32 - Função Polinomial - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (32)

Resolva isso:

ALFA + BETA + GAMA = DELTA

Substitua cada letras por um algarismo de modo que a soma seja verdadeira.
Existe mais de uma solução.

Jogos matemáticos - 32

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Geometria com Urso e sem Urso: Colocando a Matemática em Xeque

A geometria analisada de diferentes formas.

Luiz Barco

Partindo de um certo ponto da Terra, um caçador andou 10 quilômetros para o sul, 10 quilômetros para o leste e 10 quilômetros para o norte, voltando ao ponto de partida. Ali encontrou um urso. De que cor é o urso?

Existem muitas versões dessa velha charada, e estou usando-a para ilustrar uma idéia. Recentemente apresentei esse problema a um grupo de estudantes da universidade. Eles fizeram observações interessantes. A primeira dizia ser impossível o caçador voltar ao ponto de partida, andando a mesma distância para o sul, para o lesta e para o norte. O esquema dessa solução é este:
Não foi difícil mostrar a esses jovens o erro de seu raciocínio: a Terra seguramente não é uma superfície plana, mas curva. A partir daí, outro grupo de jovens imaginou que o correto seria desenhar o trajeto do caçador assim:

A solução, então, estava à vista: andando 10 quilômetros naqueles três direções perpendiculares, o caçador só voltará exatamente ao ponto de partida se começar a andar exatamente no pólo norte.
E o urso? Como a história se passa no pólo norte, só pode ser um urso polar, branco, portanto. Toda a dificuldade em solucionar esse pequeno problema reside no hábito de pensar a geometria sobre um plano. Esse nosso hábito deve ter nascido por volta do terceiro século antes de Cristo e se deve a um dos mais exuberantes matemáticos que o mundo já conheceu: Euclides. Dele, e das muitas coisas que fez, cuidarei futuramente. Agora quero lembrar que uma de suas idéias fundamentais dizia: tomando-se um ponto fora de uma reta dada, somente uma das infinitas retas que passam sobre esse ponto é paralela à reta dada ( esta proposição é conhecida como o Quinto Postulado de Euclides).

No século passado, os matemáticos ousaram substituir esse postulado, plantando o marco inicial da Geometria chamada não-euclidiana. Essa ousadia teve como conseqüência a possibilidade de se construírem geometrias inteiramente arbitrarias- das quais a de Euclides continua sendo a mais simples. Ela diz que só é possível traçar uma paralela; outras dizem ser possível traçar uma infinidade de paralelas; e outras dizem que não há paralela alguma.

Imaginemos seres bem pequenos, habitantes de uma esfera polida com as dimensões da Terra. Eles tomam sobre o equador um segmento AB de 1 metro de comprimento; nas extremidades A e B levantam duas perpendiculares e marcam AC e BD também de 1 metro de comprimento. Eles pensarão ter traçado duas paralelas, imaginando que, por mais que prolonguem os segmentos AC e BD- cuidando que os sucessivos metros sejam exatamente o prolongamento do anterior-, as duas linhas manter-se-ão indefinidamente separadas.

Mas, se tentarem reproduzir experimentalmente essa idéia, vão verificar que, ao contrário, as linhas vão aos poucos se aproximando, para se unirem no pólo norte.

A geometria esférica é uma geometria sem paralelas. A relatividade geral de Albert Einstein sugere que os homens no Universo são comparáveis a formigas deslocando-se sobre uma bola lisa do tamanho da Terra. Mas o Universo é muito menos curvo para os homens do que a bola para as formigas, de modo que a Geometria euclidiana continua conveniente para nosso espaço físico usual. O problema que deu origem a essas divagações tem outras soluções. Imagine que você está no pólo sul; trace círculos concêntricos, com diferentes comprimentos. Um desses círculos terá 10 quilômetros de comprimento e qualquer ponto 10 quilômetros ao norte dele satisfará as condições do problema inicial. O caçador anda 10 quilômetros para o sul e chega a esse circulo; anda 10 quilômetros para o leste e dá uma volta completa; ao andar 10 quilômetros para o norte, volta ao ponto de partida. A conclusão é simples: mesmo que uma solução pareça fechar um problema perfeitamente, é sempre preciso ousar crer que existem outras, igualmente válidas. Nessa nova solução, vai sobrar o urso: não existem desses bichos no pólo sul. E eles nem tem nada a ver com a Matemática.

