26 - Média Aritmética - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (26)

Tenho cinco moedas aparentemente iguais.

Duas delas, porém, embora tenham o mesmo peso são ligeiramente mais pesadas que as demais.

Usando apenas uma balança de dois pratos, quantas pesagens são necessárias para descobrir as duas moedas falsas?

• 

Jogos matemáticos - 26

NUMBER CLIMB

Neste interessante jogo, esferas numeradas aparecem e ficam girando.
Você deve clicar em cada uma para que desapareçam.
Mas, elas somem somente se forem clicadas na ordem crescente dos números escritos nelas, do contrário você perde pontos.

Outra particularidade é que ele oferece duas possibilidades: números inteiros e fracionários.
Vamos lá?
É só clicar em: NUMBER CLIMB

2011 - EXERCÍCIO 01

Resolva as seguintes expressões numéricas:

a) 3 . ( 4 +5 . 7) + 3 . 2 =

b) [ 2 . 4² - ( 5 . 3 - 7º)] . 2 =

c) ( 7 - 5 )² : ( 5 - 7)² =

d) ( 7 + 5 ) : 4 + ( 8 - 6 ) : 2 =

e) [(3 . 4 - 5 . 6º) : (15 - 8 )] . 3=

Agora que todos já postaram suas respostas, segue a resolução:

a)

3.(4+35) +6=

=3.39 + 6=

= 117+6=

=123

b)

[2.16-(15-1)].2=

=[32-14].2=

=18.2=

=36

c)

( 7 - 5 )² : ( 5 - 7)² =

=(2)² : (-2)²=

=4:4=

=1

d)

( 7 + 5 ) : 4 + ( 8 - 6 ) : 2 =

=12:4+2:2=

=3+1=

=4

e)

[(3 . 4 - 5 . 6º) : (15 - 8 )] . 3=

=[(12-5.1):7].3=

=[(12-5):7].3=

=[7:7].3=

=1.3=

=3

Todos os comentários relativos a este exercício serão publicados. A nota, porém, dependerá do número de acertos.

O homem e a máquina

Luiz Barco

No começo do século (passado), o matemático alemão David Hilbert (1862-1943) propôs uma série de 23 problemas que, previa ele, marcariam os rumos da Matemática nos anos seguintes. Uma frase do texto com que apresentou esses problemas foi marcante: "Enquanto um ramo da ciência oferece uma abundância de problemas (a resolver), ele está vivo". Em 1931, um então ainda jovem matemático austríaco, Kurt Gôdel, apresentou um trabalho de algumas dezenas de páginas, cheias de símbolos, e nele deixou claro que Hilbert não estava inteiramente certo nas suas concepções.
Gõdel nasceu em 1906 na cidade de Brno, que na época estava no território austro-húngaro (atualmente pertence à Tchecoslováquia). Formou-se em Matemática e Física na Universidade de Viena e lá lecionou até 1938. Fugindo da guerra, viajou para os Estados Unidos, tornou-se cidadão americano e integrou-se ao famoso Instituto para Estudos Avançados da Universidade de Princeton. Morreu em 1978, aos 72 anos, e já então era tido como um revolucionário da ciência.
A Matemática é sempre considerada uma ciência sem contradições. Supõe-se que quando alguma coisa éprovada matematicamente, fica irrefutável. Essa crença gerou expressões populares do tipo "tão certo como dois e dois são quatro". Gôdel mostrou que mesmo dentro de um sistema rigidamente lógico, como o que foi desenvolvido para a Aritmética, podem ser formuladas proposições que são indecidíveis ou indemonstráveis, dentro dos axiomas desse sistema. Isto é, dentro do sistema existem enunciados precisos que não podem ser provados nem negados. Portanto, não se pode, usando os métodos comuns, provar que os axiomas da Aritmética não são autocontraditórios.
Essas idéias de Gõdellevaram a um novo ramo da lógica matemática, a teoria da indecidibilidade. Em suas implicações, a descoberta de proposições indec cidíveis foi tão perturbadora no século XX quanto deve ter sido para os pitagóricos, no século IV a.C., a revelação, por Hippasus, da existência de grandezas incomensuráveis. Mas uma conseqüência que ultrapassa os limites da Matemática é a que parece condenar um perseguido ideal da ciência: inventar uma coleção de axiomas dos quais todos os fenômenos do mundo natural possam ser deduzidos.
Gõdel, diga-se a bem da verdade, não tinha a aparencia e um revolucionário. Magro, modos gentis, falava pouco - e preferia a solidão.
Em Princeton, costumava abrigar-se na cantina para. Fugir aos visitantes sempre ansiosos por ver uma celebridade como ele. Mas suas proposições eram revolucionárias - tanto que provocaram longas e acirradas discussões, não apenas entre matemáticos, mas também entre os filósofos. A idéia de que é impossível provar por meios matemáticos que a Matemática não esteja em contradições mudou radicalmente muita coisa. E isso também em outros territórios, como os da Física e da Biologia.
Mas eis que uma outra luz se acende no infinito túnel do conhecimento. Recentemente, alguns teoremas tidos como indemonstráveis (pelo menos pelo saber aceito ortodoxamente) têm sido provados com a ajuda de calculadoras ou computadores. Por exemplo, o teorema das quatro cores. Bastam quatro cores para colorir um mapa (ou uma colcha de retalhos) de modo que nenhum país (ou retalho) seja vizinho de outro da mesma cor? Em 1976, os americanos W. Haken e K. Apple demonstraram que sim, trabalhando com um computador durante 1 200 horas.
Para muitos matemáticos, o uso de computadores em demonstrações desse tipo seria como usar um trator para escavar um sítio arqueológico. Acham que eles produzem uma cadeia finita de verificações, enquanto uma demonstração matemática deve ser breve, concisa e elegante. Para mim, isso é um exagero. Nós nos encontramos no limiar de novos tempos e por certo no século XXI teremos preocupações que talvez encontrem resposta na multidisciplinaridade. Mas é certo que jamais, como hoje, a intuição humana contrapôs-se à lógica mecânica. Quando Gõdel garantia que os formalismos são limitados, estava mostrando, em síntese, que o homem será sempre superior à máquina.

