55 - Geometria Métrica - Matemática - Vestibulando Digital

Jogos matemáticos - 55

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NÚMEROS ARMÊNIOS

Números armênios:     O sistema numérico armênio é um sistema de numerais históricos usando as letras maiúsculas do antigo alfabeto armênio. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Não há nenhuma notação especial para zero. Baseia-se no sistema de numeração do aditivo. Exemplo: 1998 = 1000 + 900 + 90 + 8 está representada como a seguir:

fonte:EASY CALCULATION acesso em 2/7/13

Arte & Matemática - 13 - O Belo

*Omar Khayyam

Omar Khayyam

Data de Nascimento: 18 de maio de 1048 em Nishapur , Pérsia ( atual Irã )

Morreu em: 04 de dezembro de 1131 em Nishapur , Pérsia ( atual Irã )

Nome completo de Omar Khayyam foi Ghiyath al- Din Abu'l- Fath Umar ibn Ibrahim Al- Nisaburi al- Khayyami . A tradução literal do nome al- Khayyami (ou al- Khayyam ) significa " tenda fabricante " e este pode ter sido o comércio de Ibrahim seu pai . Khayyam jogado sobre o significado de seu próprio nome quando escreveu: -

Khayyam , que costurou as tendas da ciência,

Caiu na fornalha da aflição e de repente foi queimado,

As tesouras do Destino cortaram as cordas tenda de sua vida,

E o corretor da Esperança vendeu ele por nada!

Os acontecimentos políticos do século 11 desempenhou um papel importante no curso da vida de Khayyam . Os turcos seljúcidas eram tribos que invadiram sudoeste da Ásia no século 11 e, finalmente, fundou um império que incluía a Mesopotâmia , Síria, Palestina , e mais de Iran. O Seljuq ocuparam as pastagens de Khorasan e depois , entre 1038 e 1040, eles conquistaram todos Nordeste Iran. O Seljuq governante Toghrïl Beg proclamou-se sultão em Nishapur em 1038 e entrou em Bagdá em 1055 . Foi neste difícil império militar instável , que também teve problemas religiosos na tentativa de estabelecer um estado muçulmano ortodoxo , que Khayyam cresceu.

Khayyam estudou filosofia na Naishapur e um de seus colegas escreveram que ele era : -

... dotado de agudeza de espírito e os mais altos poderes naturais ...

No entanto, este não era um império em que os de aprendizagem , mesmo aqueles que aprenderam como Khayyam , encontrou vida fácil , a menos que contou com o apoio de uma régua em um dos muitos tribunais . Mesmo tal patrocínio não daria muita estabilidade desde a política local e as fortunas do regime militar local decidiu que a qualquer momento no poder . Se Khayyam descreveu as dificuldades para os homens de aprender durante este período na introdução do seu Tratado sobre a Demonstração de Problemas de Álgebra (ver, por exemplo [1] ) : -

Eu era incapaz de me dedicar ao aprendizado da álgebra e da concentração continuada sobre ele, por causa dos obstáculos aos caprichos do tempo que me impediu , pois temos sido privados de todas as pessoas de conhecimento para salvar um grupo, pequeno em número , com muitos problemas, cuja preocupação na vida é para arrebatar a oportunidade , quando o tempo está dormindo, para dedicar-se , entretanto, à investigação e à perfeição de uma ciência , pois a maioria das pessoas que imitam os filósofos confundir o verdadeiro com o falso , e eles fazer nada, mas enganar e fingir conhecimento, e eles não usam o que sabem das ciências , exceto para a base e para fins materiais , e se vêem uma certa pessoa que procura para a direita e preferindo a verdade, fazendo o seu melhor para refutar o falso e falsas e deixando de lado a hipocrisia e engano , eles fazem de bobo e zombar dele .

