60 - SuperAulas ENEM - Matemática - Limite da Soma

DIVIRTA-SE (60)

Resolva o seguinte (cada letra é um dígito diferente):

ABC × DEF = 123456, se A = 1

Jogos matemáticos - 60

GREATER THAN SUDOKU

Em uma tradução livre, poderíamos chamar este jogo de "Sudoku maior que".
Na prática é o Sudoku que você conhece. Com um detalhe: estre as casas estão posicionados sinais indicando que o número a ser escrito em uma casa deve maior ( ou menor ) que o que será escrito na outra.
E então° O que está esperando?
Clique: GREATER THAN SUDOKU e divirta-se.

O Guardador de Águas

Vamos aprender um pouco mais sobre matrizes?

*EMPÉDOCLES

Empédocles de Acragas

Nascido : cerca de 492 aC, na Acragas (hoje Agrigento, Sicília, Itália)
Morte: cerca de 432 aC, em Peloponeso, Grécia

Empédocles nasceu em Acragas na costa sul da Sicília. O nome Acragas é grego , enquanto o nome latino para a cidade era Agrigentum . Mais tarde, a cidade foi chamada Girgenti e, mais recentemente , tornou-se conhecida por seu nome atual de Agrigento. Foi uma das mais belas cidades do mundo antigo até o momento em que foi destruída pelos cartagineses em 406 aC. Era , no tempo Empédocles , uma cidade rica , contendo o melhor da cultura grega. Alguns dos pitagóricos tinha chegado lá depois de ser atacado em seu centro de Croton .

Empédocles nasceu em uma rica família aristocrática . Ele viajou por todo o mundo grego participar plenamente na vontade extraordinária para a aprendizagem e compreensão que agarrou a parte do mundo. Ele é descrito como se segue por Sarton [5 ] : -

Ele não era apenas um filósofo, mas um poeta , um vidente , um físico , um reformador social , um homem de tanto entusiasmo que ele poderia facilmente ser considerado um charlatão por algumas pessoas, ou tornar-se um herói lendário , aos olhos dos outros.

Existem muitas lendas sobre a vida Empédocles . Escreveu poesia e 450 linhas de tal tinha sido preservada por escritores posteriores, como Simplício , Aristóteles, Plutarco e outros. Não é difícil ver a fonte da maior parte das lendas sobre Empédocles para estes são construídos sobre os poemas que ele escreveu ele. Nelas ele afirma poderes divinos , mas se isso era simplesmente um estilo poético , ou se ele realmente fez acreditar que ele tinha tais poderes , é difícil dizer. Certamente seus poemas foram muito apreciadas , por exemplo Lucrécio admirava sua poesia hexametric .

Se estamos a reunir nada sobre o caráter do homem , então ele virá das linhas de poesia que foram preservadas : 400 linhas de seu poema Peri physeos (sobre a natureza ) eo restante de seu poema Katharmoi ( Purificações ) . Estes [ 1]: -

... revelam um homem de imaginação ardente , versatilidade e eloqüência, com um toque de teatralidade .

Alguns detalhes de suas viagens aparecem precisa. Ele foi para a Itália e foi na cidade de Thurii , Lucania pouco depois de 445 aC . De lá ele foi para o Peloponeso e ele estava no Olympia , em 440 aC. Suas canções foram cantadas nos Jogos Olímpicos naquele ano. Ele tinha um amigo jovem , Pausanias filho de Anchitos , que foi com ele em suas viagens . Entre as muitas lendas a respeito de sua morte, o mais provável parece ser que ele morreu após uma festa no Peloponeso . Sarton escreve [ 5] : -

Empédocles foi tão grande e raro um homem que ele não deixou nenhuma escola , nenhum de seus admiradores e discípulos , nem mesmo o Pausanias fiéis , foi capaz de continuar o trabalho do mestre.

Certamente Empédocles foi atribuído com muitos "primeiros" . Aristóteles diz-se que o consideravam o inventor da retórica enquanto Galen , considerado como o fundador da ciência da medicina na Itália. Ele é mais conhecido , no entanto, para a sua crença de que toda a matéria era composta de quatro elementos : fogo, ar , água e terra.

A razão para a sua teoria dos quatro elementos foi discutir uma modificação na crença da Escola eleática , uma das principais escolas pré- socráticas da filosofia grega , que tinha sido fundada por Parmênides de Eléia no sul da Itália . A filosofia desta escola , que incluiu Zenão de Elea , foi a alegação de que as muitas coisas que parecem existir são apenas uma única realidade eterna. Empédocles não ir para o "tudo é uma " versão, mas o seu " tudo é composto de quatro elementos " é extremamente importante para o desenvolvimento da ciência , uma vez que foi adotada por Platão e Aristóteles. Como Sarton escreve [ 5] : -

Apesar de sua arbitrariedade , essa hipótese tinha uma fortuna singular , pois dominou o pensamento ocidental , de uma forma ou de outra quase até o século XVIII .

Devemos também observar uma característica importante da hipótese. É , como as idéias de Pitágoras, tentou explicar a multidão de complexidade visto no mundo como sendo a conseqüência de um pequeno número de propriedades subjacentes simples. Apesar de já não acreditam na teoria dos quatro elementos de Empédocles , nós ainda olhar para a matemática simples que irá explicar os fenômenos complexos que nos cercam.

Empédocles não baseou a sua hipótese quatro elemento em nenhuma evidência experimental. Ele fez base de algumas outras idéias científicas sobre experimento, no entanto, e ele mostrou pela experiência que existia ar e não havia espaço vazio. Fez isto com um clepsydre , um navio com um furo na parte inferior e outra na parte superior. Colocar o orifício inferior do vaso com água , Empedócles observado que o recipiente cheio com água . Se, no entanto , ele colocou o dedo sobre a parte superior do furo, em seguida, a água não entrar no buraco na parte inferior , mas que uma vez ele tirou o dedo. Empedócles correctamente deduzido que o ar na embalagem impediu a entrada de água .

Empédocles acreditava que a luz viajava a uma velocidade finita , e não através de qualquer evidência experimental , é claro, mas simplesmente através do raciocínio . Aristóteles escreve em De sensu : -

Empedócles diz que a luz do Sol chega primeiro no espaço intermédio antes de entrar no olho, ou atingir a Terra. Isto parece plausível que ser o caso . Para o que é movido através do espaço, é movido de um local para outro , portanto , deve haver um intervalo de tempo correspondente no qual também é movido de um local para o outro. Mas em determinado momento é divisível em partes , de modo que devemos assumir num momento em que o raio do sol, ainda não foi visto, mas ainda estava viajando no espaço do meio.

