14 - Progressão Aritmética II - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (14)

 Em cada uma das igualdades abaixo estão faltando, entre os números 5, sinais de +, -, x, : e ( ) que façam com que a expressão numérica tenha o valor indicado.

5   5   5   5   =     3

5   5   5   5   =     5

5   5   5   5   =     6

5   5   5   5   =   26

5   5   5   5   =   30

5   5   5   5   =   50 

5   5   5   5   =   55

5   5   5   5   = 120

              Você consegue colocá-los no lugar?

Jogos matemáticos -14

FUN MATH

Aqui não dá pra escolher o tipo de operação. Estão todas misturadas...
Por outro lado você pode procurar as respostas entre as alternativas que aparecem
Pelo menos enquanto o tempo não acabar...
Clique em FUN MATH e divirta-se!

O cientista é um privilegiado leitor da natureza

Por Luiz Barco

Podem até parecer partes de um novo quebra-cabeças essas perguntas:

 

- O que há de comum entre o número de escamas de certas espécies de peixes e o número de segmentos da superfície de uma pinha?
 

- Qual a relação entre a disposição dos ramos e das folhas de algumas árvores e a métrica definida em alguns poemas de Virgílio e de outros poetas romanos?

 

O traço comum que responde a essas e a uma centena de outras perguntas, sugeridas na revista Fibonacci Quarterly, editada pela Associação Fibonacci da Califórnia, parece estar escrito na natureza e nas artes e foi formalmente lido por umexuberante matemático, Leonardo de Pisa, ou Leonardo Pisano, ou ainda Leonardo Fibonacci, por volta do final do século XII e início do século XIII de nossa era. Tempos difíceis, aqueles. Estava-se em plena Idade Média, quando descobertas e conhecimento circulavam muito lentamente, pois as cidades se isolavam umas das outras e os livros eram raros e caros - afinal, sequer fora inventada a imprensa.

No Ocidente os algarismos arábicos ainda eram pouco conhecidos, de modo que os números eram anotados de várias formas, todas complicadas, como por exemplo os nossos conhecidos algarismos romanos, formados por letras. Pouco se sabe da vida de Leonardo, a não ser que era filho de um mercador de Pisa. Certamente por força do trabalho, que o colocava em contato com os árabes que mantinham ativo comércio com a Europa através das cidades italianas, o pai aconselhou o filho a estudar as técnicas de cálculo orientais, imaginando que elas lhe seriam úteis no futuro, quando assumisse o comando dos negócios da família.

O conselho foi seguido quando Leonardo ainda era menino e o pai foi viver uns tempos no norte da África, como uma espécie de representante da comunidade mercantil de Pisa. Ele estudou cálculo com um mestre árabe e, embora jamais tivesse se tornado um comerciante, soube aproveitar sua utilidade. Como matemático, ele foi um pioneiro na divulgação daquelas técnicas no Ocidente, sobretudo dos algarismos arábicos que tanto simplificaram a Aritmética, embora ele pessoalmente não os chegasse a utilizar largamente em seu trabalho.

Seu livro, completado em 1202, recebeu um título que não lhe faz justiça: Líber Abaci ou Livro do Ábaco, na sua forma mais simples, é uma moldura retangular, com arames onde correm pequenas bolas que servem para cálculos elementares de Aritmética. Ainda hoje é muito usado nos países orientais. Muito do que o livro contém não chega a interessar nos nossos dias. Mas alguns problemas ali expostos foram a alavanca de numerosas considerações matemáticas que se sucederam nos séculos seguintes.

O que mais inspirou as gerações posteriores de matemáticos foi esse intrigante problema:
 

Quantos pares (um macho e uma fêmea) de coelhos serão produzidos em um ano, começando com um único par, se em cada mês cada par gera um novo par que se torna fértil a partir do segundo mês?

Este cérebre problema dá origem à seqüência que leva o nome de Fibonacci:

 

Quantidade de pares do 1º mês: 1
 

Quantidade de pares no 2º mês: 1
 

Quantidade de pares no 3º mês: 2
 

Quantidade de pares no 4º mês: 2+1
 

Quantidade de pares no 5º mês: 3+2
 

Ou simplesmente 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

 

Observe que cada termo, após os dois primeiros, é a soma dos dois imediatamente precedentes. Com um pouco de esforço qualquer pessoa medianamente treinada poderá criar outras seqüências desse tipo. Mas o que certamente nenhum leigo conseguirá - e é isso que torna a seqüência de Fibonacci deveras interessante - é a freqüência e a variedade de suas aparições na natureza e nas artes.

