10 - Função Exponencial e Logaritmos - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (10)

8	1	6
3	5	7
4	9	2

Este quadrado é mágico, porque em cada linha, em cada coluna e nas duas diagonais a soma dos algarismos é igual a 15.

Como completar o quadrado abaixo com os números de 5 a 16 para que seja mágico, quer dizer, para que a soma de cada linha, de cada coluna e de cada uma das diagonais seja igual a 34?

1
		2
	3
			4

Jogos matemáticos -10

KIDS MATHS MANIA

Ah, gente... Que gracinha...rsrs
As tarefinhas deste jogo são realmente muito simples ( a não ser talvez pela corrida contra o relógio...kkk), mas, mesmo assim fiz questão de postar este jogo.

Então, para as crianças (grandes ou pequenas), bom divertimento! KIDS-MATHS-MANIA   

ORIGEM DOS NOMES DOS MESES DO ANO

No calendário de Rômulo, o primeiro rei de Roma e seu fundador, o ano começava em março e tinha dez meses, cujos nomes primitivos eram:

- Martius (em homenagem ao deus da guerra, Marte),

-Aprilis (nome relacionado a Apros ou Afros, designativo de Afrodite, nome grego da deusa Vênus, a quem abril era dedicado);

-Majus (em homenagem à deusa Maia, uma das Atlântidas, amada de Júpiter e mãe de Mercúrio),

- Junius (em homenagem à deusa Juno, equivalente à deusa Hera dos gregos),

- Quintilis, Sextilis, September, October, November e December.

A relação de aprilis com aperire (abrir) surgiu posteriormente, na vigência do calendário de Numa Pompílio, por ser abril o mês da primavera, em que "todas as coisas se abrem".

Numa Pompílio (circa 715-circa 672 a.C.), sucessor de Rômulo, querendo igualar a contagem do tempo romano à dos gregos e fenícios, reformou o calendário de Rômulo, instituindo os meses de Januarius (em homenagem ao deus Janus, protetor dos lares) e Februarius, do latim februus, adjetivo de primeira classe que significa "o que purifica, purificador".

Homenagens

Os meses Quintilis e Sextilis foram rebatizados com os nomes de julho e agosto, em homenagem aos dois primeiros dos doze césares: Julius (Júlio César) e Augustus. Para que julho e agosto tivessem o mesmo número de dias, subtraíram-se dois dias do mês de fevereiro. Repare que as festas de junho são juninas (de Juno), mas as festas de julho são julianas (de Júlio), e não "julhinas" ou "julinas", nomes que não existem.

Por José Augusto Carvalho (texto adaptado)
Fonte: www.linguaportuguesa.uol.com.br

Geometria no cotidiano

Bhaskara

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Data de Nascimento: 1114 em Vijayapura, Índia
Morte: 1185 em Ujjain, Índia

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Bhaskara é também conhecido como Bhaskara II ou como Bhaskaracharya , este último nome significa "Bhaskara o Professor". Uma vez que ele é conhecido na Índia como Bhaskaracharya vamos nos referir a ele durante todo este artigo com esse nome. O pai de Bhaskaracharya era um brâmane chamado Mahesvara. Se Mahesvara era famoso como um astrólogo. Isso aconteceu muitas vezes na sociedade indiana com gerações de uma família ser excelentes matemáticos e muitas vezes agindo como professores para outros membros da família.

Bhaskaracharya tornou-se chefe do observatório astronômico a Ujjain, o principal centro matemático da Índia naquela época. Matemáticos pendentes, tais como Varahamihira e Brahmagupta tinha trabalhado lá e construiu uma forte escola de astronomia matemática.

De muitas maneiras Bhaskaracharya representa o pico do conhecimento matemático no 12 ^ºséculo. Ele chegou a uma compreensão dos sistemas numéricos e resolução de equações que não era para ser alcançado na Europa por vários séculos.