É notável como muitas das idéias de Empédocles que acabou por ser correto . Além de sua crença na velocidade finita da luz , ele também desenvolveu uma teoria evolutiva bruto baseada na sobrevivência do mais apto. Ele também tinha uma forma da lei de conservação de energia e tinha uma teoria de proporções constantes em reações químicas. Suas idéias , embora tivessem pouca influência sobre o desenvolvimento da ciência , pode ser visto à luz do nosso conhecimento científico atual ser bastante incrível. Se tivermos que explicar como tais idéias profeticamente corretas poderia ter tal influência pouco que tenho que concordar com o filósofo Hans Reichenbach , que, em um livro publicado em 1957, disse (ver [ 1] ) : -

... uma boa idéia afirmado dentro de um quadro teórico insuficiente perde seu poder explicativo e é esquecido.

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F


maio 2000

MATEMÁGICA?(60)

Observe os cálculos abaixo:

3 × 37 = 111
6 × 37 = 222
9 × 37 = 333
12 × 37 = 444
15 × 37 = 555
18 × 37 = 666
21 × 37 = 777
24 × 37 = 888
27 × 37 = 999

Agora observe a multiplicação dos múltiplos de 33 pelo número 3367:
 

33 X 3367 = 111111
66 X 3367 = 222222
99 X 3367 = 333333
132 X 3367 = 444444
165 X 3367 = 555555
198 X 3367 = 666666
231 X 3367 = 777777
264 X 3367 = 888888
297 X 3367 = 999999

Mas, o que aconteceria se continuássemos a multiplicar o número 3367 pelos próximos múltiplos de 33? Observe:
 

330 X 3367 = 1111110
363 X 3367 = 1222221
396 X 3367 = 1333332
429 X 3367 = 1444443
462 X 3367 = 1555554
495 X 3367 = 1666665
528 X 3367 = 1777776
561 X 3367 = 1888887
594 X 3367 = 1999998

Que tal?
Gostaria de tentar?
Experimente multiplicar os múltiplos de 333 por 333667 e veja o que pode encontrar...

Até a próxima! 

59 - SuperAulas ENEM - Matemática - Geometria Analítica e Matrizes

DIVIRTA-SE (59)

Um problema de peso.

Eu tenho dez caixas que eu quero colocar em caixotes. Cada caixote pode transportar um máximo de 25 kg.

Mas eu só tenho três caixotes, e o peso total das caixas é 75 kg:

15 kg, 13 kg, 11 kg, 10 kg, 9 kg, 8 kg, 4 kg, 2 kg, 2 kg, 1 kg

Como posso colocar as caixas nos caixotes?

Jogos matemáticos - 59

MINUS MISSION

Acerte com seus canhões laser, a operação correspondente à resposta que está no canhão e vença o jogo!

MINUS MISSION

Noções de calculo, limite de funções e Paradoxo de zenão (+playlist)

http://www.youtube.com/v/fDNAPkckL3g?list=PLf4asln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc&version=3&showinfo=1&autohide=1&autoplay=1&attribution_tag=qugq39HT6svH2iUlDopuwg&feature=share

Comendo Números

O estudo das matrizes não serve apenas como diversão.
Ele é muito útil na resolução de sistemas lineares.
Não sabe como?
Assista o vídeo.

*XENÓCRATES

Xenócrates de Calcedônia

Data de Nascimento: 396 aC, em Calcedônia ( agora Kadiköy , perto de Istambul ) , Bitínia (atual Turquia)
Morte: 314 aC, em Atenas, Grécia

Xenócrates de Calcedônia foi aluno de Platão, que entrou para a Academia em Atenas, em cerca de 376 aC. Em cerca de 367 aC Platão Xenocrates acompanhado em sua viagem a Siracusa , após a morte de Dionísio I. Xenocrates deixou Atenas com Aristóteles depois da morte de Platão, em 347 aC, quando ambos foram convidados para Assos . Xenocrates permaneceu por cerca de cinco anos, em Assos .

Speusippus sobrinho de Platão, tornou-se chefe da Academia sobre a morte de Platão, mas em 340 aC, ele enviou para Xenocrates para retornar a Atenas para se preparar para se tornar seu sucessor. Apesar Xenocrates ter sido escolhido para dirigir a Academia por Speusippus , a eleição teve lugar para encontrar um sucessor para Speusippus após sua morte. Foi uma batalha íntima entre Xenocrates , Menedemus de Pirra e Heraclides Ponticus mas Xenocrates triunfou por poucos votos.

Embora Xenocrates tinha sido há muitos anos em Atenas, ele havia se recusado a se tornar um cidadão daquele estado desde que ele não aprovava suas estreitas relações com a Macedónia . Nesse sentido, ele contrastou fortemente com seus Speusippus antecessor que tinha fortemente apoiados os laços políticos entre Atenas e Macedônia. É claro que a Academia neste momento estava longe de ser o que muitos, como imagem , ou seja, uma instituição onde os estudiosos ficou pensando , isolado do mundo ao seu redor. Pelo contrário , a Academia foi altamente envolvido na política do dia e diferentes pontos de vista políticos lutaram pela supremacia.

Em 322 aC Xenocrates encontrou-se em um post diretamente política , quando ele liderou uma equipe de negociação de um acordo político com a Macedónia . Para dizer " acordo político " é, talvez, um pouco longe da marca desde efetivamente tiveram que negociar os termos para a rendição de Atenas. O fato de que Xenocrates não era um cidadão ateniense tornou-se um ponto sensível com os macedônios e ele foi considerado ilegítimo como um embaixador para Atenas.

Xenocrates permaneceu chefe da Academia em Atenas para o resto de sua vida. Um homem que trabalha duro, Xenocrates é descrita como [1]: -

... bem-humorado , gentil e atencioso , mas ... faltava-lhe a graça de seu mestre Platão.

Xenocrates escreveu sobre a filosofia e matemática. Diógenes Laércio dá os títulos dos dois livros de matemática por Xenocrates , ou seja, em números e na teoria dos números. Todos os seus livros são perdidos e parece que só existiu uma única cópia de cada um em sua própria mão.

