de astronomia Christopher Hansteen , que forneceu apoio financeiro e incentivo. A esposa de Hansteen Começou a cuidar de Abel como se ele fosse seu próprio filho. Em 1823, Abel publicou trabalhos em equações funcionais e integrais em uma nova revista científica iniciados por Hansteen . No terceiro artigo de Abel , soluções de alguns problemas definidos por meio de integrais que ele deu a primeira solução de uma equação integral.

Abel foi dada uma pequena subvenção para visitar Degen e outros matemáticos , em Copenhague. Lá, ele conheceu Christine Kemp , que pouco depois se tornou sua noiva. Retornando ao Christiania , Abel tentou obter a Universidade de Christiania para dar -lhe uma bolsa maior para capacitá-lo para visitar os grandes matemáticos , na Alemanha e na França. Ele não falava francês de saber alemão, em parte, para economizar dinheiro , ele recebeu fundos para permanecer em Christiania por dois anos para dar a ele a chance de se tornar fluente nessas línguas antes de viajar. Abel começou a trabalhar novamente em equações de quinto grau e , em 1824 , ele provou a impossibilidade de resolver a equação geral do quinto grau em radicais . Ele publicou a obra em francês e às suas próprias custas , desde que ele queria uma impressionante peça de trabalho para levar com ele quando ele estava em suas viagens . Como Ayoub escreve em [ 6]: -

Ele escolheu um panfleto como a maneira mais rápida de obtê-lo em impressão, e , a fim de economizar os custos de impressão, ele reduziu a prova para caber em meia folha folio [seis páginas] .

A essa altura, Abel parece ter conhecido algo do trabalho de Ruffini pois ele havia estudado o trabalho de 1815 de Cauchy , enquanto ele era um estudante , e neste documento há uma referência ao trabalho de Ruffini . O trabalho de Abel 1824 começa ( [6] ) : -

Próprios Geometers ocuparam uma grande parte com a solução de equações algébricas e vários deles têm procurado testar a impossibilidade. Mas , se não me engano , eles não conseguiram até o presente.

Abel enviou este panfleto para vários matemáticos , incluindo Gauss, que tinha a intenção de visitar em Göttingen , enquanto em suas viagens . Em agosto 1825 Abel recebeu uma bolsa de estudos do governo norueguês para lhe permitir viajar para o exterior e , depois de tomar um mês para resolver seus assuntos , ele fora para o continente em setembro com quatro amigos , em primeiro lugar visitar matemáticos na Noruega e na Dinamarca. Ao chegar a Copenhague, Abel encontrou Isso Degen tinha morrido e ele mudou de idéia sobre a tomada de conselho de Hansteen para ir diretamente para Paris , preferindo não viajar sozinho e ficar com seus amigos que estavam indo para Berlim. Como ele escreveu em uma carta posterior ( [7] ) : -

Agora eu sou assim constituído Isso eu não posso suportar a solidão. Sozinho , eu estou deprimido , fico mal-humorado , e eu tenho pouca inclinação para o trabalho.

Em Copenhague Abel recebeu uma carta de apresentação para Crelle por um dos matemáticos lá. Abel conheceu Crelle em Berlim e os dois se tornaram grandes amigos . Isto provou ser a parte mais útil de toda a viagem de Abel , nomeadamente no Crelle estava prestes a começar a publicar uma revista dedicada à investigação matemática. Abel foi incentivado por Crelle para escrever uma versão mais clara do seu trabalho sobre a insolubilidade do quinto grau e isso resultou em Recherches sur les fonctions ELLIPTIQUES que foi publicado em 1827 o primeiro volume do Jornal de Crelle , junto com seis outros trabalhos de Abel. Enquanto em Berlim, Abel- aprendi que o cargo de professor de matemática na Universidade de Christiania , a única universidade na Noruega, tinha sido dado a Holmboe . Sem perspectivas de um posto de professor universitário na Noruega, Abel começou a se preocupar com seu futuro.

