12 - Módulo em Um Número Real - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (12)

 Escreva  os números de 1 a 12 nas interseções de modo que a soma dos que ficarem em cada círculo seja igual a 39.

Jogos matemáticos -12

CALCUDOKU

Se você gosta de Sudoku, mas quer um desafio a mais, então vai adorar este jogo.

Aqui não basta encaixar os números eles ainda têm que contribuir para o resultado das operações que estão indicadas...

Para quem gosta, pura diversão!

Então? O que está esperando?? É só clicar: CALCUDOKU 

NO PAÍS DOS MAFAGAFOS

No país dos MAFAGAFOS
Catorze MAFAGAFINHOS
São iguais a um MAFAGAFO
Menos três MAFAGAFINHOS

Quero ver você dizer
(sem olhar dentro dos ninhos!)
Quanto é que irão valer
CENTO E DOIS MAFAGAFINHOS!!!

Galois

*Fibonacci

Leonardo Pisano (Fibonacci)

---

Data de Nascimento: 1170 em (provavelmente) Pisa (agora na Itália)
Morte: em 1250 (possivelmente) Pisa (agora na Itália)

---

Leonardo Pisano é mais conhecido por seu apelido Fibonacci. Ele era o filho de Guilielmo e um membro da família Bonacci. Próprio Fibonacci às vezes usou o nome Bigollo, o que pode significar bom-para-nada, ou um viajante. Conforme indicado em [1]: -

Será que seus compatriotas desejo expressar por este epíteto seu desprezo por um homem que se preocupa com questões de nenhum valor prático, ou que a palavra no dialeto toscano significa um homem muito viajado, que ele era?

Fibonacci nasceu na Itália, mas foi educado no Norte da África, onde seu pai, Guilielmo, ocupava um posto diplomático. O trabalho de seu pai era representar os mercadores da República de Pisa, que foram negociadas em Bugia, mais tarde chamado Bougie e agora chamado Bejaia. Bejaia é um porto do Mediterrâneo, no nordeste da Argélia. A cidade fica na foz do Wadi Soummam perto do Monte Gouraya e Cabo de Carbono. Fibonacci foi ensinado matemática em Bugia e viajou muito com seu pai e reconheceu as enormes vantagens dos sistemas matemáticos usados ​​nos países que visitou. Fibonacci escreveu em seu famoso livro Liber ábacos (1202): -

Quando o meu pai, que tinha sido nomeado pelo seu país como notário público nos costumes em Bugia atuação para os comerciantes Pisan indo para lá, estava no comando, ele me chamou para ele quando eu ainda era uma criança, e ter um olho para a utilidade e conveniência futura, me desejou ficar lá e receber instrução na escola de contabilidade. Aí, quando eu tinha sido introduzido à arte de nove símbolos dos índios através do ensino notável, o conhecimento da arte muito cedo me satisfeito acima de tudo e eu vim a entender que, por tudo o que foi estudado pela arte no Egito, na Síria, Grécia, Sicília e Provença, em todas as suas várias formas.

Fibonacci terminou suas viagens ao redor do ano de 1200 e naquele tempo ele voltou para Pisa. Lá, ele escreveu uma série de textos importantes que desempenharam um papel importante na revitalização habilidades matemáticas antigas e fez contribuições significativas de sua autoria. Fibonacci viveu nos dias antes da impressão, para que seus livros foram escritos a mão, ea única maneira de ter uma cópia de um de seus livros era ter outra cópia manuscrita feita. De seus livros ainda temos cópias dos ábacos Liber (1202), Practica geometriae(1220), Flos (1225) e Liber quadratorum. Dado que relativamente poucas cópias feitas à mão que já foram produzidos, temos a sorte de ter acesso a sua escrita nestas obras. No entanto, sabemos que ele escreveu alguns outros textos que, infelizmente, são perdidos. Seu livro sobre aritmética comercial Di minor guisa é perdido como é o seu comentário no livro X de Euclides elementos que continham um tratamento numérico dos números irracionais que Euclides tinha abordado a partir de um ponto de vista geométrico.

Pode-se pensar que, em um momento em que a Europa estava pouco interessado em bolsa, Fibonacci teria sido largamente ignorado. Isso, no entanto, não é assim e grande interesse em seu trabalho, sem dúvida, contribuiu fortemente para a sua importância. Fibonacci foi um contemporâneo de Jordanus mas ele era um matemático muito mais sofisticado e suas realizações foram claramente reconhecido, embora tenha sido as aplicações práticas, em vez de os teoremas abstratos que o tornaram famoso para seus contemporâneos.

O Santo imperador romano era Frederick II. Ele havia sido coroado rei da Alemanha em 1212 e depois coroado imperador romano pelo papa na Igreja de São Pedro em Roma, em novembro de 1220. Frederick II apoiado Pisa em seus conflitos com o Genoa no mar e com Lucca e Florença em terra, e ele passou os anos até 1227 consolidar seu poder na Itália.Controle estatal foi introduzido no comércio e fabricação, e funcionários para supervisionar este monopólio foram treinados na Universidade de Nápoles, que Frederick fundada para este fim em 1224.

Frederick tomou conhecimento da obra de Fibonacci através dos estudiosos em sua corte que tinha correspondia com Fibonacci desde o seu regresso à Pisa por volta de 1200. Esses estudiosos incluído Michael Scotus, que era o astrólogo tribunal, Theodorus Physicus o filósofo tribunal e Hispanus Dominicus, que sugeriu a Frederico que atender Fibonacci quando a corte de Frederick se reuniram em Pisa em torno de 1225.

Johannes de Palermo, outro membro da corte de Frederico II, apresentou uma série de problemas como desafios para o grande matemático Fibonacci. Três desses problemas foram resolvidos por Fibonacci e ele dá soluções em Flos que enviou a Frederico II. Vamos dar alguns detalhes de um desses problemas abaixo.

Depois de 1228, há apenas um documento conhecido que se refere a Fibonacci. Este é um decreto feito pela República de Pisa em 1240 em que um salário é concedido a: -

... a sério e aprendeu Mestre Leonardo Bigollo ....

Esse salário foi dado a Fibonacci, em reconhecimento pelos serviços que ele tinha dado para a cidade, orientando sobre assuntos de contabilidade e ensinando os cidadãos.

Liber ábacos , publicado em 1202 após o retorno de Fibonacci para a Itália, foi dedicado a Scotus. O livro foi baseado na aritmética e álgebra que Fibonacci acumulou durante suas viagens. O livro, que passou a ser amplamente copiado e imitado, introduziu o local valorizado sistema decimal hindu-arábico eo uso de algarismos arábicos na Europa. Com efeito, embora, principalmente, um livro sobre o uso de algarismos árabes, que se tornou conhecido como algorism, equações lineares simultâneas também são estudados neste trabalho. Certamente, muitos dos problemas que Fibonacci considera em Liber ábacos foram semelhantes aos que aparecem nas fontes árabes.

A segunda seção do Liber ábacos contém uma grande coleção de problemas que visam mercantes. Eles se relacionam com o preço das mercadorias, a forma de calcular o lucro nas operações, como a conversão entre as várias moedas em uso nos países mediterrânicos, e os problemas que tinham origem na China.

Um problema na terceira seção do Liber ábacos levou à introdução dos números de Fibonacci ea seqüência de Fibonacci para que Fibonacci é mais lembrado hoje: -

Um homem colocou um par de coelhos em um lugar cercado por todos os lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem ser produzidos a partir desse par em um ano, se se supõe que a cada mês cada par gera um novo par que a partir do segundo mês, torna-se produtivo?

