72 - SuperAulas ENEM - Matemática - Triângulos

Jogos matemáticos - 72

THE PARKING LOT

Mas, que estacionamento apertado!
Será que você vai conseguir tirar o seu carro?
Vamos lá, tente!

THE PARKING LOT

FRACTAIS (12)

Prova de Alternativas

Neste vídeo você vai conhecer os conceitos básicos de probabilidade.
Vamos lá?

*HERON

Heron de Alexandria

Data de Nascimento: cerca de 10 no (possivelmente) Alexandria, Egito
Morreu em: cerca de 75

Às vezes chamado de herói, Heron de Alexandria foi um geômetra importante e trabalhador em mecânica. Talvez a primeira pena tomada comentário é quão comum o nome Heron Foi nessa época e é um problema difícil na história da matemática para identificar quais as referências a Heron estão ao matemático descrito neste artigo e que são para os outros com o mesmo nome . Há problemas adicionais de identificação que serão discutidos abaixo.

Uma das maiores dificuldades em relação Heron foi o de estabelecer a data em que ele viveu. Havia duas principais escolas de pensamento sobre isso, um acreditando que ele viveu por volta de 150 aC ea segunda acreditando que ele viveu por volta de 250 dC. A primeira delas foi baseado principalmente no fato de que Heron não citar nenhum trabalho mais tarde do que Arquimedes. O segundo foi baseado em um argumento que pretendia mostrar que ele viveu depois que Ptolomeu e, desde Pappus refere-se a garça-real, antes de Pappus.

Ambos estes argumentos têm sido mostrados para estar errado. Havia uma terceira data proposta que foi baseado na crença de que Heron foi contemporâneo de Columella. Columella era um soldado romano e agricultor que escreveu extensivamente sobre agricultura e assuntos semelhantes, na esperança de fomentar nas pessoas um amor para a agricultura e um gosto para a vida simples. Columella, em um texto escrito em cerca de 62 AD [5]: -

... Deu medidas de figuras planas que concordam com as fórmulas utilizadas por Heron, nomeadamente as do triângulo equilátero, o hexágono regular (neste caso, não só a fórmula, mas os números reais de acordo com Heron 's) e o segmento de um círculo que é menor do que um semicírculo ...

No entanto, a maioria dos historiadores acredita que tanto Columella e Heron estavam usando uma fonte anterior e afirmou que a semelhança não conseguiu provar qualquer dependência. Sabemos agora que aqueles que acreditavam que Heron viveu na época da Columella eram de fato correta, por Neugebauer em 1938 descobriu que Heron se refere a um eclipse recente em uma de suas obras que, a partir da informação dada por Heron, ele foi capaz de identificar-se com uma que ocorreu em Alexandria 23.00 horas em 13 de Março 62.

Dos escritos de Heron, é razoável deduzir que ele ensinou no Museu de Alexandria. Suas obras parecem com notas de aula dos cursos de que ele deve ter dado lá em matemática, física, pneumática e mecânica. Alguns são livros didáticos claramente enquanto outros são, talvez, rascunhos de aula ainda não notas trabalharam em sua forma final para um livro do aluno.

Pappus descreve a contribuição de Heron no Livro VIII da sua Colecção Matemática. Pappus escreve (ver por exemplo [8]): -

Os mechanicians da escola de Heron dizer que a mecânica pode ser dividido em uma parte teórica e uma parte manual; a parte teórica é composta de geometria, aritmética, astronomia e física, o manual do trabalho em metais, arquitetura, carpintaria e pintura e tudo o que envolve a habilidade com as mãos.

... Os antigos também descrevem como mechanicians os admira-trabalhadores, dos quais alguns trabalhos por meio de pneumática, como Heron em seu Pneumatica, alguns usando cordas e cabos, pensando em imitar os movimentos dos seres vivos, como Heron em seu Automata e Balancings, ... ou usando a água para contar o tempo, como Heron em sua Hydria, que parece ter afinidades com a ciência de relógios de sol.

Um grande número de obras por Heron sobreviveram, embora a autoria de alguns é contestado. Vamos discutir algumas das discordâncias em nossa lista de obras de Heron abaixo. As obras se dividem em várias categorias, trabalhos técnicos, obras mecânicas e trabalhos matemáticos. As obras sobreviventes são:

No Dioptra lidar com teodolitos e agrimensura. Ele contém um capítulo sobre astronomia dando um método para encontrar a distância entre Alexandria e Roma usando a diferença entre a hora local em que um eclipse da lua é observado em cada cidades. O fato de que Ptolomeu não parece ter tido conhecimento deste método levou historiadores acreditam erroneamente Heron viveu depois de Ptolomeu;

O pneumatica em dois livros estudando dispositivos mecânicos trabalharam por ar, vapor ou pressão da água. É descrito em mais detalhe a seguir;