No entanto Khayyam foi um notável matemático e astrônomo e , apesar das dificuldades que ele descreveu nesta citação , ele escreveu várias obras , incluindo problemas de aritmética , um livro sobre a música e uma em álgebra antes ele tinha 25 anos de idade. Em 1070 ele se mudou para Samarkand , no Uzbequistão , que é uma das mais antigas cidades da Ásia Central. Há Khayyam foi apoiado por Abu Tahir , um proeminente jurista de Samarkand, e isso lhe permitiu escrever sua obra mais famosa álgebra, Tratado sobre a Demonstração de Problemas de Álgebra da qual deu a citação acima . Vamos descrever os conteúdos matemáticos deste trabalho mais adiante nesta biografia.

Toghril Beg, o fundador da dinastia seljúcida , tinha feito Esfahan a capital de seus domínios e seu neto Malik - Shah era o governante daquela cidade a partir de 1073. Um convite foi enviado para Khayyam de Malik - Shah e de seu vizir Nizam al- Mulk Khayyam pedindo para ir para Esfahan a criação de um Observatório de lá. Outros astrônomos também foram levados para o Observatório em Esfahan e por 18 anos Khayyam levou os cientistas e produziu um trabalho de excelente qualidade. Foi um período de paz durante o qual a situação política permitiu Khayyam a oportunidade de dedicar-se inteiramente ao seu trabalho acadêmico .

Durante este tempo Khayyam levou trabalho em compilar tabelas astronômicas e ele também contribuiu para a reforma do calendário em 1079 . Cowell cita a Calcutá Revisão n º 59 : -

Quando o xá Malik determinado a reformar o calendário , Omar era um dos oito homens instruídos empregados para fazê-lo , o resultado foi a era Jalali ( assim chamada por Jalal -ud- din , um dos nomes do rei ) - ' um cálculo de tempo ", diz Gibbon ", que supera o juliano, e se aproxima da precisão do estilo gregoriano .

Khayyam mediu o comprimento do ano, como 365,24219858156 dia . Dois comentários sobre este resultado . Em primeiro lugar, mostra uma incrível confiança para tentar dar o resultado para esse grau de precisão. Sabemos agora que a duração do ano está mudando na sexta casa decimal ao longo da vida de uma pessoa. Em segundo lugar , é extraordinariamente precisas. Para comparação do comprimento do ano, no final do século 19 foi 365,242196 dias , enquanto que hoje é 365,242190 dias .

Em 1092 os acontecimentos políticos terminou período de existência pacífica de Khayyam . Malik - Shah morreu em novembro do mesmo ano, um mês depois de seu vizir Nizam al- Mulk tinha sido assassinado na estrada de Esfahan a Bagdá pelo movimento terrorista chamado os assassinos . A segunda esposa de Malik - Shah assumiu o cargo de governador por dois anos, mas ela tinha discutido com Nizam al- Mulk agora aqueles a quem ele tinha apoiado constatou que o apoio retirado. O financiamento para executar o Observatório cessou e reforma do calendário de Khayyam foi colocada em espera. Khayyam também veio sob o ataque dos muçulmanos ortodoxos que sentiu que mente questionadora de Khayyam não se conformava com a fé . Ele escreveu em seu poema o Rubaiyat : -

De fato, os ídolos eu vos amei tanto tempo

Fiz o meu crédito em Eye muito errado dos homens :

Ter se afogado minha honra em um copo raso ,

E vendi minha reputação de uma música.

Apesar de estar fora do favor de todos os lados , Khayyam permaneceu no Tribunal e tentou recuperar o favor. Ele escreveu uma obra na qual ele descreveu ex-governantes do Irã como homens de grande honra que apoiaram obras públicas , ciência e erudição .

Sanjar terceiro filho de Malik - Shah, que foi governador de Khorasan , tornou-se o governante geral do império seljúcida , em 1118. Algum tempo depois Khayyam deixou Esfahan e viajou para Merv ( agora Mary , Turquemenistão) que Sanjar tinha feito a capital do império seljúcida . Sanjar criou um grande centro de aprendizado islâmico em Merv onde Khayyam escreveu outras obras sobre matemática.

