08 - Inequações do 1º e 2º Graus - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (8)

 Em cada uma das igualdades abaixo estão faltando, entre os números 4, sinais de +, -, x, : e ( ) que façam com que a expressão numérica tenha o valor indicado.

4   4   4   4   =    3

4   4   4   4   =    6

4   4   4   4   =    7

4   4   4   4   =    8

4   4   4   4   =  24

4   4   4   4   =  28 

4   4   4   4   =  32

4   4   4   4   =  48

              Você consegue colocá-los no lugar?

Jogos matemáticos -8

NUMERATOR

Este é mais um jogo envolvendo expressões numéricas, entretanto neste, você encaixa os sinais das operações e não os números.
A contagem do relógio não é regressiva, mas, quanto mais rápido você conseguir, mais pontos fará...
Curioso? É só clicar: NUMERATOR 

NÚMEROS AMIGOS

Números amigos são pares de números onde um deles é a soma dos divisores do outro.

Como exemplo, os divisores de 220 são: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110 cuja soma é 284.

Por outro lado, os divisores de 284 são: 1, 2, 4, 71 e 142 e a soma deles é 220. 

Fermat descobriu também o par 17.296 e 18.416. 

Descartes descobriu o par 9.363.584 e 9.437.056.

História dos números- das pedrinhas ao computador

Eis aqui um filme curto mas, muito bom sobre a História dos números. Confira!

*DIOFANTO

Diofanto de Alexandria

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Nascido: cerca de 200
Morte: cerca de 284

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Diofanto , muitas vezes conhecido como o "pai da álgebra", é mais conhecido por seu livro Arithmetica , um trabalho sobre a solução de equações algébricas e na teoria dos números.No entanto, praticamente nada se sabe de sua vida e tem havido muita discussão sobre a data em que ele viveu.

Existem alguns limites que podem ser colocadas nas datas da vida de Diofanto. Por um lado Diofanto cita a definição de um número poligonal do trabalho de Hypsicles então ele deve ter escrito isso depois de 150 aC. Por outro lado, Theon de Alexandria, o pai de Hypatia, cita uma das definições de Diofante então isso significa que Diofanto escreveu o mais tardar em 350 AD. No entanto, isso deixa um período de 500 anos, então nós não reduzimos Diofanto de data muito por essas informações.

Há um outro pedaço de informação que foi aceite por muitos anos como dar datas bastante precisas. Heath [3] cita uma carta de Michael Psellus que viveu na segunda metade do 11 ^ºséculo. Psellus escreveu (tradução de Heath em [3]): -

Diofanto tratado [ aritmética egípcio ] de forma mais precisa, mas os Anatólio muito aprendidas coletadas as partes mais essenciais da doutrina como afirma Diofanto de uma maneira diferente e na forma mais sucinta, dedicando seu trabalho para Diofanto.

Psellus também descreve em sua carta o fato de que Diofanto deu nomes diferentes para os poderes do desconhecido para os indicados pelos egípcios. Esta carta foi publicada pela primeira vez por Paul Tannery em [7] e, nesse trabalho, ele comenta que acredita que Psellus está citando um comentário sobre Diofanto que agora está perdido e provavelmente foi escrito por Hypatia. No entanto, a citação dada acima foi usada para datar Diofanto usando a teoria de que os Anatólio referido aqui é o bispo de Laodicéia, que era um escritor e professor de matemática e viveu no terceiro século. A partir disso, foi deduzido que Diofanto escreveu por volta de 250 dC, e as datas que deram para ele são baseadas neste argumento.

Knorr em [16] critica essa interpretação, no entanto: -

Mas imediatamente desconfia que algo está errado: ao que parece peculiar que alguém compilar um resumo do trabalho de outro homem e, em seguida, dedicar a ele, enquanto a qualificação "de uma maneira diferente", por si só, vazio, deve ser redundante, tendo em vista os termos "mais essencial" e "mais sucinta".