Seis obras de Bhaskaracharya são conhecidos, mas um sétimo trabalho, que é reivindicada a ser por ele, é considerado por muitos historiadores para ser uma falsificação tardia. As seis obras são: Lilavati (A Bela), que é em matemática; Bijaganita (Contagem de sementes ou de extração de raiz), que é a álgebra, a Siddhantasiromani que está dividido em duas partes, a primeira em astronomia matemática com a segunda parte da esfera, o Vasanabhasya deMitaksara que é próprio comentário de Bhaskaracharya no Siddhantasiromani , oKaranakutuhala (cálculo das maravilhas astronômicas) ou Brahmatulya que é uma versão simplificada do Siddhantasiromani , eo Vivarana que é um comentário sobre oShishyadhividdhidatantra de Lalla. É a primeira dessas três obras que são o mais interessante, sem dúvida, do ponto de vista da matemática, e vamos nos concentrar sobre o conteúdo destes.

Tendo em conta que ele estava construindo sobre o conhecimento ea compreensão de Brahmagupta, não é surpreendente que Bhaskaracharya entendido sobre os números zero e negativa. No entanto, sua compreensão foi mais longe ainda do que a de Brahmagupta. Para dar alguns exemplos, antes de examinar o seu trabalho em um pouco mais detalhadamente, notamos que ele sabia que x ² = 9 tinha duas soluções. Ele também deu a fórmula

Bhaskaracharya estudou de Pell equação px ² + 1 = y ² para p = 8, 11, 32, 61 e 67. Quandop = 61, ele encontrou a solução x = 226153980, y = 1776319049. Quando p = 67, ele encontrou a solução x = 5967, y = 48842. Ele estudou muitos problemas diofantinas.

Vamos primeiro examinar o Lilavati. Primeiro vale a pena repetir a história contada por Fyzi que traduziu este trabalho em persa em 1587. Damos a história como dado por Joseph em [5]: -

Lilavati era o nome da filha de Bhaskaracharya. De lançar seu horóscopo, ele descobriu que o tempo auspicioso para o seu casamento seria uma hora específica em um determinado dia. Colocou um copo com um pequeno furo no fundo do recipiente cheio de água, dispostas de modo que o copo se afundar no inicio da hora propício. Quando tudo estava pronto ea taça foi colocada no navio, Lilavati, de repente, por curiosidade inclinou o navio e uma pérola de seu vestido caiu no copo e bloqueou o buraco. A hora de sorte passou sem o copo de naufrágio. Bhaskaracharya acredita que o caminho para consolar sua filha abatido, que agora nunca iria se casar, era escrever seu um manual de matemática!

Esta é uma história encantadora, mas é difícil de ver que não há qualquer evidência de que ela seja verdadeira. Nem sequer é certo que Lilavati era filha de Bhaskaracharya. Há também uma teoria de que Lilavati era a esposa de Bhaskaracharya. Os temas abordados nos treze capítulos do livro são: definições; termos aritméticos; juros; progressões aritméticas e geométricas, geometria plana, geometria sólida, a sombra do gnomon, o kuttaka; combinações.

Em se tratando de números Bhaskaracharya, como Brahmagupta antes dele, tratados de forma eficiente aritmética envolvendo números negativos. Ele é o som de adição, subtração e multiplicação envolvendo zero, mas percebeu que havia problemas com idéias de divisão por zero de Brahmagupta. Madhukar Mallayya em [14] argumenta que o zero usada por Bhaskaracharya em seu governo ( a 0,0) / 0 = a , dada em Lilavati, é equivalente ao conceito moderno de um não-zero "infinitesimal". Embora esta afirmação não é sem fundamento, talvez ele está vendo idéias para além do que Bhaskaracharya pretendido.

Bhaskaracharya deu dois métodos de multiplicação na sua Lilavati. Seguimos Ifrah que explica estes dois métodos, devido à Bhaskaracharya em [4]. Para multiplicar 325 por 243 Bhaskaracharya escreve os números assim:

 243 243 243 

 3 2 5 

-------------------

Agora trabalhando com o mais à direita dos três montantes que computadas 5 vezes 3 depois 5 vezes 2 perdendo os 5 vezes 4, o que fez passada e escreveu sob os outros uma posição para a esquerda. Note-se que esta evita fazer o "carry" em uns cabeça.

