04 - Conjuntos - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (4)

             Em cada uma das igualdades abaixo estão faltando, entre os números 2, sinais de +, -, x, : e ( ) que façam com que a expressão numérica tenha o valor indicado.

2   2   2   2   =   0

2   2   2   2   =   1

2   2   2   2   =   2

2   2   2   2   =   3

2   2   2   2   =   4

2   2   2   2   =   5

2   2   2   2   =   6

2   2   2   2   = 10

2   2   2   2   =  12

              Você consegue colocá-los no lugar?

Jogos matemáticos -4

NÚMEROS COMPLEMENTARES

Adorei este jogo.

Não pela dificuldade da soma, mas, pelo apelo visual e pela questão do tempo.

Depois que você joga uma vez, fica "morrendo" de vontade de quebrar o próprio recorde e zerar a tabela em menor tempo...

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OS PRIMEIROS 500 DIGITOS DE e

À semelhança do número pi (3,1415...), há em Matemática um número irracional designado pela letra e. Além de ser a base dos logaritmos naturais (ou neperianos) é um número com inumeráveis aplicações em ciência, negócios, e claro, na Matemática...

Aqui estão os seus primeiros 500 dígitos:

2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249
77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713
82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043
57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988
07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675
09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107
53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204
49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306
96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389
78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163
68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698
95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793
32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068
32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173

A música dos números primos

            Este programa é um documentário baseado no livro de mesmo nome escrito pelo maremático Marcus du Sautoy. Se você pensa que conhece os números primos, prepare-se para muitas surpresas...

* PITÁGORAS

Pitágoras foi um filósofo grego que fez avanços importantes na matemática, astronomia e teoria da música. O teorema hoje conhecido como o teorema de Pitágoras era conhecido pelos babilônios mil anos mais cedo, mas ele pode ter sido o primeiro a prová-lo.

Pitágoras de Samos

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Nascido: cerca de 569 aC em Samos, Ionia
Morreu: aproximadamente 475 aC

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Pitágoras de Samos é frequentemente descrito como o primeiro matemático puro. Ele é uma figura extremamente importante no desenvolvimento da matemática e ainda sabemos relativamente pouco sobre suas realizações matemáticas. Ao contrário de muitos mais tarde os matemáticos Gregos, onde pelo menos temos alguns dos livros que escreveu, não temos nada de escritos de Pitágoras. A sociedade que ele dirigiu, meio religiosa e meio científica, seguidos de um código de segredo que certamente significa que Pythagoras é uma figura misteriosa.

Temos detalhes da vida do Pythagoras de biografias prévias que usam fontes originais importantes e são escritos por autores que atribuem poderes divinos a ele, e cujo objetivo era apresentá-lo como uma figura divina. O que apresentamos abaixo é uma tentativa de coletar junto a fontes mais confiáveis ​​para reconstruir um relato da vida de Pitágoras. Não é bastante bom acordo sobre os principais acontecimentos de sua vida, mas a maioria das datas são disputadas com diversos estudiosos dando datas que variam de 20 anos. Alguns historiadores tratam todas estas informações como lendas mas, mesmo que o leitor as trate desta maneira, ser um disco tão cedo, é de importância histórica.

pai do Pythagoras era Mnesarchus ([12] e [13]), enquanto sua mãe era Pythais [8] e ela era um nativo de Samos. Mnesarchus era um comerciante que veio de Tyre, e há uma história ([12] e [13]) que trouxe milho a Samos num tempo de fome e foi concedido cidadania de Samos como uma marca de gratidão. Pythagoras quando criança teve seus anos de infância em Samos mas viajava muito com seu pai. Há relatos de Mnesarchus retornado a Tyre com Pitágoras, e que ele foi educado pelos caldeus e os homens aprenderam da Síria. Parece que ele também visitou a Itália com seu pai.

Pouco se sabe da infância do Pythagoras. Todas as contas de sua aparência física são possíveis de ser fictício, exceto a descrição de uma marca de nascimento que Pythagoras teve na sua coxa. É provável que teve dois irmãos embora algumas fontes dizem que ele tinha três anos. Certamente ele foi bem educado, aprendeu a tocar lira, aprendeu poesia ea recitá-las.Havia, entre seus professores, três filósofos que influenciaram Pythagoras enquanto ele era um homem jovem. Uma das mais importantes foi Pherekydes que muitos descrevem como o professor de Pitágoras.