Knorr dá uma tradução diferente da mesma passagem (mostrando como é difícil o estudo da matemática grega é para quem não é um especialista em grego clássico), que tem um significado muito diferente: -

Diofanto tratado [ aritmética egípcio ] de forma mais precisa, mas os Anatólio muito aprendi, depois de ter recolhido as partes mais essenciais da doutrina de que o homem, para a Diofanto diferente sucintamente abordados-lo.

A conclusão da Knorr quanto a datas de Diofante é [16]: -

... devemos cogitar a possibilidade de que Diofanto viveu antes do terceiro século, possivelmente ainda mais cedo que Heron no primeiro século.

A maioria dos detalhes que temos da vida de Diofanto (e estes podem ser totalmente fictício) vêm da Antologia grega, compilado por Metrodoro cerca de 500 AD. Esta coleção de quebra-cabeças conter uma sobre Diofanto que diz: -

... sua infância durou ¹ / ₆ ª de sua vida, ele se casou depois de ¹ / ₇ º mais, a barba cresceu após ¹ / ₁₂ th mais, e seu filho nasceu cinco anos depois, o filho vivia a metade da idade de seu pai, ea pai morreu quatro anos depois, o filho.

Então, ele se casou com a idade de 26 e teve um filho que morreu aos 42 anos de idade, quatro anos antes de Diofanto mesmo morreu 84 envelhecidos. Com base nessas informações que lhe deram uma vida útil de 84 anos.

A Aritmética é uma coleção de 130 problemas que soluções numéricas de equações determinadas (aquelas com uma solução única), e equações indeterminadas. O método para resolver o último é agora conhecido como análise diofantina. Apenas seis dos 13 livros originais foram pensados ​​para ter sobrevivido e também pensava que os outros devem ter se perdido muito em breve depois que eles foram escritos. Há muitas traduções árabes, por exemplo por Abu'l-Wafa, mas apenas o material a partir destes seis livros apareceu. Heath escreve em [4], em 1920: -

Os livros faltantes foram evidentemente perdido em uma data muito precoce. Paul Tannery sugere que o comentário de Hypatia estendido somente aos seis primeiros livros, e que ela deixou intocados os sete restantes, o que, em parte, como conseqüência, foram esquecidos e depois perdido.

No entanto, um manuscrito árabe na biblioteca Astan-i Quds (A biblioteca Santuário Santo) em Mesh, o Irã tem um título alegando que é uma tradução feita Qusta ibn Luqa, que morreu em 912, dos Livros IV a VII do Arithmetica de Diofanto de Alexandria. F Sezgin fez esta descoberta notável em 1968. Em [19] e [20] Rashed compara os quatro livros nesta tradução árabe com as conhecidas seis livros e reivindicações gregos que este texto é uma tradução dos livros perdidos de Diofanto. Rozenfeld, na revisão destes dois artigos é, no entanto, não está completamente convencido: -

O revisor, familiarizado com o texto árabe deste manuscrito, não duvida que este manuscrito é a tradução do texto grego escrito em Alexandria, mas a grande diferença entre os livros gregos de Aritmética de Diofanto combinando questões de álgebra com questões profundas da teoria da números e esses livros que contenham apenas o material algébrico tornam muito provável que este texto foi escrito não por Diofanto, mas por algum dos seus comentadores ( talvez Hypatia? ).

É hora de dar uma olhada neste trabalho mais marcante em álgebra na matemática grega. O trabalho considera a solução de muitos problemas relacionados com as equações linear e quadrática, mas considera apenas as soluções racionais positivos para estes problemas.Equações que levam a soluções que são raízes quadradas negativas ou irracional, Diofanto considera inútil. Para dar um exemplo concreto, ele chama a equação 4 = 4 x + 20 'absurdo', porque isso levaria a uma resposta sem sentido. Em outras palavras, como poderia um problema levar os livros -4 solução? Não há evidência para sugerir que Diophantus percebeu que uma equação quadrática pode ter duas soluções. No entanto, o fato de que ele estava sempre satisfeito com uma solução racional e não necessita de um número inteiro é mais sofisticado do que podemos perceber hoje.