De muitas maneiras Xenocrates não era um pensador particularmente original . Certamente ele viu seu dever como chefe da Academia para promover os pontos de vista de Platão como exatamente como ele podia. Como Dorrie escreve em [1]: -

Lifework Xenocrates consistia em produzir um tipo de codificação - e, assim, necessariamente, uma transformação - da filosofia de Platão. Mas logo ficou claro que outros, especialmente Aristóteles, Platão entendeu de uma maneira totalmente diferente em relação a algumas questões -chave.

Xenocrates acreditava que a matéria é composta de unidades indivisíveis , então ele pode ser considerado como um crente no início da teoria atômica . Ele concordou com Pitágoras sobre a importância dos números em filosofia e atribuído a Pitágoras uma visão atômica da acústica onde o som , percebido como uma entidade única, composta de sons discretos.

Xenocrates acreditava em seres humanos tendo tríplice existência , mente, corpo e alma. Não está claro se ele foi o instigador desta crença . Ele também acreditava que as pessoas morrem duas vezes, uma vez na Terra, em seguida, pela segunda vez na Lua , quando a mente se separa da alma e viaja para o sol.

Plutarco escreve sobre uma tentativa Xenocrates para calcular o número total de sílabas que podem ser feitas a partir das letras do alfabeto. O resultado obtido foi que Xenocrates , de acordo com Plutarco, 1.002.000.000.000 . Se for verdade isso provavelmente representa a primeira tentativa de resolver um problema de combinatória envolvendo permutações .

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

abril 1999

58 - SuperAulas ENEM - Matemática - Função Quadrática e Geometria Plana

Jogos matemáticos - 58

SWIMMING OTTERS

Se você resolver corretamente as equações seu gato vence a corrida.
Vamos tentar?

SWIMMING OTTERS

A Mancha

Se você ainda não sabe realizar operações com matrizes, eis aqui a sua chance. Vamos aprender?

THYMARIDAS

Thymaridas de Paros

Nascimento : cerca de 400 aC, em Paros, Grécia
Morte: cerca de 350 aC

Conhecemos pouco sobre a vida Thymaridas . Ele era aparentemente um homem rico, mas, por algum motivo, que não sabemos, ele caiu na pobreza . Thestor de Poseidonia navegou para Paros para ajudá-lo com dinheiro , especialmente coletado em seu benefício.

Thymaridas era um pitagórico e um teórico dos números que escreveu sobre números primos. Iâmblico nos diz que Thymaridas chamava os números primos de retilíneos, uma vez que só podem  ser representados de modo unidimensional . Não-primos, tais como 6 podem ser representados por retângulos de lados 2 e 3. Também nós é dito que ele  chamava de "um" a "quantidade limitante" ou "limite de raridade" .

Thymaridas também nos deixou um método para resolver equações lineares simultâneas, que se tornou conhecido como a " flor de Thymaridas" . Para n equações de n incógnitas

x + x1 + x2 + ... + Xn -1 = S
x + x1 = a1
x + x2 = a2
.
.
.
x + xn - 1 = an -1

em seguida, a solução dá Thymaridas

x = [( a1 + a2 + .... + an -1) - S ] / (n - 2) .

Ele também mostra como alguns outros tipos de equações pode ser colocado neste formato.

Texto adaptado de um artigo de: J J O'Connor e Robertson E F

57 - SuperAulas ENEM - Matemática - Exponenciais e Logaritmos

DIVIRTA-SE (57)

Quais dessas planificações podem ser dobradas de modo a formar um cubo?

Jogos matemáticos - 57

PROJECT TRIG

Ajustando velocidade e o ângulo você pode conseguir ultrapassar a barreira e atingir o alvo.
Será que consegue? Tente!
PROJECT TRIG  

A Cooperativa de Leite

Neste interessante vídeo, vamos aprender mais sobre matrizes com um exemplo bem prático.
Divirta-se!

*GAN DE

 Gan De

Nascido : cerca de 400 aC, na China
Morte: cerca de 340 aC, na China

Não sabemos nada da vida de Gan De e muito pouco sobre o seu trabalho . As datas que damos são suposições , mas sabemos que pelo menos eles são mais ou menos correta ( sabemos , por exemplo, que ele estava fazendo observações em 365 aC). Ele foi um dos primeiros astrônomos chineses e fez observações que ele gravou dando datas e coordenadas. Sabemos de dois livros que ele escreveu , ou seja, o Suixing Jing (Tratado sobre Júpiter ) eo Tianwen Xingzhan ( previsões astrológicas ), mas , infelizmente, os dois textos foram perdidos .

Nós incluímos Gan De este arquivo por uma única razão . Isso é que uma citação de seu livro Suixing Jing (Tratado sobre Júpiter ) foi registrada por escritores posteriores. Isto registra uma observação que ele fez no verão de 365 aC : -

Júpiter era muito grande e brilhante. Aparentemente , houve uma pequena estrela avermelhada anexada ao seu lado. Isso é chamado de " uma aliança " .

Claro que a questão intrigante é o que era a pequena estrela avermelhada que Gan De viu ? Poderia ter sido um dos satélites de Júpiter ? Isto tem intrigado os interessados ​​na história da astronomia. Se ele viu um dos satélites de Galileu , em seguida, teria sido Ganimedes , que é o mais brilhante dos quatro. Ganimedes pode ter uma magnitude de 4,6 , o que significa que está dentro da gama que ninguém poderia esperar para ver. No entanto, o motivo que Ganimedes não é facilmente visível é que Júpiter , sendo muito mais brilhante e tão perto de Ganimedes quando visto da Terra , obscurece o satélite desmaiar. De Gan pode possuí visão excepcional e foi capaz de separar o Ganimedes fraco e o Júpiter brilhante. A única coisa que na descrição que se teria uma dúvida é o facto de Gan De regista a pequena estrela no lado de Júpiter ser avermelhada. Em este cores de baixo nível de luz não são distinguidas pelo olho . No entanto, devemos lembrar que ele observou em condições de absolutamente nenhuma poluição luminosa , algo impossível hoje.