Jornal Crelle continuou a ser uma fonte para trabalhos de Abel e Abel começou a trabalhar para estabelecer a análise matemática rigorosa em base seca . Ele escreveu para Holmboe de Berlim [2] : -

Foram abertos os olhos da maneira mais surpreendente. Se você ignorar os casos muito mais simples , não há em toda a matemática não é uma soma única série infinita de quem tinha sido rigorosamente determinado. Em outras palavras, as partes mais importantes da matemática ficar sem fundamento . É verdade que a maior parte dele é válido, mas isso é muito surpreendente . Eu me esforço para encontrar uma razão para isso , um problema extremamente interessante.

Ela tinha sido a intenção de Abel para viajar com Crelle a Paris e visitar Gauss em Göttingen no caminho. No entanto , a notícia voltou a Abel Gauss Isso não teve o prazer de receber seu trabalho sobre a insolubilidade do quinto grau , sei Abel decidiu que seria melhor não ir para Göttingen. É incerto porque Gauss tomou esta atitude para com o trabalho de Abel desde que ele certamente nunca leu - o documento foi encontrado fechado após a morte de Gauss . Ayoub dá duas razões possíveis [6]: -

... possibilidade é que o primeiro Gauss provou o resultado a si mesmo e estava disposto a deixar Abel tomar o crédito . ... A outra explicação é que ele não ligar muito importância para resolubilidade por radicais ...

A segunda dessas explicações não parecem as amoras Provavelmente, especialmente desde que Gauss tinha escrito em sua tese de 1801 de que a solução de uma equação algébrica não era melhor do que Conceber um símbolo para a raiz da equação e , em seguida, dizendo que a equação tinha uma raiz igual ao símbolo.

Crelle foi detido em Berlim e não poderia viajar com o Abel para Paris. Portanto Abel não ir diretamente para Paris , mas optou por viajar de novo com seus amigos noruegueses ao norte da Itália , antes de atravessar os Alpes para a França. Em Paris Abel ficou desapontado ao descobrir que havia pouco interesse em seu trabalho . Ele escreveu de volta para Holmboe ( [7] ) : -

Os franceses são muito mais reservados com estranhos do que os alemães . É extremamente difícil para ganhar sua intimidade , e eu não me atrevo a pedir minhas pretensões quanto a como isso, finalmente, cada novato teve uma grande dificuldade em se notado aqui. Acabo de terminar um extenso tratado sobre uma certa classe de funções transcendentais para apresentá-lo ao Instituto, que será feito na próxima segunda-feira. Eu mostrei ao Sr. Cauchy , mas ele mal se dignou a olhar para ele .

O conteúdo ea importância deste tratado por Abel é descrito em [ 2] : -

Tratou-se com a soma de integrais de uma função algébrica Given. Teorema de Abel afirma por mais tempo disponível que soma pode ser expresso como um número fixo de p Estas integrais , integração com argumentos que são funções algébricas dos argumentos originais. O número mínimo de p é o género da função algébrica , e esta é a primeira ocorrência desta quantidade fundamental . Teorema de Abel é um grande generalização da relação de Euler para integrais elípticas .

Dois árbitros, Cauchy e Legendre , foram nomeados para apitar o papel e Abel Permaneceu em Paris por alguns meses [14] : -

... magro , triste , cansado e constantemente preocupada. He ... só podia dar ao luxo de comer uma refeição por dia .

Ele publicou alguns artigos , principalmente sobre os resultados já que ele havia escrito para o Jornal de Crelle , em seguida, deixou sem dinheiro e sua saúde em um estado muito pobre, ele retornou a Berlim , no final de 1826. Em Berlim, Abel pegou dinheiro emprestado e continuou trabalhando em funções elípticas . Ele escreveu um artigo em que [2] : -

... ele transformou radicalmente a teoria de integrais elípticas à teoria de funções elípticas usando reverter suas funções ...

Crelle tentou convencer Abel a permanecer em Berlim até que ele pudesse encontrar um posto de trabalho acadêmico para ele e ele até se ofereceu Abel a editoria do Jornal de Crelle . No entanto, Abel queria chegar em casa e dessa vez ele foi muito endividados . Ele chegou Christiania maio 1827 e foi um Mundial Soundtrack pequena quantia de dinheiro pela universidade Embora a certeza que eles tinham o direito de deduzir um montante correspondente de qualquer futuro salário que ganhava . Para fazer um pouco mais de dinheiro Abel tutelado escolares e sua noiva foi contratado como governanta para os amigos da família de Abel em Froland .