Diofanto olhou para os três tipos de equações do segundo grau ax ² + bx = c , ax ² = bx + ce ax ² + c = bx . A razão pela qual houve três casos a Diofanto, enquanto hoje temos apenas um caso, é que ele não tem qualquer noção de zero e evitou coeficientes negativos, considerando os números dados a , b , c para todo ser positivo em cada um dos os três casos acima.

Há, contudo, muitos outros tipos de problemas considerados por Diophantus. Ele resolveu os problemas, tais como pares de equações quadráticas simultâneas.
Considere y + z = 10, yz = 9. Diofanto iria resolver isso criando uma única equação quadrática em x. Coloque 2 x = y - z assim, a adição de y + z = 10 e y - z = 2 x , temos y = 5 + x , depois subtraindo lhes dá z = 5 - x . Agora

9 = yz = (5 + x ) (5 - x ) = 25 - x ² , então x ² = 16, x = 4

levando ao y = 9, z = 1. No Livro III, Diofanto resolve os problemas de encontrar valores que fazem duas expressões lineares simultaneamente em quadrados. Por exemplo, ele mostra como encontrar x para fazer 10 x + 9 e 5 x + 4 ambos os praças (ele encontra x = 28).Outros problemas procurar um valor para x tais que determinados tipos de polinômios em xaté grau 6 são quadrados. Por exemplo, ele resolve o problema de encontrar x tal que x ³ - 3x ² + 3 x + 1 é um quadrado no Livro VI. Novamente no Livro VI ele resolve os problemas, tais como encontrar x tais que, simultaneamente, 4 x 2 + é um cubo 2 e x + 1 é um quadrado (para a qual facilmente se encontra a resposta x = 3/2).

Outro tipo de problema que Diofanto estudos, desta vez no Livro IV, é encontrar poderes entre determinados limites. Por exemplo, para encontrar uma praça entre 5/4 e 2, ele se multiplica tanto em 64, vê a 100 praça entre 80 e 128, para a obtenção da solução 25/16 para o problema original. No Livro V, ele resolve problemas como escrever 13 como a soma de dois quadrados cada um superior a 6 (e ele dá a solução 66049/10201 e 66564/10201).Ele também escreve 10 como a soma dos três quadrados cada superior a 3, encontrando os três quadrados

1745041/505521, 1651225/505521, 1658944/505521.

Heath olha número resultados da teoria de que Diofanto estava claramente consciente, ainda não está claro se ele tinha uma prova. É claro que esses resultados podem ter sido provado em outros livros escritos por Diofanto ou ele pode ter sentido que eles eram "obviamente" verdadeira devido à sua evidência experimental. Entre os resultados obtidos estão [4]: ​​-

... nenhum número das Forma 4 n + 3 ou 4 n - 1 pode ser a soma dos dois quadrados;

... um número de 24, a forma n + 7 não pode ser a soma dos três quadrados.

Diophantus também parece saber que cada número pode ser escrita como a soma de quatro quadrados. Se de fato ele fez saber este resultado seria verdadeiramente notável, mesmo para Fermat, que afirmou o resultado, não conseguiu fornecer uma prova disso e não foi resolvido até Lagrange provou que utilizando os resultados devido a Euler.

Apesar de Diofanto não usar a notação algébrica sofisticado, ele tenha introduzido um simbolismo algébrico que usou uma abreviatura para o desconhecido e para os poderes do desconhecido. Como Vogel escreve em [1]: -

O simbolismo que Diofanto introduzido pela primeira vez, e, sem dúvida, se desenvolveu, desde um meio de expressar uma equação de curto e facilmente compreensível ... Uma vez que uma abreviação também é empregada para a palavra "iguais", Diofanto deu um passo fundamental em álgebra verbal para a álgebra simbólica.

