22 - Análise Combinatória: Fatoração - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (22)

Substitua cada letra da expressão abaixo por algarismos de modo que a igualdade esteja correta.

ABCD × E = DCBA

Lembre-se que, letras diferentes representam algarismos diferentes.

Jogos matemáticos - 22

MAXIMUM ROTATION

Você pode mudar o quadrado pontilhado de lugar.
Também mudar de lugar os números que estão dentro do quadrado.
Tudo isso para ordenar os 16 números do menor para o maior...
Acha que consegue? Vá em frente: MAXIMUM ROTATION.

Voto por voto...

Certo candidato, após as eleições de 3 de outubro, afixou faixa de agradecimento a seus eleitores onde se lia:

"Obrigado pelos 13.256 votos"

Você pode não ter percebido, mas, o número de votos do referido candidato é bastante interessante.

Veja só:

Primeiro separe o número em duas partes: 13 e 256.

Agora some os algarismos de 256: 2 + 5 + 6 = 13 !

Mas, não é só isso, não...

Tome o número 13 e eleve-o ao quadrado: 13² = 13 x 13 = 169.

Agora, some os algarismos de 169: 1 + 6 + 9 = 16

Finalmente, eleve 16 ao quadrado : 16² = 16 x 16 = 256 !!!

Percebeu? Uma verdadeira "amizade quadrática" ...

O MUNDO DA MATEMÁTICA (7)

Pronto pra saber um pouco mais sobre a função quadrática?
Então vamos lá!

*Mersenne

Marin Mersenne

Data de Nascimento: 08 de setembro de 1588 em Oizé , Maine, França

Morreu em: 01 de setembro de 1648 em Paris , França

Marin Mersenne nasceu em uma família da classe trabalhadora na pequena cidade de Oizé na província de Maine em 8 de setembro de 1588 e foi batizado no mesmo dia . Desde cedo ele mostrou sinais de devoção e vontade de estudar. Assim , apesar de sua situação financeira , os pais de Marin mandou para o Collège du Mans , onde teve aulas de gramática. Mais tarde, com a idade de dezesseis anos, Mersenne pediu para ir para a escola jesuíta recém-criada em La Flèche , que havia sido criado como uma escola modelo para o benefício de todas as crianças , independentemente da situação financeira de seus pais. Acontece que Descartes , que era oito anos mais jovem do que Mersenne , foi matriculado na mesma escola , embora eles não são pensados ​​para tornaram-se amigos até muito mais tarde.

O pai de Mersenne queria que seu filho a ter uma carreira na Igreja. Mersenne , no entanto, foi dedicada ao estudo, que ele amava, e , mostrando que ele estava pronto para as responsabilidades do mundo, decidiu continuar a sua educação em Paris. Partiu para Paris estada rota em um convento dos Mínimos . Esta experiência tão inspirado Mersenne que ele concordou em se juntar a sua Ordem se um dia ele decidiu levar uma vida monástica. Depois de chegar a Paris , estudou no Collège Royale du France , continuando aí a sua formação em filosofia e também aulas de teologia na Sorbonne, onde também obteve o grau de Magister Atrium em Filosofia. Ele terminou seus estudos em 1611 e , depois de ter tido uma educação privilegiada , percebeu que ele estava pronto para a vida calma e estudiosa de um mosteiro .

A Ordem dos Mínimos , tendo sido criado por São Francisco de Paula , em 1436, foi prosperando neste momento. Eles acreditavam que eram os menos ( Minimi ) de todas as religiões na Terra , e dedicou -se à oração , estudo e bolsa de estudos. Eles usavam um hábito feito de lã preta grossa com mangas amplas e cingido por uma corda preta fina ( como visto nos retratos de Mersenne ) . Charles VIII introduziu a Ordem em França e , devido à sua grande simplicidade , os monges foram nomeados " les hommes bons " . Após a Revolução Francesa, a Ordem diminuiu consideravelmente em número e hoje existe apenas alguns conventos na Itália. Mersenne entrou na Ordem em 16 de Julho de 1611, e foi ordenado sacerdote em Paris, em julho 1612 , após um período de dois meses e meio de estágio nos mosteiros em Nigeon e Meaux . Sua primeira publicação foi em 1614 para o convento em Nevers , onde ensinou filosofia e teologia para os membros mais jovens da comunidade. Na verdade, um de seus alunos , Hilarion de Coste, mais tarde tornou-se seu confidente e biógrafo . Foi durante este período de sua vida que ele é pensado para ter descoberto a ciclóide - uma curva geométrica.

