65 - SuperAulas ENEM - Matemática - Porcentagem

A palavra é ... TRIGONOMETRIA

         Palavra de origem grega: tri (três) + gonía (ângulo) + métron (medida). Do latim trigonometria, refere-se às medidas feitas no triângulo (trígonon). Esse termo é devido a Bartolomeu Pitiscus, que publicaria em 1595 seu famoso: Trigonometriae Sive de Solutione Triangulorum Tractaus Brevis et Perspicuus. A segunda edição desse livro foi publicada em 1600 com o pomposo e sonoro título: Trigonometrae Sive de Dimensione Triangulorum Libri Quinque. Pitiscus, com seu trabalho, influenciaria gerações e gerações de matemáticos.               Por vezes pensa-se que a origem da Trigonometria está exclusivamente ligada à resolução de situações de medição de terrenos ou determinação de medidas sobre a superfície da terra. No entanto,enquanto ramo do conhecimento científico,  é impossível separar a Trigonometria da Astronomia. Daí que o seu desenvolvimento como ciência exacta viesse a exigir medições e cálculos de grande precisão. É neste contexto que o astrónomo grego Hiparco de Niceia (180-125 a.C.) é considerado o fundador da Trigonometria. Foi ele que introduziu as medidas sexagesimais  em Astronomia e elaborou a primeira tabela trigonométrica. Hiparco utilizou a trigonometria para fazer medições, prever eclipes, fazer calendários e na navegação.

       A Trigonometria tem como objectivo principal o estudo das relações entre lados e ângulos de um triângulo e constitui instrumento indispensável na resposta a necessidades da Astronomia e ainda da navegação, cartografia e da topografia.

Fontes:
Dicionário Etimológico
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm32/historia.htm

Jogos matemáticos - 65

SEESAW LOGIC

Em cada fase deste jogo, uma ou várias balanças são apresentadas com pesos diversos para que você  determina: Qual é o mais pesado?
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FRACTAIS (5)

Máscara Phi

       Olá, pessoal.

Hoje, por sugestão da nossa aluna Clara Martins do 3º ano E,

nosso blog traz uma matéria muito interessante que faz conexão

entre a Matemática e, quem diria, o conceito de beleza.

Espero que apreciem...  

 

 

 

O padrão de beleza idealizado pela sociedade faz com que as pessoas busquem incansavelmente
atingi-lo. Assim, os olhos humanos se adaptaram a diferenciar o que seria belo e o que seria feio.
Para determinar se um rosto é realmente bonito, o cirurgião plástico Steven Marquardt criou uma
máscara, denominada Máscara Phi, fundamentada em sequências matemáticas.
 

Uma pessoa decidiu fazer um vídeo mostrando como seria um rosto perfeito, transformando o rosto

de uma garota no Photoshop, com base na máscara da beleza.

Os textos que li indicam que essa máscara seria não somente para verificar as melhores opções para

ter um rosto ideal, mas também para ajudar a reconstruir o rosto de pessoas que sofreram algum

acidente. Essa máscara, seria ainda, um desejo de construir outras máscaras, talvez separadas por

etnias e idades.

No site Marquardt Beauty Analysis eles disponibilizam a máscara para download de frente e de lado,
além de indicar como ela deve ser usada.

Pra quem ficou curioso sobre o vídeo que falei acima, aqui está:

O nome Phi (F) foi originado em homenagem ao escultor e arquiteto Fídias responsável por estruturar

o Parhernon. Essas sequências matemáticas são baseadas no “triângulo de ouro”, tendo a relação do

lado maior pelo lado menor de 1,618. A máscara é feita e projetada encima do rosto, de modo que

seja possível analisar o que é necessário mudar para deixar o rosto perfeito. 

Na antiguidade os egípcios já utilizavam dessa técnica para criar suas estruturas, assim como o

Parthenon. Para isso, no ano de 1200 já era conhecida a “sequência de Fibonacci” contendo a

proporção que os cientistas perceberam que está presente em tudo que é notado na natureza.

A relação é: 1,2,3,5,8,13,21,34.

A rotulada fórmula da beleza também foi criada, veja:

A altura da testa = altura do nariz ;

Altura do nariz = 1/3 inferior rosto; 

Largura do nariz = largura dos olhos; 

Distância interocular = largura do nariz;

Distância entre os olhos = largura dos olhos;

Largura da boca = 1,5 x largura do nariz (Maquardt considera 1,618 - proporção Phi);

Largura da face = 4 x largura do nariz.

- See more at: http://www.esteticas.com.br/mascara_phi.htm#sthash.L3ItGA5N.dpuf

 

Fonte:  http://www.keepcalmdiy.com/2014/03/como-e-um-rosto-perfeito-mascara-de.html

http://www.esteticas.com.br/mascara_phi.htm

 

 

De malas prontas

Desta vez veremos dois outros conceitos muito importantes na Análise Combinatória: princípio fundamental da contagem e fatorial.

*ANTÍFON

Antífon o sofista

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Nascimento: em 480 aC (possivelmente) Atenas, Grécia
Morte: 411 aC, em Atenas, Grécia

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Antífon era um orador e estadista que assumiu a retórica como uma profissão. Ele era um sofista e um contemporâneo de Sócrates. Estas afirmações definitivas são, no entanto, contestada por alguns historiadores. O problema parece girar em volta se havia um filósofo sofista chamado Antífon que viveu em torno deste tempo, ou se há dois, ou como alguns especialistas afirmam, três Antiphons distintos.