 243 243 243 

 3 2 5 

------------------- 

 1015 

 20 

-------------------

Agora adicione a 1015 e 20 assim posicionadas e escrever a resposta sob a segunda linha abaixo da soma ao lado da esquerda.

 243 243 243 

 3 2 5 

------------------- 

 1015 

 20 

------------------- 

 1215

Exercite-se a soma do meio como o direito mão um, novamente evitando o "carry", e adicioná-los a escrever a resposta abaixo do 1215, mas deslocado uma posição para a esquerda.

 243 243 243 

 3 2 5 

------------------- 

 1015 4 6 

 8 20 

------------------- 

 1215 

 486

Finalmente trabalhar o mais soma esquerda da mesma forma e, novamente, colocar a adição resultando uma posição para a esquerda sob o 486.

 243 243 243 

 2 3 5 

------------------- 

 6 9 4 6 1015 

 12 8 20 

----------------- - 

 1.215 

 486 

 729 

-------------------

Por fim, adicione os três números abaixo da segunda linha para obter a resposta 78975.

 243 243 243 

 2 3 5 

------------------- 

 6 9 4 6 1015 

 12 8 20 

----------------- - 

 1.215 

 486 

 729 

------------------- 

 78975

Apesar de evitar o "carry" nos primeiros estágios, é claro que alguém ainda se depara com o "carry" nesta Além final.

O segundo dos métodos de Bhaskaracharya prossegue como se segue:

 325 

 243 

--------

Multiplique o número por baixo o número mais alto de partida do processo dígito mais à esquerda e para a direita. Deslocar cada linha um lugar para começar um lugar mais certo do que a linha anterior. Primeira etapa

 325 

 243 

-------- 

 729

Segunda etapa

 325 

 243 

-------- 

 729 

 486

Terceira etapa, em seguida, adicione

 325 

 243 

-------- 

 729 

 486 

 1215 

-------- 

 78.975

Bhaskaracharya, como muitos dos matemáticos indianos, considerados em quadratura de números como casos especiais de multiplicação que merecia métodos especiais. Ele deu quatro desses métodos de quadratura em Lilavati.

Aqui está um exemplo de explicação da proporção inversa retirado do capítulo 3 do . Lilavati Bhaskaracharya escreve: -

No método inverso, a operação é inversa. Esse é o fruto a ser multiplicado pelo augment e dividido pela procura. Quando aumenta ou diminui de frutas, como a demanda é aumentada ou diminuída, o governo direto é usado. Caso contrário, o inverso.

Regra de três inversa: Se a fruta diminui com o aumento da requisição, ou aumentar como que diminui, eles, que são especializados em contas, considere a regra de três para ser invertida. Quando há uma diminuição do fruto, se há aumento de requisição, e aumento de fruto, se haver diminuição da requisição, então a regra de três inversa é empregue.

Bem como a regra de três, Bhaskaracharya discute exemplos para ilustrar as regras de proporções compostos, como a regra de cinco (Pancarasika), a regra de sete (Saptarasika), o Estado de nove (Navarasika), exemplos de uso, etc de Bhaskaracharya estas regras são discutidas em [15].

Um exemplo do capítulo 5 em progressões aritméticas e geométricas é o seguinte: -

Exemplo: Em uma expedição para capturar os elefantes de seu inimigo, um rei marchou duas yoganas no primeiro dia. Diga, calculadora inteligente, com o aumento da taxa de diária marcha que ele continue, já que ele chegou a cidade de seu inimigo, a uma distância de oitenta yoganas, em uma semana?

Bhaskaracharya mostra que a cada dia ele deve viajar ²² / ₇ yoganas mais do que no dia anterior para chegar a cidade de seu inimigo em 7 dias.

Um exemplo do Capítulo 12 sobre o método de resolução de equações kuttaka indeterminado é o seguinte: -

Exemplo: Say rapidamente, matemático, que é multiplicador que, pelo qual 221 a ser multiplicado, e sessenta e cinco adicionados ao produto, a soma dividido por cento e noventa e cinco, torna-se esgotada.