Fonte: Superinteressante setembro de 1988

O MUNDO DA MATEMÁTICA (11)

Que tal entender um pouco melhor o que é probabilidade?

PASCAL

Nascimento: 19 de junho de 1623 em Clermont (agora Clermont-Ferrand), Auvergne, França

Falecimento: 19 de agosto de 1662 em Paris, França

Blaise Pascal foi o terceiro dos filhos de Étienne Pascal e seu único menino.

A mãe de Blaise morreu quando ele tinha apenas três anos de idade. Em 1632 a família Pascal, Étienne e seus quatro filhos, deixou Clermont e se estabeleceu em Paris. O pai de Blaise Pascal tinha pontos de vista não ortodoxos de ensino e decidiu educar seu filho ele mesmo. Étienne Pascal decidiu que não era para seu filho estudar matemática antes dos 15 anos e todos os textos de matemática foram retirados da sua casa. Blaise porém, tendo sua curiosidade levantada por isso, começou a trabalhar na geometria com a idade de 12 anos. Ele descobriu que a soma dos ângulos de um triângulo são dois ângulos retos, e, quando seu pai descobriu, cedeu e entregou a Blaise uma cópia de Euclides.

Na idade de 14 anos, Blaise Pascal começou a acompanhar o pai nas reuniões de Mersenne. Mersenne pertencia à ordem religiosa dos Mínimos, e a sua cela em Paris era um lugar de encontro frequente para Gassendi, Roberval, Carcavi, Auzout, Mydorge, Mylon, Desargues e outros. Em breve, certamente, pelo tempo em que tinha 15 anos, Blaise começou a admirar o trabalho de Desargues. Na idade de dezesseis anos, Pascal apresentou uma única folha de papel a uma das reuniões de Mersenne, em Junho de 1639. Continha uma série de teoremas de geometria projetiva, incluindo o hexágono místico de Pascal.

Em dezembro 1639 a família de Pascal deixou Paris para viver em Rouen, onde Étienne tinha sido apontado como um coletor de impostos para a Alta Normandia. Pouco depois de se instalar em Rouen, Blaise teve sua primeira obra, “Ensaio sobre secções cônicas publicado em fevereiro de 1640”.

Pascal inventou a primeira calculadora digital para ajudar seu pai com o seu trabalho na recolha de impostos. Ele trabalhou com ele durante três anos, entre 1642 e 1645. O dispositivo, chamado de Pascaline, se assemelhava a uma calculadora mecânica dos anos 1940. Isso, certamente, faz de Pascal a segunda pessoa a inventar uma calculadora mecânica já que Schickard tinha fabricado uma em 1624.

