18 - Matrizes e Determinantes - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (18)

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O chá do Chapeleiro Louco

Por Luiz Barco

 

Alice estava passeando no País das Maravilhas e encontrou o Chapeleiro Louco sentado numa grande mesa tomando chá.

– Alice! Foi bom você chegar, pois acabo de esquentar água para o chá.

Nisso chega o Coelho Branco numa correria: – Atrasado! Estou atrasado!

– Coelho, junte-se a nós num delicioso chá, convidou Alice.

E antes de começarem, chegaram Dum e Dee, que estavam por perto. E a seguir, Humpty Dumpty, o Gato de Cheshire e a Lebre Telhuda.

– Nossa, agora somos 7! Disse Alice. Mas, então, surge a temível Rainha de Copas, junto com o Rei de Copas:

– Ouvi barulho... Ora, uma reunião com direito a chá! Ordeno que me sirvam, senão corto suas cabeças!

Foi demais para o Chapeleiro. Sobre a mesa, falou:

– Amigos... Estou trabalhando! Não posso pagar chá para todos.

O Gato de Cheshire, com aquele sorriso maroto, brincou: – Puxa vida... Como somos velhos amigos, vamos comemorar hoje por conta da casa!

O Chapeleiro retrucou:

– Hoje não! Mas, se sentarmos em uma ordem qualquer em volta desta mesa e trocando a ordem sem repetição, ao esgotarmos todas as posições eu providenciarei que nunca mais paguem pelo chá.

– Bela proposta!, disse a Rainha.

Mas Alice a achou estranha... Como eram 9 pessoas, começou a esboçar de quantos modos diferentes poderiam sentar-se à mesa:

– Se formos apenas duas pessoas, A e B, podemos nos colocar junto à mesa de duas formas: AB ou BA, como DumDee ou DeeDum.

– Vamos contar as ordens possíveis se forem 3 pessoas (A,B,C), disse Alice. C pode estar antes, entre e depois de cada um dos pares AB e BA: CAB, ACB e ABC ou CBA, BCA e BAC. Como são dois os pares, gerando 3 termos, teremos 6 possibilidades, certo? Alice então continuou:

– Com duas pessoas teremos duas posições (2 ? 1 = 2) diferentes, com 3 pessoas teremos 3 ? 2 ? 1 = 6. Acho que o Chapeleiro reinventou o fatorial! Com isso, 4 convidados = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Vemos então que 5 = 120, ou seja, permutando as posições, 5 pessoas gastam 120 dias. Imaginem então como seria com todos os 9 convidados: 9 = 362 880 dias.

Alice teve, pois, razão em desconfiar, pois 362 880 dias representam quase 1 000 anos. Ah, esses malucos cálculos matemáticos!

Notas

Lewis Carroll, pseudônimo de Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898), escreveu os romances Alice no País das Maravilhas e Através do Espelho. Além de escritor, durante muitos anos atuou como lógico e matemático em Oxford. O estudo da matemática das permutações surgiu com Blaise Pascal (1623-1662). Ao ser perguntado por um jogador de cartas profissional sobre a probabilidade de certas jogadas, Pascal estudou o assunto e criou um novo ramo da matemática. Conto baseado no artigo Mil Anos Pagando, da coluna Dois mais Dois, de Luiz Barco, publicada na revista Superinteressante em março de 1995. Revisão do físico Márcio Nascimento, da Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR).

(fonte: superinteressante fevereiro de 1988)

O MUNDO DA MATEMÁTICA (3)

Terceiro episódio da série - O Mundo Da Matemática, desta vez trata de Função Exponencial e P.G..