Os outros dois filósofos que influenciaram Pythagoras, e lhe introduziram as idéias matemáticas, eram Thales e seu pupilo Anaximandro que ambos viveram em Mileto. Em [8] é dito que Pythagoras visitou Thales de Mileto, quando ele tinha entre 18 e 20 anos de idade.Por esta altura Thales era um homem velho e, embora criasse uma forte impressão em Pythagoras, ele provavelmente não ensinou-lhe um ótimo negócio. No entanto, ele tenha contribuído para o interesse de Pythagoras na matemática e astronomia, eo aconselhou a viajar para o Egipto para aprender mais sobre estes assuntos. O pupilo de Thales, Anaximandro, palestras sobre Mileto e Pitágoras assistiram as palestras. Anaximandro certamente estava interessado em geometria e cosmologia e várias de suas idéias influenciaria próprios pontos de vista de Pitágoras.

Em cerca de 535 aC, Pitágoras foi para o Egito. Isso aconteceu alguns anos após o tirano Polycrates teve o controle da cidade de Samos. Há algumas evidências sugerem que Pythagoras e Polycrates eram amigáveis ​​a princípio e afirma-se [5] que Pitágoras foi para o Egito com uma carta de apresentação escrita por Polycrates. Aliás Polycrates tinha uma aliança com o Egito e havia portanto fortes elos entre Samos eo Egito neste momento. As contas do tempo de Pitágoras no Egito sugerem que visitou muitos templos e tomou parte em muitas conversas com os sacerdotes. De acordo com Porfírio ([12] e [13]) Pythagoras foi recusado em admissão a todos os templos exceto o de Diospolis onde foi aceito no sacerdócio depois de completar os rituais necessários para admissão.

Não é difícil de relacionar muitas das crenças do Pythagoras, umas ele mais tarde imporia a sociedade que ele criou na Itália, com os costumes que ele se deparou no Egito. Por exemplo, o segredo dos sacerdotes Egípcios, sua recusa em comer feijões, sua recusa em usar panos feitos de peles de animais, e sua luta pela pureza foram todos os costumes que Pitágoras mais tarde iria adotar. Porfírio em [12] e [13] diz que Pitágoras aprendeu geometria com os egípcios, mas é provável que ele já estava familiarizado com a geometria, certamente depois ensinamentos de Tales e Anaximandro.

Em 525 aC Cambises II, rei da Pérsia, invade o Egito. Polycrates abandonou sua aliança com Egito e enviou 40 navios para unir-se a frota persa contra os egípcios. Depois que Cambyses ganhou a Batalha de Pelusium no delta do Nilo e ter capturado Heliopolis e Memphis, colaborador Egípcio da resistência. Pitágoras foi feito prisioneiro e levado para a Babilônia.Jâmblico escreve que Pitágoras (ver [8]): -

... Foi transportado pelos seguidores de Cambises como prisioneiro de guerra. Enquanto ele estava lá ele alegremente associou-se com os Magos... e foi instruído em seus rituais sagrados e aprendeu sobre a adoração mística muito dos deuses. Ele também alcançou o auge da perfeição em aritmética e música e as outras ciências matemáticas ensinadas pelo Babilônios ...

Em cerca de 520 aC Pitágoras deixou a Babilônia e retornou a Samos. Polícrates foram mortos em cerca de 522 aC, Cambises morreu no verão de 522 aC, seja por suicídio ou como resultado de um acidente. As mortes desses governantes pode ter sido um fator para o retorno do Pythagoras de Samos, mas está longe explicação de como Pythagoras obteve sua liberdade. Darius da Pérsia tinha tomado o controle de Samos depois da morte de Polícrates ', e ele teria controlado a ilha na volta de Pitágoras. Isso entra em conflito com as contas de Porfírio e Diógenes Laércio, que afirmam que Polycrates ainda estava no controle de Samos Pitágoras quando voltaram para lá.

