39 - Geometria Plana II: Relações Angulares em Triângulos - Matemática - Vestibulando Digital

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A MATEMÁTICA DOS ANOS BISSEXTOS

Autor: Marcelo Sávio

O ano de 2008 é bissexto. Em nosso calendário, chamado Gregoriano, os anos comuns têm 365 dias e os anos bissextos têm um dia a mais, totalizando 366 dias. Esta informação praticamente todo mundo sabe, mas o entendimento sobre o funcionamento dos anos bissextos ainda é recheado de dúvidas na cabeça de muita gente.

Muitas “regras populares” foram criadas para calcular anos bissextos, do tipo:

“Todos os anos que sejam múltiplos de 4 mas que não sejam múltiplos de 100 (terminem em 00) são bissextos”.

Mas será que isto está correto? E o ano 2000, que foi bissexto e contrariou a regra acima?

Bom, neste caso é necessário adicionar um “detalhe” à regra, que ficaria assim:

“Todos os anos que sejam múltiplos de 4 mas que não sejam múltiplos de 100, com exceção daqueles que são múltiplos de 400, são bissextos”.

Ah, agora sim! Mas por quê? Quem inventou esta regra? Por qual motivo? Com base em quê foi criada?

A origem do ano bissexto

Em 238 a.C., em Alexandria no Egito, durante a monarquia helenística de Ptolomeu III (246-222 a.C.), foi decretada a adição de 1 dia a cada 4 anos para compensar a diferença que existia entre o ano do calendário, com duração de 365 dias e o ano solar (em astronomia chamado de ano astronômico sazonal) com duração aproximada de 365,25 dias, ou seja, de 365 dias + 6 horas.

Com este excesso anual de 6 horas, que após 4 anos completa 24 horas, 1 dia extra deveria ser acrescentado ao calendário oficial, a cada 4 anos, para evitar os deslocamentos das datas que marcavam o início das estações. A programação das épocas de semeaduras e colheitas eram baseadas no calendário das estações. Qualquer discrepância neste calendário afetava a agricultura, que era base da economia dos povos antigos. Lamentavelmente, esta tentativa de reformulação do calendário não teve a aceitação necessária e as discrepâncias permaneceram na contagem dos dias.

Quase 200 anos depois, em 46 a.C. (que naquela época era chamado ano 708 da fundação de Roma), o imperador romano Júlio César (102-44 a.C.), retomando as idéias helenísticas, resolveu intervir no sistema de contagem do calendário, para corrigir mais de 3 meses de desvios acumulados até então e criou o “Calendário Juliano” que evitaria novos erros. Para elaborar esta tarefa, trouxe de Alexandria o astrônomo grego Sosígenes (90-?? a.C.) para auxiliá-lo e, entre outras modificações, decretou que:

- O ano de 46 a.C teria 445 dias de duração, para corrigir os desvios acumulados até então.

- Os anos teriam 365 dias e haveria 1 ano bissexto a cada 4 anos a partir de 45 a.C (que também seria bissexto)

- Seria deslocado o início do ano romano de 1o. de Março para 1o. de Janeiro, a partir de 45 a.C.

Em função destas modificações, o ano de 46 a.C. ficou conhecido como o “Ano da Confusão” e apesar dos esforços, os anos bissextos que se seguiram não foram aplicados corretamente até o ano de 8 d.C, quando então finalmente passaram a ser regularmente contabilizados de 4 em 4 anos em todos os calendários. E assim permaneceu por mais de 1500 anos. Assim:

Para o calendário Juliano, o ano possuía: 365 + 1/4 = 365,25 dias

A origem do nome bissexto

Algumas pessoas pensam que o ano é bissexto porque tem dois números 6 na quantidade de dias (366), o que está errado.

No antigo calendário romano, os dias tinham nomes com base no ciclo lunar e um mês dividia-se em três seções separadas por três dias fixos: Calendas (lua nova), Nonas (quarto-crescente) e Idus (lua cheia). Os dias eram designados por números ordinais contados em ordem retrógrada em relação ao dia fixo subseqüente, algo como o costume que temos em dizer um horário de 14:45h com sendo “15 para as 3”.