Bhaskaracharya é encontrar solução inteira para 195 x = 221 y + 65. Ele obtém a soluções (x , y ) = (6, 5) ou (23, 20) ou (40, 35) e assim por diante.

No capítulo final em combinações Bhaskaracharya considera o seguinte problema. Deixe umn número de dígitos ser representados na forma decimal como habitual

d ₁ d ₂ ... d _n     (*)

onde cada um dígito satisfaz ≤ d _j ≤ 9, j = 1, 2, ... , n . Então o problema de Bhaskaracharya é encontrar o número total de números da forma (*) que satisfazem

d ₁ + d ₂ + ... + d _n = S .

Em sua conclusão para Lilavati Bhaskaracharya escreve: -

Alegria e felicidade é, de facto cada vez mais nesse mundo para aqueles que Lilavati apertou para suas gargantas, decorado como os membros estão com redução puro de frações, multiplicação e involução, puro e perfeito, como são as soluções, e de bom gosto, como é o discurso que é exemplificada.

O Bijaganita é um trabalho em doze capítulos. Os temas são: números positivos e negativos; zero; do desconhecido; surds, o kuttaka; equações quadráticas indeterminadas; equações simples, equações do segundo grau, equações com mais de um desconhecido, equações do segundo grau com mais de um desconhecido; operações com produtos de várias incógnitas e, o autor e sua obra.

Depois de ter explicado como fazer aritmética com números negativos, Bhaskaracharya dá problemas para testar as habilidades do leitor sobre o cálculo com quantidades negativas e positivas: -

Exemplo: Contar rapidamente o resultado dos números três e quatro, negativa ou positiva, no seu conjunto, isto é, positiva e negativa, ou ambos negativos ou ambos afirmativa, como instâncias separadas, se tu saber a adição de quantidades positivas e negativas.

Os números negativos são denotados por colocação de um ponto em cima delas: -

Os personagens, o que denota as quantidades conhecidas e desconhecidas, deve ser escrito primeiro a indicá-los em geral, e aqueles, que se tornam negativo deve ser então marcado com um ponto em cima deles.

Exemplo: subtração de dois de três, afirmativa da afirmativa e negativa de negativa, ou, pelo contrário, me diga rapidamente o resultado ...

Em Bijaganita Bhaskaracharya tentou melhorar a tentativa de Brahmagupta para dividir por zero (e sua própria descrição em Lilavati ), quando ele escreveu: -

Uma quantidade dividido por zero torna-se uma fracção cujo denominador é zero. Esta fracção é designada uma quantidade infinita. Neste quantidade composta por aquilo que tem zero para seu divisor, não há nenhuma alteração, apesar de muitos pode ser inserido ou extraído, como nenhuma mudança ocorre no infinito e imutável Deus quando os mundos são criados ou destruídos, apesar de inúmeras ordens de seres são absorvida ou colocar diante.

Então Bhaskaracharya tentou resolver o problema escrevendo n / 0 = ∞. À primeira vista podemos ser tentados a acreditar que Bhaskaracharya tem correto, mas é claro que ele não faz. Se isso fosse verdade, então 0 vezes ∞ deve ser igual a cada número n , então todos os números são iguais. Os matemáticos indianos não poderia trazer-se ao ponto de admitir que não se pode dividir por zero.

As equações conduzem a mais do que uma solução Bhaskaracharya são dadas por: -

Exemplo: Dentro de uma floresta, um número de macacos igual ao quadrado de um oitavo do total de macacos no pacote estão jogando jogos ruidosos. Os restantes doze macacos, que são de uma disposição mais grave, está em uma colina próxima e irritado com os gritos vindos da floresta. Qual é o número total de macacos do pacote?

O problema conduz a uma equação quadrática e Bhaskaracharya diz que as duas soluções, ou seja, 16 e 48, são igualmente admissíveis.