Depois de dois anos de ensino Mersenne foi eleito superior do monastério Place Royale , em Paris , onde permaneceu , exceto para viagens breves , até sua morte em 1648. Acredita-se que a Igreja apoiou durante a maior parte de sua vida, embora nos últimos anos um monge companheiro , Jacques Halle, ajudou com dinheiro e concedeu-lhe o acesso a sua biblioteca. Desde o início de seu tempo em Paris, problemas matemáticos desempenhou um papel importante em sua vida. Muito cedo ele tinha ligações com estudiosos importantes em Paris que conheceu muitas vezes , trocar idéias e discutir projetos. Os Mínimos percebi que o maior serviço que ele podia dar era através de seus livros e que nunca pediu mais nada dele.

Em 1623 , ele publicou seus dois primeiros trabalhos consistem em estudos contra o ateísmo eo ceticismo em França ; L' uso de la raison e L' analisar de la vie spirituelle . Continuando sua escrita teológica ele então quis refutar a magia, no entanto, um monge companheiro apontou que não era apropriado , levando à sua publicação Quaestiones celeberrime em Genesim que inclui a desaprovação dos magos nas Escrituras. Este livro contém 1.900 colunas de texto da Bíblia em seus seis primeiros capítulos . Foi por causa desta publicação que , em setembro 1624 , quando ele retornou a Paris , ele conheceu Gassendi , que tinha sido convidado para comentar os resultados de Mersenne , e mais tarde tornou-se seu amigo mais próximo .

Neste momento, a França estava passando por um período de anti- feitiçaria, expulsando qualquer feiticeiros. L' impiété des deistes , em francês, foi destinada ao público francês para que eles possam ler e compreender o que estava acontecendo . Foi durante esse tempo que Mersenne comecei a pensar sobre a crítica teológica dirigida contra Descartes e Galileu . Na verdade, a atitude de Mersenne a Galileu mudou ao longo de vários anos como Garber aponta em [16] : -

Marin Mersenne era central para a nova abordagem matemática para a natureza em Paris na década de 1630 e 1640 . Intelectualmente, ele era um dos praticantes mais entusiastas desse programa , e publicou uma série de livros influentes nessas décadas importantes. Mas Mersenne começou sua carreira de uma forma bastante diferente. No início de 1620 , Mersenne era conhecido em Paris , principalmente como escritor de temas religiosos , e um acérrimo defensor de Aristóteles contra ataques de quem iria substituí-lo por uma nova filosofia. ... No início de 1620 , Mersenne listados Galileo entre os inovadores na filosofia natural cujos pontos de vista devem ser rejeitados. No entanto, no início de 1630 , menos de uma década depois, Mersenne havia se tornado um dos mais ardentes defensores de Galileu .

Mersenne estava começando a perceber que, juntamente com a religião era a ciência que realmente lhe interessava . Matemática foi a área que estudou em maior profundidade , acreditando que sem ela não seria possível a ciência . Ele sempre teve uma abordagem filosófica à matemática e acreditava que a causa das ciências é a causa de Deus, ver [5] . Assim, em La vérité des sciences ele provou , através de muitas grandes descobertas , o valor da mente humana . Foi nessa época que Mersenne começou a se tornar um coordenador para todos os estudiosos europeus. Desde 1623 , ele começou a fazer uma seleção cuidadosa de sábios que se reuniram em seu convento em Paris ou se correspondia com ele de toda a Europa e até mesmo de lugares tão distantes como Constantinopla e Transilvânia ( atual Hungria ) . Seus visitantes regulares , ou correspondentes , incluído Peiresc , Gassendi , Descartes, Roberval, Beeckman , JB van Helmont , Fermat , Hobbes, Etienne Pascal , e seu filho Blaise Pascal . Ele montou encontros de estudiosos de toda a Europa , durante o qual eles iriam ler e revisar artigos científicos , nacionais e internacionais, taxas de contactos com outros estudiosos e plano e discutir experiências e outros trabalhos . Isto veio a ser conhecido como o Parisiensis Académie e às vezes entre os amigos como a Académie Mersenne . Foi principalmente um dos centros mais engenhosos de pesquisa , nesse momento, reunindo-se semanalmente em casas de membros e, posteriormente, na cela de Mersenne , devido à sua saúde debilitada . A lista de correspondentes de Mersenne continuou a aumentar e se Mersenne não hesitou em viajar para reuniões com estudiosos de toda a Europa .