O teatro autômato descrevendo um teatro de fantoches trabalhou por cordas, bateria e pesos;

Belopoeica descrevendo como construir máquinas de guerra. Ele tem algumas semelhanças com o trabalho por Philon e também trabalhar por Vitrúvio, que era um arquiteto e engenheiro romano que viveu no primeiro século aC;

O cheirobalistra sobre catapultas é pensado para ser parte de um dicionário de catapultas, mas quase certamente não foi escrito por Heron;

Mechanica em três livros escritos por arquitetos e descritos em mais detalhes abaixo;

Metrica que dá métodos de medição. Nós damos mais detalhes abaixo;
Definitiones contém 133 definições de termos geométricos começam com pontos, linhas etc. Em [15] Knorr argumenta convincentemente que este trabalho é, de facto, devido a Diofanto;

Geometria parece ser uma versão diferente do primeiro capítulo da Metrica inteiramente baseado em exemplos. Embora baseado no trabalho de Heron, não é pensado para ser escrito por ele;

Stereometrica mede objetos tridimensionais e é pelo menos em parte, com base no segundo capítulo da Metrica novamente com base em exemplos. Mais uma vez, é apesar de ser baseado no trabalho de Heron, mas muito alterada por muitos editores posteriores;

Mensurae mede toda uma variedade de objetos diferentes e está conectado com partes do Stereometrica e Metrica embora se deva principalmente a obra de um autor mais tarde;

Catoptrica lida com espelhos e é atribuída por alguns historiadores de Ptolomeu, embora a maioria agora parecem acreditar que esta é uma verdadeira obra de Heron. Neste trabalho, Heron afirma que os resultados da visão de raios de luz emitidos pelos olhos. Ele acredita que estes raios viajam com velocidade infinita.

Vamos examinar alguns dos trabalhos de Heron em um pouco mais de profundidade. Livro I de seu Tratado ofertas Metrica com também é dada áreas de triângulos, quadriláteros, polígonos regulares de entre 3 e 12 lados, superfícies de cones, cilindros, prismas, pirâmides, esferas etc. um método, conhecido pelo babilônios 2000 anos antes, para aproximar a raiz quadrada de um número. Heron dá a este na forma seguinte (ver por exemplo [5]): -

Desde 720 tem o seu lado não racional, podemos obter o seu lado dentro de uma diferença muito pequena como se segue. Desde o próximo número quadrado sucesso é 729, que tem 27 por seu lado, dividir 720 por 27. Isso dá 26 2/3. Adicionar 27 a isso, fazendo 53 2/3, e tomar metade deste ou 26 5/6. O lado do 720 será, portanto, quase 26 5/6. Na verdade, se se multiplicar 26 5/6 por si só, o produto é de 720 1/36, de modo que a diferença de o quadrado é 1/36. Se desejamos fazer a diferença ainda menor do que 1/36, tomaremos 720 1/36, em vez de 729 (ou melhor, devemos ter 26 5/6, em vez de 27), e procedendo da mesma forma que deve encontrar o resultando diferença muito menos do que 1/36.

Heron também comprova sua famosa fórmula do Livro I do Metrica:

Se A é a área de um triângulo com lados a, b e c e s = (a + b + c) / 2, em seguida
     A2 = s (s - a) (s - b) (s - c).

No Livro II da Metrica, Heron considera a medição de volumes de várias figuras tridimensionais, tais como esferas, cilindros, cones, prismas, pirâmides, etc Seu prefácio é interessante, em parte porque o conhecimento do trabalho de Arquimedes não parece ser tão amplamente conhecido como se poderia esperar (ver por exemplo [5]): -

Após a medição de superfícies, rectilíneas ou não, é adequada para prosseguir para corpos sólidos, as superfícies dos quais já medidos no livro anterior, superfícies planas e esféricas, cónico e cilíndrico, e superfícies irregulares também. Os métodos de lidar com estes sólidos são, na opinião de seu caráter surpreendente, referido Archimedes por certos escritores que dão ao cliente tradicional da sua origem. Mas se eles pertencem a Arquimedes ou de outra, é necessário dar um esboço desses resultados também.

Livro III da Metrica lida com dividindo áreas e volumes de acordo com uma determinada proporção. Este foi um problema que Euclides investigou em seu trabalho sobre as divisões de figuras e de Heron Livro III tem muito em comum com a obra de Euclides. Também no Livro III, Heron dá um método para encontrar a raiz cúbica de um número. Em particular Heron encontra a raiz cúbica de 100 e os autores [9] dar uma fórmula geral para a raiz cúbica de N que Heron parece ter usado em seu cálculo:

a + b d / (b + d aD) (b - a),
onde a3
Em [9] é comentou que esta é uma fórmula muito precisos, mas, a menos que um copista bizantina é a culpa por um erro, eles concluem que Heron poderiam ter emprestado essa fórmula exata, sem entender como usá-lo em geral.