A sequência resultante é de 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... (Fibonacci omitiu o primeiro termo em Liber ábacos ). Esta seqüência, na qual cada número é a soma dos dois números anteriores, revelou-se extremamente útil e aparece em muitas áreas diferentes da matemática e das ciências. The Quarterly Fibonacci é um jornal moderno dedicado ao estudo da matemática relacionados com esta sequência.

Muitos outros problemas são dadas nesta terceira seção, incluindo estes tipos, e muitas mais:

Uma aranha sobe tantos pés de uma parede a cada dia e desliza para trás um número fixo a cada noite, quantos dias leva-lo para escalar o muro.
Um cão cuja velocidade aumenta aritmeticamente persegue uma lebre, cuja velocidade também aumenta aritmeticamente, o quanto fazer eles viajam antes de o cão pega a lebre.
Calcule a quantidade de dinheiro que duas pessoas têm depois de uma quantidade certos muda de mãos eo aumento proporcional e redução são dadas.

Há também problemas que envolvem números perfeitos, os problemas envolvendo o teorema restante chinês e problemas envolvendo soma aritmética e progressão geométrica.

Fibonacci trata números como √ 10 na quarta seção, ambos com aproximações racionais e com construções geométricas.

A segunda edição do Liber ábacos foi produzido por Fibonacci em 1228 com um prefácio, típico de tantas edições segundo de livros, afirmando que: -

... material novo foi adicionado [ ao livro ] a partir do qual tinha sido removido supérfluo ...

Outro dos livros de Fibonacci é Practica geometriae escrito em 1220 que se dedica à Dominicus Hispanus que mencionamos acima. Ele contém uma grande coleção de problemas de geometria organizados em oito capítulos com teoremas com base na de Euclides Elementse Euclides nas divisões. Além de teoremas geométricos com provas precisas, o livro inclui informações práticas para os inspectores, incluindo um capítulo sobre como calcular a altura de objetos altos usando triângulos semelhantes. O último capítulo apresenta o que Fibonacci chamado sutilezas geométricas [1]: -

Entre aqueles incluído é o cálculo dos lados do pentágono e decagon a partir do diâmetro dos círculos inscrito e circunscrito; cálculo inverso também é dada, assim como a dos lados das superfícies. ... para completar o percurso em triângulo equilátero, um retângulo e um quadrado estão inscritos em tal triângulo e os seus lados são calculados algebricamente ...

Em Flos Fibonacci dá uma aproximação rigorosa com uma raiz de 10 x + 2 x ² + x ³ = 20, um dos problemas que foi desafiado para resolver por Johannes de Palermo. Este problema não foi feita por Johannes de Palermo, ao contrário, ele tirou de livro de álgebra de Omar Khayyam, onde é resolvido por meio do cruzamento de um círculo e uma hipérbole.Fibonacci prova que a raiz da equação não é um número inteiro ou uma fracção, nem a raiz quadrada de uma fracção. Ele, então, continua: -

E porque não foi possível resolver esta equação em qualquer outro dos modos acima, eu trabalhado para reduzir a solução para uma aproximação.

Sem explicar os seus métodos, Fibonacci dá então a solução aproximada em notação sexagesimal como 1.22.7.42.33.4.40 (isto é escrito para a base 60, de modo que é 1 + ²² /₆₀ + ⁷ / _60 ² + ⁴² / _60 ³ +. ..). Isso converte o decimal 1,3688081075 o que é correto para nove casas decimais, um feito notável.

Liber quadratorum , escrito em 1225, é a mais impressionante obra de Fibonacci, embora não seja o trabalho para o qual ele é o mais famoso. O nome do livro significa o livro de quadrados e é um livro de teoria dos números, que, entre outras coisas, analisa métodos para encontrar termos pitagóricos. Fibonacci primeiras notas que os números de quadrados podem ser construídos como somas de números ímpares, descrevendo uma construção essencialmente indutivo usando a fórmula n ² + (2 n +1) = ( n +1) ² . Fibonacci escreve: -

Eu pensei sobre a origem de todos os números quadrados e descobriram que surgiu a partir da ascensão regular de números ímpares. Para a unidade é um quadrado e é produzido a partir do primeiro quadrado, ou seja, 1 , adicionando 3 a esta faz com que o segundo quadrado, ou seja, 4 , cuja raiz é 2 ; se a esta soma é adicionado um terceiro número impar, isto é, 5 , a terceira praça será produzido, ou seja, 9 , cuja raiz é 3 , e assim a seqüência e séries de números quadrados sempre aumentam com a adição regular de números ímpares.

Para construir os termos pitagóricos, Fibonacci prossegue como se segue: -

Assim, quando quero encontrar dois números quadrados, cuja adição produz um número quadrado, eu tomo qualquer número quadrado ímpar como um dos dois números quadrados e acho que o outro número quadrado pela adição de todos os números ímpares da unidade até, mas excluindo o número quadrado ímpar. Para exemplo, tomo 9 como um dos dois quadrados mencionados, enquanto o quadrado restante será obtido por meio da adição de todos os números ímpares abaixo 9 , ou seja, 1, 3, 5, 7, cujo montante é de 16 , um número de quadrados, que quando adicionada a 9 dá 25 , um número de quadrados.

Fibonacci também prova muitos números interessantes resultados da teoria, tais como:

não há nenhum x , y tais que x ² + y ² e x ² - y ² são ambos quadrados.

e x ⁴ - y ⁴ não pode ser um quadrado.

Ele definiu o conceito de um congruum , um número de forma ab ( a + b ) ( a - b ), se forum + b é par, e 4 vezes esta se um + b é impar. Fibonacci provou que uma congruum deve ser divisível por 24, e também mostrou que, para x , c tal que x ² + c e x ² - c são ambos quadrados, então C é um congruum. Ele também provou que um quadrado não pode ser um congruum.

Conforme indicado em [2]: -

... o Liber quadratorum sozinho ocupa Fibonacci como o maior contribuinte para a teoria dos números entre Diofanto e 17 do século º matemático francês Pierre de Fermat.

A influência de Fibonacci foi mais limitado do que se poderia ter esperado e, além de seu papel na difusão do uso dos algarismos hindu-arábicos e seu problema de coelho, a contribuição de Fibonacci para a matemática tem sido largamente ignorado. Como explicado em [1]: -

Influência direta foi exercida apenas por aquelas porções do "Liber ábacos" e do "Practica", que serviu para introduzir números e métodos indiano-árabe e contribuiu para o domínio dos problemas da vida diária.Aqui Fibonacci tornou-se o mestre dos mestres da computação e dos inspectores, como se aprende a partir da "Summa" de Luca Pacioli ...Fibonacci também foi o mestre dos "cossists", que tomaram o seu nome da palavra "Causa", que foi usado primeiramente no Ocidente por Fibonacci no lugar de 'res' ou 'raiz'. Sua designação alfabética para o número geral ou coeficiente foi melhorado pela primeira vez por Viète ...

O trabalho de Fibonacci na teoria dos números foi quase totalmente ignorado e praticamente desconhecido durante a Idade Média. Trezentos anos mais tarde, encontramos os mesmos resultados que aparecem na obra de Maurolico.