Evidências sobre o lado positivo , sugerindo que ele , de fato, observar Ganimedes vem da precisão de suas observações em geral. Ele deu a seguinte descrição da jornada de Júpiter através das constelações : -

A cada 12 anos Júpiter retorna à mesma posição no céu , a cada 370 dias ele desaparece no fogo do Sol , à noite , a oeste , a 30 dias mais tarde, ela reaparece na parte da manhã para o leste ...

e também deu detalhes observados com precisão dos movimentos do planeta ao longo do seu ciclo de 12 anos. Sabemos também que Gan De produzido catálogos de estrelas .

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

dezembro 2003

MATEMÁGICA? (57)

Multiplicar um número por 11 é mais fácil do que pode parecer a princípio...



Suponha que você queira fazer 2631 x 11 . Uma simples soma resolve a questão.

Escreva o algarismo zero depois do número. Assim: 26310.

Some com o número original: 26310 + 2631.

O resultado ( 28941 ) é também o resultado da multiplicação.

Portanto, 2631 x 11 = 28941 .

Se você quiser, também pode ir somando os algarismos dois a dois a partir das unidades.

Assim:

- Repita o último algarismo: 1

- Some os dois últimos 2631, 3+1 = 4

-Escreva o resultado na posição das dezenas: 41

-Some os algarismos das dezenas e das centenas: 2631, 6+3 = 9

-Escreva o resultado na posição das centenas : 941

-Continue com o processo até chegar ao primeiro algarismo ( que não será somado com ninguém, e sim repetido )

Observação: lembre-se que, se a soma de dois algarismos do número em questão for maior que dez , o algarismo 1 das dezenas, deverá ser acrescentado à soma seguinte!!

56 - SuperAulas ENEM - Matemática - Cilindro Circular Reto ou de Revolução (+...

Jogos matemáticos - 56

MATH AT THE MALL

Este divertido jogo se passa em um Shopping Center.
Enquanto vai ao banco, faz comprar e passeia você aprende ou revisa seu conhecimento de frações.
Vamos! O que está esperando?
É só clicar: MATH AT THE MALL

3 2 1 - Mistério

Você conhece o princípio de Cavalieri? Não?
Então esta é uma ótima oportunidade para aprender este importante assunto da geometria.

*EUDOXO

Eudoxo de Cnido

Data de Nascimento: 408 aC em Cnido ( em Resadiye península) , Ásia Menor ( agora Knidos , Turquia )
Morte: 355 aC, em Cnido , na Ásia Menor (atual Turquia)

Eudoxo de Cnido era filho de Aischines . Quanto aos seus professores , sabemos que ele viajou para Tarento, agora na Itália, onde estudou com Archytas que era um seguidor de Pitágoras . O problema da duplicação do cubo foi um que Archytas interessadas e que seria razoável supor que o interesse de Eudoxus nesse problema foi estimulado por seu professor. Outros temas que é provável que ele aprendeu sobre a partir de Archytas incluem teoria dos números ea teoria da música.

Eudoxo também visitou a Sicília , onde estudou medicina com Philiston , antes de fazer sua primeira visita a Atenas na companhia do Theomedon médico. Eudoxo passou dois meses em Atenas nesta visita e ele certamente assistiram a palestras sobre a filosofia de Platão e outros filósofos da Academia , que só tinha sido estabelecido pouco tempo antes. Heath [3] escreve sobre Eudoxus como um estudante em Atenas -

... tão pobre era aquele que ele pegou seu domicílio no Pireu e marchou para Atenas e volta a pé todos os dias.

Depois de deixar Atenas , ele passou mais de um ano no Egito , onde estudou astronomia com os sacerdotes de Heliópolis. Neste momento, Eudoxo fez observações astronômicas de um observatório que se situava entre Heliópolis e Cercesura . Do Egito Eudoxus viajou para Cyzicus no noroeste da Ásia Menor, na costa sul do mar de Mármara. Lá, ele estabeleceu uma escola que se mostrou muito popular e tinha muitos seguidores .

Em cerca de 368 aC Eudoxo fez uma segunda visita a Atenas acompanhado por vários de seus seguidores. É difícil descobrir exatamente o que o seu relacionamento com Platão e da Academia foram neste momento. Há alguma evidência para sugerir que Eudoxus tinha pouco respeito pela capacidade analítica , de Platão , e é fácil ver por que isso pode ser , pois, como um matemático suas habilidades foram muito além de Platão. Também é sugerido que Platão não estava totalmente satisfeito ao ver como a escola de Eudoxo de sucesso se tornou. Certamente não há nenhuma razão para acreditar que os dois filósofos tinha muita influência sobre as idéias uns dos outros .

Eudoxus voltou aos seus Cnidus nativas e lá foi aclamado pelo povo que o colocou em um papel importante no Legislativo. No entanto, ele continuou seu trabalho acadêmico , escrevendo livros e palestras sobre teologia , astronomia e meteorologia .

Ele construiu um observatório sobre Cnidus e sabemos que a partir daí ele observou a estrela Canopus . As observações feitas em seu observatório em Cnido , bem como aquelas feitas no observatório perto de Heliópolis , formada com base em dois livros referidos por Hiparco . Estas obras eram o espelho ea Phaenomena que são considerados por alguns estudiosos como revisões do mesmo trabalho. Hiparco nos diz que as obras em causa o nascer eo pôr das constelações , mas , infelizmente, esses livros , como todas as obras de Eudoxo , foram perdidos .

Eudoxus contribuições importantes para a teoria da proporção , onde ele fez uma definição comprimentos permitindo possivelmente irracionais ser comparados de uma forma semelhante ao método de cruz multiplicando hoje usado. Uma das maiores dificuldades surgiram em matemática pelo tempo de Eudoxo , ou seja, o fato de que certos comprimentos não eram comparáveis ​​. O método de comparação de dois comprimentos de x e y , encontrando assim um comprimento t que x = m × t e y = n X t os números inteiros m e n não funciona para comprimentos de linhas 1 e 2, como as √ Pythagoreans tinha mostrado .

A teoria desenvolvida por Eudoxo consta do livro Elementos de Euclides V. Definição 4 em que o livro é chamado o Axioma de Eudoxo e foi -lhe atribuído por Arquimedes . A definição estados ( na tradução de Heath [3] ) : -

Magnitudes são referidos como tendo uma relação de um para o outro que é capaz de, quando um múltiplo ou pode exceder o outro.