O método para resolver equações kuttaka indeterminados é aplicada a equações com três incógnitas. O problema é encontrar soluções inteiras para uma equação da forma ax + pela +cz = d . Um exemplo que ele dá é: -

Exemplo: Os cavalos pertencentes a quatro homens são 5, 3, 6 e 8 . Os camelos pertencentes aos mesmos homens são 2, 7, 4 e 1 . Os mulos que lhes pertencem são 8, 2, 1 e 3 e os bois 7, 1, 2 e 1 . os quatro homens são iguais em fortunas. Diga-me rapidamente o preço de cada cavalo, camelo, jumento e boi.

É claro que esses problemas não têm uma solução única como Bhaskaracharya está plenamente consciente. Ele encontra uma solução, que é o mínimo, ou seja, 85 cavalos, camelos 76, 31 mulas e bois 4.

A conclusão de Bhaskaracharya ao Bijaganita é fascinante para a visão que nos dá na mente do grande matemático: -

Um pedaço da aula transmite conhecimento para uma mente abrangente, e tendo chegado, expande de seu próprio impulso, como o óleo derramado sobre a água, como um segredo confiado à vil, como esmolas concedidas sobre o digno, porém pouco, por isso não conhecimento infundido em uma mente sábia espalhar pela força intrínseca.

É evidente para os homens de entendimento claro, que a regra de três termos constitui aritmética e sagacidade constitui álgebra. Assim que eu disse ... A regra de três termos é aritmética, compreensão impecável é álgebra. O que existe desconhecido para o inteligente? Portanto, para os estúpidos só é estabelecido.

O Siddhantasiromani é um texto de astronomia matemática um layout semelhante ao de muitos outros textos de astronomia indianos deste e períodos anteriores. Os doze capítulos dos primeiros tópicos cobrir parte, tais como: significa longitudes dos planetas; verdadeiras longitudes dos planetas, os três problemas da rotação diurna; syzygies; eclipses lunares, eclipses solares; latitudes dos planetas; levantamentos e definições; da lua crescente; conjunções dos planetas uns com os outros; conjunções dos planetas com as estrelas fixas, e as patas do sol e da lua.

A segunda parte contém treze capítulos sobre a esfera. Ele aborda temas como: louvor de estudo da esfera, natureza da esfera; cosmografia e geografia; planetário movimento médio; modelo epicyclic excêntrico dos planetas, a esfera armilar; trigonometria esférica; cálculos elipse; primeira visibilidades dos planetas; cálculo o crescente lunar; instrumentos astronômicos, as estações do ano, e os problemas de cálculos astronômicos.

Há resultados interessantes sobre trigonometria neste trabalho. Em particular Bhaskaracharya parece mais interessado em trigonometria para seu próprio bem do que seus antecessores, que viam apenas como uma ferramenta para o cálculo. Entre os diversos resultados interessantes Bhaskaracharya são dadas por:

sin ( a + b ) = sen a cos b + cos a sin b

e

pecado ( a - b ) = sen a cos b - cos a sin b .

Bhaskaracharya justamente conseguido uma excelente reputação por sua contribuição notável. Em 1207 uma instituição de ensino foi criada para estudar as obras de Bhaskaracharya. A inscrição medieval em um templo indiano diz: -

Triunfante é o ilustre Bhaskaracharya cujo feitos são reverenciados por ambos os sábios e eruditos. Um poeta dotado de fama e mérito religioso, ele é como a crista de um pavão.

É a partir dessa citação que o título do livro de Joseph [5] vem.

Artigo por: JJ O'Connor e EF Robertson

ARTE MATEMÁTICA (10)

      Observe os octógonos traçados na imagem acima.
      Repare que as linhas traçadas no interior de cada um formam, ao se cruzarem, outro octógono menor.

MATEMÁGICA? (10)

Observe com atenção os resultados dos seguintes cálculos:

12² = 144

112² = 12544

1112² = 1236544

11112² = 123476544

111112² = 12345876544

1111112² = 1234569876544

O que lhe parece?

Será que ocorre coisa semelhante com outros números?...