Artigo por: JJ O'Connor e EF Robertson

ARTE MATEMÁTICA (12)

Pode não parecer.
Mas, esta imagem foi criada apenas com...
TRIÂNGULOS !

Você duvida?
Então observe bem...

MATEMÁGICA? (12)

Pegue uma calculadora se precisar.

Pense em um número natural par ( 10 por exemplo).

Multiplique este número pelos seus dois sucessores ( no meu exemplo: 10 x 11 x 12 ).

Agora multiplique o número escolhido pelos seus dois antecessores ( no meu caso: 10 x 9 x 8 ).

Calcule o resultado da primeira multiplicação menos o resultado da segunda ( com o número que escolhi isso seria 1320 - 720 ).

Divida o que achou por 24.

Extraia a raiz quadrada da resposta da divisão.

O número que acabou de encontrar é metade do número par que você pensou no início!

Escolha outro número par e tente de novo. Funciona sempre!  

11 - Função Logarítmica - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (11)

Sabendo-se que 63 galinhas põem 63 dúzias de ovos em 63 dias e que 36 galinhas comem 36 kg de milho em 36 dias, quanto milho é necessário para obter uma dúzia de ovos?

Jogos matemáticos -11

ADD UP

Clique nas esferas de modo que seus números somem 10. Mas, não espere até que elas chegam ao chão, caso contrário... 

Será que você é suficientemente rápido? 

Só há um meio de saber: clique ADD UP e veja por si mesmo...

Análise Gráfica – Fibonacci e Ondas de Elliott

Não é raro que nossos alunos nos perguntem sobre a utilidade deste ou daquele conceito matemático.
Temos neste artigo um esboço do uso da sequência de Fibonacci na economia.
Observe.

Análise Gráfica – Fibonacci e Ondas de Elliott – Parte 1

Desvendar os segredos da Sequência de Fibonacci e das Ondas de Elliott pode ser a ação que falta para você aprender a investir em ações através da Análise Gráfica. Compreenda estas ferramentas, interprete os gráficos e tome decisões mais inteligentes.

A Análise Gráfica, também conhecida como análise técnica, consiste no estudo dos preços e dos volumes negociados por uma dada ação. Todas as informações pertinentes para o estudo das ações estão representadas nos gráficos, na medida em que estes traduzem o comportamento de todos os agentes presentes no mercado, sejam os fundamentalistas, os insiders (que possuem informações privilegiadas), os grafistas e mesmo os amadores – que compram e vendem sem critérios fundamentados.

O artigo de hoje traz detalhes sobre os números de Fibonacci e as Ondas de Elliott.

Sequência de Fibonacci
Geralmente, após um movimento de impulsão há uma correção parcial desse movimento. Esse estudo permite traçar possíveis níveis de suporte e resistência dessas correções. Os números utilizados para calcular esses níveis são baseados na Seqüência de Fibonacci, denominada Razão de Ouro, que pode ser encontrada em diversos fenômenos da natureza e foi utilizada por Ralph Nelson Elliott para sua teoria das ondas, explicadas a seguir:

Com a aplicação da razão de ouro foram encontradas as correções de 0.618, 0,50 e 0,382. A utilização dos números de Fibonacci é efetuada após traçar a distância do fundo ao topo e plotar as retas dos níveis de 0.618, 0,50 e 0,382. Com isso, espera-se que a correção seja efetuada até um desses três níveis, caso contrário haverá uma correção de 100% ou superior. Repare:

Elliott
Por volta de 1930, Ralph Nelson Elliott apresentou sua teoria, que utilizou a razão de ouro de Fibonacci, o Princípio das Ondas de Elliott, que explicava a natureza cíclica das atividades humanas. Segundo Elliott, o mercado se movimenta num padrão contínuo de impulso e correção. Com isso, foram catalogados inúmeros padrões gráficos, porém o principal padrão consiste em cinco ondas de impulsão (1, 2, 3, 4 e 5) e três ondas de correção (A, B e C), conforme ilustração a seguir:

Como podemos notar, a onda 3 é a que possui geralmente a maior extensão, e algumas vezes é até composta por duas ondas de impulsão, conforme o exemplo abaixo. As correções das ondas de impulsão, como a 2 e 4, geralmente sofrem alternância entre uma correção e uma congestão.

Fonte: http://dinheirama.com/blog/2009/11/12/analise-grafica-fibonacci-e-ondas-de-elliott-parte-1/#sthash.PIU6rSHO.dpuf

Pierre de Fermat

*Al-Khwarizmi

Abu Jafar Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi

---

Nascido: cerca de 780 em possivelmente Bagdá (agora no Iraque)
Morte: cerca de 850

---

Sabemos que alguns detalhes de Abu Jafar Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi da vida.Um infeliz efeito dessa falta de conhecimento parece ser a tentação de fazer suposições com base em muito pouca evidência. Em [1] Toomer sugere que o nome de al-Khwarizmi pode indicar que ele veio de Khwarizm sul do Mar de Aral, na Ásia Central. Em seguida, ele escreve: -

Mas o historiador al-Tabari lhe dá o epíteto adicional "al-Qutrubbulli", indicando que ele veio de Qutrubbull, um distrito entre o Tigre eo Eufrates, não muito longe de Bagdá, então talvez seus antepassados, e não ele próprio, veio de Khwarizm. .. Outro epíteto dado a ele por al-Tabari, "al-Majusi", parece indicar que ele era um adepto da velha religião de Zoroastro. ... o prefácio piedoso para "Algebra" de al-Khwarizmi mostra que ele era um muçulmano ortodoxo, então o epíteto de Al-Tabari poderia significar mais do que seus antecessores, e talvez ele em sua juventude, tinha sido zoroastristas.

No entanto, Ribeiro [7], coloque uma interpretação bastante diferente sobre as mesmas palavras de Al-Tabari: -

... As palavras de Al-Tabari deve ler: "Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi e al-Majusi al-Qutrubbulli ...", ( e que não existem duas pessoas al-Khwarizmi e al-Majusi al-Qutrubbulli ) : a letra "wa" foi omitido na cópia precoce. Isso não valeria a pena mencionar se uma série de conclusões sobre a personalidade de al-Khwarizmi, ocasionalmente, até mesmo as origens de seu conhecimento, não tinha sido desenhado. Em seu artigo ([1])GJ Toomer, com confiança ingênua, construiu uma fantasia inteira no erro que não se pode negar o mérito de fazer a leitura divertida.

Este não é o último desentendimento que reúne-se em descrever a vida ea obra de al-Khwarizmi. No entanto, antes de olharmos para os poucos fatos sobre sua vida que são conhecidos com certeza, devemos ter um momento para definir o cenário para o fundo cultural e científico em que al-Khwarizmi trabalhou.

Harun al-Rashid tornou-se o quinto califa da dinastia abássida, em 14 de Setembro 786, sobre o tempo que al-Khwarizmi nasceu. Harun determinou, a partir de sua corte na capital, Bagdad, durante o império Islam que se estendia desde o Mediterrâneo até a Índia. Ele trouxe a cultura para a sua corte e tentou estabelecer as disciplinas intelectuais que na época não estavam florescendo no mundo árabe. Ele tinha dois filhos, o mais velho foi al-Amin, enquanto o mais novo foi al-Mamun. Harun morreu em 809 e houve um conflito armado entre os irmãos.