Por esta Eudoxus significava que um comprimento e uma área não têm uma proporção capaz. Mas uma linha de comprimento √ 2 e um de comprimento 1 têm uma relação capaz desde 1 × √ 2> 1 e 2 × 1 > √ 2 . Assim, o problema de comprimentos irracionais foi resolvido , no sentido que se pode comparar as linhas de qualquer comprimento , sejam racionais ou irracional.

Eudoxus então passou a dizer quando dois índices são iguais. Isso aparece como elementos de Euclides Livro V Definição 5, que é , na tradução de Heath [3]: -

Magnitudes são ditos ser da mesma proporção , da primeira para a segunda e a terceira para a quarta , em que, se qualquer equimultiples ser tomadas independentemente da primeira e a terceira e quaisquer equimultiples independentemente dos segundo e quarto , o ex equimultiples tanto exceder , são iguais igual ou iguais menos do que os últimos equimultiples tomadas a fim correspondente.

Em notação moderna, este afirma que a: b e c : d são iguais ( onde a, b , c, d são possivelmente irracional ) , se possível, para cada par de números inteiros m, n
se ma < nb , então mc < nd ,
se ma = nb , então mc = nd ,
se ma > nb , então mc > nd .
Huxley escreveu em [1]: -
É difícil exagerar o significado da teoria , por isso equivale a uma definição rigorosa do número real. Teoria dos números foi autorizado a avançar novamente , após a paralisia imposta pela descoberta de Pitágoras de irracionais , em benefício inestimável de toda a matemática subseqüentes.

Vários autores têm discutido as ideias de números reais na obra de Eudoxo e comparou suas idéias com as de Dedekind , em especial, a definição envolve " cortes de Dedekind " dadas em 1872. Se Dedekind enfatizou que seu trabalho foi inspirado pelas idéias de Eudoxo . Heath [3] escreve definição de proporções iguais desse Eudoxus : -

... corresponde exatamente à teoria moderna de irracionais , devido a Dedekind , e que é palavra por palavra, a mesma definição de um número igual de Weierstrass .

No entanto, alguns historiadores têm uma visão bem diferente . Por exemplo, o artigo [15] ( citando resumo do autor) : -

... análises, em primeiro lugar, o significado histórico da teoria das proporções contidas no Livro V dos " Elementos" de Euclides e atribuída a Eudoxo . Em seguida, ele demonstra a originalidade radical , em relação a esta teoria, a definição de números reais , com base no conjunto de rationals propostos pela Dedekind . Duas conclusões : (1) não há no Livro V dos "Elementos " As lacunas percebidas por Dedekind , (2) não se pode falar propriamente de uma "influência" das idéias de Eudoxus sobre a teoria de Dedekind .

Outra contribuição notável para a matemática feitas por Eudoxo foi o seu primeiro trabalho na integração usando seu método de exaustão. Este trabalho desenvolvido diretamente de seu trabalho sobre a teoria da proporção desde que ele agora era capaz de comparar números irracionais . Também foi baseada em idéias anteriores de aproximação da área de um círculo por onde Antífona Antífona levou polígonos regulares inscritos com um número crescente de lados . Eudoxo era capaz de fazer a teoria de Antífona em um rigoroso uma , aplicando seus métodos para dar provas rigorosas de teoremas , primeiro indicado pelo Demócrito , que
o volume de uma pirâmide é um terço do volume do prisma tendo a mesma base e de altura igual , e
o volume de um cone é um terço do volume do cilindro que tem a mesma base e altura.
As provas destes resultados são atribuídos à Eudoxus por Arquimedes em seu trabalho sobre a esfera eo cilindro e, claro, Arquimedes passou a usar o método da exaustão de Eudoxo para provar uma notável colecção de teoremas.
Sabemos que Eudoxus estudaram o problema clássico da duplicação do cubo. Eratóstenes , que escreveu a história do problema , diz que Eudoxo resolveu o problema por meio de linhas curvas. Eutocius escreveu sobre a solução de Eudoxo , mas parece que ele tinha diante de si um documento que , apesar de pretender dar a solução de Eudoxo , deve ter sido escrito por alguém que não tinha conseguido entender. Paul Tannery tentou reconstruir a prova de Eudoxo de muito pouca evidência , por isso deve ficar mais do que um palpite. Sugestão engenhosa de curtume foi que Eudoxus tinha usado a curva Kampyle na sua solução e , como conseqüência, a curva é agora conhecido como o Kampyle de Eudoxo . Heath, no entanto, as sugestões do duvida Tannery [ 3]: -

Para minha mente a objeção a ele é que ele é muito próximo de uma adaptação das idéias de Arquitas ... Eudoxus foi , eu acho, muito originais um matemático de se contentar com a mera adaptação do método de solução de Arquitas .

Nós ainda temos que discutir a teoria de Eudoxo planetária , talvez, o trabalho para o qual ele é o mais famoso , que ele publicou no livro On velocidades que agora está perdido . Talvez o primeiro comentário que vale a pena fazer é que Eudoxo foi grandemente influenciado pela filosofia dos pitagóricos Archytas através de seus professores. Portanto, não é surpreendente que ele desenvolveu um sistema baseado em esferas após a crença de Pitágoras que a esfera era a forma mais perfeita . O sistema proposto pela esfera homocêntrica Eudoxus consistiu de um número de esferas rotativas , cada uma esfera que roda em torno de um eixo que passa pelo centro da Terra . O eixo de rotação de cada uma das esferas não foi fixo no espaço , mas para a maioria das esferas , este eixo de rotação foi si como foi determinada por pontos fixos na outra esfera rotativa.

Como no diagrama da direita , suponha que temos duas esferas S1 e S2 , o eixo XY de S1 , sendo um diâmetro da esfera S2. Como S2 roda em torno de um eixo AB, então eixos XY de S1 gira com ele. Se as duas esferas giram com velocidade constante, mas oposta , angular , em seguida, um ponto P no equador de S1 descreve uma figura de oito curva. Esta curva foi chamado de hippopede (ou seja, um cavalo - grilhão ) .