Mersenne tinha um forte interesse em música e passei muito tempo pesquisando acústica e a velocidade do som . Em 1627 , ele publicou uma de suas obras mais famosas , L' Harmonie Universelle . Neste trabalho , foi o primeiro a publicar as leis relativas à cadeia de vibração : a sua frequência é proporcional à raiz quadrada da tensão e, inversamente proporcional ao comprimento , ao diâmetro e à raiz quadrada do peso específico da cadeia , desde que todas as outras condições permanecem as mesmas , quando uma dessas quantidades está alterada . Mersenne já tinha começado incentivando os talentos dos outros e ajudou-os a partilhar as suas ideias e os resultados com outros estudiosos. Quando Roberval chegou a Paris, depois de entrar círculo de estudiosos de Mersenne , o seu talento foi logo reconhecido por Mersenne que o encorajou a trabalhar no ciclóide .

O período entre 1627 e 1634 foi um período de transição na vida de Mersenne . Durante esse tempo, ele viajou para a Holanda por vários meses entre 1629 e 1630. Sua razão principal era buscar uma cura para uma doença com a ajuda de água termal , mas ele aproveitou a oportunidade para visitar os estudiosos nas áreas circundantes . O maior maturidade na sua escrita nos sete anos desde sua última publicação tornou-se evidente quando inouyes Perguntas e perguntas Harmoniques foram impressas em 1634. Em outubro 1644 Mersenne viajou para Provence e Itália, onde ele aprendeu da experiência barômetro de Torricelli . Em seu retorno a Paris , informou esta notícia para incentivar estudiosos franceses para realizar os experimentos também.

Ao longo de sua vida Mersenne ajudou muitos cientistas em potencial, orientando-os na direção certa e aconselhar alguma sobre o próximo passo a tomar. Ele se tornou um modelo para Huygens quem Mersenne tomou sob sua asa e através de suas cartas encorajadoras inspirado Theory of Music Huygens . Huygens tinha a intenção de se mudar para Paris em 1646 para estar perto de Mersenne , a fim de permitir-lhes entrar em contato com o outro mais facilmente , no entanto Huygens não se moveu até vários anos depois de Mersenne havia morrido para que eles nunca se encontraram .

Galileo também tem que ser grato a Mersenne para fazer o seu trabalho conhecido fora da Itália. Mersenne insistiu no trabalho de editoração Galileo e sem idéias de Galileu este nunca poderia ter se tornado mais amplamente conhecidas. Continuando suas viagens, em sua velhice, em 1646 Mersenne partiu em uma viagem a Bordeaux. Lá ele conheceu Pierre Trichet a quem ele ajudou a tornar a sua marca . O sucesso da vida científica sobre em Bordeaux e Guyenne , que mais tarde formaram a Académie Royale des Sciences, foi em grande parte devido ao aconselhamento e experiência Mersenne era capaz de oferecer. Ele retornou a Paris em 1647.

Mersenne adoeceu depois de sua visita para ver Descartes , em Julho de 1648 e , infelizmente, sua saúde nunca melhorou . Ele foi aconselhado a misturar vinho com sua água para ajudá-lo melhor, no entanto Minims não beber vinho . Ele teve um abscesso no pulmão, mas o cirurgião não foi capaz de encontrá-lo. Se Mersenne apontou que a incisão , o que ele pediu, tinha sido tentado muito baixo. Gassendi estava lá para Mersenne ao longo de sua doença e permaneceu com ele até sua morte, em 01 de setembro de 1648 , em Paris , a apenas oito dias de seu 60 º aniversário. Ele nunca deu a sua vida ao longo desejo de avançar a ciência . Ele mesmo pediu , em seu testamento , que seu corpo fosse usado para a pesquisa biológica .