Assim o dia 3 de fevereiro, por exemplo chamava-se “antediem III Nonas Februarii”, ou seja “três dias antes da Nona de Fevereiro”.

O dia 24 de fevereiro chamava-se “antediem VI Calendas Martii” ou “antediem sextum Calendas Martii”, ou seja “sexto dia antes da Calendas de Março”.

Ao fazer a introdução de mais um dia no ano, Julio César escolheu o mês de fevereiro, e dentro deste mês escolheu por “fazer um bis” ou “duplicar” o dia 24, chamando-o de “antediem bis-sextum Calendas Martii”. Daí surgiu o nome “ bissexto”, que passou a designar o ano que tivesse este dia suplementar.

Júlio César escolheu o mês de fevereiro para adicionar um dia porque, além de ser o mês mais curto do ano, com 28 dias, era também o último mês do ano entre os romanos, que ainda por cima o consideravam como um mês nefasto. A escolha da duplicação do dia 24, ao invés de se introduzir o novo dia 29 (como fazemos hoje) se deu por motivos supersticiosos.

Por que a reforma Juliana do calendário não resolveu o problema em definitivo?

Com o avanço dos instrumentos de medição, percebeu-se que, apesar da correção quadrienal, o ano Juliano não era preciso, uma vez que criava um excesso de 11 minutos e 14 segundos (ou seja 0,0078 dia) em relação ao ano solar. Essa diferença, com o passar do tempo, foi causando implicações no calendário das estações e nas datas de alguns ritos religiosos.

Como foi resolvida então a questão?

Em 1582, o Papa Gregório XIII (1502-1585) introduziu uma reforma no calendário Juliano e criou o “Calendário Gregoriano”. Este calendário havia sido elaborado, durante vários anos, por uma comissão composta pelo próprio Papa e vários sábios, entre eles o astrônomo e médico italiano Aloisius Lilius (1510-1576) e o jesuíta e matemático alemão Cristophorus Clavius (1537-1612). Essa comissão decidiu o seguinte:

Inicialmente descontaram 10 dias do mês de outubro de 1582 para corrigir o erro que vinha sendo acumulado até então (neste mês o calendário saltou do dia 4 para o dia 15) e para acertar o calendário e evitar os futuros erros, fizeram o seguinte:

Levando-se em conta que a discrepância de um 1 ano Juliano era de 0,0078 dia a mais que o ano solar, ao final de 1 século o excesso atingia 0,78 dia, ou seja, aproximadamente 3/4 de dia. Ao final de cada 400 anos haveria, então, uma diferença de aproximadamente 3 dias.

Considerando-se que estes dias excedentes seriam introduzidos pelos futuros anos bissextos, a solução do problema seria então eliminar 3 anos bissextos em cada 400, ou seja, a partir de 1582 somente poderiam existir 97 anos bissextos em cada 400 anos. A engenhosidade para resolver este problema ficou resolvida assim:

Como os anos bissextos acontecem a cada 4 anos, temos 100 bissextos em cada 400 anos. Para termos 97, bastaria "eliminarmos" 3 anos bissextos. Escolheu-se então retirar, a cada 400 anos, aqueles que são divisíveis por 100 e manter o único ano que é divisível por 400, ou seja, em um período de 400 anos temos 4 anos divisíveis por 100 a serem retirados (os anos 100, 200, 300 e 400 deixariam de ser bissextos) e 1 ano divisível por 400 a ser re-incluído na lista (no caso próprio ano 400 voltaria a ser bissexto). A “fórmula” do ano ficaria assim:

365 + 1/4 - 1/100 + 1/400 = 365 + 97/400 dias

E esta regra do ano bissexto permanece até os dias de hoje assim intitulada:

“Será bissexto todo ano cujo número seja divisível por 4 e não divisível por 100, sendo também bissexto os anos divisíveis por 400”.

Assim:

Para o Calendário Gregoriano o ano tem 365 + 97/400 = 365,2425 dias

E será que o problema da contagem do ano bissexto foi definitivamente resolvido?