Eudoxo usou esta construção do hippopede com duas esferas e , em seguida considerado um planeta como o ponto P percorrendo a curva. Ele introduziu uma terceira esfera de corresponder ao movimento geral do planeta contra as estrelas de fundo , enquanto o movimento em torno do hippopede produziu o movimento retrógrado periódica observada. O subsistema de três esfera foi colocada em uma quarta esfera que deu a rotação diária das estrelas .
O sistema planetário de Eudoxus é descrito por Aristóteles em Metafísica e do sistema completo contém 27 esferas. Simplício , escrever um comentário sobre Aristóteles, em cerca de 540 dC, também descreve as esferas de Eudoxo . Eles representam uma conquista geométrica magnífico. Como Heath escreve [ 3]: -

... para produzir os retrogradações desta forma teórica rotações axiais sobrepostas de esferas foi um golpe de gênio notável . Não era ligeira realização geométrica , para os dias , para demonstrar o efeito da hipótese ; mas isto não é nada , em comparação com a potência especulativa que permitiu a de inventar homem a hipótese de que poderia produzir do efeito.

Não há dúvida essa conquista matemática incrível. Mas ainda há muitas perguntas que , em seguida, deve-se perguntar . Será que Eudoxus acreditam que as esferas realmente existiu ? Será que ele inventá-los como um modelo geométrico que era puramente um dispositivo computacional ? Será que o modelo de representar fielmente a forma como os planetas são observados a se comportar ? Será que Eudoxus testar seu modelo com evidência observacional ?

Um argumento em favor de pensar que Eudoxus acreditavam nas esferas apenas como um dispositivo computacional é o fato de que ele parece ter feito nenhum comentário sobre a substância das esferas nem sobre o seu modo de interconexão . É preciso distinguir entre as visões de Eudoxus e os de Aristóteles para a Huxley escreve em [1]: -

Eudoxus podem ter considerado o seu sistema simplesmente como um modelo geométrico abstrato, mas Aristóteles o levou a ser uma descrição do mundo físico ...

A questão de saber se Eudoxus pensou em seus âmbitos como geometria ou a realidade física é estudado no papel interessante [29] , que argumenta que Eudoxo estava mais interessado em realmente representar os caminhos dos planetas do que na previsão de fenômenos astronômicos .

Certamente, o modelo não representa , e talvez mais significativamente não poderia representar , os caminhos reais dos planetas com um grau de precisão que iria passar mesmo o mais simples dos testes observacionais. Quanto à questão de quanto Eudoxus baseou em dados observacionais em verificar sua hipótese , Neugebauer escreve em [7] : -

... não só não temos evidência de dados numéricos na construção de esferas homocêntricos de Eudoxus mas também seria difícil, como sua teoria poderia ter sobrevivido a uma comparação com os parâmetros observacionais.

Talvez seja apenas uma forma muito moderna de pensar para saber como Eudoxus poderia ter desenvolvido uma teoria tão complexa sem testá-lo com dados observacionais.

Muitos dos primeiros comentaristas acreditavam que Platão foi a inspiração para a representação de Eudoxus do movimento planetário pelo seu sistema de esferas homocêntricos . Estes vista são ainda bastante difundida , mas o artigo [19] argumenta que isso não é assim e que as idéias que influenciaram Eudoxus para chegar a sua obra-prima da geometria 3- dimensional foram Pitágoras e não de Platão.

Como comentário final , devemos notar que Eudoxo também escreveu um livro sobre geografia chamado Tour da Terra que, embora perdido, é bastante conhecido através de cerca de 100 citações em várias fontes. O trabalho consistiu de sete livros e estudou os povos da Terra conhecida por Eudoxo , em particular, examinar seus sistemas políticos , a sua história e fundo. Eudoxus escreveu sobre o Egito ea religião daquele país com autoridade especial e é claro que ele aprendeu muito sobre esse país no ano que passou lá. No sétimo livro Eudoxus escreveu longamente sobre a Sociedade de Pitágoras na Itália novamente sobre o que ele estava claramente extremamente experiente.

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

abril 1999

Matemágica? (56)

Para descobrir a idade de uma pessoa e deixá-la surpreendida, basta pedir para que ela realize alguns cálculos:
- Escrever um número de dois algarismos.
- Multiplicar o número escrito por dois.
- Somar cinco unidades ao produto obtido.
- Multiplicar esta soma por cinqüenta.
- Somar ao produto o número 1766.
- Subtrair o ano de nascimento com 4 algarismos.

O resultado que se obteve é um número de quatro algarismos: os dois algarismos da direita, que correspondem as dezenas e as unidades, indicam a idade da pessoa (se ela já fez aniversário) e, os dois algarismos da esquerda, que correspondem as centenas e aos milhares, indicam o número que a pessoa havia pensado.

55 - Geometria Métrica - Matemática - Vestibulando Digital

Jogos matemáticos - 55

MATH MILLIONAIRE

Quer se tornar um "milionário"?
Vá respondendo as perguntas e  aumentando sua pontuação.
Quem sabe você não chega ao topo?
MATH MILLIONAIRE

NÚMEROS ARMÊNIOS

Números armênios:     O sistema numérico armênio é um sistema de numerais históricos usando as letras maiúsculas do antigo alfabeto armênio. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Não há nenhuma notação especial para zero. Baseia-se no sistema de numeração do aditivo. Exemplo: 1998 = 1000 + 900 + 90 + 8 está representada como a seguir:

fonte:EASY CALCULATION acesso em 2/7/13

Arte & Matemática - 13 - O Belo

*Omar Khayyam

Omar Khayyam

Data de Nascimento: 18 de maio de 1048 em Nishapur , Pérsia ( atual Irã )

Morreu em: 04 de dezembro de 1131 em Nishapur , Pérsia ( atual Irã )

Nome completo de Omar Khayyam foi Ghiyath al- Din Abu'l- Fath Umar ibn Ibrahim Al- Nisaburi al- Khayyami . A tradução literal do nome al- Khayyami (ou al- Khayyam ) significa " tenda fabricante " e este pode ter sido o comércio de Ibrahim seu pai . Khayyam jogado sobre o significado de seu próprio nome quando escreveu: -

Khayyam , que costurou as tendas da ciência,

Caiu na fornalha da aflição e de repente foi queimado,

As tesouras do Destino cortaram as cordas tenda de sua vida,

E o corretor da Esperança vendeu ele por nada!