Veja esses exemplos: o número de pequenas flores que formam o miolo do girassol é um dos números da seqüência de Fibonacci; o número de escamas de certos peixes e o número de segmentos da superfície de uma pinha são números da seqüência de Fibonacci; pode-se verificar que Virgílio e outros poetas romanos escreveram poemas nos quais a métrica está definida conforme as regras da seqüência de Fibonacci. Num artigo sobre simetria, Hermann Weyl, notável matemático e físico alemão radicado nos Estados Unidos, que foi companheiro de Albert Einstein, mostra uma ilustração da concha do Náutilo, um caracol. Ali se observa uma espiral logarítmica, que também é encontrada nas flores do girassol gigante. Neste, na verdade, são duas séries de espirais logarítmicas, entrelaçadas em sentidos opostos. Outras investigações no campo da Botânica têm mostrado que as frações que representam a disposição espiral das folhas nos ramos são, com freqüência, membros da seqüência de Fibonacci.

No esplendor da Grécia antiga, no século V a.C., uma escola matemática chamada Pitagórica, um nome que vem de sua maior figura, Pitágoras de Samos (580-500 a.C. aproximadamente), criou um símbolo muito especial: o pentagrama ou pentágono estrelado, que se obtém traçando-se as cinco diagonais do pentágono regular (A B C D E).

É interessante observar que essas diagonais cortam-se formando novo pentágono (A· B· C· D· E·), operação que pode ser repetida à vontade. Essas diagonais e seus pontos de encontro guardam uma relação curiosa.

A razão, ou divisão, entre sua medida (BD) e a medida de seu maior pedaço (BA·) e seu menor pedaço (A·D). Essa razão foi denominada, quase dois mil anos depois, seção áurea de um segmento. Ela foi usada largamente pelos gregos como um padrão estético, sobretudo na escultura e na arquitetura.

Dessa seção áurea, ou proporção áurea, obtém-se uma equação de segundo grau cuja raiz positiva resulta, aproximadamente em 1,61803. É exatamente para esse valor que converge a seqüência de frações construída pelos botânicos. Efetuando-se as divisões, quanto mais avançarmos nessa seqüência mais próximos chegaremos de 1,61803.

Vemos, assim, que o critério estético que herdamos da Grécia antiga pode matematicamente ser descrito como uma propriedade da seqüência de Fibonacci; a mesma propriedade usada pela natureza para construir flores e caracóis. Parece ter razão quem defende a idéia, discutível, de que o cientista não cria, mas tem sido um privilegiado leitor, capaz de entender uma linguagem nem sempre imediatamente perceptível, sob a qual a natureza foi construída, ou criada, ou simplesmente escrita.

 

(fonte: superinteressante: outubro 1987)

FRACTAIS

Se você já leu algo sobre fractais ou já viu imagens, vai gostar deste vídeo.
Aqui as imagens são ampliadas indefinidamente mostrando o que está por trás dos detalhes de uma imagem como esta...

*Pacioli

Luca Pacioli

Data de Nascimento: 1445 em Sansepolcro, Itália
Morte: 1517 em Sansepolcro, Itália

O pai de Luca Pacioli foi Bartolomeo Pacioli , mas Pacioli não parece ter sido criado na casa de seus pais . Ele viveu como uma criança com a família Befolci em Sansepolcro que era a cidade de seu nascimento . Esta cidade é muito no centro da Itália, cerca de 60 km ao norte da cidade de Perugia. Tanto quanto Pacioli estava preocupado , talvez a característica mais importante desta pequena cidade comercial foi o fato de Piero della Francesca tinha um estúdio e oficina lá e della Francesca passou algum tempo lá , apesar de comissões freqüentes em outras cidades

Embora saibamos pouco do início da vida de Pacioli , a conjectura de que ele pode ter recebido pelo menos uma parte da sua formação no estúdio de della Francesca em Sansepolcro deve ter pelo menos uma forte chance de estar correta . Uma razão para que isso parece provável que seja verdadeiro é o amplo conhecimento que Pacioli tinha da obra de Piero della Francesca e os escritos de Pacioli foram fortemente influenciados por aqueles de Piero .