Infelizmente não, pois como citei anteriormente, apesar do calendário Gregoriano ter sido criado para resolver o problema dos acréscimos causados pelo calendário Juliano, o valor aproximado usado nos cálculos para este acréscimo (3/4 dia a cada 100 anos ou 0,0075 dia por ano) é diferente do valor real do acréscimo (0,78 dia a cada 100 anos ou 0,0078 dia por ano). Isso dá uma diferença de 0,0003 dia por ano, ou seja, a cada 3300 anos teremos, aproximadamente, 1 dia extra que deveria ser retirado.

Assim um ano “moderno” passaria a ter

365 + 1/4 - 1/100 + 1/400 - 1/3300 = 365, 2421969697 dias

Mas não podemos esquecer que, para retirar este dia após 3300 anos, deveríamos fazê-lo a partir do ano de 1582, o que provocaria uma tremenda novidade para o ano de 4882, pois este não será um ano bissexto (não é divisível por 4) e ainda deveria “perder” um dia, ficando com 364 dias! Será? Creio que não...

Na verdade diversas pessoas já propuseram, entre elas o astrônomo britânico John F. W. Herschel (1792-1871), uma regra diferente para anos bissextos, ao invés do termo 1/3300 proposto acima, dever-se-ia calcular a fórmula do ano com o termo 1/4000 (por ser múltiplo de 4), assim o ano ficaria:

365 + 1/4 - 1/100 + 1/400 - 1/4000 = 365 + 969/4000 = 365, 24225 dias

Isso jogaria o famoso “erro” de 1 dia extra para daqui a mais de 20 mil anos! Mas na verdade esta regra nunca foi aceita e hoje não existe oficialmente nenhuma regra para ano bissextos além daquela que conhecemos e que foi instituída pelo calendário Gregoriano em 1582.

Por que não é possível termos um calendário perfeito?

A busca por um calendário perfeito não terminará nunca, apesar da precisão dos instrumentos de medida aumentarem constantemente, pois o máximo que poderemos calcular será sempre um valor médio, já que o período em que a Terra dá uma volta em torno do Sol não é constante. Em sua longa viagem pelo espaço em volta do Sol, o nosso planeta sofre pequenas alterações de velocidade, causadas pela influência das forças gravitacionais de outros corpos celestes. Essas pequenas variações, ao longo de muitos anos, sempre causarão erros em relação aos nossos calendários “fixos”.

Bibliografia

[1] Artigo “Ano Bissexto”, de Vincenzo Bongiovanni, publicado na Revista do Professor de Matemática (RPM) nº 20, 1992 – Editada pela Sociedade Brasileira de Matemática (SBM).
[2] Nota científica sobre “Anos Bissextos”, publicada no livro “Anuário de Astronomia” de Ronaldo Rogério de Freitas Mourão, 1996 - Editora Bertrand Brasil.
[3] Documento “Frequently Asked Questions about Calendars”, mantido por Claus Tøndering - Disponível na Internet em [http://www.tondering.dk/claus/calendar.html].
[4] Livro: “Fim de Milênio–Uma história dos calendários, profecias e catástrofes cósmicas”, por Betília Leite e Othon Winter – Ed. Jorge Zahar Editor, 1999.
[5] Livro: “Calendário–A epopéia da humanidade para determinar um ano verdadeiro e exato”, por David Ewong Duncas – Ed. Ediouro, 1999.

Fonte: Malba Tahan Newsletter

A História da Matemática - Episódio IV - Ao Infinito e Além

*MÖBIUS

August Ferdinand Möbius

Data de Nascimento: 17 de novembro de 1790 em Schulpforta , Saxônia (atual Alemanha)

Morreu em: 26 de setembro de 1868 , em Leipzig, Alemanha

Agosto Möbius foi o único filho de Johann Heinrich Möbius , um professor de dança , que morreu quando agosto foi de três anos de idade. Sua mãe era descendente de Martinho Lutero. Möbius foi educado em casa até que ele tinha 13 anos quando , já mostrando um interesse pela matemática, ele foi para o Colégio em Schulpforta em 1803.

Em 1809 Möbius formou sua faculdade e ele se tornou um estudante na Universidade de Leipzig. Sua família queria que ele estudar direito e de fato, ele começou a estudar este tema . No entanto, ele logo descobriu que ele não era um assunto que lhe dava satisfação e no meio do seu primeiro ano de estudo, ele decidiu segui-lo preferências próprias e não aqueles de sua família. Ele, portanto, tomou -se o estudo da matemática , astronomia e física.