Al-Mamun venceu a luta armada e al-Amin foi derrotado e morto em 813. Depois disso, al-Mamun tornou-se califa e governou o império a partir de Bagdá. Ele continuou o patrocínio de aprendizagem iniciado por seu pai e fundou uma academia chamada a Casa da Sabedoria, onde trabalhos filosóficos e científicos gregos foram traduzidos. Ele também construiu uma biblioteca de manuscritos, a primeira biblioteca principal a ser criado desde que em Alexandria, coletando importantes obras de Bizâncio. Além da Casa da Sabedoria, al-Mamun instituir observatórios em que astrônomos muçulmanos podem construir sobre os conhecimentos adquiridos pelos povos anteriores.

Al-Khwarizmi e seus colegas do Banu Musa eram eruditos na Casa da Sabedoria, em Bagdá.Suas tarefas não envolveu a tradução de manuscritos científicos gregos e que também estudou e escreveu sobre, álgebra, geometria e astronomia. Certamente al-Khwarizmi trabalhou sob o patrocínio da Al-Mamun e dedicou dois de seus textos para o califa. Estes eram seu tratado sobre álgebra e seu tratado sobre astronomia. A álgebra tratado Hisab al-jabr w'al-muqabala foi o mais famoso e importante de todas as obras de al-Khwarizmi. É o título deste texto que nos dá a palavra "álgebra" e, em um sentido que iremos investigar mais detalhadamente a seguir, é o primeiro livro a ser escrito em álgebra.

Tradução de Rosen de as próprias palavras de al-Khwarizmi que descrevem o propósito do livro nos diz que al-Khwarizmi pretende ensinar [11] (ver também [1]): -

... o que é mais fácil e mais útil na aritmética, como os homens constantemente necessitam no caso de herança, legados, partições, ações judiciais, e comércio, e em todas as suas relações com o outro, ou onde a medição das terras, a escavação de canais, geométrica cálculos e outros objetos de vários tipos e tipos estão em causa.

Isso não soa como o conteúdo de um texto de álgebra e de fato apenas a primeira parte do livro é uma discussão sobre o que nós hoje reconhecemos como álgebra. No entanto, é importante perceber que o livro foi concebido para ser muito prático e que a álgebra foi introduzida para resolver problemas da vida real que faziam parte da vida cotidiana no império Islam naquele momento. Logo no início do livro de al-Khwarizmi descreve os números naturais em termos que são quase engraçado para nós, que estamos tão familiarizados com o sistema, mas é importante compreender a nova profundidade de abstração e compreensão aqui [11]: -

Quando penso que as pessoas geralmente querem no cálculo, eu achei que ele sempre é um número. Também observei que cada número é composto de unidades, e que qualquer número pode ser dividida em unidades. Além disso, descobri que todos os números que podem ser expressos de um a dez, supera o anterior em uma unidade: depois dos dez é dobrado ou triplicado como antes as unidades foram: assim surgir vinte, trinta, etc, até uma centena: depois a cem é duplicado e triplicado na mesma maneira como as unidades e das dezenas, até mil; ... assim por diante até o limite máximo de numeração.

Depois de ter introduzido os números naturais, al-Khwarizmi introduz o tema principal desta primeira parte de seu livro, ou seja, a solução de equações. Suas equações são lineares ou quadráticos e são compostas de unidades, raízes e quadrados. Por exemplo, para al-Khwarizmi uma unidade era um número, uma raiz é x , e um quadrado era x ² . No entanto, embora devemos usar a notação algébrica agora familiar neste artigo para ajudar o leitor a compreender as noções matemáticas de Al-Khwarizmi é feito inteiramente em palavras sem símbolos sendo usados.

Primeiro, ele reduz a uma equação (linear ou quadrática) para um dos seis tipos de formulários:

1. Quadrados iguais às raízes.
2. Quadrados iguais a números.
3. Raízes iguais números.
4. Quadrados e raízes iguais aos números, por exemplo x ² + 10 x . = 39
5. Praças e números iguais às raízes, por exemplo x ² + 21 = 10 x .
6. Raízes e números iguais aos quadrados, por exemplo 3 x + 4 = x ² .

A redução é realizada usando as duas operações de al-jabr e al-muqabala . Aqui, "al-jabr" significa "conclusão" e é o processo de remoção de forma negativa a partir de uma equação.Por exemplo, usando um dos próprios exemplos de al-Khwarizmi, "al-jabr" transforma x ² = 40 x - 4 x ² em 5 x ² = 40 x . O termo "ai-muqabala" significa "equilíbrio", e é o processo de redução dos termos positivos da mesma potência quando elas ocorrem em ambos os lados de uma equação. Por exemplo, duas aplicações de "ai-muqabala" reduz 50 + 3 x + x ² = 29 + 10 x 21 + a x ² = 7 x (um pedido para lidar com os números e um segundo para lidar com as raízes).

Al-Khwarizmi em seguida, mostra a forma de resolver os seis tipos padrão de equações. Ele usa os dois métodos algébricos de solução e métodos geométricos. Por exemplo, para resolver a equação x ² + 10 x = 39 escreve [11]: -

... um quadrado e 10 raízes são iguais a 39 unidades. A questão, portanto, neste tipo de equação é sobre o seguinte: o que é a praça que combinado com dez das suas raízes dará uma soma total de 39 ? A forma de resolver este tipo de equação é tomar metade das raízes que acabamos de mencionar. Agora, as raízes do problema diante de nós são 10 . Portanto, tomai 5 , que multiplicado por si mesmo dá 25 , um montante que você adicionar a 39 dá 64 . Tendo tomado então a raiz quadrada desta, que é 8 , subtrair metade das raízes, 5 , deixando 3 . O número três representa, portanto, uma raiz desta praça, que por si só, é claro, é 9 . Nove, portanto, dá a praça.

A prova geométrica por completar o quadrado seguinte. Al-Khwarizmi começa com um quadrado de lado x , que representa, portanto, x ² (Figura 1).Ao quadrado, temos de acrescentar 10 x e isso é feito pela adição de quatro retângulos cada um de largura 10/4 e comprimento x ao quadrado (Figura 2). A Figura 2 tem uma área x ² + 10 x , que é igual a 39. Vamos agora completar o quadrado, adicionando os quatro pequenos quadrados de área cada ⁵ / ₂ x ⁵ / ₂ = ²⁵ / ₄ . Daí a praça em frente na figura 3 tem área 4 × ²⁵ / ₄ + 39 = 25 + 39 = 64. O lado do quadrado é, portanto, 8. Mas o lado tem um comprimento ^{de 5} / ₂ + x + ⁵ / ₂ para x + 5 = 8, dando x = 3.

Estas provas geométricas são uma questão de discordância entre os especialistas. A questão, que parece não ter uma resposta fácil, é se al-Khwarizmi estava familiarizado com a de Euclides Elements. Sabemos que ele poderia ter sido, talvez seja até mesmo justo dizer que "deveria ter sido", familiarizado com a obra de Euclides. No reinado de al-Rashid, enquanto al-Khwarizmi ainda era jovem, al-Hajjaj tinha traduzido de Euclides Elementos para o árabe e al-Hajjaj foi um dos colegas de al-Khwarizmi na Casa da Sabedoria. Este apoiaria comentários de Toomer em [1]: -

... em sua seção introdutória al-Khwarizmi usa figuras geométricas para explicar as equações, o que certamente defende uma familiaridade com o Livro II de "Elementos" de Euclides.

Rashed [9] escreve que de al-Khwarizmi: -

... tratamento foi muito provavelmente inspirado pelo conhecimento recente dos "Elementos".