No que se segue vamos supor que, pelo menos, o orador chamado Antífon era a mesma pessoa que o sofista que fez os avanços matemáticos. Esta é a mesma linha que tomado em [1], enquanto em [2] só Antífon como orador é discutido sem referência às obras filosóficas ou matemáticas. Em [7] a hipótese de que Antífon é um, ou vários homens diferentes é discutido, sem qualquer ponto de vista definitivo sendo preferido de qualquer maneira.

Uma série de discursos que foram escritos por Antífon foram preservados. Três desses discursos eram discursos reais feitas por Antífon como o Ministério Público, em julgamentos de assassinato. Doze discursos são espécime discursos escritos por Antífon para uso em ensinar aos alunos as habilidades de perseguir e defender os clientes em casos. Os discursos vêm como três coleções de quatro, dois discursos de acusação e dois discursos de defesa para cada um dos três casos diferentes.

Antífon publicou uma série de obras sobre filosofia que foram perdidos com exceção de um pequeno número de fragmentos que foram descobertos juntamente com algumas citações de obras nos escritos de outros autores. Estas obras incluem Na verdade, Em Concord, The Statesman, e na Interpretação dos Sonhos. A obra Sobre Verdade é escrito para suportar os pontos de vista de Parmênides, que acreditavam que não havia uma única realidade única e que o mundo aparente de muitas coisas era irreal. Neste trabalho Antífon está defendendo as mesmas idéias filosóficas que Zenão de Elea suportados com seus paradoxos.

Em Concord Antífon [1]: -

... defende a autoridade da comunidade como uma salvaguarda contra a anarquia e recomenda os ideais de concórdia e de auto-contenção, tanto no seio das comunidades e dentro da alma individual. Muito provavelmente ele estava apenas preocupado em criticar as leis de uma cidade, pedindo ou não satisfazer as necessidades "naturais" do indivíduo.

Hobbs em [7] observa que: -

... alguns duvidaram se o mesmo homem poderia ter escrito "Sobre Verdade" e os aforismos convencionais de "Concord".

Em [7] três razões são dadas para suportar, no mínimo, o mesmo autor para estas duas obras filosóficas: -

(1) "Na verdade" não é tão radical quanto parece, mas simplesmente um apelo por reforma legal;

(2) suas doutrinas, apesar de radical, não são endossados ​​por Antífon;

(3) Antífon mudou de idéia.

Finalmente, enquanto discutindo que trabalha foram escritos por Antífon vale a pena observar que alguns historiadores rejeitam a idéia de que Antífon escreveu as duas outras obras atribuídas a ele The Statesman e Em Interpretação dos Sonhos.

Antífon fez uma contribuição inicial e importante para a matemática, quando ele fez uma tentativa de quadratura do círculo. Ao fazer isso ele se tornou o primeiro a propor um método de exaustão, embora não seja totalmente claro o quão bem ele entendeu a sua própria proposta. Propôs dobrar sucessivamente o número de lados de um polígono regular inscrito um círculo de modo que a diferença nas zonas eventualmente se esgotar.

Sabemos do seu trabalho através de Aristóteles e seus comentadores. Aristóteles afirma que um geômetra apenas precisa de mostrar que os falsos argumentos são falsos, se eles são baseados em geometria, caso contrário ele pode ignorá-los. Aristóteles escreveu em seuFísica (ver por exemplo [4]): -

... portanto, é o negócio do geômetra para refutar a quadratura por meio de segmentos, mas não é o seu negócio para refutar o de Antífon.

No caso de o leitor está se perguntando o que Aristóteles refere-se a com a frase "quadratura por meio de segmentos", então é quase certo que ele quer dizer o método de lunes de Hipócrates.

No entanto Simplício não conseguiu entender corretamente o que Antífon estava fazendo.Ele pensou que estava Antífon alegando ter quadrado do círculo. Ele escreveu (tradução de Heath dada em [4]): -

Antífon pensou que deste modo a área do círculo será usado, e que devem de algum tempo ter um polígono inscrito no círculo dos lados da qual, devido à sua pequena dimensão, coincidir com a circunferência do círculo.E como podemos fazer um quadrado igual a qualquer polígono ...estaremos em uma posição para fazer um quadrado igual a um círculo.

No entanto, segundo Heath, este não era o que Antífon alegou [4]: ​​-

Portanto Antífon merece um lugar de honra na história da geometria como tendo se originado a idéia de esgotar uma área por meio de polígonos regulares inscritos com um número cada vez maior de lados, uma ideia sobre a qual ... Eudoxus fundou seu método época de tomada de exaustão.

Kerferd em [1] sugere que Antífon pode ter considerado um círculo como um polígono com um grande número de lados: -

Nos tempos modernos, muitas vezes tem sido suposto que Antífon estava simplesmente fazendo um grande erro na geometria por supor que qualquer aproximação poderia elevar-se a coincidência entre um polígono com entretanto muitos lados e uma circunferência continuamente curva de um círculo curvo. .

.. Esta pode não ser a visão correta a tomar. Antífon parece ter acreditado que completa coincidência poderia ser alcançado por seu método ... Isso pode significar que Antífon considerado o círculo como um polígono com um grande ( ou possivelmente infinito ) número de lados.

Antífon estava envolvido em uma revolução anti-democrático, que falhou. Tucídides em sua famosa História acredita que Antífon era o líder da revolução [2]: -

[ Antífon ] concebeu toda a matéria e os meios pelos quais ele foi trazido para passar.

Apesar de sua profissão como um escritor de discursos de defesa, seu brilhante discurso, descrita por Tucídides como: -

... o maior já feito por um homem em julgamento por sua vida ...

não conseguiu salvá-lo quando ele foi julgado por traição e ele foi executado.

Adaptado de um artigo de J J O'Connor and E F Robertson