O professor que influenciou Möbius mais durante seu tempo em Leipzig foi seu professor astronomia Karl Mollweide . Apesar de um astrônomo , Mollweide é conhecida por uma série de descobertas matemáticas , em particular as relações trigonométricas Mollweide ele descobriu em 1807-1809 ea projeção do mapa Mollweide que preserva áreas.

Em 1813 Möbius viajou para Göttingen , onde estudou astronomia sob Gauss . Gauss foi o diretor do Observatório de Göttingen , mas , claro, o maior matemático de sua época , por isso novamente Möbius estudou com um astrônomo , cujos interesses eram matemática. De Göttingen Möbius foi para Halle , onde estudou com Johann Pfaff , professor de Gauss . Sob Pfaff ele estudou matemática , em vez de astronomia por isso, nesta fase Möbius estava trabalhando firmemente em ambos os campos .

Em 1815 Möbius escreveu sua tese de doutorado sobre a ocultação de estrelas fixas e começou a trabalhar em sua tese de habilitação . Na verdade , enquanto ele estava escrevendo esta tese , houve uma tentativa de elaborar -lo para o exército prussiano . Möbius escreveu

Essa é a idéia mais horrível que eu já ouvi falar , e quem se arriscar , ousar, arriscar , fazer negrito e ter a audácia de propor que não vai ser salvo da minha adaga.

Ele evitou o exército e completou sua tese de habilitação em equações trigonométricas . O interesse de Mollweide em matemática era tal que ele havia se mudado de astronomia para a cadeira de matemática em Leipzig para Möbius tinha grandes esperanças de que ele poderia ser nomeado para um cargo de professor em astronomia em Leipzig. Na verdade, ele foi nomeado para a cadeira de astronomia e mecânica superiores na Universidade de Leipzig em 1816. Sua primeira nomeação foi como professor extraordinário e foi uma nomeação que veio no início de sua carreira.

No entanto Möbius não recebeu promoção rápido para professor titular . Parece que ele não foi um bom professor e isso fez a vida difícil, pois ele não atrair taxa pagando estudantes para suas palestras. Ele foi forçado a anunciar suas aulas como sendo de graça antes que os alunos pensaram seus cursos vale a pena.

Foi-lhe oferecido um cargo de um astrônomo em Greifswald em 1816 e , em seguida, um post como um matemático em Tartu, em 1819. Ele se recusou ambos, em parte através de sua crença na alta qualidade da Universidade de Leipzig, em parte através de sua lealdade a Saxônia . Em 1825 Mollweide morreu e Möbius esperava transferência para a cadeira de matemática tomar a rota Mollweide tinha tomado antes. No entanto, não era para ser e outro matemático era o preferido para o cargo .

Em 1844 a reputação de Möbius como pesquisador levou a um convite da Universidade de Jena e, nesta fase da Universidade de Leipzig deu-lhe a cátedra de astronomia que claramente merecia.

Desde o momento de sua primeira nomeação em Leipzig Möbius também ocupava o cargo de observador no Observatório de Leipzig. Ele estava envolvido na reconstrução do Observatório e , a partir de 1818 até 1821 , ele supervisionou o projeto. Ele visitou vários outros observatórios na Alemanha , antes de fazer suas recomendações para o novo Observatório . Em 1820, casou-se e ele foi ter uma filha e dois filhos . Em 1848 ele tornou-se diretor do Observatório .

Em 1844, Grassmann visitou Möbius . Ele pediu Möbius para rever sua obra principal Die lineale Ausdehnungslehre , ein Neuer Zweig der Mathematik ( 1844) , que continha muitos resultados semelhantes ao trabalho de Möbius . No entanto Möbius não entendeu a importância do trabalho de Grassmann e não analisá-lo. Fez, entretanto convencer Grassmann a submeter trabalhos para um prêmio e , depois de Grassmann ganhou o prêmio , Möbius fez comentar sobre o seu vencedor em 1847.

Embora o seu trabalho mais famoso é em matemática , Möbius não publicou um importante trabalho sobre astronomia. Escreveu De Computandis Occultationibus Fixarum por Planetas ( 1815 ) sobre as ocultações de planetas. Ele também escreveu sobre os princípios da astronomia , Die Hauptsätze der Astronomie (1836) e em mecânica celeste Die Elemente der Mechanik des Himmels (1843) .