O artigo [18] por Khayyam é um trabalho inicial sobre álgebra escrito antes do seu texto álgebra famoso. Nela, ele considera o problema: -

Encontrar um ponto sobre um quadrante de uma circunferência , de tal maneira que, quando um normal é retirado do ponto de um dos raios delimitadora, a proporção do comprimento do normal a que o raio é igual à proporção dos segmentos determinados pelo pé a normal.

Khayyam mostra que este problema é equivalente a resolver um segundo problema : -

Encontre um triângulo retângulo com a propriedade que a hipotenusa é igual à soma de uma perna mais a altitude da hipotenusa .

Este problema , por sua vez levou Khayyam para resolver a equação cúbica x3 + 20x2 + 200x = 2000 e ele encontrou uma raiz positiva desta cúbico , considerando a intersecção de uma hipérbole retangular e um círculo. Uma solução numérica aproximada foi então encontrou -se por interpolação em tabelas trigonométricas. Talvez ainda mais notável é o facto de Khayyam estados que a solução deste cúbico requer a utilização de secções cónicas e que não pode ser resolvido por métodos de régua e compasso , um resultado que não seria provado por mais 750 anos. Khayyam também escreveu que ele esperava dar uma descrição completa da solução de equações cúbicas em um trabalho posterior [18] : -

Se a oportunidade surgir e eu posso ter sucesso , darei todas estas catorze formas com todos os seus ramos e casos , e como distinguir o que é possível ou impossível para que um documento , contendo elementos que são muito úteis nesta arte será preparado.

Na verdade Khayyam se produzir tal obra , o Tratado sobre a Demonstração de Problemas de Álgebra , que continha uma classificação completa das equações cúbicas com soluções geométricas encontradas por meio de interseção secções cónicas . Na verdade Khayyam dá um relato histórico interessante, em que ele afirma que os gregos tinham deixado nada na teoria das equações cúbicos. Na verdade, como escreve Khayyam , as contribuições de escritores anteriores, como al- Mahani e al- Khazin fosse traduzir problemas geométricos em equações algébricas ( algo que era praticamente impossível antes do trabalho de al- Khwarizmi ) . No entanto , o próprio Khayyam parece ter sido o primeiro a conceber uma teoria geral das equações cúbicos. Khayyam escreveu (ver, por exemplo [9] ou [10] ) : -

Na ciência da álgebra um encontra problemas dependentes de certos tipos de teoremas preliminares extremamente difícil, cuja solução não foi bem sucedida para a maioria das pessoas que tentou. Quanto aos antigos , nenhum trabalho com eles lidar com o assunto chegou até nós, talvez depois de ter olhado para as soluções e tê-los examinados, eles foram incapazes de entender suas dificuldades , ou talvez as suas investigações não exige tal exame , ou finalmente , os seus trabalhos sobre este assunto, se existiram, não foram traduzidos para a nossa língua.

Outra conquista no texto álgebra é a realização de Khayyam que uma equação cúbica pode ter mais de uma solução. Ele mostrou a existência de equações com duas soluções , mas infelizmente não parecem ter encontrado que uma cúbica pode ter três soluções. Ele tinha a esperança de que " soluções aritméticas " pode ser encontrada um dia, quando ele escreveu (ver, por exemplo [1] ) : -

Talvez alguém que vem atrás de nós pode encontrá-lo no caso, quando há não apenas as três primeiras classes de poderes conhecidos , ou seja, o número , a coisa e da praça .

O " alguém que vem atrás de nós " eram, na realidade del Ferro, Tartaglia e Ferrari no século 16 . Além disso , em seu livro de álgebra , Khayyam se refere a outro trabalho de seu que agora está perdido . No trabalho perdido Khayyam discute o triângulo de Pascal , mas ele não foi o primeiro a fazê-lo desde que al- Karaji discutido o triângulo de Pascal antes desta data. Na verdade, pode ter certeza que Khayyam utilizado um método de encontrar raízes enésimas com base na expansão binomial, e, portanto, sobre os coeficientes binomiais . Isso decorre do seguinte passagem em seu livro de álgebra (ver, por exemplo [1], [9] ou [10] ) : -