Após a morte de Mersenne , letras em sua cela foram encontrados a partir de 78 correspondentes diferentes, incluindo Fermat , Huygens , Pell , Galileu e Torricelli . Além disso, vários instrumentos de física foram encontrados em sua cela e um monte de biblioteca de Mersenne foi recuperado a partir do qual L' optique et la catoptrique foi publicado em 1651. Dentro desta publicação foi inserido um texto de Roberval . Mais tarde, todas as cartas que ele enviou e recebeu de outros estudiosos foram acumulados e publicado em vários volumes. Estas cartas lido como uma revisão internacional da mecânica no início do século 17 . Mersenne estava ciente de toda a ciência que estava acontecendo, o que todos os cientistas estavam fazendo, e só queria para todos eles a trabalhar juntos para o avanço da ciência.

Mersenne estudou a ciclóide por vários anos , citando sua pesquisa em Quaestiones em Genesim ( 1623 ) , Sinopse mathematica ( 1626 ) e Perguntas inouyes ( 1634 ) . Deu a definição de uma ciclóide como o locus de um ponto situado a distância h do centro de um círculo de raio , que rola ao longo de uma linha recta . Afirmou as propriedades óbvias incluindo o comprimento da linha de base é igual à circunferência do círculo de rolamento. Notamos que Mersenne referido a ciclóide como a " roleta ", mas a ciclóide termo foi adotado mais tarde. Ele tentou encontrar a área sob a curva de integração, mas tendo falhado , por isso ele fez a pergunta a Roberval . Em 1638 ele anunciou que Roberval tinha realmente encontrado a área sob a ciclóide .

O nome de Mersenne é mais lembrado hoje por primos de Mersenne . Ele tentou encontrar uma fórmula que representasse todos os primos , mas , apesar de ter falhado neste , o seu trabalho sobre os números da forma

2p - 1 , p primo

tem sido de interesse continuado na pesquisa de grandes números primos. É fácil de mostrar que, se o número n = 2p - 1 é primo então p deve ser primo. Em 1644 Mersenne afirmou que n é primo se p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 , 67, 127 e 257 , mas composto para os outros 44 números primos p menores do que 257 .

Ao longo dos anos , verificou-se que Mersenne estava errado sobre 5 dos números primos da forma 2p - 1 , onde p é menor ou igual a 257 ( ele alegou dois que não levou a um prime ( 67 e 257) e perdeu três que fiz: 61 , 89, 107) . Drake [13] tentou tanto compreender a origem da obra de Mersenne sobre esses números primos , e também para tentar determinar a regra de que estava sendo utilizado. Ele sugere Frenicle de Bessy pode ser a origem e também sugere que os erros podem ser misprints pela impressora. Drake reconstrói a regra de Mersenne por expoentes como que eles devem diferem por não mais do que um de um valor de 2n ou por não mais do que três a partir de um valor de 2 para a 2n poder.

Mersenne realizou experimentos para testar a lei de Galileu do movimento de corpos em queda . Em 1634 , ele apresentou os resultados que tinha obtido ao medir a aceleração da queda dos corpos de alturas de 147 , 108 e 48 pés . Estes confirmaram a lei time- squared que Galileu havia publicado em seu Diálogo sobre os dois sistemas principais do mundo de 1632 , mas também levantou questões sobre os dados numéricos . Um problema que tentou resolver era se a aceleração é contínua , como Galileo mantido ou descontínua como Descartes acreditava . Mersenne pensou hipótese de Galileu de que um corpo em queda passa por infinitos graus de velocidade era incompatível com uma explicação realmente mecanicista da aceleração. Estas ideias são discutidas em detalhe em [ 24] e [25 ] .