Publicações matemáticas de Möbius , embora nem sempre originais , foram eficazes e apresentações claras . Suas contribuições para a matemática são descritos por seu biógrafo Richard Baltzer em [3 ], como segue : -

As inspirações para sua pesquisa, ele encontrou na maior parte dos países ricos e bem de sua própria mente original . Sua intuição, os problemas que ele pôs-se , e as soluções que encontrou , todos apresentam algo extraordinariamente engenhoso, algo original de uma forma uncontrived . Ele trabalhava sem pressa , em silêncio por conta própria. Sua obra permaneceu praticamente trancados até que tudo havia sido colocado em seu devido lugar. Sem pressa , sem pompa e sem arrogância , ele esperou até que os frutos de sua mente amadureceu. Apenas após tal espera que ele publique seus trabalhos perfeitos ...

Quase todo o trabalho de Möbius foi publicado no Jornal de Crelle , a primeira revista dedicada exclusivamente à matemática publicação. 1827 O trabalho de Möbius Der barycentrische Calcul , em geometria analítica , tornou-se um clássico e inclui muitos dos seus resultados em geometria projetiva e afim. Nela, ele introduziu as coordenadas homogêneas e transformações geométricas também discutidos , em particular as transformações projetivas. Ele apresenta uma configuração de chamada agora um líquido Moebius , que foi a desempenhar um papel importante no desenvolvimento da geometria projectiva .

O nome de Möbius está ligado a muitos objetos matemáticos importantes, tais como a função de Möbius , que ele introduziu no papel 1831 besondere Über eine Art von der Umkehrung Reihen ea fórmula de inversão de Möbius.

Em 1837 ele publicou Lehrbuch der Statik que dá um tratamento geométrico da estática . Isso levou ao estudo dos sistemas de linhas no espaço .

Antes da pergunta sobre os quatro coloração de mapas tinha sido convidado por Francis Guthrie, Möbius tinha colocado o seguinte , bastante fácil , problema em 1840.

Era uma vez um rei com cinco filhos . Na sua vontade indicou que a sua morte, o seu reino deve ser dividido pelos seus filhos em cinco regiões de tal maneira que cada região tem um limite comum com os outros quatro. Pode os termos do estarão satisfeitos?

A resposta, é claro, é negativo e fácil de mostrar . No entanto, serve para ilustrar o interesse de Möbius em idéias topológicas , uma área na qual ele é mais lembrado como um pioneiro. Em um livro de memórias , apresentou à Académie des Sciences e só descobriu depois de sua morte , ele discutiu as propriedades de superfícies unilaterais , incluindo a fita de Möbius , que havia descoberto em 1858. Esta descoberta foi feita como Möbius trabalhou em uma questão sobre a teoria geométrica dos poliedros colocado pela Académie .

Embora saibamos isso como uma fita de Möbius hoje não era Möbius que primeiro descreveu o objeto , em vez de qualquer critério , ou a data de publicação ou data da primeira descoberta, prioridade vai para a listagem.

Uma tira de Moebius é uma superfície bidimensional com um só lado . Pode ser construído em três dimensões, como se segue. Pegue uma tira retangular de papel e juntar as duas extremidades da tira em conjunto para que ele tenha um grau de torção 180. Agora é possível a partir de um ponto A na superfície e traçar um caminho que passa através do ponto de que é aparentemente sobre o outro lado da superfície de A.

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

janeiro 1997

ARTE MATEMÁTICA (39)

Aqui temos hexágonos entre outras figuras planas.
Além disso, se você observar bem, a figura como um todo parece tridimensional.

RECOMEÇO

Olá.

Sejam todos muito bem-vindos.

A vida se renova todo o tempo, portanto, não podemos ficar parados.

Dizem que, em nosso país, o ano só começa mesmo depois do carnaval.

Concorde-se ou não, a folia de Momo já passou e está mais do que na hora de arregaçar as mangas com vontade.

Estamos planejando algumas mudanças para este ano. No conteúdo e no visual do nosso blog.

Espero que gostem.

Um grande abraço a todos os leitores.