Luiz Barco é professor da Escola de Comunicações e Artes da Universidade de São Paulo

Fonte: Revista Superinteressante, março de 1989

Criação dos números (3)

Esta é a terceira parte:

*D'Alembert

Jean Le Rond d' Alembert

Data de Nascimento: 17 de novembro de 1717 em Paris , França
Morreu em: 29 de outubro de 1783 em Paris , França

Jean d' Alembert pai era um oficial de artilharia , Louis- Camus Destouches e sua mãe era Mme de Tencin . Ela tinha sido uma freira , mas tinha recebido uma dispensa papal em 1714 que lhe permitiu começar [4]: -

... uma brilhante carreira social em que intrigas políticas e ligações amorosas sustentou para o primeiro lugar , com uma participação pontual no famoso esquema de Law John lhe permitiu buscar essas atividades em completa segurança financeira.

[ John Law foi um reformador monetária escocês que fundou um banco em Paris em 1716 com autoridade para emitir notas. Foi muito bem sucedida no início, o tempo em que Mme de Tencin fez dinheiro, mas entrou em colapso em 1720. ]

D' Alembert era o filho ilegítimo de uma das " ligações amorosas " Mme de Tencin . Seu pai, Louis- Camus Destouches , estava fora do país no momento de d' Alembert nascimento e sua mãe deixou o filho recém- nascido nos degraus da igreja de St. Jean Le Rond . A criança foi rapidamente encontrado e levado para um lar para crianças de rua . Ele foi batizado Jean Le Rond , o nome da igreja em cujos passos ele tinha sido encontrado.

Quando seu pai retornou a Paris , ele fez contato com seu filho e arranjou-lhe para ser cuidada pela esposa de um vidraceiro, Mme Rousseau. Ela sempre seria mãe d' Alembert aos seus próprios olhos , particularmente desde que sua verdadeira mãe nunca o reconheceu como seu filho, e ele morava na casa de Mme Rousseau até que ele estava de meia-idade .

A primeira escola que d' Alembert participou era uma escola particular , o ensino está sendo arranjado por seu pai . Seu pai morreu em 1726 quando d' Alembert tinha nove anos e ele deixou -lhe dinheiro suficiente para dar-lhe segurança. A família Destouches continuou a cuidar de d' Alembert educação e providenciado por ele para entrar no jansenista Collège des Quatre Nations . Matriculou-se em nome de Jean -Baptiste Daremberg mas logo mudou seu nome para Jean d' Alembert .

O Collège des Quatre Nations foi um excelente lugar para d' Alembert para estudar matemática , mesmo que o curso foi fundamental. O curso de Matemática, ministrada pelo professor Carron , foi baseada em palestras de Varignon e d' Alembert foi capaz de fazer uso da excelente biblioteca de matemática na faculdade. Bem como a formação matemática , ele aprendeu sobre as idéias físicas de Descartes na faculdade, mas , quando ele formou suas próprias idéias no final de sua vida, ele teria pouco respeito pelas opiniões de Descartes .

O principal objetivo do jansenista Collège des Quatre Nations era produzir estudiosos que poderiam se tornar especialistas em teologia e discutir o caso jansenista contra os jesuítas . No entanto, d' Alembert foi desligado o estudo da teologia na faculdade. Depois de se formar em 1735 , ele decidiu que iria fazer uma carreira na lei, mas sua verdadeira paixão era a matemática e ele continuou a trabalhar no seu tempo livre sobre o assunto. Em 1738, d' Alembert qualificado como um advogado , mas ele parece ter decidido que esta não era a carreira dele. No ano seguinte, d' Alembert estudou medicina , mas este era um assunto que ele encontrou ainda pior do que teologia. De todos os temas que ele tinha estudado o que ele tinha era verdadeiro entusiasmo para a matemática e seu progresso nesta era bastante notável, sobretudo tendo em conta que ele tinha estudado quase exclusivamente por conta própria e no momento em que ele deveria estar estudando para outro qualificações.