Houve problemas enfrentados por Pascal no projeto da calculadora devido ao desenho da moeda francesa naquele momento. Havia 20 sóis em um livre e 12 deniers em um sol. O sistema permaneceu em França até 1799, mas na Grã-Bretanha um sistema com múltiplos similares durou até 1971. Pascal teve de resolver problemas técnicos muito mais difíceis para trabalhar com esta divisão do livre em 240 do que ele teria se a divisão tivesse sido 100. Contudo, a produção das máquinas começou em 1642 mas, como escreve Almeida,

Até 1652 cinquenta protótipos tinham sido produzidos, mas algumas máquinas foram vendidas, e fabricação de aritmética calculadora Pascal cessou naquele ano.

Eventos de 1646 foram muito significativos para o jovem Pascal. Nesse ano seu pai machucou a perna e teve que se recuperar em sua casa. Ele era cuidada por dois jovens irmãos de um movimento religioso fora Rouen. Eles tiveram um efeito profundo sobre o jovem Pascal e ele se tornou profundamente religioso.

Desde essa época Pascal iniciou uma série de experimentos sobre a pressão atmosférica. Em 1647 ele provou com satisfação o fato de que o vácuo existia. Descartes foi visitado por Pascal em 23 de Setembro. Sua visita durou apenas dois dias e os dois discutiram sobre o vácuo (em que Descartes não acreditava) e Descartes escreveu, um pouco cruel, em uma carta a Huygens, depois desta visita que Pascal...

... tem muito vácuo em sua cabeça.

Em agosto de 1648 Pascal observou que a pressão da atmosfera diminui com a altura e deduziu que existia um vácuo acima da atmosfera. Descartes escreveu a Carcavi em junho 1647 sobre as experiências de Pascal dizendo: -

Fui eu que há dois anos, aconselhou-o a fazê-lo, pois apesar de eu não ter realizado isso, eu não tinha dúvidas de seu sucesso ...

Em outubro 1647, Pascal escreveu Novas Experiências Quanto a vácuos o que o levou a conflitos com um número de cientistas que, como Descartes, não acreditavam em um vácuo.

Étienne Pascal morreu em setembro de 1651 e após esta data Blaise escreveu a uma de suas irmãs, dando um profundo sentido cristão da morte em geral e morte de seu pai em particular. Suas ideias aqui formaram mais tarde a base para sua obra filosófica Pensées .

A partir de maio 1653, Pascal trabalhou em matemática e física escrevendo o Tratado sobre o equilíbrio de líquidos (1653) em que explica a lei de Pascal da pressão. Adamson escreve:

Este tratado é um esboço completo de um sistema de hidrostática, o primeiro na história da ciência, ele encarna sua contribuição mais notável e importante para a teoria física.

Ele trabalhou em seções cônicas e produziu importantes teoremas em geometria projetiva. Em A Geração de secções Cônicas (a princípio concluído em março de 1648, mas retomado em 1653 e 1654), Pascal considerou cônicas geradas pela projeção central de um círculo. Este era para ser a primeira parte de um tratado sobre cónicas que Pascal nunca concluiu. O trabalho agora está perdido, mas Leibniz e Tschirnhaus fizeram observações sobre ele e é através destas notas que um retrato bastante completo da obra é agora possível.

Embora Pascal não tenha sido o primeiro a estudar o triângulo de Pascal, seu trabalho sobre o tema no Tratado sobre o triângulo aritmético foi o mais importante a respeito do assunto e, através do trabalho de Wallis, o trabalho de Pascal sobre os coeficientes binomiais levou Newton à sua descoberta do teorema binominal geral para potências negativas e fracionárias.

Em correspondência com Fermat, lançou as bases para a teoria da probabilidade. Esta correspondência consistiu de cinco cartas e ocorreu no verão de 1654. Eles consideraram o problema dos dados, já estudado por Cardano, e o problema dos pontos também considerados por Cardano, e, na mesma época, por Pacioli e Tartaglia. O problema dos dados pergunta quantas vezes é preciso jogar um par de dados antes de surgir um "duplo seis", enquanto o problema dos pontos pergunta como dividir as apostas se um jogo de dados terminar incompleto. Eles resolveram o problema dos pontos de um jogo para dois jogadores, mas não desenvolveram métodos matemáticos fortes o suficiente para resolvê-lo para três ou mais jogadores.