No entanto, Gandz em [6] (ver também [23]), defende uma visão muito diferente: -

"Elementos" de Euclides em seu espírito e letra são totalmente desconhecida para [al-Khwarizmi]. Al-Khwarizmi não tem nem definições, nem axiomas, postulados, nem, nem qualquer demonstração do tipo euclidiano.

I [EFR] acho que é claro que se deve ou não al-Khwarizmi tinha estudado de EuclidesElements, ele foi influenciado por outras obras geométricas. Como Parshall escreve em [35]: -

... porque o seu tratamento de geometria prática tão seguido de perto que o texto hebraico, Mishnat ha Middot, que datava de cerca de 150 dC, as evidências de ancestralidade semita existe.

Al-Khwarizmi continua seu estudo sobre álgebra em Hisab al-jabr w'al-muqabalaexaminando como as leis da aritmética estender-se a uma aritmética para seus objetos algébricos. Por exemplo, ele mostra como multiplicar a expressões como

( a + b x ) ( c + d x )

embora novamente, devemos enfatizar que al-Khwarizmi usa apenas palavras para descrever suas expressões, e não símbolos são usados. Rashed [9] vê uma notável profundidade e novidade nestes cálculos por al-Khwarizmi, que aparecem para nós, quando examinados a partir de uma perspectiva moderna, como relativamente elementar. Ele escreve [9]: -

Conceito de álgebra de Al-Khwarizmi agora pode ser compreendida com maior precisão: trata-se da teoria das equações linear e quadrática com um simples desconhecido, ea aritmética elementar de binômios relativos e trinômio. ... A solução tinha que ser geral e calculável ao mesmo tempo e de uma forma matemática, isto é, geometricamente procedente. ... O grau de restrição, bem como, de um número de termos não sofisticadas, é explicado instantaneamente. Desde o seu aparecimento verdade, álgebra pode ser visto como uma teoria de equações resolvidas por meio de radicais livres, e de cálculos algébricos sobre expressões relacionadas ...

Se essa interpretação estiver correta, então al-Khwarizmi foi tão Sarton escreve: -

... o maior matemático da época, e se alguém toma todas as circunstâncias em consideração, um dos maiores de todos os tempos ....

Em uma veia similar Rashed escreve [9]: -

É impossível superestimar a originalidade da concepção e estilo de álgebra de al-Khwarizmi ...

mas uma visão diferente é tomado por Crossley, que escreve [4]: ​​-

[ Al-Khwarizmi ] pode não ter sido muito original ...

Toomer e que escreve em [1]: -

... Realizações científicas da Al-Khwarizmi eram na melhor das hipóteses medíocre.

Em [23] Gandz dá a este parecer da álgebra de al-Khwarizmi: -

Álgebra de Al-Khwarizmi é considerado como o fundamento ea pedra angular das ciências. Em certo sentido, al-Khwarizmi é mais o direito de ser chamado de "o pai da álgebra" de Diofanto porque al-Khwarizmi é o primeiro a ensinar álgebra em uma forma elementar e para o seu próprio bem, Diofanto está principalmente preocupado com a teoria dos números .

A próxima parte da al-Khwarizmi Álgebra consiste em aplicações e exemplos trabalhados.Ele, então, passa a olhar as regras para encontrar a área de figuras como o círculo e também encontrar o volume de sólidos, como a esfera, cone e pirâmide. Esta seção sobre mensuração certamente tem mais em comum com textos hindus e hebraico do que com qualquer trabalho grego. A parte final do livro trata das regras islâmicas complicadas para herança, mas exigem pouco da álgebra anteriormente além resolução de equações lineares.

Al-Khwarizmi escreveu também um tratado sobre hindu-arábicos. O texto árabe está perdido, mas a tradução para o latim, Algoritmi de numero Indorum em Inglês Al-Khwarizmi sobre a arte hindu de Reckoning deu origem à palavra algoritmo decorrentes de seu nome no título. Infelizmente, a tradução para o latim (traduzido para o Inglês em [19]) é conhecido por ser muito modificado a partir do texto original de al-Khwarizmi (de que até o título é desconhecido). O trabalho descreve o sistema de numeração com base em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, e 0 valor lugar indiano. O primeiro uso do zero como um lugar em notação posicional de base foi provavelmente devido a al-Khwarizmi neste trabalho. Métodos de cálculo aritmético são dadas, e um método para encontrar raízes quadradas é conhecido por ter sido no original árabe, embora seja ausente da versão latina. Toomer escreve [1]: -

... o sistema de valor decimal foi uma chegada bastante recente da Índia e ... O trabalho de al-Khwarizmi foi o primeiro a expor de forma sistemática.Assim, embora elementar, era de importância seminal.

Sete tratados latinos do século XII com base neste tratado árabe perdida por al-Khwarizmi na aritmética são discutidos em [17].

Outro trabalho importante por al-Khwarizmi foi seu trabalho Sindhind zij em astronomia. O trabalho, descritos em pormenor em [48], baseia-se em trabalhos astronómicas Indiana [47]: -

... ao contrário de manuais astronômico mais tarde islâmico, que utilizou os modelos planetários gregos estabelecidos no "Almagesto" de Ptolomeu ...

O texto indiano sobre o qual al-Khwarizmi base seu tratado foi um que tinha sido dado ao tribunal em Bagdá, em torno de 770 como um dom de uma missão política indiana. Existem duas versões da obra de al-Khwarizmi que escreveu em árabe, mas ambos estão perdidos.No século X, al-Majriti fez uma revisão crítica da versão mais curta e isso foi traduzido em latim por Adelardo de Bath. Há também uma versão latina da versão mais longa e ambas estas obras latinas sobreviveram. Os principais tópicos abordados por al-Khwarizmi noSindhind zij são calendários; cálculo verdadeiras posições do sol, da lua e dos planetas, tabelas de senos e tangentes; astronomia esférica; mapas astrológicos; cálculos de paralaxe e eclipse, e visibilidade da lua. Um manuscrito relacionada, atribuídos à Al-Khwarizmi, em trigonometria esférica é discutido em [39].

Embora o seu trabalho astronômico é baseado em que os índios, ea maioria dos valores a partir do qual ele construiu sua tabelas veio de astrônomos hindus, al-Khwarizmi deve ter sido influenciado pela obra de Ptolomeu também [1]: -

É certo que as tabelas de Ptolomeu, em sua revisão por Theon de Alexandria, já eram conhecidos por alguns astrônomos islâmicos, e é altamente provável que eles influenciaram, diretamente ou através de intermediários, a forma em que as tabelas de Al-Khwarizmi foram lançados.

Al-Khwarizmi escreveu um importante trabalho sobre a geografia que dão latitudes e longitudes para 2.402 localidades, como base para um mapa do mundo. O livro, que é baseado em Ptolomeu Geografia, lista com latitudes e longitudes, cidades, montanhas, mares, ilhas, regiões geográficas, e rios. O manuscrito não inclui mapas que em geral são mais precisos do que os de Ptolomeu. Em particular, é claro que onde o conhecimento mais local estava disponível para al-Khwarizmi, tais como as regiões do Islã, na África e no Extremo Oriente, em seguida, seu trabalho é muito mais preciso do que o de Ptolomeu, mas para a Europa al-Khwarizmi parece ter usado dados de Ptolomeu.

