19 - Geometria Analítica - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (19)

Os 11 "palitos" abaixo estão dispostos para formar 2 quadrados.
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Pode ser?

Jogos matemáticos -19

Este jogo tem elementos variados. Seja nos níveis de dificuldade. Seja na corrida contra o tempo, ou ainda na possibilidade de jogar contra um adversário humano ou contra o próprio computador.

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COMO ERA DURA A VIDA SEM O ZERO

Por Luiz Barco

 

Qual foi a mais importante descoberta feita pelo homem? Alguém pensará na roda, outro no fogo, na penicilina, na televisão... e por aí se pode ir muito longe. Acrescento uma outra em que provavelmente ninguém vai pensar: o zero. Isso mesmo, o zero do nosso sistema de numeração. Pois ele não existiu sempre.
Na verdade, só apareceu muitos séculos depois que a humanidade aprendera a contar e a representar graficamente suas contas. Seu uso com sagrou-se na Europa por volta do século XIV, embora haja indícios de que algumas civilizações o utilizasse antes.
Dele disse o matemático americano Tobias Dantzig: "Concebido, com toda a probabilidade, como símbolo para uma coluna vazia no ábaco,o sunya indiano estava destinado a tornar-se o ponto crucial num desenvolvimento sem o qual o progresso da ciência moderna, da indústria e do comércio é inconcebível". É difícil acreditar que os homens levaram 5 mil anos entre escrever números e conceber o nosso sistema de numeração posicional. Datam de antes de 3500 e a.C os registros mais antigos, indicando o uso sistemático de numerais escritos, e eles eram dos sumérios e dos egípcios.
Conta-se que, no século XIV, um mercador alemão quis escolher uma boa escola para o filho e foi aconselhar-se com um professor. Esse recomendou: se o aprendiz fosse limitar-se á soma e á subtração, bastaria freqüentam para uma universidade alemã; se quisesse multiplicar e dividir, deveria ir à Itália, pois só lá se pode obter instrução tão avançada. Mas é preciso esclarecer que fazer esses cálculos naqueles tempos nada tinha a ver com as técnicas que empregamos hoje. A multiplicação era obtida por duplicações sucessivas e a divisão por mediações sucessivas, ou seja, sucessivas divisões por dois.
É razoável imaginar que os sistemas numéricos nasceram da necessidade que o homem primitivo tinha de registrar seus bens - rebanhos, por exemplo. Logo as necessidades foram além do simples registro e então surgiram as operações aritméticas, que levaram à criação do ábaco, um curioso e simples aparelho que permite fazer os cálculos por meio de contas móveis. Durante muito tempo os homens mantiveram um sistema de numeração escrito para registrar os bens e o ábaco, para fazer cálculos. Houve quem tentasse elaborar regras para operar com os números escritos, mas as dificuldades eram grandes.
E por isso a humanidade levou um tempo enorme para passar do ábaco para a numeração posicional moderna. Um período em que muitas civilizações floresceram e pereceram, deixando-nos um rico legado de obras literárias, artísticas, filosóficas e religiosas. A Luz sobre essa questão começa a se fazer quando examinamos o esqueleto de nossa numeração moderna. O princípio posicional consiste em dar ao algarismo um valor que depende não apenas do membro da seqüência natural que ele representa, como também na posição que ocupa em relação aos outros símbolos do grupo. Assim, o algarismo 3 tem significados diferentes nos números 423, 537 e 386: no primeiro significa 3, no segundo 30 e no terceiro 300. Vamos escrever um desses números num quadro de contar: Parece suficiente traduzir esse esquema na linguagem dos numerais para obter mudas o que temos hoje. Mais há dificuldade num registro como 43, que pode estar representando qualquer destas formas.
Foi necessário criar um símbolo para as casas que ficavam vazias no ábaco, conforme estivéssemos escrevendo 43,430, 403,4003 etc. Hoje parece simples, mas a mentalidade concreta dos antigos gregos, por exemplo, não podia conceber o vazio, o nada, como um número. Provavelmente, nem os hindus viram no zero o símbolo do nada. O termo indiano sunya significa vazio ou espaço em branco, mas não o nada.
Assim, tudo leva a crer que a descoberta do zero foi um acidente causado pela tentativa de fazer um registro permanente e claro de uma operação do ábaco. Não foi à toa que o grande matemático, astrônomo e físico francês Pierre-Simon Laplace (1749-1827), observou: "Apreciaremos ainda mais a grandeza dessa conquista se lembrarmo-nos de que ela escapou ao gênio de Arquimedes e Apolônio, dois dos maiores homens da Antiguidade".