Pacioli afastou- Sansepolcro , enquanto ele ainda era um jovem rapaz. Mudou-se para Veneza para entrar no serviço do rico comerciante Antonio Rompiasi cuja casa estava no altamente desejável distrito Giudecca daquela cidade . Um tem que assumir que Pacioli já foi bem educado em matemática básica de estudos em Sansepolcro e ele certamente deve ter sido bem educado , geralmente por ter sido escolhido como um tutor para os três filhos de Rompiasi . No entanto, Pacioli aproveitou a oportunidade para continuar os seus estudos matemáticos em um nível superior , enquanto em Veneza, estudando matemática sob Domenico Bragadino . Durante este tempo Pacioli ganhou experiência tanto no ensino, a partir de seu papel como tutor, e também no mundo dos negócios de seu papel ajudando com assuntos de Rompiasi .

Foi durante seu tempo em Veneza que Pacioli escreveu seu primeiro trabalho, um livro sobre aritmética que ele dedicou a três filhos de seu empregador. Este foi concluído em 1470 , provavelmente no ano que Rompiasi morreu . Pacioli certamente parecia saber todas as pessoas certas para que ele deixou Veneza e viajou para Roma, onde passou vários meses vivendo na casa de Leone Battista Alberti que foi secretário na Chancelaria Papal . Para além de ser um excelente estudioso e matemático , Alberti foi capaz de fornecer Pacioli , com boas ligações religiosas. Neste momento Pacioli , em seguida, estudou teologia e , em algum momento durante os próximos anos , ele se tornou um frade da Ordem Franciscana .

Em 1477 Pacioli começou uma vida de viajar , gastando o tempo em várias universidades o ensino da matemática , particularmente aritmética. Ele ensinou na Universidade de Perugia 1477-1480 e enquanto não escreveu uma segunda obra em aritmética projetado para as classes que ele estava ensinando. Ele ensinou a Zara (agora chamado de Zadar , na Croácia ou Jadera mas na época do Império Veneziano ) e lá escreveu um terceiro livro sobre aritmética. Nenhum dos três textos de aritmética foram publicados , e só a escrita para os estudantes em Perugia sobreviveu. Após Zara, Pacioli ensinou novamente na Universidade de Perugia, então na Universidade de Nápoles, em seguida, na Universidade de Roma. Certamente Pacioli familiarizar-se com o duque de Urbino , em algum momento durante este período. Papa Sisto IV fez Federico da Montefeltro , o duque de Urbino em 1474 e Pacioli parece ter passado algum tempo como um tutor para o filho Guidobaldo de Federico , que viria a ser a última Montefeltro decisão quando seu pai morreu em 1482 . O tribunal de Urbino foi um notável centro de cultura e Pacioli deve ter tido contato próximo com ele ao longo de vários anos.

Em 1489 , depois de dois anos em Roma , Pacioli retornou à sua cidade natal de Sansepolcro . Nem tudo correu bem para Pacioli em sua cidade natal , no entanto. Ele havia sido concedido alguns privilégios pelo Papa e havia um grau de ciúme entre os homens das ordens religiosas em Sansepolcro . Na verdade Pacioli foi proibido de ensinar lá em 1491 , mas o ciúme parecia ser misturado com um respeito pela sua aprendizagem e bolsa de estudos para , em 1493 , ele foi convidado a pregar os sermões da Quaresma.

Durante este tempo em Sansepolcro, Pacioli trabalhou em um de seus livros mais famosos da Summa de Aritmética , Geometria , proportioni et proportionalita que ele dedicou a Guidobaldo , o duque de Urbino. Pacioli viajou para Veneza em 1494 para publicar a Summa . O trabalho apresenta um resumo da matemática conhecido naquele tempo, embora ele mostra pouco em termos de idéias originais. O trabalho de estudos de aritmética , álgebra, geometria e trigonometria e, apesar da falta de originalidade , foi a de fornecer uma base para o maior progresso em matemática , que teve lugar na Europa logo após este tempo. Conforme indicado em [ 1], o Suma foi: -

... não dirigida a uma seção particular da comunidade. Uma obra enciclopédica ( 600 páginas de perto de impressão, em folio ), escrito em italiano , contém um tratado geral sobre aritmética teórica e prática , os elementos da álgebra ; uma tabela de dinheiros , pesos e medidas utilizados nos vários estados italiano, um tratado na contabilidade de dupla entrada , e um resumo da geometria de Euclides . Ele admitiu ter emprestado livremente de Euclides, Boécio , Sacrobosco , Fibonacci, ...