Uma série de pequenas obras foram escritas por al-Khwarizmi sobre temas como o astrolábio, no qual ele escreveu duas obras, no relógio e no calendário judaico. Ele também escreveu uma história política que contenham horóscopos de personalidades.

Nós já discutimos os pontos de vista diferentes sobre a importância da álgebra de al-Khwarizmi, que era a sua mais importante contribuição para a matemática. Vamos terminar este artigo com uma citação de Mohammad Kahn, dada em [3]: -

Em primeiro lugar a classificação de matemáticos de todos os tempos está de Al-Khwarizmi. Ele compôs as mais antigas obras sobre aritmética e álgebra. Eles eram a principal fonte de conhecimento matemático para os séculos vindouros, no Oriente e no Ocidente. O trabalho em aritmética introduzido pela primeira vez os números hindus para a Europa, como o próprio nome algorism significa, eo trabalho sobre álgebra ... deu o nome a este importante ramo da matemática no mundo europeu ...

Artigo por: JJ O'Connor e EF Robertson

ARTE MATEMÁTICA (11)

     Conforme o modo de olhar esta figura, muita coisa pode ser vista.
     São apenas triângulos.
     Mas a diferença de tamanho e a posição em que foram dispostos podem sugerir diversas interpretações.
     O que você acha?

MATEMÁGICA? (11)

Pegue uma calculadora.

Escolha um número de 4 algarismos ( por exemplo : 3879).

Faça a seguinte operação: 3879² - 3878²  e anote o resultado.

Agora efetue a soma: 3879 + 3878.

O que você percebeu?

Esta relação é válida para qualquer número de qualquer quantidade de algarismos.

Tente com outros à sua escolha...

10 - Função Exponencial e Logaritmos - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (10)

8	1	6
3	5	7
4	9	2

Este quadrado é mágico, porque em cada linha, em cada coluna e nas duas diagonais a soma dos algarismos é igual a 15.

Como completar o quadrado abaixo com os números de 5 a 16 para que seja mágico, quer dizer, para que a soma de cada linha, de cada coluna e de cada uma das diagonais seja igual a 34?

1
		2
	3
			4

Jogos matemáticos -10

KIDS MATHS MANIA

Ah, gente... Que gracinha...rsrs
As tarefinhas deste jogo são realmente muito simples ( a não ser talvez pela corrida contra o relógio...kkk), mas, mesmo assim fiz questão de postar este jogo.

Então, para as crianças (grandes ou pequenas), bom divertimento! KIDS-MATHS-MANIA   

ORIGEM DOS NOMES DOS MESES DO ANO

No calendário de Rômulo, o primeiro rei de Roma e seu fundador, o ano começava em março e tinha dez meses, cujos nomes primitivos eram:

- Martius (em homenagem ao deus da guerra, Marte),

-Aprilis (nome relacionado a Apros ou Afros, designativo de Afrodite, nome grego da deusa Vênus, a quem abril era dedicado);

-Majus (em homenagem à deusa Maia, uma das Atlântidas, amada de Júpiter e mãe de Mercúrio),

- Junius (em homenagem à deusa Juno, equivalente à deusa Hera dos gregos),

- Quintilis, Sextilis, September, October, November e December.

A relação de aprilis com aperire (abrir) surgiu posteriormente, na vigência do calendário de Numa Pompílio, por ser abril o mês da primavera, em que "todas as coisas se abrem".

Numa Pompílio (circa 715-circa 672 a.C.), sucessor de Rômulo, querendo igualar a contagem do tempo romano à dos gregos e fenícios, reformou o calendário de Rômulo, instituindo os meses de Januarius (em homenagem ao deus Janus, protetor dos lares) e Februarius, do latim februus, adjetivo de primeira classe que significa "o que purifica, purificador".

Homenagens

Os meses Quintilis e Sextilis foram rebatizados com os nomes de julho e agosto, em homenagem aos dois primeiros dos doze césares: Julius (Júlio César) e Augustus. Para que julho e agosto tivessem o mesmo número de dias, subtraíram-se dois dias do mês de fevereiro. Repare que as festas de junho são juninas (de Juno), mas as festas de julho são julianas (de Júlio), e não "julhinas" ou "julinas", nomes que não existem.

Por José Augusto Carvalho (texto adaptado)
Fonte: www.linguaportuguesa.uol.com.br

Geometria no cotidiano

Bhaskara

---

Data de Nascimento: 1114 em Vijayapura, Índia
Morte: 1185 em Ujjain, Índia

---

Bhaskara é também conhecido como Bhaskara II ou como Bhaskaracharya , este último nome significa "Bhaskara o Professor". Uma vez que ele é conhecido na Índia como Bhaskaracharya vamos nos referir a ele durante todo este artigo com esse nome. O pai de Bhaskaracharya era um brâmane chamado Mahesvara. Se Mahesvara era famoso como um astrólogo. Isso aconteceu muitas vezes na sociedade indiana com gerações de uma família ser excelentes matemáticos e muitas vezes agindo como professores para outros membros da família.

Bhaskaracharya tornou-se chefe do observatório astronômico a Ujjain, o principal centro matemático da Índia naquela época. Matemáticos pendentes, tais como Varahamihira e Brahmagupta tinha trabalhado lá e construiu uma forte escola de astronomia matemática.

De muitas maneiras Bhaskaracharya representa o pico do conhecimento matemático no 12 ^ºséculo. Ele chegou a uma compreensão dos sistemas numéricos e resolução de equações que não era para ser alcançado na Europa por vários séculos.

Seis obras de Bhaskaracharya são conhecidos, mas um sétimo trabalho, que é reivindicada a ser por ele, é considerado por muitos historiadores para ser uma falsificação tardia. As seis obras são: Lilavati (A Bela), que é em matemática; Bijaganita (Contagem de sementes ou de extração de raiz), que é a álgebra, a Siddhantasiromani que está dividido em duas partes, a primeira em astronomia matemática com a segunda parte da esfera, o Vasanabhasya deMitaksara que é próprio comentário de Bhaskaracharya no Siddhantasiromani , oKaranakutuhala (cálculo das maravilhas astronômicas) ou Brahmatulya que é uma versão simplificada do Siddhantasiromani , eo Vivarana que é um comentário sobre oShishyadhividdhidatantra de Lalla. É a primeira dessas três obras que são o mais interessante, sem dúvida, do ponto de vista da matemática, e vamos nos concentrar sobre o conteúdo destes.

Tendo em conta que ele estava construindo sobre o conhecimento ea compreensão de Brahmagupta, não é surpreendente que Bhaskaracharya entendido sobre os números zero e negativa. No entanto, sua compreensão foi mais longe ainda do que a de Brahmagupta. Para dar alguns exemplos, antes de examinar o seu trabalho em um pouco mais detalhadamente, notamos que ele sabia que x ² = 9 tinha duas soluções. Ele também deu a fórmula

Bhaskaracharya estudou de Pell equação px ² + 1 = y ² para p = 8, 11, 32, 61 e 67. Quandop = 61, ele encontrou a solução x = 226153980, y = 1776319049. Quando p = 67, ele encontrou a solução x = 5967, y = 48842. Ele estudou muitos problemas diofantinas.