Em julho 1739 d' Alembert ler seu primeiro trabalho para a Academia de Ciências de Paris em alguns erros que ele tinha encontrado no texto padrão de Reyneau Analisar démontrée que não eram de grande importância , mas marcou o início de sua carreira matemática. Em 1740 ele apresentou um segundo trabalho sobre a mecânica de fluidos , que foi elogiado por Clairaut . Em maio 1741 d' Alembert foi admitido na Academia de Ciências de Paris, com a força destes e artigos sobre o cálculo integral. Demorou algum determinação de sua parte , submetendo três aplicações mal sucedidas em rápida sucessão , antes de sua nomeação .

Antes de discutir as contribuições de d'Alembert é útil para discutir a sua personalidade , o que era ter um efeito importante sobre a forma como o seu trabalho científico foi desenvolver . Em certo sentido, a vida d' Alembert foi sem intercorrências . Ele viajou pouco e trabalhou na Academia de Ciências de Paris e da Academia Francesa toda a sua vida . Em outro nível a sua vida foi um grande drama como ele discutiu com quase todos ao seu redor . Conforme indicado em [5 ] : -

D' Alembert sempre foi cercada de polêmica . ... ele era um pára-raios que atraiu faíscas de todos os inimigos dos filósofos . ... Infelizmente, ele levou essa ... combatividade em sua pesquisa científica e uma vez que ele tinha entrado em uma polêmica , defendeu sua causa com vigor e obstinação . Ele fechou sua mente para a possibilidade de que ele pode estar errado ...

Apesar desta tendência a brigar com todos ao seu redor , suas contribuições foram verdadeiramente notável . D' Alembert ajudou a resolver a controvérsia em física matemática sobre a conservação da energia cinética melhorando a definição de força de Newton em seu Traité de dynamique , que publicou em 1743. Este também contém d' Alembert princípio da mecânica . Este é um trabalho importante e prefácio contém uma declaração clara de d' Alembert de uma tentativa de estabelecer uma base firme para a mecânica . Em [ 5 ] d' Alembert , idéias como apresentados neste prefácio , são descritas : -

... d' Alembert foi um matemático , não físico, e ele acreditava que a mecânica era tanto uma parte da matemática como a geometria ou álgebra. Mecânica racional era uma ciência baseada em princípios necessários simples a partir do qual todos os fenômenos em particular poderia ser deduzida por meio de métodos matemáticos rigorosos . ... d' Alembert pensei mecânica deve ser feita em um sistema matemático completamente racionalista .

D' Alembert tinha começado a ler partes de seu Traité de dynamique para a Academia , no final de 1742 , mas logo depois Clairaut começou a ler o seu próprio trabalho sobre a dinâmica para a Academia . Claramente uma rivalidade rapidamente surgiram e d' Alembert parou de ler o trabalho para a Academia e correu para impressão com o tratado . Os dois matemáticos tinha vindo acima com idéias semelhantes e, na verdade , a rivalidade se tornou consideravelmente pior nos próximos anos.

D' Alembert afirmou sua posição claramente que ele acreditava que a mecânica de se basear em princípios metafísicos e não em evidências experimentais . Ele parece não ter percebido em sua leitura dos Principia de Newton como fortemente Newton baseou suas leis do movimento em evidência experimental. Para d' Alembert essas leis do movimento eram necessidades lógicas .

Em 1744, d' Alembert aplicou seus resultados para o equilíbrio e movimento de fluidos e publicado Traité de l' équilibre et du mouvement des fluides . Este trabalho deu uma alternativa de tratamento de fluidos ao publicado por Daniel Bernoulli. D' Alembert pensei que uma abordagem melhor, é claro , como se poderia esperar , Daniel Bernoulli não partilham desta opinião .

D' Alembert se tornou infeliz na Academia de Paris, quase certamente por causa de sua rivalidade com Clairaut e desentendimentos com os outros. Sua posição tornou-se ainda menos felizes em 1745 , quando Maupertuis deixou Paris para assumir o cargo de chefe da Academia de Berlim , onde , naquela época , Euler estava funcionando.