Fonte: Superinteressante março de 1988

O MUNDO DA MATEMÁTICA (4)

Desta vez, O Mundo Da Matemática nos traz uma estória envolvendo Probabilidade. Confira!

*Viète

François Viète


Data de Nascimento: 1540 em Fontenay -le- Comte , Poitou ( agora Vendée ) , França
Morreu em: 13 dezembro de 1603 em Paris , França

O pai de François Viète foi Étienne Viète , um advogado em Fontenay -le- Comte , no oeste da França cerca de 50 km a leste da cidade costeira de La Rochelle . François mãe ' era Marguerite Dupont. Freqüentou a escola em Fontenay -le- Comte e , em seguida, mudou-se para Poitiers, cerca de 80 km a leste de Fontenay -le- Comte, onde foi educado na Universidade de Poitiers. Dada a ocupação de seu pai, não é de estranhar que Viète estudou Direito na universidade. Após graduar-se com uma licenciatura em Direito em 1560 , Viète entrou na profissão de advogado , mas ele apenas continuou neste caminho por quatro anos antes de decidir mudar sua carreira.

Em 1564, Viète tomou uma posição no serviço de Antoinette d' Aubeterre . Ele foi contratado para supervisionar a educação da filha Catherine de Antoinette , que se tornaria mais tarde Catherine de Parthenay ( Parthenay é cerca de metade do caminho entre Fontenay -le- Comte e Poitiers ) . O pai de Catherine morreu em 1566 e Antoinette d' Aubeterre se mudou com sua filha para La Rochelle . Viète mudou-se para La Rochelle com seu empregador e sua filha .

Este foi um período de grande instabilidade política e religiosa na França. Charles IX tornou-se rei da França em 1560 e pouco tempo depois , em 1562, as guerras francesas da religião começou. É uma simplificação grosseira dizer que estas guerras eram entre protestantes e católicos romanos , mas a luta entre as várias facções continuaria ligado e desligado até quase o final do século . Em 1570 Viète deixou La Rochelle e mudou-se para Paris. Embora ele nunca foi empregado como um cientista profissional ou matemático, Viète já estava trabalhando em temas de matemática e astronomia e sua primeira obra matemática publicada apareceu em Paris em 1571 . Embora Viète estava em Paris , Charles IX autorizou o massacre dos huguenotes , que eram um grupo cada vez mais poderoso de protestantes franceses , em 23 de agosto 1572. Este deve ter sido um momento extremamente difícil para Viète pois, embora não ativa na causa protestante , ele era um huguenote si mesmo. Charles não viveu muito tempo depois deste evento, o massacre aparentemente assombrá-lo pelo resto de sua vida. No entanto, em 24 de outubro, 1573 Charles nomeou Viète para o governo da Bretanha, que foi baseado em Rennes.

Viète mudou-se para Rennes para assumir seu cargo de conselheiro lá. Ele permaneceu em Rennes até março 1580 , quando voltou para Paris. Charles IX morreu em 30 de maio de 1574 e , com a morte de Charles Henry III se tornou rei. Henry fez concessões aos huguenotes protestantes em 1576 e os católicos romanos formaram a Santa Liga para cuidar de seus próprios interesses por ações militares. Neste Viète clima tenso foi nomeado por Henry III como real a par conselheiro em 25 de março 1580, e ele foi anexado ao parlamento em Paris.