Os indios possuir métodos para encontrar os lados dos quadrados e cubos com base em tal conhecimento dos quadrados dos nove figuras , que é o quadrado de 1, 2 , 3, etc, e também os produtos formados pela multiplicação por cada um dos outros, isto é, o produtos de 2, 3 etc eu compus um trabalho para demonstrar a precisão desses métodos, e provaram que eles levam ao objectivo pretendido . Tenho além disso, aumentado as espécies , ou seja eu tenho mostrado como encontrar os lados do quadrado -quadrado, Quatro -cube , cubo- cubo , etc, para qualquer período , o que não foi feito até agora. as provas que eu dei nesta ocasião são apenas provas aritméticas baseadas nas partes aritméticas dos " Elementos" de Euclides .

In Comentários sobre a difícil postulados do livro Khayyam de Euclides fez uma contribuição para a geometria não-euclidiana , embora esta não era a sua intenção. Na tentativa de provar os paralelos postulado ele acidentalmente mostrou propriedades de figuras em geometrias não - euclidianas . Khayyam também deu resultados importantes sobre os rácios neste livro , estendendo-se a obra de Euclides para incluir a multiplicação dos índices . A importância da contribuição de Khayyam é que ele examinou definição de igualdade de proporções (o que foi proposto pela primeira vez pelo Eudoxus ) ea definição de igualdade de proporções , como proposto pelos matemáticos anteriores islâmicos como a Al - Mahani que foi baseado em frações contínuas tanto de Euclides . Khayyam provou que as duas definições são equivalentes. Ele também levantou a questão de saber se a relação pode ser considerada como um número, mas deixa a pergunta sem resposta.

Fora do mundo da matemática, Khayyam é mais conhecido como um resultado da tradução popular de Edward Fitzgerald em 1859 de cerca de 600 curtas quatro poemas de linha do Rubaiyat . A fama de Khayyam como um poeta tem levado alguns a esquecer suas realizações científicas que foram muito mais substancial. Versões das formas e versos utilizados no Rubaiyat existia na literatura persa antes Khayyam , e apenas cerca de 120 dos versos pode ser atribuída a ele com segurança. De todos os versos, o mais conhecido é o seguinte: -

The Moving Finger escreve , e, tendo mandado,

Move On: nem toda a tua Piedade nem Wit

Deve atraí-lo de volta para cancelar meio Line,

Nem todas as tuas Lágrimas lavar uma palavra.

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

jul 1999

MATEMÁGICA? (55)

Observe as seguintes adições:

1
1 + 2
1 + 2 + 3
1 + 2 + 3 + 4
1 + 2 + 3 + 4 + 5
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

e assim por diante...


Efetuando estas somas, obtemos a sequência:

1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
Que prossegue indefinidamente...

Vamos "brincar" um pouco com estes números?

Se dobrarmos cada um deles obteremos uma nova sequência:

2
6
12
20
30
42
56
72
90
110
Que também prossegue indefinidamente...

Agora, note que cada um destes novos números pode ser escrito como uma multiplicação de fatores consecutivos:

    2 = 2 x 1
    6 = 3 x 2
  12 = 4 x 3
  20 = 5 x 4
  30 = 6 x 5
  42 = 7 x 6
  56 = 8 x 7
  72 = 9 x 8
  90 = 10 x 9
110 = 11 x 10

E assim por diante.

Agora vamos selecionar algumas destas multiplicações de fatores consecutivos:

8 X 7 = 56
13 X 12 = 156
18 X 17 = 306
23 X 22 = 506
28 X 27 = 756
33 X 32 = 1056
38 X 37 = 1406
43 X 42 = 1806

Diminuindo o número 6 de cada um dos últimos resultados, obtemos a sequência:

50
150
300
500
750
1050
1400
1800

E agora, dividindo cada um destes números por 50, olhe o que encontramos:

1
3
6
10
15
21
28
36

Reconhece esta sequência???

Até a próxima!!