Em torno de 1746 d' Alembert vida deu uma mudança bastante brusca . Isto está descrito em [4 ], como segue : -

Até [ 1746 ] tinha sido satisfeita a levar uma existência aposentado , mas mentalmente ativo na casa de sua mãe adotiva . Em 1746 ele foi apresentado a Mme Geoffrin , o rico fundador, imperiosa, não intelectual , mas generosa de um salão de beleza para que d' Alembert foi repentinamente convidado . Ele logo entrou em uma vida social em que , surpreendentemente , começou a desfrutar de grande sucesso e popularidade.

Na mesma época d' Alembert começou a envolver-se em um grande projeto , ou seja, a edição da Enciclopédia de Diderot . Ele foi contratado como editor para cobrir matemática e astronomia física, mas seu trabalho abrangeu um campo mais amplo. Quando o primeiro volume apareceu em 1751 continha um prefácio escrito por d' Alembert , que foi amplamente aclamado como uma obra de grande gênio . Buffon disse que: -

É a quintessência do conhecimento humano ...

D' Alembert trabalhou na Enciclopédia por muitos anos. Na verdade, ele escreveu a maioria dos artigos matemáticos neste trabalho volume 28 . No entanto, ele continuou seu trabalho matemático , enquanto trabalhava na Enciclopédia . Ele foi um pioneiro no estudo de equações diferenciais parciais e ele foi pioneiro o seu uso na física. Seu trabalho sobre este tema apareceu pela primeira vez em um artigo que ele apresentou para o 1747 Prêmio da Academia Prussiana reflexões sur la causa générale des vents que na verdade ele ganhou o prêmio. Euler , no entanto, viu o poder dos métodos introduzidos por d' Alembert e logo desenvolveu estes muito mais longe do que tinha d' Alembert . Na verdade, esta obra de d' Alembert sobre os ventos sofre de um defeito que era típico de todo o seu trabalho , ou seja, era matematicamente muito som, mas foi baseado em bastante pobre evidência física . Neste caso , por exemplo, D'Alembert assumido que os ventos gerados por correntes efeitos sobre o ambiente e aquecimento da atmosfera apenas desempenha um papel menor . Clairaut atacado d' Alembert métodos [5] : -

A fim de evitar experiências delicadas ou cálculos tediosos longos , a fim de substituir os métodos analíticos que lhes custam menos problemas, eles muitas vezes fazem hipóteses que não têm lugar na natureza, eles buscam teorias que são estranhos ao seu objeto, enquanto um pouco de constância na execução de um método muito simples teria certamente trouxe a sua meta.

A discussão acalorada entre d' Alembert e Clairaut resultou nas duas finas matemáticos trocando insultos nas revistas científicas do dia.

O ano de 1747 foi um passo importante para a d' Alembert em que uma segunda obra importante de sua apareceu nesse ano , ou seja, seu artigo sobre cordas vibrantes . O artigo contém a primeira aparição da equação de onda em impressão, mas mais uma vez sofre com o defeito que ele usou matematicamente agradável simplificações de certas condições de contorno que levaram a resultados que estavam em desacordo com a observação.

Euler tinha aprendido de d' Alembert trabalho em cerca de 1743 por meio de cartas de Daniel Bernoulli. No entanto, Daniel Bernoulli tornou-se altamente crítico de d' Alembert , depois de ler seu Traité de l' équilibre et du mouvement des fluides por razões que acima referidos. Quando d' Alembert ganhou o prêmio da Academia Prussiana de Ciências, com seu ensaio sobre ventos , ele produziu uma obra que Euler considerado superior ao de Daniel Bernoulli. Certamente , neste momento Euler e d' Alembert foram em muito bons termos com Euler com grande respeito por d' Alembert trabalho e os dois correspondiam sobre muitos temas de interesse mútuo.

No entanto, as relações entre Euler e d' Alembert logo tomou um rumo para o pior após a disputa na Academia de Berlim envolvendo Samuel König , que começou em 1751 . A situação tornou-se mais relevante para a d' Alembert em 1752 , quando ele foi convidado a se tornou presidente da Academia de Berlim . Outra razão para a d' Alembert para sentir raiva de Euler foi que ele sentiu que Euler estava roubando suas idéias e não dar-lhe o devido crédito . Em certo sentido, d' Alembert foi justificada, mas por outro lado seu trabalho foi sempre tão confusa que Euler não podia segui-lo e recorreu a partir do zero para esclarecer o problema a ser resolvido .