Vamos primeiro examinar o Lilavati. Primeiro vale a pena repetir a história contada por Fyzi que traduziu este trabalho em persa em 1587. Damos a história como dado por Joseph em [5]: -

Lilavati era o nome da filha de Bhaskaracharya. De lançar seu horóscopo, ele descobriu que o tempo auspicioso para o seu casamento seria uma hora específica em um determinado dia. Colocou um copo com um pequeno furo no fundo do recipiente cheio de água, dispostas de modo que o copo se afundar no inicio da hora propício. Quando tudo estava pronto ea taça foi colocada no navio, Lilavati, de repente, por curiosidade inclinou o navio e uma pérola de seu vestido caiu no copo e bloqueou o buraco. A hora de sorte passou sem o copo de naufrágio. Bhaskaracharya acredita que o caminho para consolar sua filha abatido, que agora nunca iria se casar, era escrever seu um manual de matemática!

Esta é uma história encantadora, mas é difícil de ver que não há qualquer evidência de que ela seja verdadeira. Nem sequer é certo que Lilavati era filha de Bhaskaracharya. Há também uma teoria de que Lilavati era a esposa de Bhaskaracharya. Os temas abordados nos treze capítulos do livro são: definições; termos aritméticos; juros; progressões aritméticas e geométricas, geometria plana, geometria sólida, a sombra do gnomon, o kuttaka; combinações.

Em se tratando de números Bhaskaracharya, como Brahmagupta antes dele, tratados de forma eficiente aritmética envolvendo números negativos. Ele é o som de adição, subtração e multiplicação envolvendo zero, mas percebeu que havia problemas com idéias de divisão por zero de Brahmagupta. Madhukar Mallayya em [14] argumenta que o zero usada por Bhaskaracharya em seu governo ( a 0,0) / 0 = a , dada em Lilavati, é equivalente ao conceito moderno de um não-zero "infinitesimal". Embora esta afirmação não é sem fundamento, talvez ele está vendo idéias para além do que Bhaskaracharya pretendido.

Bhaskaracharya deu dois métodos de multiplicação na sua Lilavati. Seguimos Ifrah que explica estes dois métodos, devido à Bhaskaracharya em [4]. Para multiplicar 325 por 243 Bhaskaracharya escreve os números assim:

 243 243 243 

 3 2 5 

-------------------

Agora trabalhando com o mais à direita dos três montantes que computadas 5 vezes 3 depois 5 vezes 2 perdendo os 5 vezes 4, o que fez passada e escreveu sob os outros uma posição para a esquerda. Note-se que esta evita fazer o "carry" em uns cabeça.

 243 243 243 

 3 2 5 

------------------- 

 1015 

 20 

-------------------

Agora adicione a 1015 e 20 assim posicionadas e escrever a resposta sob a segunda linha abaixo da soma ao lado da esquerda.

 243 243 243 

 3 2 5 

------------------- 

 1015 

 20 

------------------- 

 1215

Exercite-se a soma do meio como o direito mão um, novamente evitando o "carry", e adicioná-los a escrever a resposta abaixo do 1215, mas deslocado uma posição para a esquerda.

 243 243 243 

 3 2 5 

------------------- 

 1015 4 6 

 8 20 

------------------- 

 1215 

 486

Finalmente trabalhar o mais soma esquerda da mesma forma e, novamente, colocar a adição resultando uma posição para a esquerda sob o 486.

 243 243 243 

 2 3 5 

------------------- 

 6 9 4 6 1015 

 12 8 20 

----------------- - 

 1.215 

 486 

 729 

-------------------

Por fim, adicione os três números abaixo da segunda linha para obter a resposta 78975.

 243 243 243 

 2 3 5 

------------------- 

 6 9 4 6 1015 

 12 8 20 

----------------- - 

 1.215 

 486 

 729 

------------------- 

 78975

Apesar de evitar o "carry" nos primeiros estágios, é claro que alguém ainda se depara com o "carry" nesta Além final.

O segundo dos métodos de Bhaskaracharya prossegue como se segue:

 325 

 243 

--------

Multiplique o número por baixo o número mais alto de partida do processo dígito mais à esquerda e para a direita. Deslocar cada linha um lugar para começar um lugar mais certo do que a linha anterior. Primeira etapa

 325 

 243 

-------- 

 729

Segunda etapa

 325 

 243 

-------- 

 729 

 486

Terceira etapa, em seguida, adicione

 325 

 243 

-------- 

 729 

 486 

 1215 

-------- 

 78.975

Bhaskaracharya, como muitos dos matemáticos indianos, considerados em quadratura de números como casos especiais de multiplicação que merecia métodos especiais. Ele deu quatro desses métodos de quadratura em Lilavati.

Aqui está um exemplo de explicação da proporção inversa retirado do capítulo 3 do . Lilavati Bhaskaracharya escreve: -

No método inverso, a operação é inversa. Esse é o fruto a ser multiplicado pelo augment e dividido pela procura. Quando aumenta ou diminui de frutas, como a demanda é aumentada ou diminuída, o governo direto é usado. Caso contrário, o inverso.

Regra de três inversa: Se a fruta diminui com o aumento da requisição, ou aumentar como que diminui, eles, que são especializados em contas, considere a regra de três para ser invertida. Quando há uma diminuição do fruto, se há aumento de requisição, e aumento de fruto, se haver diminuição da requisição, então a regra de três inversa é empregue.

Bem como a regra de três, Bhaskaracharya discute exemplos para ilustrar as regras de proporções compostos, como a regra de cinco (Pancarasika), a regra de sete (Saptarasika), o Estado de nove (Navarasika), exemplos de uso, etc de Bhaskaracharya estas regras são discutidas em [15].

Um exemplo do capítulo 5 em progressões aritméticas e geométricas é o seguinte: -

Exemplo: Em uma expedição para capturar os elefantes de seu inimigo, um rei marchou duas yoganas no primeiro dia. Diga, calculadora inteligente, com o aumento da taxa de diária marcha que ele continue, já que ele chegou a cidade de seu inimigo, a uma distância de oitenta yoganas, em uma semana?

Bhaskaracharya mostra que a cada dia ele deve viajar ²² / ₇ yoganas mais do que no dia anterior para chegar a cidade de seu inimigo em 7 dias.

Um exemplo do Capítulo 12 sobre o método de resolução de equações kuttaka indeterminado é o seguinte: -

Exemplo: Say rapidamente, matemático, que é multiplicador que, pelo qual 221 a ser multiplicado, e sessenta e cinco adicionados ao produto, a soma dividido por cento e noventa e cinco, torna-se esgotada.

Bhaskaracharya é encontrar solução inteira para 195 x = 221 y + 65. Ele obtém a soluções (x , y ) = (6, 5) ou (23, 20) ou (40, 35) e assim por diante.

No capítulo final em combinações Bhaskaracharya considera o seguinte problema. Deixe umn número de dígitos ser representados na forma decimal como habitual

d ₁ d ₂ ... d _n     (*)

onde cada um dígito satisfaz ≤ d _j ≤ 9, j = 1, 2, ... , n . Então o problema de Bhaskaracharya é encontrar o número total de números da forma (*) que satisfazem

d ₁ + d ₂ + ... + d _n = S .

Em sua conclusão para Lilavati Bhaskaracharya escreve: -

Alegria e felicidade é, de facto cada vez mais nesse mundo para aqueles que Lilavati apertou para suas gargantas, decorado como os membros estão com redução puro de frações, multiplicação e involução, puro e perfeito, como são as soluções, e de bom gosto, como é o discurso que é exemplificada.