Em algumas de suas obras não- matemáticos Mersenne olha para permutações e combinações . Afirma regras práticas para o cálculo do número de permutações ou combinações , resolvendo o problema de encontrar o número de permutações com ou sem repetições e dá um exemplo da realização de anagramas . Sua principal razão para estudar análise combinatória foi, no entanto , para otimizar a composição musical como ele explica no livro sobre a arte de cantar bem , que é o sexto livro do Harmonie Universelle (1636) . Em um manuscrito inédito preservado na Bibliothèque Nationale em Paris , ele deu aos 40.320 permutações de oito notas.

Durante os quatro últimos anos de sua vida, Mersenne passei muito tempo investigando o barómetro . Pascal já tinha provado que o ar não era peso e foi encontrado Mersenne que a densidade do ar ser aproximadamente 1/19th que a da água . Ele foi informado do experimento barómetro, que consiste em um tubo de vidro de cerca de 3 metros de comprimento fechados em uma extremidade e cheio de mercúrio puro , através de várias cartas de De Verdus mas não foi até outubro de 1644, quando ele visitou Torricelli na Itália, que ele viu o experimento realizado . Torricelli utilizado a pressão do ar para explicar porque o mercúrio movido para cima do tubo de vidro . Mersenne era duvidoso que a pressão do ar na verdade apoiou o mercúrio e em seu retorno tentou voltar a fazer a experiência , mas não tem o equipamento necessário. Mersenne explicou o problema de Etienne Pascal , seu filho Blaise Pascal , Petit, Roberval, e outros em Paris. Existe alguma confusão sobre quem, em 1647 , inicialmente sugeriu que as experiências com o tubo Torricellian ea montanha , mais tarde a ser chamado de experimentos Puy de Dome . Certamente Mersenne tinha informado tanto Huygens e Le Tenneur mas não foi até três semanas após a morte de Mersenne em 1648 que estes experimentos foram realizados . Eles consistiu na coleta de resultados, tanto no pé do Puy de Dome e na cúpula. Foram feitos testes para saber se o nível de mercúrio na coluna era inferior quando a parte superior da montanha do que era na parte inferior. Se isso tivesse provou ser verdade , eles perceberam que isso seria devido à pressão do ar sozinho. Périer , que finalmente conduziu os experimentos, de fato, acho que houve uma diferença significativa no nível de mercúrio , portanto, tirar a conclusão correta de que a pressão do ar foi apoiá-lo.

Uma questão interessante é a forma como Mersenne conseguiu perseguir suas idéias científicas livremente em um momento em que a Igreja (da qual ele era um membro dedicado ) mudou-se para impedir que tal discussão . Este tópico é considerado em detalhes em [ 18] onde Hine escreve: -

Durante a primeira metade do século XVII , o debate sobre a hipótese de Copérnico havia se espalhado para além das fileiras de astrônomos e tinha despertou tanta controvérsia que a Igreja decidiu intervir . Em 1616, um organismo examinador teológico concluiu que a idéia de movimento da Terra era filosoficamente falsa e em conflito com as Escrituras, e que suspendeu livro de Copérnico até corrigido. Os historiadores geralmente assumido que a presente decisão ea condenação posterior de Galileu teve um efeito tão devastador que o progresso científico nos países católicos foi muito retardado. No entanto, a atitude de Mersenne , que era ao mesmo tempo um membro fiel de uma ordem religiosa e uma figura central no desenvolvimento da ciência francesa , não suporta tal conclusão. Um exame da reação de Mersenne a Copernicanism indica que não importa o quão preocupante a decisão da Igreja , ainda era possível, pelo menos na França, para estudar as idéias de Copérnico e para encontrá-los úteis , apesar de algumas reservas. Mersenne foi afetado por tais decisões da Igreja , mas menos do que se poderia supor .

Artigo por: JJ O'Connor e EF Robertson baseado em um projeto de honras por Jessica Daniell (University of St Andrews) .

agosto 2005

ARTE MATEMÁTICA (22)

Nesta imagem, talvez o mais curioso seja o senso estético que se apresenta aos olhos.
Repare que, em cada quadrado, os desenhos são semelhantes. Entretanto, a variação na posição das figuras vai estabelecendo novos padrões de acordo com o modo que se olhe.
Experimente...