A Academia de Paris não tinha sido um lugar de d' Alembert a publicar depois que ele se desentendeu com colegas de lá e ele estava enviando os seus trabalhos matemáticos para a Academia de Berlim durante a década de 1750 . No entanto Euler foi infeliz ao publicar estas obras e d' Alembert deixou de publicar seus artigos matemáticos , reuni-los e publicá-los como Opuscules mathématiques que apareceu em oito volumes entre 1761 e 1780.

Novamente Frederico II, rei da Prússia , tentou persuadir d' Alembert para aceitar a presidência da Academia de Berlim . Euler foi fortemente contra isso e escreveu a Lagrange (ver [ 5] ) : -

... d' Alembert tentou prejudicar [ a minha solução para o problema cordas vibrando ] por vários sofismas , e isso pela simples razão de que ele não entendeu a si mesmo. ... Ele acha que pode enganar o semi- instruído por sua eloqüência . ... Ele desejava publicar em nossa revista e não uma prova , mas uma afirmação nua que a minha solução está com defeito. ... A partir deste , você pode julgar o que um alvoroço ele solta se ele se tornasse o nosso presidente .

Euler não precisa ter medo no entanto, para d' Alembert visitou Frederick II por três meses em 1764 , recusou a oferta da presidência novamente, e tentou convencer Frederick II fez presidente Euler . Esta não foi a única oferta d' Alembert recusado. Ele também recusou um convite de Catherine II para ir para a Rússia como um tutor de seu filho .

D' Alembert fez outras contribuições importantes para a matemática que ainda não foram mencionados . Em um artigo intitulado différentiel no volume 4 da Enciclopédia escrita em 1754 , ele sugeriu que a teoria dos limites de ser colocado em uma fundação firme. Ele foi um dos primeiros a compreender a importância de funções e , neste artigo , que definiu a derivada de uma função que o limite de um quociente de incrementos . Suas ideias sobre os limites levou-o à prova de convergência , hoje conhecida como teste da razão d' Alembert , que aparece no volume 5 de Opuscules mathématiques .

Na última parte de sua vida, d' Alembert voltou mais para a literatura e filosofia. D' Alembert obras filosóficas aparecem principalmente na obra de cinco volumes Mélanges de littérature et de philosophie que apareceu entre 1753 e 1767. Neste trabalho, ele expõe seu ceticismo sobre os problemas metafísicos. Ele aceita o argumento em favor da existência de Deus, baseada na crença de que a inteligência não pode ser um produto da matéria sozinho. No entanto, embora ele tomou essa visão do público em seus livros , as provas de seus amigos mostrou que ele foi persuadido por Diderot em direção ao materialismo antes de 1770.

D' Alembert foi eleito para a Academia Francesa em 28 de Novembro 1754. Em 1772 ele foi eleito secretário perpétuo da Academia Francesa e passou muito tempo escrevendo obituários para a academia [1]: -

Ele se tornou membro mais influente da academia , mas , apesar de seus esforços, que o corpo não produz nada digno de nota na forma de literatura durante a sua preeminência .

D' Alembert queixou de 1765 , após um surto da doença, que sua mente não era mais capaz de se concentrar em matemática. Em 1777 , em uma carta a Lagrange , ele mostrou o quanto ele lamentava : -

O que me incomoda mais é o fato de que a geometria, que é a única profissão que realmente me interessa, é a única coisa que eu não posso fazer. Tudo o que eu faço na literatura, apesar de muito bem recebido em nossas sessões públicas da Academia Francesa , para mim é apenas uma forma de preencher o tempo por falta de coisa melhor para fazer.

Ele sofreu problemas de saúde há muitos anos e sua morte foi como resultado de uma doença da bexiga. Como um incrédulo conhecido , d' Alembert foi enterrado em uma cova anônima comum.

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

out 1998

ARTE MATEMÁTICA (32)

Eneágonos, ou seja, polígonos de 9 lados desenhados uns dentro dos outros.
São estas figuras que deram forma a esta imagem.
Note como parem curvas espiralando em direção ao centro.
E você? O que mais consegue ver?