Em 1584 a Santa Liga foi reforçada quando o irmão de Henry III morreu eo protestante Henrique de Navarra tornou-se herdeiro do trono . Temendo que os protestantes pode ganhar o controle , na França , a Santa Liga lutou de forma mais vigorosa para a causa católica romana. A corte real contido facções , com diferentes objetivos políticos e em 1584 a posição de Viète como huguenote conhecido tornou-se insustentável e ele foi banido por seus inimigos políticos do tribunal. Deixando Paris, Viète foi Beauvoir -sur- Mer, na costa a cerca de 130 km a noroeste de sua cidade natal de Fontenay -le- Comte. Durante os cinco anos que ele passou em Beauvoir -sur- Mer, Viète foi capaz de dedicar-se inteiramente aos seus estudos matemáticos. Em muitos aspectos, os inimigos de Viète fez matemática a favor , pois foi durante esse período sem direitos formais que a matemática mais importantes de Viète foi feito.

Em 1587 Henry of Navarre derrotou o exército de Henrique III. A ascensão do povo de Paris, a Liga reduto Santo, em 12 de maio 1588, levou o rei a fugir para Chartres. Nesta fase, Henry III enviado para Viète e , em abril de 1589, levou-o de volta em seu parlamento, que agora foi criado em Tours. Henry III foi reconciliado com Henrique de Navarra (desde que lhes convinha para combinar forças ) e, juntos, eles tentaram retomar Paris em 1589 . Henry III , contudo, foi assassinado por um monge jacobino em 1 de Agosto do mesmo ano.

Filipe II de Espanha , um campeão da Católica Contra-Reforma , com o apoio da Santa Liga enviando dinheiro e tropas para a França. Após o assassinato de Henrique III , Filipe reclamou o trono da França para sua filha , Isabella Clara Eugenia . Uma carta para Philip datado 28 de outubro, 1589 escrito em código caiu nas mãos de Henrique de Navarra , que era para se tornar o próximo rei , Henry IV.

Após o assassinato de Henrique III , Viète trabalhou para Henry IV. Ele estava agora em uma posição mais sólida , como um torcedor protestante de um rei protestante. Viète foi certamente bem conhecido por suas habilidades matemáticas por este tempo e , como um dos apoiantes mais leais do Henry IV , era natural que Henry se voltar para Viète para decodificar mensagens que estão sendo enviadas para o seu inimigo Filipe II de Espanha . Demorou Viète algum tempo para decifrar o código complicado. No começo, ele só foi capaz de decifrar as partes da mensagem e partes encaminhados para Henry IV , mas eventualmente Viète lhe enviou a mensagem totalmente decodificada em 15 de março de 1590. Contudo [2 ] : -

... quando Philip , assumindo que a cifra não pode ser quebrado, descobriu que os franceses estavam cientes dos seus planos militares , queixou-se ao papa que a magia negra estava sendo empregado contra seu país.

Embora Viète nunca foi um matemático profissional, ele fez palestra sobre matemática. Por exemplo, em 1592 , lecionou em Tours e discutidas as recentes alegações de que o círculo pode ser quadrado , um ângulo trisected , eo cubo dobrado usando apenas régua e compasso . Ele mostrou nessas palestras que as "provas" que tinha sido publicado no início do ano eram falaciosos.

Em 1592 Henry IV não controlava Paris , e ele ainda teve a oposição do Santo League na França, que foram apoiados por Espanha. Henry convertidos de volta ao catolicismo romano em julho de 1593, talvez por razões políticas, e não religiosa. Viète seguiu o exemplo de seu rei e também se converteu ao catolicismo romano. A conversão de Henry foi certamente eficaz , de resistência contra ele diminuiu e ele tomou Paris em 22 de março 1594. Henry declarou guerra contra Filipe II de Espanha , em janeiro de 1595, e continuou a acabar com a resistência da Liga e seus aliados espanhóis.