Durante o período desta correspondência Pascal estava indisposto. Em uma das cartas de Fermat escrita em julho de 1654 ele escreve

... embora eu ainda esteja de cama, devo dizer-vos que ontem à noite enviei a sua carta.

No entanto, apesar de seus problemas de saúde, ele trabalhou intensamente sobre as questões científicas e matemáticas até outubro de 1654. Por volta daí, ele quase perdeu a vida em um acidente. Os cavalos que puxavam a carruagem dispararam e o carro ficou pendurado sobre uma ponte do rio Sena. Embora ele tenha sido resgatado sem nenhum ferimento físico, parece ter sido muito afetada psicologicamente. Não muito tempo depois, passou por outra experiência religiosa, em 23 de Novembro de 1654, e prometeu a sua vida ao cristianismo.

Após esse tempo Pascal fez visitas ao mosteiro jansenista de Port-Royal des Champs cerca de 30 km a sudoeste de Paris. Ele começou a publicar obras anônimas sobre temas religiosos, dezoito cartas Provinciais foram publicadas durante 1656 e no início de 1657. Estas foram escritas em defesa de seu amigo Antoine Arnauld, oponente dos jesuítas e um defensor do jansenismo, que estava em julgamento perante a faculdade de teologia em Paris por suas polêmicas obras religiosas. A mais famosa obra de Pascal em filosofia é Pensées , uma coleção de pensamentos pessoais sobre o sofrimento humano e fé em Deus, que começou no final de 1656 e continuou durante 1657 e 1658. Este trabalho contém "A aposta de Pascal”, que pretende provar que a crença em Deus é racional com o seguinte argumento:

Se Deus não existe, ninguém vai perder nada por acreditar nele, enquanto que se ele existir, vai perder tudo por não acreditar.

Com a "Aposta de Pascal" ele usa argumentos probabilísticos e matemática, mas sua principal conclusão é que

... Somos compelidos a jogar ...

Seu último trabalho foi sobre a ciclóide, a curva traçada por um ponto na circunferência de um círculo rolante. Em 1658, Pascal começou a pensar sobre problemas de matemática novamente quando ficou acordado em uma noite em que não conseguia dormir de dor. Ele aplicou o cálculo dos indivisíveis de Cavalieri para o problema da área de qualquer segmento da ciclóide e do centro de gravidade de qualquer segmento. Ele também resolveu os problemas da área de volume e de superfície do sólido de revolução formado pela rotação da ciclóide sobre o eixo-x.

Pascal publicou um desafio oferecendo dois prêmios para soluções desses problemas a Wren, Laloubère, Leibniz, Huygens, Wallis, Fermat e vários outros matemáticos. Wallis e Laloubère entraram na concorrência, mas a solução de Laloubère estava errada e Wallis também não foi bem sucedido. Sluze, Ricci, Huygens, Wren e Fermat comunicaram suas descobertas para Pascal, sem entrar na competição. Wren tinha vindo a trabalhar sobre o desafio de Pascal e ele por sua vez, desafiou Pascal, Fermat e Roberval para encontrar o comprimento do arco da ciclóide.

Pascal publicou suas próprias soluções para os problemas do seu desafio no seu ”Cartas para Carcavi". Depois desse tempo em diante ele teve pouco interesse em ciência e passou seus últimos anos para ajudar os pobres e indo de igreja em igreja em Paris, cumprindo um serviço religioso após o outro.

Pascal morreu na idade de 39 anos com dor intensa após um tumor maligno no estômago ter se espalhado para o cérebro. Ele é descrito em como: -

... um homem franzino com uma voz e uma maneira um pouco arrogante . ... ele viveu a maior parte de sua vida adulta em grande dor. Ele sempre teve uma saúde delicada, sofrendo, mesmo em sua juventude, de enxaqueca ...

Seu personalidade é descrita como: -

... precoce, teimosamente persistente, um perfeccionista, combativo ao ponto de se aproximar da crueldade mas, ainda buscando ser manso e humilde ...

Texto adaptado de um artigo de J J O'Connor and E F Robertson

MacTutor History of Mathematics

Neste link, você pode encontrar um interessante aplicativo sobre o triângulo de Pascal: http://www.uff.br/cdme/pascal/pascal-html/pascal-br.html

ARTE MATEMÁTICA (26)

Segmentos de reta traçados em ângulos diversos e limitados pelo contorno de um hexágono.
Eis a ideia por trás desta figura.
Será quer você consegue enxergar mais alguma coisa?...