O Pneumatica é uma obra estranha que é escrito em dois livros, o primeiro com 43 capítulos ea segunda com 37 capítulos. Heron começa com uma consideração teórica da pressão em fluidos. Alguma desta teoria está certa, mas, não surpreendentemente, alguns é completamente errado. Em seguida, segue-se uma descrição de uma coleção do que poderia ser melhor descrito como brinquedos mecânicos para as crianças [1]: -

frascos truque que dão vinho ou água separadamente ou em proporções constantes, pássaros cantando e soam trombetas, fantoches que se movem quando há um fogo aceso no altar, os animais que bebem quando são oferecidos água ...

Apesar de tudo isso parece muito trivial para um cientista ser envolvido com, parece que Heron está usando estes brinquedos como um veículo para o ensino de física para seus alunos. Parece ser uma tentativa de tornar as teorias científicas relevantes para itens de uso diário que os alunos da época estaria familiarizado com.

Há, em vez extraordinariamente, descrições de mais de 100 máquinas, como um carro de bombeiros, um órgão de vento, uma máquina operada por moedas, e um motor movido a vapor chamado de aeolipile. aeolipile de Heron, que tem muito em comum com um motor a jato, é descrito em [2] como segue: -

O aeolipile era uma esfera oca montada de modo a poder girar sobre um par de tubos ocos que fornecido vapor para a esfera de um caldeirão. O vapor escapou da esfera a partir de um ou mais tubos dobrados se projecta a partir de seu equador, fazendo com que a esfera a girar. O aeolipile é o primeiro dispositivo conhecido para transformar vapor em movimento rotativo.

Heron escreveu uma série de tratados importantes sobre a mecânica. Eles dão métodos de levantamento de pesos pesados ​​e descrever máquinas mecânicas simples. Em particular, o Mechanica é baseado muito de perto em idéias devido a Arquimedes. Livro I examina como construir formas tridimensionais em uma proporção dada a uma determinada forma. Ele também examina a teoria do movimento, alguns problemas de estática, ea teoria do equilíbrio.

No Livro II Heron discute levantar objetos pesados ​​com uma alavanca, uma roldana, uma cunha, ou um parafuso. Há uma discussão sobre os centros de gravidade de figuras planas. Livro III examina métodos de transporte de objetos por meios como trenós, o uso de guindastes, e olha lagares.

Outros trabalhos têm sido atribuídas a garça-real, e para alguns destes temos fragmentos, para outros existem apenas referências. As obras para a qual fragmentos sobrevivem incluem um em relógios de água em quatro livros, e comentário sobre os Elementos de Euclides, que deve ter percorrido pelo menos o primeiro oito livros dos Elementos. Obras de Heron que são referidos, mas nenhum traço sobrevive, se incluem Camarica ou On vaultings que é mencionado por Eutocius e Zygia ou no equilíbrio mencionado por Pappus. Também no Fihrist, um levantamento século X da cultura islâmica, uma obra de Heron sobre como usar um astrolábio é mencionado.

Finalmente, é interessante olhar para as opiniões que vários escritores têm expressado quanto à qualidade e importância do Heron. Neugebauer escreve [7]: -

A decifração dos textos cuneiformes matemática deixou claro que muito do tipo "Heronic" da matemática grega é simplesmente a última fase da tradição matemática babilônica que se estende por 1800 anos.

Alguns têm considerado Heron de ser um artesão ignorantes que copiou o conteúdo de seus livros sem entender o que ele escreveu. Este em particular tem sido levantados contra o Pneumatica mas Drachmann, escrevendo em [1], diz: -

... Para mim o estilo de fluxo livre, em vez discursivo sugere um homem versado em seu assunto que está dando um rápido resumo para um público que sabe, ou que seria de esperar para saber, um bom negócio sobre ele.

Alguns estudiosos têm aprovado de habilidades práticas de Heron como um topógrafo, mas alegou que o seu conhecimento da ciência era insignificante. No entanto, Mahony escreve em [1]: -

À luz dos estudos recentes, ele aparece agora como um matemático aplicado bem-educados e, muitas vezes engenhoso, bem como uma ligação vital em uma tradição contínua de práticas matemáticas dos babilônios, através dos árabes, a Europa renascentista.

Finalmente Heath escreve em [5]: -

A utilidade prática de manuais de Heron sendo tão grande, era natural que eles devem ter grande voga, e igualmente natural que o mais popular deles, de qualquer modo deve ser re-editadas, alteradas e adicionado por escritores posteriores; isso era inevitável com livros que, como os "Elementos" de Euclides, estavam em uso regular na educação grega, bizantinos, romanos e árabes durante séculos.


Artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

abril 1999

MacTutor História da Matemática