Durante o período referido no número anterior, Viète havia novamente vir em socorro do rei , resolvendo um problema matemático . Em 1593 Roomen propôs um problema que envolvia resolver uma equação de 45 graus . O embaixador da Holanda fez comentários a Henrique IV sobre a má qualidade dos matemáticos franceses , dizendo que o francês não poderia resolver o problema de Roomen . Henry colocou o problema de Viète que resolveu por perceber que havia uma relação trigonométricas subjacente. Como resultado desse uma amizade cresceu entre Viète e Roomen . Viète propôs o problema de desenhar um círculo para tocar três círculos dados para Roomen ( o problema apolíneo ) e Roomen resolvido usando hipérboles , publicando o resultado em 1596. Viète si mesmo, publicou sua resposta para o problema de Roomen em 1595 , afirmando na introdução [1]: -

Eu, que não professam ser um matemático , mas que , sempre que houver lazer, prazer em estudos matemáticos ...

Viète continuou a servir Henry IV em Paris até 1597 , quando ele voltou para sua cidade natal de Fontenay -le- Comte. Dois anos depois, ele estava de volta a Paris , mais uma vez a serviço de Henry IV , mas foi demitido por Henry em 14 dezembro de 1602 . Ele morreu quase exatamente um ano depois.

Alguns dos primeiros trabalhos de Viète foi dirigida para a produção de um grande trabalho sobre astronomia matemática anúncio coeleste Harmonicon . Foi um trabalho que nunca foi publicado, mas quatro manuscritos , um deles um autógrafo , sobreviveram e foram redescobertos por Libri . O conteúdo desses manuscritos são descritos em [ 22] onde se afirma que Viète estava interessado exclusivamente na geometria das teorias planetárias de ambos Ptolomeu e Copérnico, e não considerou a questão de saber se as teorias representava a realidade física . Talvez surpreendentemente Viète chegou à conclusão de que a teoria de Copérnico não era válido geometricamente .

Embora o anúncio coeleste Harmonicon nunca foi publicado , Viète começou publicando o Mathematicus Canon em 1571 , que foi concebido como uma introdução matemática para o tratado de astronomia. O Mathematicus Canon cobre trigonometria , que contém tabelas trigonométricas , também dá a matemática por trás da construção das tabelas , e detalha como resolver tanto avião e triângulos esféricos . É interessante que na segunda parte do Mathematicus Viète Canon [1]: -

... escreveu fracções decimal com a parte fraccionada impressa em tipo mais pequeno do que o integral e separado deste último por uma linha vertical .

Viète introduziu a primeira notação algébrica sistemática em seu livro In Artem analyticam Isagoge publicado em Tours em 1591 . O título do trabalho pode parecer surpreendente, pois significa "Introdução à arte analítica ", que dificilmente faz soar como um livro de álgebra . No entanto, Viète não encontrou matemática árabe a seu gosto e com base seu trabalho sobre os matemáticos italianos, como Cardan , eo trabalho dos antigos matemáticos gregos . Seria preciso dizer , porém, que tinha Viète teve uma melhor compreensão da matemática árabe , ele pode ter descoberto que muitas das idéias que ele produziu já eram conhecidos por matemáticos anteriores árabe .

Em seu tratado In artem analyticam Isagoge Viète demonstrou o valor dos símbolos introduzindo letras para representar incógnitas. Ele sugeriu o uso de letras como símbolos para quantidades, conhecidas e desconhecidas . Ele usou vogais para as incógnitas e consoantes para quantidades conhecidas. A convenção em que as letras perto do início do alfabeto representam quantidades conhecidas , enquanto as letras perto do fim representar quantidades desconhecidas foi introduzida mais tarde por Descartes em La Géométrie . Esta convenção é usada hoje em dia, muitas vezes sem que as pessoas perceber que a convenção está sendo usado em tudo. ( Se eu pedi uma solução para ax = b ninguém pergunta: " Para qual quantidade posso resolver a equação " )