A parte geométrica da Summa de Pacioli é discutido em detalhe em [6] . Os autores escrevem : -

A parte geométrica da L Pacioli Summa [ Veneza, 1494 ] em italiano é um dos primeiros livros de matemática impressos. Pacioli amplamente utilizado Elementos de Euclides , recontando algumas partes dele . Ele se referiu também ao Leonardo de Pisa ( Fibonacci ) .

Outro aspecto interessante da Summa foi o fato de que ele estudou os jogos de azar . Pacioli estudou o problema de pontos, ver [9], embora a solução que ele deu é incorreto.

Ludovico Sforza era o segundo filho de Francesco Sforza, que havia se tornado duque de Milão . Quando Francesco morreu em 1466, de Ludovico Sforza Galeazzo irmão mais velho, tornou-se duque de Milão . No entanto, Galeazzo foi assassinado em 1476 e seu filho de sete anos tornou-se duque de Milão . Ludovico , depois de alguma intriga política , tornou-se regente do jovem em 1480. Com muito generoso patrocínio de artistas e estudiosos , Ludovico Sforza começou a fazer a sua corte em Milão, o melhor em toda a Europa . Em 1482 Leonardo da Vinci entrou em serviço de Ludovico como um pintor da corte e engenheiro. Em 1494 Ludovico tornou-se o duque de Milão e , por volta de 1496, Pacioli foi convidado por Ludovico para ir a Milão para ensinar matemática na corte de Ludovico Sforza . Este convite pode ter sido feita , a pedido de Leonardo da Vinci que tinha um interesse entusiástico em matemática.

No Milan Pacioli e Leonardo rapidamente se tornaram amigos íntimos . Matemática e arte foram temas que discutimos longamente , tanto ganhando muito com o outro. Neste momento Pacioli começou a trabalhar na segunda de suas duas obras famosas , Divina proportione e os números para o texto foram desenhados por Leonardo. Poucos matemáticos podem ter tido um ilustrador mais talentoso para o seu livro! O livro que Pacioli trabalhou durante 1497 viria a formar o primeiro dos três livros que ele publicou em 1509 sob o título de Divina proportione (ver por exemplo [3] ) . Este foi o primeiro dos três livros que finalmente fez -se este tratado , e estudou a " Proporção divina" ou " razão de ouro ", que é a razão a: b = b : ( a + b) . Ele contém os teoremas de Euclides que se relacionam com esta relação , e também estuda polígonos regulares e semiregular (ver , em particular [4 ] para uma discussão da obra de Pacioli em polígonos regulares ) . É evidente que o interesse de Leonardo nesta relação esteticamente satisfatório , tanto do ponto de vista matemático e artístico era uma influência importante sobre o trabalho . A proporção áurea também foi de importância no projeto arquitetônico e este tópico foi para formar a segunda parte do tratado que Pacioli escreveu mais tarde. O terceiro livro do tratado foi uma tradução em italiano de uma das obras de della Francesca .

Louis XII tornou-se rei da França em 1498 e, por ser um descendente do primeiro duque de Milão , afirmou o ducado . Veneza apoiou Louis contra o Milan e em 1499 os exércitos franceses entraram Milan No ano seguinte Ludovico Sforza foi capturado quando tentava retomar a cidade . Pacioli e Leonardo fugiram juntos em dezembro de 1499, três meses após o francês capturado Milan . Pararam primeiro em Mântua , onde estavam os convidados da marquesa Isabella d'Este , em seguida, março 1500 eles continuaram a Veneza. De Veneza eles voltaram para Florença, onde Pacioli e Leonardo dividia uma casa .