Pythagoras fez uma viagem para Creta logo após seu retorno a Samos para estudar o sistema de leis de lá. Voltar em Samos, fundou uma escola que era chamado de semicírculo. Jâmblico [8] escreve no século III dC, que: -

... ele formou uma escola na cidade [ de Samos ] , o "semicírculo" de Pitágoras, que é conhecida por esse nome ainda hoje, em que o Samians realizar reuniões políticas. Eles fazem isso porque pensam em discutir perguntas sobre, a justiça, a bondade ea oportunidade neste lugar que foi fundada pelo homem que fez destes assuntos sua empresa. Fora da cidade ele fez uma caverna o local privado de sua filosofia de ensino, passando a maior parte da noite e do dia lá para pesquisar e fazer uso de matemática ...

Pythagoras saiu de Samos e foi para o sul da Itália por volta de 518 aC (alguns dizem que muito mais cedo). Jâmblico [8] dá algumas razões para ele sair. Primeiro ele comenta sobre a resposta Samian a seus métodos de ensino: -

... Tentou usar seu método simbólico de ensinar que era semelhante em todos os aspectos para as lições que havia aprendido no Egito. O Samians não estavam muito interessados ​​neste método eo tratou de forma rude e impróprio.

Esta foi, de acordo com Jâmblico, utilizado em parte como uma desculpa para deixar de Pitágoras de Samos: -

... Pythagoras foi arrastado em todos os tipos de missões diplomáticas por seus concidadãos e forçados a participar nos assuntos públicos. ... Ele sabia que todos os filósofos antes dele tinham terminado seus dias em terra estrangeira então decidiu escapar a todos os responsáveis ​​políticos, alegando como a desculpa dele, de acordo com algumas fontes, o desprezo do Samians tinha por seu método de ensino.

Pitágoras fundou uma escola filosófica e religiosa em Croton (agora Crotone, no leste do calcanhar do sul da Itália), que teve muitos seguidores. Pythagoras era a cabeça da sociedade com um círculo fechado de seguidores matemáticos. Os matemáticos viviam permanentemente com a Sociedade, não tinham posses pessoais e eram vegetarianos. Eles foram ensinados por Pythagoras e obedecido regras rígidas. As crenças que Pythagoras seguiam eram [2]: -

(1) que está em seu nível mais profundo, a realidade é matemática em natureza,
(2) que a filosofia pode ser usado para a purificação espiritual,
(3) que a alma possa levar a união com o divino,
(4) que certos símbolos têm uma importância mística, e
(5) que todos os irmãos da ordem devem observar lealdade precisa e segredo.

Tanto os homens como as mulheres foram autorizadas a se tornarem membros da Sociedade, na verdade, vários Pythagoreans mulheres mais tarde tornaram-se filósofos famosos. O círculo externo da Sociedade eram conhecidos como os akousmatics e viviam em suas próprias casas, só vindo à Sociedade durante o dia. Foram permitidos as próprias posses e não foram obrigados a serem vegetarianos.

De nada Pitágoras trabalho real é conhecido. A sua escola praticava o sigilo e comunalismo o que torna difícil distinguir entre os trabalhos de Pythagoras e de seus seguidores. Certamente sua escola fez grandes contribuições à matemática, e é possível estar certo sobre algumas das contribuições para a matemática de Pitágoras. Primeiro, deve ser claro em que sentido Pythagoras e os matemáticos estavam estudando matemática. Eles não estavam agindo como um grupo de investigação matemática se faz numa universidade moderna ou outra instituição.Não houve "problemas abertos" para eles resolverem, e eles não foram de modo algum interessados ​​em tentar formular nem resolver problemas matemáticos.

Em vez de Pitágoras estava interessado nos princípios da matemática, o conceito de número, o conceito de um triângulo ou outra figura matemática ea idéia abstrata de uma prova. Como Brumbaugh escreve em [3]: -

É difícil para nós hoje, como estamos familiarizados com a abstração matemática pura e com o ato mental de generalização, para apreciar a originalidade da contribuição de Pitágoras.

Na verdade, hoje, tornaram-se tão matematicamente sofisticados que deixamos mesmo de reconhecer duas como uma quantidade abstrata. Não é um passo notável a partir de 2 navios + 2 = 4 navios navios, com o resultado abstrato 2 + 2 = 4, que se aplica não só aos navios, mas para canetas, pessoas, casas, etc Não é mais um passo para ver que a noção abstrata de 2 é em si uma coisa, em certo sentido, tão real como um navio ou uma casa.