*FERRARI

Lodovico Ferrari

Data de Nascimento: 02 de fevereiro de 1522 em Bolonha, Estados Pontifícios ( agora Itália)
Morreu em: 05 de outubro de 1565 em Bolonha, Estados Pontifícios ( agora Itália)

O avô de Lodovico Ferrari , Bartolomeu Ferrari, foi forçado a deixar sua cidade natal, Milão e estabeleceu-se em Bolonha. Este foi um momento particularmente difícil para aqueles que vivem no norte da Itália, para não só poderosas famílias cidades de controle e tenta estender sua influência pela força, mas também o francês, o Sacro Imperador Romano , e do Papa, todos tentaram tirar território com seus exércitos. Bartolomeu Ferrari teve dois filhos, Vincent Ferrari e Alexandre Ferrari, sendo este último o pai de Lodovico , que é o tema desta biografia . Inicialmente criado na casa de seu pai , Lodovico foi morar com seu tio Vincent depois que seu pai foi morto . Vincent Ferrari teve um filho chamado Lucas , um jovem difícil , que decidiu fugir de casa e procurar emprego. Lucas foi para Milão e lá descobriu que Cardan estava à procura de um servo. Trabalho não atender Luke muito e depois de trabalhar por Cardan de um tempo ele decidiu que as coisas estavam melhor voltar para casa e , sem dizer Cardan , acabado de sair de sua casa. Cardan contactado Vicente Ferrari solicitando que mande seu filho de volta para continuar o seu trabalho como empregada em sua casa. Vicente , no entanto, viu sua chance de manter seu próprio filho em casa e descarregar a responsabilidade de apoiar seu primo Lodovico , então ao invés de enviar Lucas volta para Cardan , em Milão, ele enviou Lodovico .

Lodovico chegou à casa de Cardan em 30 de Novembro , um menino de 14 anos de idade pronto para assumir a posição de seu primo de Lucas, e tornar-se um servo. Cardan , após a descoberta de que o rapaz sabia ler e escrever , isentou -o de tarefas domésticas e apontou o jovem como seu secretário . Logo ficou claro para Cardan que sua secretária era um jovem extremamente talentoso e ele decidiu ensinar-lhe matemática. Ferrari reembolsado seu mestre , ajudando-o com os seus manuscritos e , quando ele tinha 18 anos de idade, ele começou a ensinar . Quando Cardan generosamente renunciou ao cargo na Fundação Piatti , em Milão para dar lugar a ele em 1541 , Ferrari facilmente derrotado Zuanne da Coi , seu único rival para o cargo , em um debate , e, com a idade de vinte anos, tornou-se um conferencista público em geometria.

Cardan e Ferrari fez um progresso notável sobre as fundações que Tartaglia tinha má vontade lhes deu. Eles trabalharam em problemas criados por Zuanne da Coi e, eventualmente, foram capazes de estender as soluções descobertas nestes casos especiais. Ferrari descobriu a solução da equação quártica , em 1540, com um argumento muito bonito , mas contou com a solução de equações cúbicas , portanto, não poderia ser publicado antes da solução da cúbica tinha sido publicado . No entanto , não havia nenhuma maneira de fazer este público, sem o quebrar o juramento sagrado feito por Cardan . Desesperado de nunca publicar o seu trabalho inovador , Cardan e Ferrari viajou para Bolonha a invocar o seu colega matemático , Annibale della Nave, que tinha sido nomeado há sobre a morte de Scipione del Ferro. Cardan e Ferrari satisfeito della Nave que eles poderiam resolver o problema cosa onipresente e cubo, e della Nave mostrou-lhes em troca os papéis do falecido del Ferro, provando que Tartaglia não foi o primeiro a descobrir a solução da cúbica.

Cardan publicado tanto a solução para a cúbica e solução da Ferrari para o quartic em Ars Magna ( 1545 ), convencido de que ele poderia quebrar seu juramento desde Tartaglia não foi o primeiro a resolver o cúbico. Tartaglia ficou furioso e Ferrari escreveu a Tartaglia , repreendendo-o impiedosamente e desafiá-lo para um debate público. Tartaglia foi extremamente relutante em disputa com a Ferrari, ainda um jovem relativamente desconhecido , contra quem mesmo uma vitória faria pouco material bom.

Tartaglia escreveu de volta para a Ferrari , tentando trazer Cardan para o debate. Ferrari e Tartaglia escreveu inutilmente para o outro por cerca de um ano , trocando os insultos pessoais mais ofensivos , mas conseguindo pouco na maneira de resolver a disputa . As coisas pareciam fracassar quando, de repente , em 1548 , Tartaglia recebeu uma oferta impressionante de uma posição de palestras em sua cidade natal , Brescia . Para estabelecer que ele era o homem para o trabalho , Tartaglia foi convidado a viajar para Milão e concluir a competição com a Ferrari.