O Bijaganita é um trabalho em doze capítulos. Os temas são: números positivos e negativos; zero; do desconhecido; surds, o kuttaka; equações quadráticas indeterminadas; equações simples, equações do segundo grau, equações com mais de um desconhecido, equações do segundo grau com mais de um desconhecido; operações com produtos de várias incógnitas e, o autor e sua obra.

Depois de ter explicado como fazer aritmética com números negativos, Bhaskaracharya dá problemas para testar as habilidades do leitor sobre o cálculo com quantidades negativas e positivas: -

Exemplo: Contar rapidamente o resultado dos números três e quatro, negativa ou positiva, no seu conjunto, isto é, positiva e negativa, ou ambos negativos ou ambos afirmativa, como instâncias separadas, se tu saber a adição de quantidades positivas e negativas.

Os números negativos são denotados por colocação de um ponto em cima delas: -

Os personagens, o que denota as quantidades conhecidas e desconhecidas, deve ser escrito primeiro a indicá-los em geral, e aqueles, que se tornam negativo deve ser então marcado com um ponto em cima deles.

Exemplo: subtração de dois de três, afirmativa da afirmativa e negativa de negativa, ou, pelo contrário, me diga rapidamente o resultado ...

Em Bijaganita Bhaskaracharya tentou melhorar a tentativa de Brahmagupta para dividir por zero (e sua própria descrição em Lilavati ), quando ele escreveu: -

Uma quantidade dividido por zero torna-se uma fracção cujo denominador é zero. Esta fracção é designada uma quantidade infinita. Neste quantidade composta por aquilo que tem zero para seu divisor, não há nenhuma alteração, apesar de muitos pode ser inserido ou extraído, como nenhuma mudança ocorre no infinito e imutável Deus quando os mundos são criados ou destruídos, apesar de inúmeras ordens de seres são absorvida ou colocar diante.

Então Bhaskaracharya tentou resolver o problema escrevendo n / 0 = ∞. À primeira vista podemos ser tentados a acreditar que Bhaskaracharya tem correto, mas é claro que ele não faz. Se isso fosse verdade, então 0 vezes ∞ deve ser igual a cada número n , então todos os números são iguais. Os matemáticos indianos não poderia trazer-se ao ponto de admitir que não se pode dividir por zero.

As equações conduzem a mais do que uma solução Bhaskaracharya são dadas por: -

Exemplo: Dentro de uma floresta, um número de macacos igual ao quadrado de um oitavo do total de macacos no pacote estão jogando jogos ruidosos. Os restantes doze macacos, que são de uma disposição mais grave, está em uma colina próxima e irritado com os gritos vindos da floresta. Qual é o número total de macacos do pacote?

O problema conduz a uma equação quadrática e Bhaskaracharya diz que as duas soluções, ou seja, 16 e 48, são igualmente admissíveis.

O método para resolver equações kuttaka indeterminados é aplicada a equações com três incógnitas. O problema é encontrar soluções inteiras para uma equação da forma ax + pela +cz = d . Um exemplo que ele dá é: -

Exemplo: Os cavalos pertencentes a quatro homens são 5, 3, 6 e 8 . Os camelos pertencentes aos mesmos homens são 2, 7, 4 e 1 . Os mulos que lhes pertencem são 8, 2, 1 e 3 e os bois 7, 1, 2 e 1 . os quatro homens são iguais em fortunas. Diga-me rapidamente o preço de cada cavalo, camelo, jumento e boi.

É claro que esses problemas não têm uma solução única como Bhaskaracharya está plenamente consciente. Ele encontra uma solução, que é o mínimo, ou seja, 85 cavalos, camelos 76, 31 mulas e bois 4.

A conclusão de Bhaskaracharya ao Bijaganita é fascinante para a visão que nos dá na mente do grande matemático: -

Um pedaço da aula transmite conhecimento para uma mente abrangente, e tendo chegado, expande de seu próprio impulso, como o óleo derramado sobre a água, como um segredo confiado à vil, como esmolas concedidas sobre o digno, porém pouco, por isso não conhecimento infundido em uma mente sábia espalhar pela força intrínseca.

É evidente para os homens de entendimento claro, que a regra de três termos constitui aritmética e sagacidade constitui álgebra. Assim que eu disse ... A regra de três termos é aritmética, compreensão impecável é álgebra. O que existe desconhecido para o inteligente? Portanto, para os estúpidos só é estabelecido.

O Siddhantasiromani é um texto de astronomia matemática um layout semelhante ao de muitos outros textos de astronomia indianos deste e períodos anteriores. Os doze capítulos dos primeiros tópicos cobrir parte, tais como: significa longitudes dos planetas; verdadeiras longitudes dos planetas, os três problemas da rotação diurna; syzygies; eclipses lunares, eclipses solares; latitudes dos planetas; levantamentos e definições; da lua crescente; conjunções dos planetas uns com os outros; conjunções dos planetas com as estrelas fixas, e as patas do sol e da lua.

A segunda parte contém treze capítulos sobre a esfera. Ele aborda temas como: louvor de estudo da esfera, natureza da esfera; cosmografia e geografia; planetário movimento médio; modelo epicyclic excêntrico dos planetas, a esfera armilar; trigonometria esférica; cálculos elipse; primeira visibilidades dos planetas; cálculo o crescente lunar; instrumentos astronômicos, as estações do ano, e os problemas de cálculos astronômicos.

Há resultados interessantes sobre trigonometria neste trabalho. Em particular Bhaskaracharya parece mais interessado em trigonometria para seu próprio bem do que seus antecessores, que viam apenas como uma ferramenta para o cálculo. Entre os diversos resultados interessantes Bhaskaracharya são dadas por:

sin ( a + b ) = sen a cos b + cos a sin b

e

pecado ( a - b ) = sen a cos b - cos a sin b .

Bhaskaracharya justamente conseguido uma excelente reputação por sua contribuição notável. Em 1207 uma instituição de ensino foi criada para estudar as obras de Bhaskaracharya. A inscrição medieval em um templo indiano diz: -

Triunfante é o ilustre Bhaskaracharya cujo feitos são reverenciados por ambos os sábios e eruditos. Um poeta dotado de fama e mérito religioso, ele é como a crista de um pavão.

É a partir dessa citação que o título do livro de Joseph [5] vem.

Artigo por: JJ O'Connor e EF Robertson

ARTE MATEMÁTICA (10)

      Observe os octógonos traçados na imagem acima.
      Repare que as linhas traçadas no interior de cada um formam, ao se cruzarem, outro octógono menor.

MATEMÁGICA? (10)

Observe com atenção os resultados dos seguintes cálculos:

12² = 144

112² = 12544

1112² = 1236544

11112² = 123476544

111112² = 12345876544

1111112² = 1234569876544

O que lhe parece?

Será que ocorre coisa semelhante com outros números?...

09 - Vértice da Parábola - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (9)

Imagine que você está diante de uma fonte da qual jorra água em abundância.

Você dispõe de dois recipientes. Um com capacidade de 7 litros e outro de 11 litros.

De que forma você pode colocar em um dos recipientes, exatamente 6 litros de água?  

Jogos matemáticos -9

CALCULATE GENIUS

Embora o nome sugira esta ideia, não é preciso ser um gênio para ganhar pontos neste jogo.

E além do mais, nem todas as questões propostas envolvem cálculos. Algumas são questões de estimativa até porque nem sempre é possível fazer um cálculo preciso do que está sendo pedido...

Se você quer entender melhor do que estou falando, vá em frente: CALCULATE GENIUS