A Universidade de Pisa tinha sofrido uma revolta em 1494 e mudou-se para Florença. Pacioli foi nomeado para ensinar geometria na Universidade de Pisa , em Florença , em 1500 . Ele permaneceu em Florença , o ensino de geometria na universidade, até 1506. Leonardo , apesar de passar dez meses para trabalhar para Cesare Borgia, também permaneceu em Florença até 1506. Pacioli , como Leonardo , teve um período longe de Florença, quando lecionou na Universidade de Bolonha , durante 1501-02 . Durante este tempo Pacioli trabalhou com Scipione del Ferro e tem havido muito conjectura quanto ao facto de os dois discutiram a solução de equações algébricas cúbicos. Certamente Pacioli discutiu este tema na Summa e algum tempo depois da visita de Pacioli a Bolonha , del Ferro resolvido um dos dois casos deste problema clássico .

Durante seu tempo em Florença Pacioli foi envolvido com os assuntos da Igreja , bem como com a matemática . Ele foi eleito o superior de sua Ordem em Romagna e então, em 1506 , ele entrou para o mosteiro de Santa Croce , em Florença. Depois de deixar Florença, Pacioli foi para Veneza, onde ele recebeu os direitos exclusivos para publicar seus trabalhos lá pelos quinze anos seguintes . Em 1509 , ele publicou três volumes de trabalho Divina proportione e também uma tradução latina dos Elementos de Euclides . A primeira edição impressa dos Elementos de Euclides foi a tradução do século XIII por Campanus que haviam sido publicados em forma impressa em Veneza em 1482. Edição de Pacioli foi baseado no de Campanus mas continha muito na forma de anotação pelo próprio Pacioli .

Em 1510, Pacioli retornou ao Perugia a palestra lá novamente. Ele também lecionou novamente em Roma, em 1514 , mas por esta altura Pacioli foi de 70 anos de idade e se aproximando do fim de sua vida ativa de bolsas de estudo e ensino. Ele voltou a Sansepolcro , onde morreu em 1517, deixando uma grande obra inédita De Viribus Quantitatis em problemas recreativas , problemas geométricos e provérbios . Este trabalho faz referência freqüente a Leonardo da Vinci , que trabalhou com ele no projeto, e muitos dos problemas nessa tratado também estão nos cadernos de Leonardo. Novamente, é um trabalho para o qual Pacioli alegou nenhuma originalidade , descrevendo-o como um compêndio .

Apesar da falta de originalidade na obra de Pacioli , suas contribuições para a matemática é importante, principalmente por causa da influência que seu livro fosse ter por um longo período . Em [ 10] é discutida a importância da obra de Pacioli , em particular o seu cálculo de valores aproximados de uma raiz quadrada (com um caso especial do método de Newton ), sua análise incorreta de certos jogos de azar (similar aos estudados por Pascal que deu subir para a teoria da probabilidade) , os problemas envolvendo a teoria dos números ( problemas semelhantes apareceram na compilação de Bachet ) , e sua coleção de muitos quadrados mágicos .

Em 1550 apareceu uma biografia de Piero della Francesca escrito por Giorgio Vasari . Esta biografia Pacioli acusado de plágio e afirmou que ele roubou o trabalho de della Francesca em perspectiva, na aritmética e na geometria . Esta é uma acusação injusta , pois, embora haja verdade que Pacioli contou com o trabalho dos outros, e certamente na de della Francesca , em particular, ele nunca tentou reivindicar a obra como sua própria , mas reconheceu as fontes que ele usou.

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

jul 1999

ARTE MATEMÁTICA (14)

Está é mais uma imagem construída com elipses.
Várias delas em tamanhos que vão decrescendo ao longo de nove eixos o que possibilita inclusive enxergar ( com um pouco de observação) um eneágono no centro da figura...

MATEMÁGICA? (14)

Pense em dois números naturais diferentes.

Some os dois.

Escreva os três números que você tem agora em ordem crescente.

Multiplique os dois menores.

Multiplique os dois maiores.

Agora faça a subtração dos dois últimos resultados que você obteve.

Percebeu alguma coisa?

Lembra dos três números que você escreveu em ordem crescente?

O resultado é o quadrado do número intermediário!!

Não acredita?

Veja um exemplo:

Escolho 7 e 11.

Somo os dois: 7 + 11 = 18.

Escrevo em ordem crescente: 7, 11, 18.

Multiplico os dois menores e os dois maiores: 7 x 11 = 77 e 11 x 18 = 198.

Subtraio os dois resultados das multiplicações: 198 – 77 = 121.

O resultado é o quadrado do número intermediário na lista dos três: 11²=121

E tem mais.

Funciona com qualquer número!

Tente com outros...