Em 10 de agosto 1548, o concurso que toda a Itália queria ver, para a correspondência entre os dois antagonistas tinha tomado a forma de cartas abertas , realizou-se na Igreja , no Jardim do Frati Zoccolanti no Milan. Uma enorme multidão se reuniu , e as celebridades Milanese saiu em vigor, com Don Ferrante di Gonzaga, governador de Milão, o árbitro supremo. Ferrari estava confiante de sucesso , apesar de sua inexperiência em tais assuntos , e trouxe uma grande multidão de amigos e apoiadores . Sozinho, mas por seu irmão, Tartaglia foi um polemista muito experiente e também imaginava suas chances.

Até o final do primeiro dia , ficou claro que as coisas não estavam indo a maneira de Tartaglia . Ele não estava disposto a dar a Ferrari tempo para responder às suas críticas e quando o fez , foi a Ferrari que tem nos golpes mais revelador . Ferrari entendeu claramente as equações cúbicas e quartic mais profundamente do que o seu adversário , que decidiu que iria deixar o Milan naquela mesma noite e, assim, deixar a disputa em aberto, por isso a vitória foi para a Ferrari. Com a força desse desafio , a fama da Ferrari cresceu e ele foi inundado com ofertas de emprego, incluindo um pedido do próprio imperador , que queria um tutor para seu filho.

Ferrari imaginava uma posição mais gratificante financeiramente , porém, e assumiu um cargo como assessor de imposto ao governador de Milão, Ferrando Gonzaga. Depois de se transferir para o serviço da igreja, ele se aposentou como um homem jovem e muito rico. Ele voltou para sua cidade natal, Bolonha , onde ele morava com a viúva irmã Maddalena, e foi chamado para um cargo de professor de matemática na Universidade de Bolonha , em 1565 , mas , infelizmente, Ferrari morreu mais tarde naquele ano. Alega-se que ele morreu de envenenamento por arsênico branco, administrado por sua própria irmã . Certamente , de acordo com Cardan , Maddalena se recusou a chorar no enterro de seu irmão e , depois de ter herdado a fortuna de Ferrari, ela se casou novamente duas semanas depois. Depois de ter transferido todas as suas posses para seu novo marido, ele prontamente a deixou e ela morreu na pobreza.
Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

setembro 2005

ARTE MATEMÁTICA (18)

             Esta imagem foi gerada pela sobreposição de vários triângulos.
             De acordo com a maneira que se vê, assume a aparência de um cristal ou de uma rosa dos ventos...
             Você decide...

FERIADÃO

Caríssimos!
Acabei de analisar TODOS os comentários de todos os desafios dos segundos e terceiros anos postados até o momento.
Os comentários que foram publicados estão corretos. Os demais precisam ser revistos.
Durante o feriado, provavelmente não verei outros comentários pois, pretendo corrigir suas avaliações escritas.
Excelente feriado!
Ótimo fim de semana!
Abraços a todos!
Até segunda.
Prof. Marcus.

CLARICE

PARABÉNS POR SUA CONQUISTA!
ESTAMOS ORGULHOSOS POR VOCÊ.
BOLA PRA FRENTE E NÃO DEIXE A PETECA CAIR HEIN ( AGORA É QUE VOCÊ VAI VER O QUE É ESTUDAR DE VERDADE...RSRSRSRSRSRS).
DEUS TE ABENÇOE NESTA NOVA ETAPA.
FELICIDADES!
GRANDE ABRAÇO!
Prof. Marcus

POLÍGONOS REGULARES - QUADRADO

Bem, se você sabe o que são polígonos regulares, sabe também que o quadrado é um dos mais simples e o primeiro a conter diagonais.
Mas, o que é uma diagonal?
Diagonal de um polígono é o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos deste polígono.

Veja na figura seguinte as diagonais do quadrado:

Veja que as diagonais interceptam-se no ponto médio de cada uma dividindo o quadrado em 4 triângulos isósceles, cada um deles com área equivalente a 1/4 da área do quadrado.