Pitágoras acreditava que todas as relações podiam ser reduzidas a relações numéricas. Como Aristóteles escreveu: -

O Pitágoras ... ter sido educada no estudo da matemática, o pensamento de que as coisas são números ... e que o cosmos inteiro é uma escala e um número.

Esta generalização resultou da observação de Pitágoras, na música, matemática e astronomia.Pitágoras percebeu que as cordas vibrantes produzem tons harmoniosos quando as relações entre os comprimentos das cordas são números inteiros, e que esses índices poderiam ser estendidos a outros instrumentos. Na verdade Pitágoras fez contribuições notáveis ​​à teoria matemática da música. Ele era um bom músico, tocando a lira, e ele usou a música como um meio de ajudar aqueles que estavam doentes.

Pythagoras estudou propriedades de números que seriam familiares para os matemáticos de hoje, tais como números pares e ímpares, números triangulares, etc números perfeitos No entanto, para números de Pitágoras tinham personalidades que dificilmente reconhecem como a matemática de hoje [3]: -

Cada número tinha a sua própria personalidade - masculino ou feminino, perfeito ou incompleto, bonito ou feio. Este moderno matemática sentimento deliberadamente eliminada, mas ainda encontramos em tons de ficção e poesia. Dez foi o número muito melhor: ela continha em si os primeiros quatro números inteiros - um, dois, três e quatro [1 + 2 + 3 + 4 = 10] - e esses escritos em notação de ponto formado um triângulo perfeito.

Claro que hoje particularmente me lembro de seu teorema de Pitágoras geometria famosos.Apesar de o teorema hoje conhecido como teorema de Pitágoras, era conhecido pelos babilônios 1000 anos antes, ele pode ter sido o primeiro a prová-lo. Proclus, o último grande filósofo grego, que viveu por volta de 450 dC, escreveu (ver [7]): -

Depois [ Thales, etc ] Pitágoras transformou o estudo da geometria em uma educação liberal, examinar os princípios da ciência desde o início e investigando os teoremas de uma forma imaterial e intelectual: foi ele quem descobriu a teoria do irracional ea construção das figuras cósmicas.

Novamente Proclo, por escrito, geometria, disse: -

Eu emular os pitagóricos, que até tinha uma frase convencional de expressar o que eu quero dizer "uma figura e uma plataforma, não uma figura e um pence", por que implicava que a geometria que é merecedor de estudo é que, a cada novo teorema , estabelece uma plataforma para subir perto, e levanta a alma no alto em vez de permitir que ele vá para baixo entre os objetos sensíveis e assim tornar-se subserviente às necessidades comuns da vida mortal.

Heath [7] fornece uma lista de teoremas atribuídos a Pitágoras, ou melhor, mais genericamente, os pitagóricos.

(I) A soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos. Também os pitagóricos conheciam a generalização que afirma que um polígono com n lados tem soma dos ângulos internos 2 n - 4 ângulos retos e soma dos ângulos externos iguais a quatro retos.

(Ii) O teorema de Pitágoras - para um triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. Devemos observar que, para Pitágoras o quadrado da hipotenusa certamente não seria considerado como um número multiplicado por si mesmo, mas sim como um quadrado geométrico construído no lado. Para dizer que a soma de dois quadrados é igual a um terceiro quadrado significava que os dois quadrados poderiam ser cortadas e remontadas para formar um quadrado idêntico ao terceiro quadrado.

(Iii) A construção de valores de uma determinada área e álgebra geométrica. Por exemplo, eles resolveram equações como um ( uma - x ) = x ² , por meio geométricas.

(Iv) A descoberta de irracionais. Este é certamente atribuído à pitagóricos, mas parece improvável que tenha sido devido ao próprio Pitágoras. Isso ia contra a filosofia de Pitágoras a todas as coisas são números, desde que por um número que significou o rácio de dois números inteiros. No entanto, por causa de sua crença de que todas as coisas são números seria uma tarefa natural tentar provar que o hipotenusa de um triângulo isósceles retângulos tinha um comprimento correspondente a um número.