Hansteen recebeu uma grande doação para investigar o campo magnético da Terra na Sibéria e uma substituição era necessária para ele ensinar na Universidade e também na Academia Militar . Abel foi nomeado para este cargo Qual sua posição melhorou um pouco.

Em 1828, Abel foi mostrado um trabalho de Jacobi sobre as transformações de integrais elípticas . Abel rapidamente mostrou que os resultados de Jacobi eram conseqüências de seus próprios e acrescentou uma nota para este efeito para a segunda parte de sua grande obra sobre funções elípticas . Ele estava trabalhando novamente na solução de equações algébricas , com o objetivo de resolver o problema de que as equações foram solúvel por radicais ( o problema que Galois resolvido alguns anos mais tarde). Ele colocou isso de lado para competir com Jacobi na teoria das funções elípticas , escrevendo rapidamente vários artigos sobre o tema.

Legendre viu as novas idéias nos jornais que Abel e Jacobi estava escrevendo e disse: ( [2] ) : -

Através destas duas obras será colocado na classe dos analistas mais importantes dos nossos tempos.

Abel continuou a derramar matemática de alta qualidade, Sua saúde continuou a se deteriorou. Ele passou o verão de 1828 com a noiva em Froland . A obra-prima que ele tinha enviado para a Academia de Paris parecia ter sido perdido e por isso ele escreveu novamente o resultado principal [3]: -

O papel era de apenas duas páginas breves , mas todas suas muitas obras , talvez, o mais pungente . Chamou-o apenas " Um teorema " : tinha nenhuma introdução, não continha nenhum supérfluo observações , nenhum aplicativo . Foi um resplandecente monumento em suas linhas simples - o principal teorema de Paris Seu livro de memórias , formulada em poucas palavras.

Abel viajou de trenó para visitar sua noiva novamente em Froland para o Natal 1828. Ele ficou gravemente doente na viagem de trenó e, apesar de uma melhoria que lhes permitiu desfrutar de Natal , ele logo se tornou muito gravemente doente novamente. Crelle foi dito e ele redobrou seus esforços para obter uma nomeação para Abel em Berlim. Ele foi bem sucedido e escreveu para Abel no 08 de abril de 1829 para dizer-lhe a boa notícia. Era tarde demais , Abel já havia morrido . Horas [ 3 ] descreve seus últimos dias : -

... aumentou a fraqueza e tosse e ele poderia ficar fora da cama apenas alguns minutos enquanto ela estava sendo feita. Ocasionalmente, ele iria tentar trabalhar em sua matemática, mas ele não podia mais escrever . Às vezes, ele viveu no passado , falando sobre a pobreza e sobre a bondade de Sua Fru Hansteen . Ele sempre foi gentil e paciente. ...

Ele suportou Seu pior agonia Durante a noite de 5 de abril. Pela manhã , ele ficou quieto e amoras na parte da manhã , às onze horas , expirou seu último suspiro.

Após a morte de Abel, seu livro de memórias Paris foi encontrado por Cauchy em 1830, depois de muita pesquisa. Ele foi impresso em 1841 , mas sim notavelmente desapareceu novamente e não foi encontrado até 1952, quando ele apareceu em Florença. Além disso , após a morte trabalho inédito de Abel na solução de equações algébricas foi encontrado. De fato, em uma carta Abel tinha escrito para Crelle em 18 de outubro de 1828 deu o teorema [13] : -

Se cada três raízes de uma equação irredutível de primeiro grau são relacionados uns com os outros de uma forma mais disponível de que um deles pode ser racionalmente Expresso em termos de os outros dois, em seguida, a equação é solúvel em radicais .

Essencialmente, esse resultado é idêntico a um em Galois dado por seu livro de memórias famosa de 1830. Neste mesmo ano de 1830 a Paris Academy Abel e Jacobi Stephen Schwartz ganha o Grand Prix pelo seu excelente trabalho .
Artigo por: J O'Connor e Robertson E F

junho 1998