Uma coisa que ficará claro a partir dos exemplos que citamos e isso é que Diofanto está preocupado com os problemas particulares mais frequentemente do que com os métodos gerais. A razão para isto é que, embora ele avanços importantes no simbolismo, que ainda não tinha a notação necessário exprimir métodos mais gerais. Por exemplo, ele só tinha notação para um desconhecido e, quando os problemas envolvidos mais de um único desconhecido, Diophantus foi reduzida para a expressão "primeiro desconhecido", "segunda desconhecido", etc, em palavras. Ele também não tinha um símbolo para um número geral n .Onde iríamos escrever (12 + 6 n ) / ( n ² -3), Diofanto tem que escrever em palavras: -

... um número de seis vezes aumentada por doze, que é dividido pela diferença de que o quadrado do número exceder três.

Apesar da notação melhorado e que Diofanto introduzido, álgebra tinha um longo caminho a percorrer antes que os problemas realmente gerais que poderiam ser escritos e resolvidos de forma sucinta.

Fragmentos de outro dos livros de Diofante em números poligonais , um tema de grande interesse para Pitágoras e seus seguidores, sobreviveu. Em [1] refere-se que este trabalho contém: -

... pequeno que é original, [ e ] é imediatamente diferenciado do Aritmética pela sua utilização de provas geométricas.

Se Diofanto refere-se a um outro trabalho, que consiste em um conjunto de lemas chamadoOs Porisms Mas este livro é inteiramente perdidos. Sabemos três lemas contidos em Os Porisms desde Diofanto refere-se a eles na Arithmetica. Uma dessas lema é que a diferença dos cubos de dois números racionais é igual à soma dos cubos dos outros dois números racionais, isto é, dado os números a, b , então existem números c , d tal forma que um ³ - b ³= c ³ + d ³ .

Outro trabalho existentes Preliminares aos elementos geométricos , o que tem sido atribuído a Heron, tem sido estudado recentemente em [16], onde é sugerido que a atribuição de Heron é incorreta e que o trabalho é devido a Diofanto. O autor do artigo [14] acha que ele pode ter identificado ainda outra obra de Diofanto. Ele escreve: -

Supomos a existência de um tratado teórico perdida de Diofanto, intitulado "Ensino dos elementos da aritmética". Nossas reivindicações são baseadas em um escólio de um comentarista anônimo bizantino.

Matemáticos europeus não aprenderam das jóias de Diofanto Arithmetica até Regiomontanus escreveu em 1463: -

Ninguém ainda foi traduzido do grego para o latim os treze livros de Diofanto, em que a própria flor de toda a aritmética se encontra escondido ...

Bombelli traduzido muito do trabalho em 1570, mas nunca foi publicado. Bombelli foi emprestado muitos dos problemas de Diofante para sua própria Álgebra. A mais famosa tradução latina do Diofanto Arithmetica é devido a Bachet em 1621 e é essa edição que Fermat estudado. Certamente Fermat foi inspirado por este trabalho, que se tornou famoso nos últimos anos devido à sua ligação com Último Teorema de Fermat.

Começamos este artigo com a observação de que Diofanto é muitas vezes considerado como o "pai da álgebra", mas não há dúvida de que muitos dos métodos para resolver equações linear e quadrática voltar a Babilônia matemática. Por esta razão, Vogel escreve [1]: -

... Diofanto não era, como ele tem sido muitas vezes chamado, o pai da álgebra. No entanto, sua notável, se não sistemática, a coleta de problemas indeterminados é uma conquista singular que não foi totalmente apreciado e desenvolvido até muito mais tarde.

Artigo por: JJ O'Connor e EF Robertson

ARTE MATEMÁTICA (8)

               Observe esta imagem, na qual, várias elipses cada vez mais excêntricas são traçadas a partir de uma simetria hexagonal gerando um efeito 3D Que tal?.

MATEMÁGICA? (8)

Pegue uma calculadora.

Escolha um número par ( por exemplo 386).

Multiplique o número que você escolheu por 5 e anote o resultado.

Agora divida por 2 aquele número que você escolheu inicialmente e escreva um algarismo 0 logo após a resposta obtida.

Reconhece o resultado?

Quer tentar de novo? Funciona com qualquer número par...