Os acontecimentos políticos do século 11 desempenhou um papel importante no curso da vida de Khayyam . Os turcos seljúcidas eram tribos que invadiram sudoeste da Ásia no século 11 e, finalmente, fundou um império que incluía a Mesopotâmia , Síria, Palestina , e mais de Iran. O Seljuq ocuparam as pastagens de Khorasan e depois , entre 1038 e 1040, eles conquistaram todos Nordeste Iran. O Seljuq governante Toghrïl Beg proclamou-se sultão em Nishapur em 1038 e entrou em Bagdá em 1055 . Foi neste difícil império militar instável , que também teve problemas religiosos na tentativa de estabelecer um estado muçulmano ortodoxo , que Khayyam cresceu.

Khayyam estudou filosofia na Naishapur e um de seus colegas escreveram que ele era : -

... dotado de agudeza de espírito e os mais altos poderes naturais ...

No entanto, este não era um império em que os de aprendizagem , mesmo aqueles que aprenderam como Khayyam , encontrou vida fácil , a menos que contou com o apoio de uma régua em um dos muitos tribunais . Mesmo tal patrocínio não daria muita estabilidade desde a política local e as fortunas do regime militar local decidiu que a qualquer momento no poder . Se Khayyam descreveu as dificuldades para os homens de aprender durante este período na introdução do seu Tratado sobre a Demonstração de Problemas de Álgebra (ver, por exemplo [1] ) : -

Eu era incapaz de me dedicar ao aprendizado da álgebra e da concentração continuada sobre ele, por causa dos obstáculos aos caprichos do tempo que me impediu , pois temos sido privados de todas as pessoas de conhecimento para salvar um grupo, pequeno em número , com muitos problemas, cuja preocupação na vida é para arrebatar a oportunidade , quando o tempo está dormindo, para dedicar-se , entretanto, à investigação e à perfeição de uma ciência , pois a maioria das pessoas que imitam os filósofos confundir o verdadeiro com o falso , e eles fazer nada, mas enganar e fingir conhecimento, e eles não usam o que sabem das ciências , exceto para a base e para fins materiais , e se vêem uma certa pessoa que procura para a direita e preferindo a verdade, fazendo o seu melhor para refutar o falso e falsas e deixando de lado a hipocrisia e engano , eles fazem de bobo e zombar dele .

No entanto Khayyam foi um notável matemático e astrônomo e , apesar das dificuldades que ele descreveu nesta citação , ele escreveu várias obras , incluindo problemas de aritmética , um livro sobre a música e uma em álgebra antes ele tinha 25 anos de idade. Em 1070 ele se mudou para Samarkand , no Uzbequistão , que é uma das mais antigas cidades da Ásia Central. Há Khayyam foi apoiado por Abu Tahir , um proeminente jurista de Samarkand, e isso lhe permitiu escrever sua obra mais famosa álgebra, Tratado sobre a Demonstração de Problemas de Álgebra da qual deu a citação acima . Vamos descrever os conteúdos matemáticos deste trabalho mais adiante nesta biografia.

Toghril Beg, o fundador da dinastia seljúcida , tinha feito Esfahan a capital de seus domínios e seu neto Malik - Shah era o governante daquela cidade a partir de 1073. Um convite foi enviado para Khayyam de Malik - Shah e de seu vizir Nizam al- Mulk Khayyam pedindo para ir para Esfahan a criação de um Observatório de lá. Outros astrônomos também foram levados para o Observatório em Esfahan e por 18 anos Khayyam levou os cientistas e produziu um trabalho de excelente qualidade. Foi um período de paz durante o qual a situação política permitiu Khayyam a oportunidade de dedicar-se inteiramente ao seu trabalho acadêmico .

Durante este tempo Khayyam levou trabalho em compilar tabelas astronômicas e ele também contribuiu para a reforma do calendário em 1079 . Cowell cita a Calcutá Revisão n º 59 : -

Quando o xá Malik determinado a reformar o calendário , Omar era um dos oito homens instruídos empregados para fazê-lo , o resultado foi a era Jalali ( assim chamada por Jalal -ud- din , um dos nomes do rei ) - ' um cálculo de tempo ", diz Gibbon ", que supera o juliano, e se aproxima da precisão do estilo gregoriano .

Khayyam mediu o comprimento do ano, como 365,24219858156 dia . Dois comentários sobre este resultado . Em primeiro lugar, mostra uma incrível confiança para tentar dar o resultado para esse grau de precisão. Sabemos agora que a duração do ano está mudando na sexta casa decimal ao longo da vida de uma pessoa. Em segundo lugar , é extraordinariamente precisas. Para comparação do comprimento do ano, no final do século 19 foi 365,242196 dias , enquanto que hoje é 365,242190 dias .

Em 1092 os acontecimentos políticos terminou período de existência pacífica de Khayyam . Malik - Shah morreu em novembro do mesmo ano, um mês depois de seu vizir Nizam al- Mulk tinha sido assassinado na estrada de Esfahan a Bagdá pelo movimento terrorista chamado os assassinos . A segunda esposa de Malik - Shah assumiu o cargo de governador por dois anos, mas ela tinha discutido com Nizam al- Mulk agora aqueles a quem ele tinha apoiado constatou que o apoio retirado. O financiamento para executar o Observatório cessou e reforma do calendário de Khayyam foi colocada em espera. Khayyam também veio sob o ataque dos muçulmanos ortodoxos que sentiu que mente questionadora de Khayyam não se conformava com a fé . Ele escreveu em seu poema o Rubaiyat : -

De fato, os ídolos eu vos amei tanto tempo

Fiz o meu crédito em Eye muito errado dos homens :

Ter se afogado minha honra em um copo raso ,

E vendi minha reputação de uma música.

Apesar de estar fora do favor de todos os lados , Khayyam permaneceu no Tribunal e tentou recuperar o favor. Ele escreveu uma obra na qual ele descreveu ex-governantes do Irã como homens de grande honra que apoiaram obras públicas , ciência e erudição .

Sanjar terceiro filho de Malik - Shah, que foi governador de Khorasan , tornou-se o governante geral do império seljúcida , em 1118. Algum tempo depois Khayyam deixou Esfahan e viajou para Merv ( agora Mary , Turquemenistão) que Sanjar tinha feito a capital do império seljúcida . Sanjar criou um grande centro de aprendizado islâmico em Merv onde Khayyam escreveu outras obras sobre matemática.

O artigo [18] por Khayyam é um trabalho inicial sobre álgebra escrito antes do seu texto álgebra famoso. Nela, ele considera o problema: -

Encontrar um ponto sobre um quadrante de uma circunferência , de tal maneira que, quando um normal é retirado do ponto de um dos raios delimitadora, a proporção do comprimento do normal a que o raio é igual à proporção dos segmentos determinados pelo pé a normal.