Viète fez muitas melhorias na teoria das equações . No entanto, se quisermos ser rigorosamente exato , devemos dizer que ele não resolver equações como tal , mas sim que ele resolveu os problemas de proporcionais que ele afirma muito explicitamente é a mesma coisa que a resolução de equações . No entanto , foi sujeita a um estado de homogeneidade da dimensão . O problema é que, se pedirmos para uma solução de x3 + x = 1, então pedimos a solução para um problema que não faz sentido geometricamente . Para x3 é um cubo enquanto x é uma linha e claramente não faz sentido adicionar um objeto tridimensional a um um objeto dimensional. Portanto Viète olhou para soluções de equações como A3 + B2A = B2Z onde , usando sua convenção , A era desconhecido e B e Z foram knowns . As dimensões aqui são "correta" cada termo ser de dimensão 3. Viète escreveu no In artem analyticam Isagoge (ver [ 7] ou [3] ) : -

A primeira e permanente direito de igualdades ou proporções que , uma vez que é concebido a partir de quantidades homogêneas é a chamada lei de quantidades homogêneas , é esta: quantidades homogêneas devem ser comparados com as quantidades homogêneas.

Ele apresenta métodos para a resolução de equações de segundo, terceiro e quarto grau . Ele sabia que a conexão entre as raízes positivas de equações e os coeficientes dos diferentes poderes da quantidade desconhecida . Talvez seja interessante notar que a palavra " coeficiente " é realmente devido a Viète . Quando Viète aplicados métodos numéricos para resolver equações , como fez em De numerosa potestatum deu métodos que eram semelhantes às apresentadas por matemáticos anteriores árabe . Por exemplo, seus métodos são comparados com os de Sharaf al- Din al- Tusi no papel [11] e [19] . Na primeira o autor argumenta que embora os métodos parecem ser semelhantes à primeira vista , há muitas diferenças importantes. Ele deduz que o trabalho de Viète não é baseado no de Sharaf al- Din al- Tusi . Em [ 19] , no entanto, Ribeiro argumenta que os métodos de Sharaf al- Din al- Tusi e de Viète estão muito perto mesmo.

Viète também escreveu livros sobre trigonometria e geometria como Supplementum geometriae ( 1593 ) . Ele deu as soluções geométricas para duplicar um cubo e triseccionar um ângulo neste livro.

Em 1593 Viète publicou um segundo livro, que em muitos aspectos, foi motivada por seu curso de palestra em Tours , no ano anterior ( que mencionamos acima ) , examinando vários problemas , como a duplicação do cubo , triseccionar um ângulo ea construção da tangente em qualquer ponto em uma espiral de Arquimedes . Além disso, neste livro, ele calculou π com 10 lugares usando um polígono de 6 × 216 = 393.216 lados . Ele também representado como um produto π infinito, que , tanto quanto é conhecido, é a mais antiga representação infinito de π .

Finalmente, devemos mencionar que Viète é muitas vezes chamado de "o pai da álgebra " . Como o autor [9] defende isso, por um lado , é injusto para os muitos algebristas finas que precederam Viète . Por outro lado, é injusto Viète já que suas contribuições foram de importância matemática muito mais amplo.

Também seria interessante saber o quanto as idéias de Viète foram influenciados por aqueles de Harriot . Em [ 3] uma citação de um livro sobre Harriot escrito em 1900 por H Stevens é dado: -

... parece que o sistema de análise e álgebra de Harriot foi baseado no de seu amigo e correspondente François Viète como Viète da era declaradamente baseado em que os antigos . ... Todo o crédito foi dado por Harriot e seus amigos para o matemático francês distinto .

Embora este parece fazer dependência da Harriot em Viète claro , seria preciso dizer que os dois homens dão abordagens muito semelhantes para a resolução de equações algebricamente , ainda Harriot mostra uma compreensão mais profunda do que a Viète . I [ EFR ] sentir que se deve permitir a possibilidade de que as idéias fluíram em ambas as direções e álgebra de Viète que deve ter beneficiado de sua correspondência com Harriot .
Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

janeiro 2000

ARTE MATEMÁTICA (19)

      Observe a imagem acima.
      O que você vê?
      Exatamente. são polígonos. Mais precisamente eneágonos que é como são chamados os polígonos de 9 lados.
      Repare que existem vários deles de tamanhos os mais variados.
      Perceba também que no interior de um deles foram traçadas as diagonais e que isto acabou por gerar outro eneágono menor.
      E então? O que mais você vê?...