(V) Os cinco sólidos regulares. Acredita-se que Pythagoras soube construir os três primeiros, mas é improvável que ele teria conhecido como construir os outros dois.

(Vi) Em astronomia Pitágoras ensinava que a Terra era uma esfera no centro do Universo. Ele também reconheceu que a órbita da Lua era inclinada ao equador da Terra e ele foi um dos primeiros a perceber que Vénus como estrela da noite foi o mesmo planeta que Vénus como estrela da manhã.

Principalmente, no entanto, Pitágoras foi um filósofo. Além de suas crenças sobre números, geometria e astronomia descrito acima, ocupou [2]: -

... os ensinamentos filosóficos e éticos a seguir: ... a dependência da dinâmica da estrutura do mundo sobre a interação dos contrários, ou pares de opostos, a visão da alma como um movimento de auto número experimentando uma forma de metempsicose, ou reencarnação sucessivas em diferentes espécies, até sua purificação final ( nomeadamente através da vida intelectual da ética rigorosa pitagóricos ) , e da compreensão ... que todos os objetos existentes eram fundamentalmente composta de forma e não de substância material. doutrina pitagórica mais ... identificado o cérebro como o locus da alma, e prescreveu certos segredo práticas cultuais.

Em [3], a sua ética prática também são descritas: -

Em suas práticas éticas, os pitagóricos eram famosos por sua amizade mútua, altruísmo e honestidade.

Sociedade do Pythagoras em Croton era afetada por acontecimentos políticos apesar de seu desejo de permanecer fora da política. Pythagoras foi a Delos em 513 aC a sua enfermeira Pherekydes velho professor que estava morrendo. Ele permaneceu lá por alguns meses até que a morte de seu amigo e professor e depois voltou a Croton. Em 510 aC Croton atacou e derrotou Sybaris seu vizinho e há certamente algumas sugestões que Pythagoras esteve envolvido na disputa. Então, em cerca de 508 aC a Sociedade Pitagórica em Croton foi atacada por Cylon, um nobre de Croton si. Pythagoras escapou para Metapontium ea maioria dos autores dizem que morreu aí, alguns relatam que ele cometeu suicídio por causa do ataque a sua sociedade. Jâmblico em [8] cita uma versão dos acontecimentos: -

Cylon, um Crotoniate e importante cidadão pela fama de nascimento, e riquezas, mas por outro lado um homem difícil, violento, perturbador e tiranicamente eliminados, avidamente desejou participar do modo de vida de Pitágoras. Ele se aproximou de Pitágoras, em seguida, um homem velho, mas foi rejeitada porque os defeitos de caráter que acabamos de descrever. Quando isso aconteceu Cylon e seus amigos juraram fazer um forte ataque sobre Pitágoras e seus seguidores. Assim, o zelo de um poderosamente agressiva Cylon ativados e seus seguidores a perseguir os pitagóricos o último homem. Devido a isso Pitágoras deixou para Metapontium e lá é dito que terminou seus dias.

Isto parece aceite pela maioria, mas Jâmblico si não aceita esta versão e afirma que o ataque por Cylon era um caso menor e que Pitágoras retornou a Croton. Certamente, a sociedade pitagórica sobreviveu por muitos anos após este e propagação de Croton a muitas outras cidades italianas. Gorman [6] argumenta que esta é uma forte razão para acreditar que Pitágoras retornou a Croton e cita outras provas, tais como a idade amplamente divulgado de Pitágoras como cerca de 100 no momento da sua morte eo fato de que várias fontes dizem que Pitágoras ensinava Empedokles a alegação de que ele deve ter vivido bem depois de 480 aC.

A evidência é incerta como, quando e onde a morte de Pythagoras ocorreu. Certamente a Sociedade de Pitágoras expandiu-se rapidamente depois de 500 aC, tornou-se de natureza política e também derramado em um número de facções. Em 460 aC, a sociedade [2]: -

... foi violentamente reprimida. reunião de suas casas foram saqueadas e queimadas por toda parte, é feita referência, nomeadamente, "a casa de Milo" em Crotona, onde 50 ou 60 pitagóricos foram surpreendidos e mortos. Aqueles que sobreviveram refugiaram-se em Tebas e em outros lugares.

Artigo por: JJ O'Connor e Robertson EF

Janeiro 1999

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