Khayyam mostra que este problema é equivalente a resolver um segundo problema : -

Encontre um triângulo retângulo com a propriedade que a hipotenusa é igual à soma de uma perna mais a altitude da hipotenusa .

Este problema , por sua vez levou Khayyam para resolver a equação cúbica x3 + 20x2 + 200x = 2000 e ele encontrou uma raiz positiva desta cúbico , considerando a intersecção de uma hipérbole retangular e um círculo. Uma solução numérica aproximada foi então encontrou -se por interpolação em tabelas trigonométricas. Talvez ainda mais notável é o facto de Khayyam estados que a solução deste cúbico requer a utilização de secções cónicas e que não pode ser resolvido por métodos de régua e compasso , um resultado que não seria provado por mais 750 anos. Khayyam também escreveu que ele esperava dar uma descrição completa da solução de equações cúbicas em um trabalho posterior [18] : -

Se a oportunidade surgir e eu posso ter sucesso , darei todas estas catorze formas com todos os seus ramos e casos , e como distinguir o que é possível ou impossível para que um documento , contendo elementos que são muito úteis nesta arte será preparado.

Na verdade Khayyam se produzir tal obra , o Tratado sobre a Demonstração de Problemas de Álgebra , que continha uma classificação completa das equações cúbicas com soluções geométricas encontradas por meio de interseção secções cónicas . Na verdade Khayyam dá um relato histórico interessante, em que ele afirma que os gregos tinham deixado nada na teoria das equações cúbicos. Na verdade, como escreve Khayyam , as contribuições de escritores anteriores, como al- Mahani e al- Khazin fosse traduzir problemas geométricos em equações algébricas ( algo que era praticamente impossível antes do trabalho de al- Khwarizmi ) . No entanto , o próprio Khayyam parece ter sido o primeiro a conceber uma teoria geral das equações cúbicos. Khayyam escreveu (ver, por exemplo [9] ou [10] ) : -

Na ciência da álgebra um encontra problemas dependentes de certos tipos de teoremas preliminares extremamente difícil, cuja solução não foi bem sucedida para a maioria das pessoas que tentou. Quanto aos antigos , nenhum trabalho com eles lidar com o assunto chegou até nós, talvez depois de ter olhado para as soluções e tê-los examinados, eles foram incapazes de entender suas dificuldades , ou talvez as suas investigações não exige tal exame , ou finalmente , os seus trabalhos sobre este assunto, se existiram, não foram traduzidos para a nossa língua.

Outra conquista no texto álgebra é a realização de Khayyam que uma equação cúbica pode ter mais de uma solução. Ele mostrou a existência de equações com duas soluções , mas infelizmente não parecem ter encontrado que uma cúbica pode ter três soluções. Ele tinha a esperança de que " soluções aritméticas " pode ser encontrada um dia, quando ele escreveu (ver, por exemplo [1] ) : -

Talvez alguém que vem atrás de nós pode encontrá-lo no caso, quando há não apenas as três primeiras classes de poderes conhecidos , ou seja, o número , a coisa e da praça .

O " alguém que vem atrás de nós " eram, na realidade del Ferro, Tartaglia e Ferrari no século 16 . Além disso , em seu livro de álgebra , Khayyam se refere a outro trabalho de seu que agora está perdido . No trabalho perdido Khayyam discute o triângulo de Pascal , mas ele não foi o primeiro a fazê-lo desde que al- Karaji discutido o triângulo de Pascal antes desta data. Na verdade, pode ter certeza que Khayyam utilizado um método de encontrar raízes enésimas com base na expansão binomial, e, portanto, sobre os coeficientes binomiais . Isso decorre do seguinte passagem em seu livro de álgebra (ver, por exemplo [1], [9] ou [10] ) : -

Os indios possuir métodos para encontrar os lados dos quadrados e cubos com base em tal conhecimento dos quadrados dos nove figuras , que é o quadrado de 1, 2 , 3, etc, e também os produtos formados pela multiplicação por cada um dos outros, isto é, o produtos de 2, 3 etc eu compus um trabalho para demonstrar a precisão desses métodos, e provaram que eles levam ao objectivo pretendido . Tenho além disso, aumentado as espécies , ou seja eu tenho mostrado como encontrar os lados do quadrado -quadrado, Quatro -cube , cubo- cubo , etc, para qualquer período , o que não foi feito até agora. as provas que eu dei nesta ocasião são apenas provas aritméticas baseadas nas partes aritméticas dos " Elementos" de Euclides .

In Comentários sobre a difícil postulados do livro Khayyam de Euclides fez uma contribuição para a geometria não-euclidiana , embora esta não era a sua intenção. Na tentativa de provar os paralelos postulado ele acidentalmente mostrou propriedades de figuras em geometrias não - euclidianas . Khayyam também deu resultados importantes sobre os rácios neste livro , estendendo-se a obra de Euclides para incluir a multiplicação dos índices . A importância da contribuição de Khayyam é que ele examinou definição de igualdade de proporções (o que foi proposto pela primeira vez pelo Eudoxus ) ea definição de igualdade de proporções , como proposto pelos matemáticos anteriores islâmicos como a Al - Mahani que foi baseado em frações contínuas tanto de Euclides . Khayyam provou que as duas definições são equivalentes. Ele também levantou a questão de saber se a relação pode ser considerada como um número, mas deixa a pergunta sem resposta.

Fora do mundo da matemática, Khayyam é mais conhecido como um resultado da tradução popular de Edward Fitzgerald em 1859 de cerca de 600 curtas quatro poemas de linha do Rubaiyat . A fama de Khayyam como um poeta tem levado alguns a esquecer suas realizações científicas que foram muito mais substancial. Versões das formas e versos utilizados no Rubaiyat existia na literatura persa antes Khayyam , e apenas cerca de 120 dos versos pode ser atribuída a ele com segurança. De todos os versos, o mais conhecido é o seguinte: -

The Moving Finger escreve , e, tendo mandado,

Move On: nem toda a tua Piedade nem Wit

Deve atraí-lo de volta para cancelar meio Line,

Nem todas as tuas Lágrimas lavar uma palavra.

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

jul 1999